Противречност

Противречност (или Контрадикција) је саставни (често завршни) део математичког доказа, који потврђује да претпоставка којом је почет доказ није математички тачна. Заснива се на идеји да у једном конкретном математичком моделу међусобно демантујући искази $A$ и $\mathrm{\neg }A$ не могу бити истовремено тачни.

Пример

Претпоставимо да је $\sqrt{2}$ рационалан број. Како сваки рационалан број може да се напише у облику количника два узајамно проста цела броја (где је именилац различит од нуле), пишемо $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$. Када квадрирамо дату једначину добијамо da je 2*b²=a². Из дате једначине добијамо да је a² паран број, из чега следи да је a паран број. Пишемо да је a=2c, па замењујемо:2*b²=(2c)², односно 2*b²=4c². Сређивањем једначине добијамо да је b²=2c² и закључијемо да бројеви a и b имају заједнички делилац, односно да нису узајамно прости као што смо на почетку доказа претпоставили. Дакле, дошли смо до контрадикције (#) и доказали да је корен из 2 ирационалан број.