Кристофелови симболи

Паралелни транспорт на сфери

Кристофелови симболи у диференцијалној геометрији представљају коефицијенте који описују паралелни транспорт у криволинијским координатним системима. Добили су име по немачком математичару Елвину Бруну Кристофелу. Кристофелови симболи прве врсте означавају се са $[\mu \nu ,\kappa ]={\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu \kappa },$ а симболи друге врсте са $\left\{\begin{array}{c}\sigma \\ \mu \nu \end{array}\right\}={\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\sigma }$. У целом тексту користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута.

Паралелни транспорт

Слика 1.

Када у криволинијском систему одузимамо два вектора поред уобичајене разлике два вектора у правоугаоном систему имамо и додатну разлику због паралелнога транспорта једнога вектора до другога. Нека у $x^i$ вектор има вредност $A^i,$ а у некој тачки $x^i+d{x}^i$ вредност $A^i+d{A}^i.$ Ако вектор $A^i$ транспортујемо до $x^i+d{x}^i$ он се због паралелнога транспорта у криволинијским координатама промени за $\delta A^i.$ Укупна разлика два вектора постаје онда:

$D{A}^i=d{A}^i-\delta A^i$

Паралелни транспорт зависан је од Кристофелових симбола:

$\delta A^i=-{\mathrm{\Gamma }}^i{}_{k\ell }{A}^{k}d{x}^l.$

Ту се користи Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута.

Слика 2.

Пример у поларном систему

Узмимо поларни координатни систем у коме се тачка налази на удаљености $r$ и под углом $\phi .$ Нека вектор $𝑨$ има координате $(a,\alpha )$, односно налази се на удаљеност $a$ од центра и из центра се види под углом $\alpha$. Препоставимо да се велтор премешта из једне у другу тачку. Његове компоненте се не мјењају у правоугаоном координатном систему. У поларном систему вектора $𝑨$ остаје исте величине јер величина вектора на једном месту је:

$|A{|}^2=a^2+r^2{\alpha }^2$

а на другом је:

$a^2+(r+\mathrm{d}r{)}^2(\alpha +\mathrm{d}\alpha {)}^2=a^2+r^2{\alpha }^2,$

па се добија:

$\mathrm{d}\alpha =-\frac{1}{r}\alpha \mathrm{d}r.$

Паралелан транспорт дуж лука

Током транслације дуж лука мењају се обе координате, па са слике 2 видимо да је: $\alpha =\frac{A}{r}\sin \lambda$, $a=A\cos \lambda$, и $\mathrm{d}\lambda =-\mathrm{d}\phi$ па је:

$\mathrm{d}\alpha =-\frac{1}{r}a\mathrm{d}\phi .$

Осим тога пошто је $a=A\cos \lambda$, $\mathrm{d}\lambda =-\mathrm{d}\phi$, и $A\sin \lambda =r\alpha$, онда је

$\mathrm{d}a=-(-r)\alpha \mathrm{d}\phi .$

Означимо ли:$x^1=r$, $x^2=\phi$, $A^1=a$ и $A^2=\alpha$ онда се из формуле, у којој је конвенција да се сумира по индексима који се појављаују два или више пута

$\delta A^i=-{\mathrm{\Gamma }}^i{}_{k\ell }{A}^{k}d{x}^l.$

могу добити Кристофелови симболи као: ${\mathrm{\Gamma }}_{22}^1=-r$, ${\mathrm{\Gamma }}_{12}^2={\mathrm{\Gamma }}_{21}^2=1/r$, а сви остали су нула.

Кристофелови симболи прве и друге врсте

Кристофелови симболи прве и друге врсте повезани су следећом релацијом:

${\mathrm{\Gamma }}_{cab}=g_{cd}{\mathrm{\Gamma }}^d{}_{ab},$

Кристофелови симболи повезани су са метричким тензором. Ако знамо метрички тензор за неки криволинијски систем тада се Кристофелови симболи друге врсте могу потпуно представити преко одговарајућега матричкога тензора:

${\mathrm{\Gamma }}^i{}_{k\ell }=\frac{1}{2}{g}^{im}(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell }}+\frac{\partial g_{m\ell }}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{k\ell }}{\partial x^m})=\frac{1}{2}{g}^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m}),$

а ту је $g^{ij}$ контраваријантни приказ метричкога тензора, а $g_{ij}$ представља коваријантан приказ метричкога тензора, а повезани су изразом $g^{ij}{g}_{jk}={\delta }_k^i$. Кристофелови симболи прве врсте даду се приказати као: ${\mathrm{\Gamma }}_{n,ij}^{}$

${\mathrm{\Gamma }}_{n,ij}=g_{kn}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=\frac{1}{2}(\frac{\partial g_{in}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{jn}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n})$

Кристофелови симболи су симетрични по доњим индексима;

${\mathrm{\Gamma }}^i{}_{jk}={\mathrm{\Gamma }}^i{}_{kj}.$

С друге стране коваријантан извод метричкога тензора може се приказати преко Кристофелових симбола:

${\mathrm{\nabla }}_{\ell }{g}_{ik}=\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^{\ell }}-g_{mk}{\mathrm{\Gamma }}^m{}_{i\ell }-g_{im}{\mathrm{\Gamma }}^m{}_{k\ell }=0.$

У неким системима

За сферни координатни систем компоненте метричкога тензора су $g_{\theta \theta }=r^2$, $g_{\varphi \varphi }=r^2{\sin }^2\theta$, $g_{\theta \theta ,r}=2r$, $g_{\varphi \varphi ,r}=2r{\sin }^2\theta$, $g_{\varphi \varphi ,\theta }=2r^2\cos \theta \sin \theta$. па су Кристофелови симболи дани са:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{\theta \theta }^r& =-r\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\varphi \varphi }^r& =-r{\sin }^2\theta \\ {\mathrm{\Gamma }}_{r\theta }^{\theta }={\mathrm{\Gamma }}_{\theta r}^{\theta }& =r^{-1}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\varphi \varphi }^{\theta }& =-\cos \theta \sin \theta \\ {\mathrm{\Gamma }}_{r\varphi }^{\varphi }={\mathrm{\Gamma }}_{\varphi r}^{\varphi }& =r^{-1}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\varphi \theta }^{\varphi }={\mathrm{\Gamma }}_{\theta \varphi }^{\varphi }& =\cot \theta \end{array}$

За цилиндрични координатни систем симболи су:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{\varphi \varphi }^r& =-r\\ {\mathrm{\Gamma }}_{r\varphi }^{\varphi }={\mathrm{\Gamma }}_{\varphi r}^{\varphi }& =\frac{1}{r}\end{array}$

Коваријантан извод

Преко Кристофелових симбола приказује се коваријантан извод тензора: Коваријантни извод тензорскога поља $A^{ik}$ је

${\mathrm{\nabla }}_{\ell }{A}^{ik}=\frac{\partial A^{ik}}{\partial x^{\ell }}+{\mathrm{\Gamma }}^i{}_{m\ell }{A}^{mk}+{\mathrm{\Gamma }}^k{}_{m\ell }{A}^{im},$

тј.

$A^{ik}{}_{;\ell }=A^{ik}{}_{,\ell }+A^{mk}{\mathrm{\Gamma }}^i{}_{m\ell }+A^{im}{\mathrm{\Gamma }}^k{}_{m\ell }.$

За мешано тензорско поље имамо:

$A^i{}_{k;\ell }=A^i{}_{k,\ell }+A^m{}_k{\mathrm{\Gamma }}^i{}_{m\ell }-A^i{}_m{\mathrm{\Gamma }}^m{}_{k\ell },$

а за тензорско поље поље типа (0,2) коваријантан извод је:

$A_{ik;\ell }=A_{ik,\ell }-A_{mk}{\mathrm{\Gamma }}^m{}_{i\ell }-A_{im}{\mathrm{\Gamma }}^m{}_{k\ell }.$

Коваријантни извод за неки тензор типа (n, m) је:

${\mathrm{\nabla }}_k{v}_{j_1\cdots j_m}^{i_1\cdots i_n}=\frac{\partial }{\partial x^k}{v}_{j_1\cdots j_m}^{i_1\cdots i_n}+\sum _{\alpha =1}^n{\mathrm{\Gamma }}_{k\ell }^{i_{\alpha }}{v}_{j_1\cdots j_m}^{i_1\cdots i_{\alpha -1}\ell i_{\alpha +1}\cdots i_n}-\sum _{\alpha =1}^m{\mathrm{\Gamma }}_{k{i}_{\alpha }}^{\ell }{v}_{j_1\cdots j_{\alpha -1}\ell j_{\alpha +1}\cdots j_m}^{i_1\cdots i_n}$

Контракција

Користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута. Контракцијом Кристофелових симбола односно сумацијом по индексу, који се понавља добија се:

${\mathrm{\Gamma }}^i{}_{ki}=\frac{1}{2}{g}^{im}\frac{\partial g_{im}}{\partial x^k}=\frac{1}{2g}\frac{\partial g}{\partial x^k}=\frac{\partial \log \sqrt{|g|}}{\partial x^k}$

и

$g^{k\ell }{\mathrm{\Gamma }}^i{}_{k\ell }=\frac{-1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial \left(\sqrt{|g|}{g}^{ik}\right)}{\partial x^k}$

Ту је |g| детерминанта од $g_{ij}$, односно коваријантнога приказа метричкога тензора. С друге стране $g^{ij}$ означава контраваријантни приказ метричкога тензора, а два приказа тензора повезана су изразом $g^{ij}{g}_{jk}={\delta }_k^i$.

Трансформација

При трансформацији једнога система $(x^1,...,x^n)$ у други $(y^1,...,y^n)$, вектори базе се коваријантно трансформишу:

$\frac{\partial }{\partial y^i}=\frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial }{\partial x^k}$

па се добија формула трансформације Кристофелових симбола:

$\overline{{\mathrm{\Gamma }}^k{}_{ij}}=\frac{\partial x^p}{\partial y^i}\frac{\partial x^q}{\partial y^j}{\mathrm{\Gamma }}^r{}_{pq}\frac{\partial y^k}{\partial x^r}+\frac{\partial y^k}{\partial x^m}\frac{{\partial }^2{x}^m}{\partial y^i\partial y^j}$

Литература

• Кристофелов симбол
• -{Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi (1996 (New edition)). Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley Interscience. Шаблон:Page}-
• -{Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice-Hall}-