Вијетове формуле

За Вијетову формулу за рачунање броја π, видети овај чланак.

У математици, односно алгебри, Вијетове формуле, које су добиле име по Франсоа Вијету, су формуле које дају везу између нула полинома, и његових коефицијената

Формуле

Ако

$P(X)=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$

је полином степена $n\ge 1$ са комплексним коефицијентима (па су бројеви $a_0,a_1,\dots ,a_{n-1},a_n$ комплексни, и $a_n\ne 0$), по основној теореми аритметике $P(X)$ има $n$ (не обавезно различитих) комплексних корена $x_1,x_2,\dots ,x_n.$ Вијетове формуле кажу да

$x_1+x_2+\cdots +x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}$

$(x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_1{x}_n)+(x_2{x}_3+x_2{x}_4+\cdots +x_2{x}_n)+\cdots +x_{n-1}{x}_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}$

$\cdots$

$x_1{x}_2\cdots x_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}.$

Другим речима, сума свих могућих производа $k$ нула полинома $P(X)$ је једнака $(-1{)}^k{a}_{n-k}/a_n,$

$\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$

за свако $k=1,2,\dots ,n.$

Вијетове формуле важе општије за полиноме са коефицијентима у било ком комутативном прстену, све док тај полином степена $n$ има $n$ нула у том прстену.

Пример

За полином другог степена $P(X)=a{X}^2+bX+c$, Вијетове формуле гласе да су решења $x_1$ и $x_2$ квадратна једначина $P(X)=0$ задовољавају

$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}.$

Прва једначина се може користити да се нађе минимум (или максимум) од -{P}-.

Доказ

Вијетове формуле се могу доказати записивањем једнакости

$a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0=a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n)$

(што је тачно, јер $x_1,x_2,\dots ,x_n$ су све нуле полинома), множењем кроз факторе са десне стране, и проналажењем коефицијената сваког степена $X$.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book