Изворни код странице Obična diferencijalna jednačina

U [[mathematics|matematici]], '''obična diferencialna jednačina''' ('''ODE''') je [[diferencijalna jednačina]] koja sadrži jednu ili više funkcija sa jednom [[Dependent and independent variables|nezavisnom promenljivom]] i [[derivative|izvodima]] tih funkcija.<ref name="Zill2012">{{cite book|author=Dennis G. Zill|title=A First Course in Differential Equations with Modeling Applications|url=https://books.google.com/books?id=pasKAAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=snippet&q=%22ordinary%20differential%22&f=false|date=15. 3. 2012|publisher=Cengage Learning|isbn=1-285-40110-7}}</ref> Termin ''obična'' se koristi u kontrastu sa terminom [[parcijalna diferencijalna jednačina]], koja može biti definsana u odnosu na ''više od'' jedne nezavisne promenljive.<ref>{{cite web|url=http://hsm.stackexchange.com/a/5032/1772|title=What is the origin of the term "ordinary differential equations"? |accessdate=28. 7. 2016|website=hsm.stackexchange.com |publisher=[[Stack Exchange]] }}</ref>

== Diferencijalne jednačine ==

[[linear differential equation|Linearna diferencijalna jednačina]] je diferencijalna jednačina koja je definisana pomoću [[Полином|linearnog polinoma]] u nepoznatoj funkciji i njenim derivatima. Drugim rečima to je [[jednačina]] oblika 
:<math>a_0(x)y +a_1(x)y' + a_2(x)y'' +\cdots +a_n(x)y^{(n)}+b(x)=0,</math>
gde su {{tmath|a_0(x)}}, ..., {{tmath|a_n(x)}} i {{tmath|b(x)}} proizvoljne [[differentiable function|diferencijabilne funkcije]] koje ne moraju da budu linearne, a  {{tmath|y', \ldots, y^{(n)} }} su sukcesivni derivati nepoznate funkcije {{mvar|y}} promenljive {{mvar|x}}.

Među običnim diferencijalnim jednadžbama, linearne diferencijalne jednačine igraju istaknutu ulogu iz više razloga. Većina [[Елементарне функције|elementarnih]] i [[special functions|specijalnih]] funkcija koje se susreću u [[Fizika|fizici]] i [[applied mathematics|primenjenoj matematici]] su rešenja linearnih diferencijalnih jednačina (pogledajte [[Holonomic function|Holonomsku funkciju]]). Kada se fizički fenomeni modeluju nelinearnim jednačinama, oni se obično aproksimiraju linearnim diferencijalnim jednačinama radi lakšeg rešenja. Nekoliko nelinearnih ODE koje se mogu eksplicitno rešiti generalno se rešavju pretvaranjem jednačine u ekvivalentne linearne ODE (pogledajte, na primer, [[Рикатијева једначина|Rikatijevu jednačinu]]).

Neke ODE se mogu eksplicitno rešiti u smislu poznatih funkcija i [[integral]]a. Kada to nije moguće, jednačina za računanje [[Тејлоров полином|Tejlorove serije]] rešenja može biti korisna. Za primenjene probleme, [[Numerical methods for ordinary differential equations|numerički metodi za obične diferencijalne jednačine]] mogu da daju približnu vrednost rešenja.

== Zaleđina ==
[[Image:Parabolic trajectory.svg|right|thumb|250px|alt=parabolic projectile motion showing velocity vector|[[Путања|Trajektorija]] [[projektil]]a lansiranog iz [[top]]a sledi krivu određenu običnom diferencijalnom jednačinom koja je izvedena iz [[Други Њутнов закон|drugog Njutnovog zakona]].]]

Obične diferencijalne jednačine (ODE) se javljaju u mnogim kontekstima matematike, i [[social science|društvenih]] i [[natural science|prirodnih]] nauka. Matematički opisi promena koriste diferencijale i derivate. Razni diferencijali, derivati i funkcije postaju povezani putem jednačina, tako da je diferencijalna jednačina rezultat koji opisuje dinamički promenljive pojave, evoluciju i varijacije. Često se količine definišu kao brzina promene drugih količina (na primer, derivati premeštanja s obzirom na vreme), ili gradijenti količina, tako da se unose diferencijalne jednačine.

Specifična matematička polja uključuju [[geometry|geometriju]] i [[analytical mechanics|analitičku mehaniku]]. Naučna područja uključuju u znatnoj meri [[Fizika|fiziku]] i [[Astronomija|astronomiju]] (nebesku mehaniku), [[Meteorologija|meteorologiju]] (modelovanje vremenskih prilika), [[Hemija|hemiju]] (stope reakcije),<ref>Mathematics for Chemists, D.M. Hirst, [[Macmillan Publishers|Macmillan Press]], 1976, (No ISBN) SBN: 333-18172-7</ref> [[Biologija|biologiju]] (zarazne bolesti, genetske varijacije), [[Ekologija|ekologiju]] i [[Population model|modelovanje populacije]] (populaciono nadmetanje), [[Ekonomija|ekonomiju]] (trendovi deonica, promene kamatnih stopa i tržišna ravnoteža promena cena).

Mnogi matematičari su izučavali diferencijalne jednačine i doprineli ovom polju, uključujući [[Isaac Newton|Njutna]], [[Gottfried Leibniz|Lajbnica]], [[Bernoulli family|porodicu Bernuli]], [[Јакопо Рикати|Rikatija]], [[Алексис Клод Клеро|Klera]], [[Жан ле Рон д'Аламбер|d'Alembera]], i [[Леонард Ојлер|Ojlera]].

Jednostavan primer je [[drugi Njutnov zakon]] kretanja &mdash; odnos između pomeranja ''x'' i vremena -{''t''}- objekta pod dejstvom sile -{''F''}-, dat je diferencijalnom jednačinom

:<math>m \frac{\mathrm{d}^2 x(t)}{\mathrm{d}t^2} = F(x(t))\,</math>

što ograničava kretanje čestice konstantne mase -{''m''}-. Generalno, -{''F''}- je funkcija pozicije -{''x''(''t'')}- čestice u vremenu -{''t''}-. Nepoznata funkcija -{''x''(''t'')}- se javlja na obe strane ove diferencijalne jednačine, i to je naznačeno notacijom -{''F''(''x''(''t''))}-.<ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=64}}</ref><ref>{{harvtxt|Simmons|1972|pp=1,2}}</ref><ref>{{harvtxt|Halliday|Resnick|1977|p=78}}</ref><ref>{{harvtxt|Tipler|1991|pp=78–83}}</ref>

== Definicije ==

Neka je ''y'' [[Dependent and independent variables|zavisna promenljiva]] i ''x'' [[Dependent and independent variables|nezavisna promenljiva]], i -{''y'' = ''f''(''x'')}- nepoznata funkcija od ''x''. [[notation for differentiation|Notacija za diferencijaciju]] varira u zavisnosti od autora i od toga koja je notacija najkorisnija za dati zadatak. U tom kontekstu, [[notation for differentiation#Leibniz's notation|Lajbnicova notacija]] (-{''dy''/''dx'',''d''<sup>2</sup>''y''/''dx''<sup>2</sup>,...,''d''<sup>''n''</sup>''y''/''dx''<sup>''n''</sup>}-) je korisnija za diferencijaciju i [[Integration (mathematics)|integraciju]], dok je [[notation for differentiation#Lagrange's notation|Lagranžova notacija]] (-{''y&prime;'',''y&prime;&prime;'', ..., ''y''<sup>(''n'')</sup>}-) podesnija za kompaktno predstavljanje derivata bilo kog reda, a [[notation for differentiation#Newton's notation|Njutnova notacija]] <math>(\dot y, \ddot y, \overset{...}{y})</math> se često koristi u fizici za predstavljanje derivata niskog reda s obzirom na vreme.

=== Opšta definicija ===
Za dato -{''F''}-, funkciju od ''x'', ''y'', i derivate od ''y'', jednačina oblika

:<math>F\left (x,y,y',\ldots, y^{(n-1)} \right )=y^{(n)}</math>

se naziva [[Implicit and explicit functions|eksplicitnom]] ''običnom diferencijalnom jednačinom'' ''reda'' -{''n''}-.<ref name="Harper 1976 127">{{harvtxt|Harper|1976|p=127}}</ref><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=2}}</ref>

Generalnije, ''[[Implicit and explicit functions|implicitna]]'' obična diferencijalna jednačina reda -{''n''}- poprima formu:<ref>{{harvtxt|Simmons|1972|p=3}}</ref>

:<math>F\left(x, y, y', y'',\ \ldots,\ y^{(n)}\right) = 0</math>

Postoje dalje klasifikacije:
{{glossary}}
{{term|[[Autonomous system (mathematics)|Autonomna]]}}{{defn|Diferencijalna jednačina koja ne zavisi od ''x'' se naziva ''[[Autonomous system (mathematics)|autonomnom]]''.}}
{{term|[[Linear differential equation|Linearna]]}}{{defn|
Za diferencijalnu jednačinu se kaže da je ''linearna'', ako se -{''F''}- može napisati kao [[linear combination|linearna kombinacija]] derivata od ''y'':
:<math>y^{(n)} = \sum_{i=0}^{n - 1} a_i(x) y^{(i)} + r(x)</math>

gde su -{''a''<sub>''i''</sub>(''x'')}- i -{''r''(''x'')}- neprekidne funkcije u ''x''.<ref name="Harper 1976 127"/><ref name="Kreyszig 1972 24">{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=24}}</ref><ref>{{harvtxt|Simmons|1972|p=47}}</ref>

Funkcija -{''r''(''x'')}- se naziva ''izvornim članom'', što dovodi do dve dalje važne klasifikacije:<ref name="Kreyszig 1972 24"/><ref>{{harvtxt|Harper|1976|p=128}}</ref>}}
{{glossary}}
{{term|[[Homogeneous differential equation|Homogenena]]}}{{defn|Akoj je -{''r''(''x'')}- {{=}} 0, konsekventno jedno „automatcko” rešenje je [[trivial solution|trivijalno rešenje]], ''y'' {{=}} 0. Rešenje linearne homogene jednačine je '''komplementarna funkcija''', koja je ovde označena sa ''y<sub>c</sub>''.
{{term|Nehomogena (ili inhomogenena)}}{{defn|Ako je -{''r''}-(''x'') ≠ 0. Dodatno rešenje komplementarne funkcije je '''partikularni integral''', koji je ovde označen sa -{''y<sub>p</sub>''}-.}}
{{glossary end}}
Opšte rešenje linearne jednačine se može napisati kao -{''y'' {{=}} ''y<sub>c</sub>'' + ''y<sub>p</sub>''}-.
}}
{{term|[[Non-linear differential equation|Nelinearna]]}}{{defn|Diferencijalna jednačina koja se ne može napisati u vidu linearne kombinacije.}}
{{glossary end}}

=== Sistem običnih diferencijalnih jednačina ===

Više spregnutih diferencijalnih jednačina formira sistem jednačina. Ako je '''y''' vektor čiji su elementi funkcije; '''y'''(''x'') = [''y''<sub>1</sub>(''x''), ''y''<sub>2</sub>(''x''),..., ''y<sub>m</sub>''(''x'')], i -{'''F'''}- je [[vector-valued function|vektorska funkcija]] od '''y''' i njenih derivata, onda je

:<math>\mathbf{y}^{(n)} = \mathbf{F}\left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right)</math>

''eksplicitni sistem običnih diferencijalnih jednačina'' ''reda'' -{''n''}- i ''dimenzije'' -{''m''}-. U obliku [[Row and column vectors|kolonog vektora]]:

:<math>\begin{pmatrix}
y_1^{(n)} \\
y_2^{(n)} \\
\vdots \\
y_m^{(n)}
\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}
f_1 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\
f_2 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\
\vdots \\
f_m \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right)
\end{pmatrix}</math>

One nisu nužno linearne. ''Implicitni'' analog je:

:<math>\mathbf{F} \left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)} \right) = \boldsymbol{0}</math>

gde je '''0''' = (0, 0, ..., 0) [[zero vector|nulti vektor]]. U matričnom obliku

:<math>\begin{pmatrix}
f_1(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \\
f_2(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \\
\vdots \\
f_m(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)})
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}</math>

Za sistem oblika <math>\mathbf{F} \left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}'\right) = \boldsymbol{0}</math>, neki izvori takođe zahtevaju da [[Jakobijan]] <math>\frac{\partial\mathbf{F}(x,\mathbf{u},\mathbf{v})}{\partial \mathbf{v}}</math> bude [[Инвертибилна матрица|invertabilan]] da bi se sistem smatrao implicitnim ODE sistemom. Takav sistem koji zadovoljava uslov odsustva singularnosti Jakobijana se može transformisati u eksplicitni ODE sistem. U nekim izvorima, implicitni ODE sistemi sa singularnim Jakobijanom se nazivaju [[Differential-algebraic system of equations|diferencijalnim algebrskim jednačinama]] (DAE). Ova razlika nije samo terminološka. DAE imaju suštinski različite karakteristike i uglavnom su više uključeni u rešavanje od (nesingularnih) ODE sistema.<ref name="AscherPetzold1998">{{cite book|author1=Uri M. Ascher|author2=Linda R. Petzold|title=Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations|year=1998|publisher=SIAM|isbn=978-1-61197-139-2|page=12}}</ref><ref name="IlchmannReis2014">{{cite book|author1=Achim Ilchmann|author2=Timo Reis|title=Surveys in Differential-Algebraic Equations II|year=2014|publisher=Springer|isbn=978-3-319-11050-9|pages=104–105}}</ref> Radi dodatnih derivata, pretpostavlja se da [[Hessian matrix|Hesijanska matrica]] i tako dalje nisu singularne prema ovoj šemi, mada treba imati u vidu da bilo koja ODE reda većeg od jedan može da bude [i obično se] izražava kao sistem ODE prvog reda,<ref name="AscherPetzold1998b">{{cite book|author1=Uri M. Ascher|author2=Linda R. Petzold|title=Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations|year=1998|publisher=SIAM|isbn=978-1-61197-139-2|page=5}}</ref> što čini Jakobijev kriterijum singularnosti dovoljnim da ova taksonomija bude sveobuhvatna u svim redovima.

Ponašanje ODE sistema može se vizualizovati korišćenjem [[Phase portrait|faznog portreta]].

=== Rešenja ===

Za datu diferencijalnu jednačinu
:<math>F\left(x, y, y', \ldots, y^{(n)} \right) = 0</math>
funkcija {{nowrap|''u'': ''I'' ⊂ '''R''' → '''R'''}} se naziva ''rešenjem'' ili [[integral curve|integralnom krivom]] za -{''F''}-, ako je -{''u''}- -{''n''}--puta diferencijabilno na ''I'', i
:<math>F(x,u,u',\ \ldots,\ u^{(n)})=0 \quad x \in I.</math>

Unitar dva rešenja {{nowrap|-{''u'': ''J'' ⊂ '''R''' → '''R'''}-}} i {{nowrap|-{''v'': ''I'' ⊂ '''R''' → '''R'''}-}}, -{''u''}- se naziva ''ekstenzijom'' od -{''v''}- ako je {{nowrap|-{''I'' ⊂ ''J''}-}} i
:<math>u(x) = v(x) \quad x \in I.\,</math>
Rešenje koje nema ekstenziju se naziva ''maksimalno rešenje''. Rešenje definisano na celokupnom -{'''R'''}- se naziva ''globalno rešenje''.

''Opšte rešenje'' jedne jednačine -{''n''}--tog reda je rešenje koje sadrži -{''n''}- proizvoljnih nezavisnih [[constant of integration|konstanti integracije]].  ''Partikularno rešenje'' se izvodi iz opšteg rešenja usvajanjem partikularnih vrednosti konstanti, koje se obično biraju da zadovolje skup [[initial value problem|inicijalnih]] ili [[boundary value problem|graničnih uslova]].<ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=78}}</ref> [[singular solution|Singularno rešenje]] je rešenje koje se ne može dobiti dodeljivanjem konačnih vrednosti proizvoljnim konstantama u opštem rešenju.<ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=4}}</ref>

== Reference ==
{{reflist|}}

== Literatura ==
{{Литература|30em}}
* {{citation | first1 = David | last1 = Halliday | first2 = Robert | last2 = Resnick | year = 1977 | isbn = 0-471-71716-9 | title = Physics | edition = 3rd | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York }}
* {{citation | first1 = Charlie | last1 = Harper | year = 1976 | isbn = 0-13-487538-9 | title = Introduction to Mathematical Physics | publisher = [[Prentice-Hall]] | location = New Jersey }}
* {{citation | first1 = Erwin | last1 = Kreyszig | authorlink = Erwin Kreyszig | year = 1972 | isbn = 0-471-50728-8 | title = Advanced Engineering Mathematics | edition = 3rd | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York }}.
* Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, ''Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)", Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. {{isbn|1-58488-297-2}}
* {{citation | first1 = George F. | last1 = Simmons | authorlink = George F. Simmons | year = 1972 | title = Differential Equations with Applications and Historical Notes | publisher = [[McGraw-Hill]] | location = New York | lccn = 75173716 }}
* {{citation | first1 = Paul A. | last1 = Tipler | year = 1991 | isbn = 0-87901-432-6 | title = Physics for Scientists and Engineers: Extended version | edition = 3rd | publisher = [[Worth Publishers]] | location = New York }}
* {{citation | first1 = Ugo | last1 = Boscain | first2 = Yacine | last2 = Chitour | year = 2011 | title = Introduction à l'automatique | url = http://www.cmapx.polytechnique.fr/~boscain/poly2011.pdf | language = french}}
* {{citation | first1 = Lawrence | last1 = Dresner | year = 1999 | title = Applications of Lie's Theory of Ordinary and Partial Differential Equations | isbn = 978-0750305303 | publisher = [[Institute of Physics Publishing]] | location = Bristol and Philadelphia }}
* {{cite book | last1=Coddington | first1=Earl A. | last2=Levinson | first2=Norman | title=Theory of Ordinary Differential Equations | url=https://archive.org/details/theoryofordinary00codd | publisher=[[McGraw-Hill]] | location=New York | year=1955}}
* {{Citation | last1=Hartman | first1=Philip |authorlink=Philip Hartman |title=Ordinary differential equations | origyear=1964 | url=https://books.google.com/books?id=CENAPMUEpfoC | publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]] | location=Philadelphia | series=Classics in Applied Mathematics | isbn=978-0-89871-510-1 |mr=1929104 | year=2002 | volume=38 | doi=10.1137/1.9780898719222}}
* W. Johnson, [http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=abv5010.0001.001 ''A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations''], John Wiley and Sons, 1913, in [http://hti.umich.edu/u/umhistmath/ University of Michigan Historical Math Collection]
* {{Citation | last1=Ince | first1=Edward L. |authorlink=Edward Lindsay Ince | title=Ordinary Differential Equations | origyear=1926 | url=https://archive.org/details/ordinarydifferen029666mbp | publisher=Dover Publications, New York | isbn=978-0-486-60349-0 | mr=0010757  | year=1944}}
* [[Witold Hurewicz]], ''Lectures on Ordinary Differential Equations'', Dover Publications, {{isbn|0-486-49510-8}}
*{{Cite book |first=Nail H |last=Ibragimov |title=CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3 |publisher=CRC-Press |location=Providence |year=1993 |isbn=0-8493-4488-3 |postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}} }}.
* {{cite book| last = Teschl| given = Gerald|authorlink=Gerald Teschl| title = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems| publisher=[[American Mathematical Society]]| place = [[Providence, Rhode Island|Providence]]| year = 2012| isbn= 978-0-8218-8328-0| url = http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/}}
* [[Andrei Polyanin|A. D. Polyanin]], V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations'', Taylor & Francis, London, 2002. {{isbn|0-415-27267-X}}
* D. Zwillinger, ''Handbook of Differential Equations (3rd edition)'', Academic Press, Boston, 1997.
{{Литература крај}}

== Spoljašnje veze ==
{{Commonscat-lat|Ordinary differential equations}}
* {{springer|title=Differential equation, ordinary|id=p/d031910}}
* {{dmoz|Science/Math/Differential_Equations/|Differential Equations}} (includes a list of software for solving differential equations).
* -{[http://eqworld.ipmnet.ru/index.htm EqWorld: The World of Mathematical Equations], containing a list of ordinary differential equations with their solutions.}-
* -{[http://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/de.aspx Online Notes / Differential Equations] by Paul Dawkins, [[Lamar University]].}-
* -{[http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Differential Equations], S.O.S. Mathematics.}-
* -{[http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/gen/08ode/mws_gen_ode_bck_primer.pdf A primer on analytical solution of differential equations] from the Holistic Numerical Methods Institute, University of South Florida.}-
* -{[http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems] lecture notes by [[Gerald Teschl]].}-
* -{[http://www.jirka.org/diffyqs/ Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers] An introductory textbook on differential equations by Jiri Lebl of [[UIUC]].}-
* -{[http://www.openeering.com/sites/default/files/LHY_Scilab_Tutorial_Part1.pdf Modeling with ODEs using Scilab] A tutorial on how to model a physical system described by ODE using Scilab standard programming language by Openeering team.}-
* -{[http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27+%2B+2xy+%3D+0 Solving an ordinary differential equation in Wolfram|Alpha]}-

{{L|Математичка анализа}}
{{Authority control-lat}}

[[Категорија:Диференцијални рачун]]
[[Категорија:Обичне диференцијалне једначине| ]]
[[Категорија:Математичка анализа]]