Metoda supstitucije

Metoda supstitucije je metoda rešavanja integrala u kojoj se deo integrala zamenjuje jednostavnijim simbolom (obično se koristi latinično slovo u), u cilju da bi se dobio integral koji je lakše rešiti.^[1]

$\int \frac{\ln x}{x} d x = ?$

$u = l n (x)$

$d u = \frac{1}{x} d x$

$x d u = d x$

$\int \frac{l n (x)}{x} d x = \int \frac{u}{x} x d u = \frac{u^{2}}{2} + C$

$\int \frac{l n (x)}{x} d x = \frac{(\ln (x))^{2}}{2} + C$

U nekim slučajevima moraće se rešiti za $x$

$\int 2 x \sqrt{5 x - 20} d x = ?$

$ω = 5 x - 20$

$d ω = 5 d x$

$\frac{d ω}{5} = d x$

$x = \frac{ω + 20}{5}$

$\int 2 x \sqrt{5 x - 20} d x = \int 2 (\frac{ω + 20}{5}) \sqrt{ω} \frac{d ω}{5} = \frac{2}{25} \int (ω + 20) \sqrt{ω} d ω = \frac{2}{25} \int (ω \sqrt{ω} + 20 \sqrt{ω}) d ω = \frac{2}{25} (\int ω \sqrt{ω} d ω + \int 20 \sqrt{ω} d ω)$

$\frac{2}{25} (\int ω \sqrt{ω} d ω + \int 20 \sqrt{ω} d ω) = \frac{2}{25} (\frac{ω^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + 20 \frac{ω^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}) + C$