Безуов став

Безуов став је једна од алгебарских теорема која дефинише дељивост два полинома при специјалном случају када је делилац облика $x-\alpha$. Може се употребити за растављање полинома на чиниоце. Добио је име по француском математичару Етјену Безуу.

Теорема (Безуов став). Нека је дат полином $P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n(a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n\in ℝ)$, и нека је дат полином $Q(x)=x-\alpha (\alpha \in ℝ)$, тада полином $P(x)$ при дељењу полиномом $Q(x)$ даје остатак $P(\alpha )$. Специјално ако је $P(\alpha )=0$ полином $P(x)$ је дељив полиномом $Q(x)$.

Доказ. При општем случају, дељење два полинома се може записати као:

$P(x)=B(x)\cdot Q(x)+R$

Где је $B(x)$ неки полином који представља количник, а $R$ остатак при дељењу полинома $P(x)$ са $Q(x)$. Замењивањем $Q(x)=x-\alpha$ се добија:

$P(x)=B(x)(x-\alpha )+R$

Коначно, при случају $x=\alpha$ се добија

$P(\alpha )=B(\alpha )(\alpha -\alpha )+R,$

односно, $P(\alpha )=R$ што је и требало доказати.

Пример

Ако узмемо полином:

$X^2+3X+2$

Узећемо једини слободан члан, а то је у овом случају број 2 и одредићемо његове позитивне и негативне делиоце (1, -1, 2,-2). Ове делиоце ћемо замењивати за Х. Делићемо једначину са (Х-n(број са чијом смо заменом добили нулу)). Одређујемо:

$p(x)=X^2+3X+2$

За +1 добија се:

$p(+1)=1+3+2=6\ne 0$

Следи да полином није дељив са X-1.

За -1 добија се:

$p(-1)=1-3+2=0$

Следи да је полином дељив са X+1.

За +2 добија се:

$p(+2)=4+6+2=12\ne 0$

Следи да полином није дељив са X-2.

За -2 добија се:

$p(-2)=4-6+2=0$

Следи да је полином дељив са X+2.

Након ове необавезне провере, дељење изгледа овако:

Дељење са X+1

$(X^2+3X+2):(X+1)=X+2$

$-(X^2+X)$

$2X+2$

$-(2X+2)$

$0$

Провера дељења

$(X+2)(X+1)=X^2+2X+X+2=X^2+3X+2$

Дељење са X-1

$(X^2+3X+2):(X-1)=X+4$ и остатак $6$

$-(X^2-X)$

$4X+2$

$-(4X-4)$

$6$

Провера дељења

$(X+4)(X-1)+6=X^2+4X-X-4+6=X^2+3X+2$

Дељење са X+2:

$(X^2+3X+2):(X+2)=X+1$

$-(X^2+2X)$

$X+2$

$-(X+2)$

$0$

Провера дељења

$(X+1)(X+2)=X^2+X+2X+2=X^2+3X+2$

Дељење са X-2

$(X^2+3X+2):(X-2)=X+5$ и остатак $12$

$-(X^2-2X)$

$5X+2$

$-(5X-10)$

$12$

Провера дељења

$(X+5)(X-2)+12=X^2+5X-2X-10+12=X^2+3X+2$

Види још

• Хорнерова шема

Литература

• Шаблон:Cite book