Фибоначијеви полиноми

Фибоначијеви полиноми дефинишу се следећом рекурзијом:

$F_n(x)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }n=0\\ 1,& \text{if }n=1\\ x{F}_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),& \text{if }n\ge 2\end{array}$

Сматрају се генерализацијом Фибоначијевога низа.

Својства и Лукасови полиноми

Генерирајућа функција Фибоначијевих полинома је:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{F}_n(x)t^n=\frac{t}{1-xt-t^2}.$

Првих неколико Фибоначијевих полинома:

$F_0(x)=0$

$F_1(x)=1$

$F_2(x)=x$

$F_3(x)=x^2+1$

$F_4(x)=x^3+2x$

$F_5(x)=x^4+3x^2+1$

$F_6(x)=x^5+4x^3+3x$

Лукасови полиноми користе исту рекурзију, али са нешто другачијим почетним вредностима: $L_n(x)=\{\begin{array}{cc}2,& \text{ako }n=0\\ x,& \text{ako }n=1\\ x{L}_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),& \text{ako }n\ge 2.\end{array}$

Генерирајућа функција Лукасових полинома је:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{L}_n(x)t^n=\frac{2-xt}{1-xt-t^2}.$

Првих неколико Лукасових полинома је:

$L_0(x)=2$

$L_1(x)=x$

$L_2(x)=x^2+2$

$L_3(x)=x^3+3x$

$L_4(x)=x^4+4x^2+2$

$L_5(x)=x^5+5x^3+5x$

$L_6(x)=x^6+6x^4+9x^2+2.$

Постоје и друга својства тих полинома:

$F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_n(x)+F_m(x)F_{n-1}(x)$

$L_{m+n}(x)=L_m(x)L_n(x)-(-1{)}^n{L}_{m-n}(x)$

$F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_n(x{)}^2=(-1{)}^n$

$F_{2n}(x)=F_n(x)L_n(x).$

Комбинаторна интерпретација

Уз помоћ полудијагонала Паскаловога троугла могу да се ичитају Фибоначијеви бројеви (црвено означени). Они представљају суму бројева на полудијагонали.

Ако је F(n,k) коефицијент од x^k у F_n(x), тако да је:

$F_n(x)=\sum _{k=0}^{n}F(n,k)x^k,$

онда F(n,k) представља број начина на који се може добити n−1 сумом само помоћу 1 и 2, а при томе се 1 користи к пута. Тако је нпр. F(6,3)=4, јер се 5 може добити на 4 начина:1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1 и 2+1+1+1.

На основу тога следи да је F(n,k) једнак биномном коефицијенту:

$F(n,k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{n+k-1}{2}}{k})$

Уз помоћ те релације Фибоначијеви бројеви могу да се очитаваку из Паскаловога троугла.

Литература

• -{Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, Шаблон:ISBN}-
• Фибоначијеви полиноми
• Лукасови полиноми