Декартов лист

Декартов лист

Декартов лист је алгебарска крива дефинисана једначином:

$x^3+y^3-3axy=0$.

Параметар $3a$ представља дијагоналу квадрата, чија страна је једнака највећој дужини петље (погледати слику).

Једначине

Декартов лист у правоугаоном систему је:

$x^3+y^3=3axy$

а у поларним координатама је:

$r=\frac{3a\sin \theta \cos \theta }{{\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta }.$

У параметарском облику могу да се напишу као:

$x=\frac{3ap}{1+p^3},y=\frac{3a{p}^2}{1+p^3}$.

Својства

• Ос исметрије криве је права $OA$ је једначина :$y=x$.
• Тачка A назива се врхом, а њене координате су:$(\frac{3a}{2},\frac{3a}{2})$.
• Асимптота је права $UV$, чија једначина је: $x+y+a=0$.
• Површина затворене области је$S_1=\frac{l^2}{3}=\frac{3}{2}{a}^2$
• Површина између криве и асимптоте је $S_1=\frac{3}{2}{a}^2$

Закренути Декартов лист

Закренути Декартов лист

Декартов лист може да се закрене ротацијом за $135^{\circ }$, па се тада добија закренути Декартов лист, чија је једначина у Декартовом систему:

$y=\pm x\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}$, где $l=\frac{3a}{\sqrt{2}}$

• Параметарски облик закренутога листа је:

$x=l\frac{t^2-1}{3t^2+1},y=l\frac{t(t^2-1)}{3t^2+1}$

• Поларни приказ закренутога листа је:

$\rho =\frac{l({\sin }^2\phi -{\cos }^2\phi )}{\cos \phi ({\cos }^2\phi +3{\sin }^2\phi )}$

Извод закренутога листа

Извод закренутога Декартовога листа почињемо тако да најпре изведемо ротацију за $\alpha =\frac{-3\pi }{4}$, па је

$x=-u\cos \alpha -v\sin \alpha$

$y=-u\sin \alpha +v\cos \alpha$, или

$x=-\frac{u}{\sqrt{2}}-\frac{v}{\sqrt{2}}$

$y=-\frac{u}{\sqrt{2}}+\frac{v}{\sqrt{2}}$.

После замене старих координата новима добија се:

$v^2=\frac{u^2}{3}\frac{3a+u\sqrt{2}}{a-u\sqrt{2}}$.

Уводимо параметар $l=\frac{3a}{\sqrt{2}}$, па се увршавајући у последњу једначину добија:

$v^2=u^2\frac{l+u}{l-3u}$

или

$v=\pm u\sqrt{\frac{l+u}{l-3u}}$.

Заменимо ли u и v са x и y добија се Декартов лист у новим координатама:

$y=\pm x\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}$

Прелазимо у поларни систем следећом заменом: $x=\rho \cos \phi ,y=\rho \sin \phi$ тако да добијамо:

$\rho \sin \phi =\rho \cos \phi \sqrt{\frac{t+\rho \cos \phi }{t-3\rho \cos \phi }}$.

Решавајући једначину по $\rho$ добијамо:

$\rho =\frac{l({\sin }^2\phi -{\cos }^2\phi )}{\cos \phi ({\cos }^2\phi +3{\sin }^2\phi )}$.

Литература

• Декартов лист