Изворни код странице Dirakova delta funkcija

[[Датотека:Dirac distribution PDF.svg|325px|thumb|Šematski prikaz Direkove delta funkcije linijom na čijem vrhu je strelica. Visina strelice se obično koristi za specificiranje vrednosti multiplikativne konstante, koja daje površinu ispod oblasti ispod funkcije. Druga vrsta zapisivanja je da se napiše površina pored strelice.]]
[[Датотека:Dirac function approximation.gif|thumb|Dirakova delta funkcija je granična vrednost svih [[normalna raspodela|normalnih raspodela]] sa maksimumom u nuli. <math>\delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{\frac{-x^2}{a^2}}</math> kada ''a'' → 0]]
'''Dirakova (delta) funkcija''' ili δ funkcija se opisuje kao funkcija u realnoj ravni, čija je vrednost u svim tačkama 0, osim u tački 0 kada iznosi beskonačno mnogo, definisana tako da je njen integral po celoj oblasti definsanosti 1.

''δ funkciju'' je formulisao teoretski fizičar [[Pol Dirak]]. Diskretna analogija Dirakove funkcije je [[Kroneker delta funkcija]], koja je obično definisana u konačnom domenu i uzima vrednosti između 0 i 1.

Iako gledano iz čisto matematičke strane, Dirakova delta funkcija nije striktna funkcija, odnosno nije funkcija u pravom smislu tih reči. Integral bilo koje realne funkcije koja doseže do beskonačnosti i ima vrednost u svim tačkama 0, a samo u jednoj tački vrednost 1 imao bi vrednost 0, a ne 1 što je slučaj sa δ funkcijom. Dirakova delta funkcija ima smisao jedino kada se pojavljuje kao matematički objekat unutar integrala. Formalno se mora definisati kao [[distribucija]] ili [[mera]]. U mnogim primenama, δ funkcija predstavlja graničnu vrednost niza funkcija [[normalna distribucija|normalnih distribucija]] sa tačkom nagomilavanja u nuli, iako su približne vrednosti ovih raspodela samo približna vrednost δ funkcije.

== Definicija ==

''Dirakova delta funkcija'' je najpribližnije rečeno funkcija na realnoj pravoj čija je vrednost svugde nula, osim u koordinatnom početku. gde je njena vrednost beskonačna,

:<math>\delta(x) = \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}</math>

i defisana da zadovoljava identitet da je njen integral u intervalu od <math>-\infty</math> do <math>+\infty</math> jednak 1,

:<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1.</math>

δ funkcija se formalno definiše kao [[distribucija]] ili [[mera]].

== Sličnost sa Kronekerovom delta funkcijom ==

[[Kroneker delta funkcija|Kronekerova delta funkcija]] se za cele brojeve ''i'' i ''j'' definiše kao:

:<math>\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i=j\\ 0 &i\not=j. \end{cases} </math>

Tada za sve nizove <math>(a_i)_{i \in \mathbf{Z}}</math> koji su beskonačni u oba pravca (dosežu i do <math>+\infty</math> i do <math>-\infty</math>), važi:

:<math>\sum_{i=-\infty}^\infty a_i \delta_{ik}=a_k.</math>

Slično, za bilo koju realnu ili kompleksnu funkciju ƒ neprekidnu u '''R''', Dirakova delta funkcija zadovoljava osobinu:

:<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0).</math>

Povezanost osobina ovih dveju funkcija čini Kronekerovu delta funkciju diskretnom analogijom Dirakove delta funkcije na skupu <math>[0, 1]</math>.

== Primena ==

δ funkcija u fizici predstavlja idealizovani [[centar mase]]. Dirakova delta distribucija se koristi u [[teorija verovatnoće|teoriji verovatnoće]] za [[diskretna raspodela|diskretnu raspodelu]]. Diskretizovana δ funkcija je ključna za formulisanje [[ortonormalnost]]i u [[kvantna mehanika|kvantnoj mehanici]]. Koristi se i u [[teorija konstrukcija|teoriji konstrukcija]] za opisivanje prolaznog opterećenja ili tačke opterećenja u strukturama.

== Vidi još ==
* [[Kroneker delta funkcija]]
* [[Kvantna mehanika]]
* [[Фуријеова трансформација|Furijeove transformacije]]

== Literatura ==
{{Литература|2}}
* {{Cite book |ref= harv|last1=Aratyn |first1=Henrik |last2=Rasinariu |first2 =Constantin| title=A short course in mathematical methods with Maple|url=http://books.google.com/?id=JFmUQGd1I3IC&pg=PA314 |isbn=981-256-461-6 |publisher=World Scientific |year=2006 }}.
* {{Cite book |ref= harv|last1=Arfken | first1=G. B. | last2=Weber | first2=H. J. | title=Mathematical Methods for Physicists | publisher=Academic Press | location=Boston, MA | edition=5th | isbn=978-0-12-059825-0 | year=2000}}.
* {{citation | author=Bracewell, R.| title=The Fourier Transform and Its Applications| edition=2nd | publisher=McGraw-Hill | year=1986}}.
* {{citation|title=La formule sommatoire de Poisson|first=A.|last=Córdoba|journal=C.R. Acad. Sci. Paris, Series I|volume=306|pages=373–376}}.
* {{citation|first1=Richard|last1=Courant |first2=David|last2=Hilbert |title=Methods of Mathematical Physics, Volume II|publisher=Wiley-Interscience|year=1962}}.
* {{Cite book |ref= harv|last1=Davis|first1=Howard Ted |last2=Thomson |first2=Kendall T |title=Linear algebra and linear operators in engineering with applications in Mathematica |url=http://books.google.com/?id=3OqoMFHLhG0C&pg=PA344#v=onepage&q |year=2000|isbn=0-12-206349-X |publisher=Academic Press}}
* {{Cite book |ref= harv|last1=Dieudonné | first1=Jean | title=Treatise on analysis. Vol. II | publisher=Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers] | location=New York | isbn=978-0-12-215502-4 | mr=0530406 | year=1976}}.
* {{Citation | last1=Dieudonné | first1=Jean | title=Treatise on analysis. Vol. III | publisher=Academic Press | location=Boston, MA | mr=0350769 | year=1972}}
* {{Cite book |ref= harv|last=Dirac|first=Paul |year=1958|title=Principles of quantum mechanics|url= https://archive.org/details/principlesofquan0000dira|edition=4th|publisher=Oxford at the Clarendon Press|isbn=978-0-19-852011-5}}.
* {{Cite book |ref= harv|title=Encyclopedia of Optical Engineering|first=Ronald G.|last=Driggers|year=2003|publisher=CRC Press|isbn=978-0-8247-0940-2}}.
* {{Cite book |ref= harv|last = Federer | first = Herbert |title = Geometric measure theory| publisher = Springer-Verlag | location = New York | year = 1969 | pages = xiv+676 | isbn=978-3-540-60656-7 | mr= 0257325 | series = Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften| volume = 153 }}.
* {{citation|first1=I.M.|last1=Gel'fand| first2=G.E.|last2=Shilov|title=Generalized functions|volume=1–5|publisher=Academic Press|year=1966–1968}}.
* {{Cite book |ref= harv|last=Hartman |first=William M. |title=Signals, sound, and sensation |publisher=Springer |year=1997 |isbn=978-1-56396-283-7 |url=https://archive.org/details/signalssoundsens0000hart}}.
* {{citation|last1=Hewitt|first1=E|last2=Stromberg|first2=K|title=Real and abstract analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1963}}.
* {{Cite book |ref= harv|mr=0717035|first=L.|last= Hörmander |title=The analysis of linear partial differential operators I|series= Grundl. Math. Wissenschaft. |volume= 256 |publisher= Springer  |year=1983|isbn=3-540-12104-8 }}.
* {{Cite book |ref= harv|first=C. J.|last=Isham|title=Lectures on quantum theory: mathematical and structural foundations|year=1995|publisher=Imperial College Press|isbn=978-81-7764-190-5}}.
* {{Citation | last1=John | first1=Fritz | title=Plane waves and spherical means applied to partial differential equations | publisher=Interscience Publishers, New York-London | mr=0075429 | year=1955}}.
* {{Cite book |ref= harv|last1=Lang | first1=Serge | title=Undergraduate analysis | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Undergraduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94841-6 | mr=1476913 | year=1997}}.
* {{citation|doi=10.1007/BF00329867 |last=Laugwitz|first=D.|year=1989|title=Definite values of infinite sums: aspects of the foundations of infinitesimal analysis around 1820|journal=Arch. Hist. Exact Sci.|volume=39|issue=3|pages=195-245}}.
* {{Cite book |ref= harv|title=An introduction to quantum theory |last=Levin |first=Frank S.  |year=2002 |url=http://books.google.com/?id=oc64f4EspFgC&pg=PA109 |pages=109''ff'' |chapter=Coordinate-space wave functions and completeness |isbn=0-521-59841-9 |publisher=Cambridge University Press}}
* {{citation|last1=Li|first1=Y. T.|last2=Wong|first2=R.|mr=2373214|title=Integral and series representations of the Dirac delta function|journal=Commun. Pure Appl. Anal.|volume=7|year=2008|issue=2|doi=10.3934/cpaa.2008.7.229|pages=229–247}}.
* {{citation|doi=10.1002/1521-3978(200203)50:2<185::AID-PROP185>3.0.CO;2-S|first1=R.|last1=de la Madrid|first2=A.|last2=Bohm|first3=M.|last3=Gadella|title=Rigged Hilbert Space Treatment of Continuous Spectrum|arxiv=quant-ph/0109154|journal=Fortschr. Phys.|volume=50|year=2002|pages=185-216|issue=2|bibcode = 2002ForPh..50..185D }}.
* {{Cite book|ref=harv|last=McMahon|first=D.|title=Quantum Mechanics Demystified, A Self-Teaching Guide|url=http://www.mhprofessional.com/product.php?isbn=0071455469&cat=&promocode=|accessdate=17. 3. 2008.|series=Demystified Series|year=2005|publisher=McGraw-Hill|location=New York|isbn=0-07-145546-9|doi=10.1036/0071455469|pages=108|chapter=An Introduction to State Space|archive-date=26. 03. 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20160326104010/http://www.mhprofessional.com/product.php?cat=&isbn=0071455469&promocode=|url-status=dead}}.
* {{Cite book |ref= harv|last1=van der Pol | first1=Balth. | last2=Bremmer | first2=H. | title=Operational calculus | publisher=Chelsea Publishing Co. | location=New York | edition=3rd | isbn=978-0-8284-0327-6 | mr=904873 | year=1987}}.
* {{Cite book |ref= harv|first=W.|last=Rudin |title=Functional Analysis|url= https://archive.org/details/functionalanalys0000rudi|edition=2nd|publisher=McGraw-Hill|year=1991|isbn=0-07-054236-8}}.
* {{citation|first2=Olivier|last2=Vallée|first1=Manuel|last1=Soares|year=2004|title=Airy functions and applications to physics|publisher=Imperial College Press|publication-place=London}}.
* {{Cite book |ref= harv|last1=Saichev |first1=A I |last2=Woyczyński |first2=Wojbor Andrzej |title=Distributions in the Physical and Engineering Sciences: Distributional and fractal calculus, integral transforms, and wavelets |year=1997 |isbn=0-8176-3924-1 |publisher=Birkhäuser |url=http://books.google.com/?id=42I7huO-hiYC&pg=PA3|chapter=Chapter1: Basic definitions and operations }}
* {{citation|first=L.|last=Schwartz |title=Théorie des distributions|volume=1|publisher=Hermann|year=1950}}.
* {{citation|first=L.|last=Schwartz| title=Théorie des distributions|volume=2|publisher=Hermann|year=1951}}.
* {{Cite book |ref= harv|first1=Elias|last1=Stein |first2=Guido|last2=Weiss|title=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces|url= https://archive.org/details/introductiontofo0000stei|publisher=Princeton University Press|year=1971|isbn=0-691-08078-X}}.
* {{Cite book |ref= harv|first=R.|last=Strichartz|year=1994|title=A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms|publisher=CRC Press|isbn=0-8493-8273-4}}.
* {{Cite book |ref= harv|first=V. S.|last=Vladimirov|title=Equations of mathematical physics|publisher=Marcel Dekker|year=1971|isbn=0-8247-1713-9}}.
* {{citation|last=Yamashita |first=H. |year=2006 |title= Pointwise analysis of scalar fields: A nonstandard approach |volume=47 |issue =9 |pages=092301|journal=Journal of Mathematical Physics |doi=10.1063/1.2339017|bibcode = 2006JMP....47i2301Y }}
* {{citation|last=Yamashita |first=H. |year=2007 |title= Comment on "Pointwise analysis of scalar fields: A nonstandard approach" [J. Math. Phys. 47, 092301 (2006)] |volume=48 |issue =8 |pages=084101 |journal=Journal of Mathematical Physics |doi=10.1063/1.2771422|bibcode = 2007JMP....48h4101Y }}
{{Литература крај}}
== Spoljašnje veze ==
* {{springer|title=Delta-function|id=p/d030950}}
* [http://www.khanacademy.org/video/dirac-delta-function -{KhanAcademy.org video lesson}-]
* [http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=73447 -{The Dirac Delta function], a tutorial on the Dirac delta function.}-

{{normativna kontrola}}

[[Категорија:Фуријеова анализа]]
[[Категорија:Генерализоване функције]]
[[Категорија:Теорија мере]]
[[Категорија:Дигитална обрада сигнала]]