Теорија категорија

Категорија са објектима X, Y, Z и морфизмима f, g, g ∘ f, и три идентичка морфизма (нису приказани) 1_X, 1_Y and 1_Z.

Теорија категорија се користи да формализује математику и њене концепте као колекције објеката и стрелица (морфизама). Теорија категорија може да се користи да формализује већ постојеће теорије на вишем нивоу апстракције као што су теорија скупова, теорија прстена и теорија група. Неколико термина који се користе у теорији категорија, укључујући термин "морфизам", има различито значење у осталим областима математике.

Објекти заједнице су дати објектима који су врхови графа, а њихови односи су означени усмереним бридовима, који се називају стрелицама или морфизмима. Свака категорија по дефиницији уз објекте и њихове усмерене односа представљене морфизмима имају задато асоцијативно пресликавање композиције оних парова стрелица које графички следе у низу (крај једне је почетак друге) и за сваки објект је изабрана посебна стрелица идентитета, којој је и почетак и крај на том објекту. На пример, категоријама се може формализовати заједница свих скупова и њихових пресликавања као односа, заједницу свих прстенова и њихових (хомо)морфизама и заједницу свих група и (хомо)морфизама група. У тим примерима се види да заједница може бити велика, тј. да чини класу у смислу теорије скупова.

Неколика термина кориштених у теорији категорија, укључујући термин „морфизам” се користе другачије него у специјализованим ситуацијама у математици. У теорији категорија, морфизми морају испуњавати само опште аксиоме из теорије категорија, а не специфичне аксиоме који се захтевају у неком другом контексту. Дакле, тај концепт је унутрашњи у заданој категорији.

Саундерс Маклејн и Самјуел Ејленберг су увели концепте категорија, функтора и природних трансформација у 1942-45 у њиховом проучавању алгебарске топологије, са циљем аксиоматизације појма природности и још неких својстава која су се понављала у више контекста.

Категорија теорија има практичну примену у теорији програмских језика, нпр. формализације семантике програмских језика и кориштење монада у функцијском програмирању. Аксиоматски приступ структури категорије (елементарна теорија категорија) није зависан од аксиоматике скупова и може се изучавати као један од алтернативних приступа темељима математике (уз теорију скупова, разне теорије типова итд).

Категорије

Категорија C се састоји од следећа три ентитета:

• Класе ob(C), чије елементе зовемо објекти;
• Класе hom(C), чије елементе зовемо морфизми или пресликавања или стрелице. Сваки морфизам f има свој домен a и кодомен b.
  

Израз Шаблон:Nowrap, се чита као "f је морфизам из a у b".
Израз Шаблон:Nowrap — користе се и ознаке Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap, или Шаблон:Nowrap — означава класу свих морфизама изa у b.

• Бинарне операције ∘, коју називамо композиција морфизама, тако да за било која три објекта a, b, и c, важи Шаблон:Nowrap. Композицију Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap записујемо Шаблон:Nowrap или gf, регулисана са две аксиоме:
  • Асоцијативност: Ако Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap онда је Шаблон:Nowrap, и
  • Идентитет (математика): За сваки објект x, постоји морфизам Шаблон:Nowrap звани идентички морфизам x, тако да за сваки морфизам Шаблон:Nowrap, важи Шаблон:Nowrap.

Из аксиома се може доказати да постоји тачно један идентички морфизам за сваки објект. Неки аутори одступају од ове дефиниције идентификујући сваки објект са његовим идентичким морфизмом.

Односи међу морфизмима и типови морфизама

Релације између морфизама (попут Шаблон:Nowrap) често се приказују графички помоћу комутативних дијаграма, са „тачкама” (врховима) представљајући објекте и „стрелицама” представљајући морфизме. Комутативност дијаграма означава да композиција свих морфизама уздуж било која два усмерена пута с међусобно истим почетком и међусобно истим крајем има исти резултат (не yависи од пута).

Морфизми могу имати било која од седећих својстава. Морфизам Шаблон:Nowrap је:

• мономорфизам (генерализирајући појам инјекције у категорији скупова) ако Шаблон:Nowrap повлачи Шаблон:Nowrap за све морфизме Шаблон:Nowrap.
• епиморфизам (генерализирајући појам сурјекције у категорији скупова) ако Шаблон:Nowrap повлачи Шаблон:Nowrap за све морфизме Шаблон:Nowrap.
• биморфизам ако је -{f}- истовремено мономорфизам и епиморфизам.
• изоморфизам ако постоји морфизам Шаблон:Nowrap такав да је Шаблон:Nowrap.
• ендоморфизам ако је домен уједно и кодомен, Шаблон:Nowrap. end(a) означава класу ендоморфизама од a.
• аутоморфизам ако -{f}- је изоморфизам с истом доменом и кодоменом. aut(a) означава класу ендоморфизама од a.
• ретракција (сажимање) ако десна инверзија од -{f}- постоји, т.ј. ако постоји морфизам Шаблон:Nowrap такав да Шаблон:Nowrap.
• пререз (секција) ако лева инверзија од -{f}- постоји, т.ј. ако постоји морфизам Шаблон:Nowrap такав да Шаблон:Nowrap.

За категорију се каже да је балансирана ако је сваки биморфизам изоморфизам. На пример, све су Абелове категорије балансиране.

Свака ретракција је епиморфизам, и сваку пререз је мономорфизам. Надаље, следеће три тврдње су еквивалентне:

• -{f}- је мономорфизам и ретракција;
• -{f}- је епиморфизам и пререз;
• -{f}- је изоморфизам.

Супротна категорија

Свакој категорији $C$ може се придружити супротна категорија $C^{\circ }$ која има исте објекте и морфизме, но морфизми иду у супротни смер. Тако за сваки објект $x$ има своју супротну копију $x^{\circ }$, а за морфизам $f:x\to y$ његову супротну копију $f^{\circ }:y^{\circ }\to x^{\circ }$ са замењеном доменом и кодоменом; при томе је композиција дефинисана с $g^{\circ }\circ f^{\circ }:=(f\circ g{)}^{\circ }$, а идентитет с $1_{x^{\circ }}:=(1_x{)}^{\circ }:x^{\circ }\to x^{\circ }$. Супротна категорија се назива такође двојствена или дуална категорија категорије $C$.

Види још

• Аксиоматска теорија скупова
• Зермело-Френкел теорија скупова
• Теорија група

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book Notes for a course offered as part of the MSc. in Mathematical Logic, Manchester University.
• Шаблон:Cite book, draft of a book.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite web Based on Шаблон:Harvnb.
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Theory and Application of Categories, an electronic journal of category theory, full text, free, since 1995.
• nLab, a wiki project on mathematics, physics and philosophy with emphasis on the n-categorical point of view.
• The n-Category Café, essentially a colloquium on topics in category theory.
• Category Theory, a web page of links to lecture notes and freely available books on category theory.
• Шаблон:Citation, a formal introduction to category theory.
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:SEP, with an extensive bibliography.
• List of academic conferences on category theory
• Шаблон:Cite web — An informal introduction to higher order categories.
• WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, categories, functors, natural transformations, universal properties.
• Шаблон:YouTube, a channel about category theory.
• Шаблон:PlanetMath.
• Video archive of recorded talks relevant to categories, logic and the foundations of physics.
• Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.
• Category Theory for the Sciences, an instruction on category theory as a tool throughout the sciences.
• Category Theory for Programmers A book in blog form explaining category theory for computer programmers.
• Introduction to category theory.