Изворни код странице 142857

{{Природни број
| број = 142857
| српски = сто четрдесет и две хиљаде<br />осамсто педесет и седам
| редни = сто четдесет две хиљаде<br />осамсто педесет седми
| делиоци = 1,3,9,11,13,27,33,37,39,99,...
| фактор = 3<sup>3</sup> x 11 x 13 x 37
| римски = {{overline|CXL}}MMDCCCLVII
| бин = 100010111000001001
| окт = 427011
| дуо = 
| хекс = 22E09
| уни = 
|фи = 34560
| тау = 32
| сигма = 253917
|пи = 13252
| мебијус = 0
| мертенс = 
}}
'''142.857''' су шест понављајућих децималних цифара броја '''1/7''', '''0,<span style="text-decoration: overline;">142857</span>''', које такође чине и најпознатији [[циклични број]] у бројевној основи 10.<ref>[http://www.daviddarling.info/encyclopedia/C/cyclic_number.html Циклични број] {{Wayback|url=http://www.daviddarling.info/encyclopedia/C/cyclic_number.html |date=20070929122525 }}, ''Интернет енциклопедија науке''</ref><ref>-{Michael W. Ecker, [http://links.jstor.org/sici?sici=0049-4925(198303)14%3A2%3C105%3ATALOCN%3E2.0.CO%3B2-Y "The Alluring Lore of Cyclic Numbers"}-], -{''The Two-Year College Mathematics Journal'', Vol.14, No.2 (March 1983), pp. 105-109}-</ref><ref>[http://planetmath.org/encyclopedia/CyclicNumber.html Циклични број] {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/CyclicNumber.html |date=20070714114415 }}, -{PlanetMath}-</ref><ref>-{Kathryn Hogan, [https://archive.today/20130112151439/findarticles.com/p/articles/mi_hb4870/is_200508/ai_n17913296 "Go figure (cyclic numbers)"]}-, -{''Australian Doctor'', August 2005}-</ref> Овај број, помножен бројевима 2, 3, 4, 5, или 6, даје [[циклична пермутација|цикличну пермутацију]] самог себе.

== Рачун ==
: 1 × 142.857 = 142.857
: 2 × 142.857 = 285.714
: 3 × 142.857 = 428.571
: 4 × 142.857 = 571.428
: 5 × 142.857 = 714.285
: 6 × 142.857 = 857.142
: 7 × 142.857 = 999.999

Ако је помножен целим бројем већим од 7, постоји једноставан поступак да се опет добије циклична пермутација броја 142857. Додавањем првих шест цифара преосталим цифрама и понављањем поступка док не остане само шест цифара, добија се циклична пермутација броја 142857

: 142857 × 8 = 1142856
: 1 + 142856 = 142857

: 142857 × 815 = 116428455
: 116 + 428455 = 428571

Множење умношком броја 7 ће резултовати бројем 999999 након истог процеса

: 142857 × 7<sup>4</sup> = 342999657
: 342 + 999657 = 999999

Квадрат прве три цифре одузет од квадрата последње три цифре такође даје цикличну пермутацију овог броја.

: 857<sup>2</sup> = 734449

: 142<sup>2</sup> = 20164

: 734449 - 20164 = 714285

Цифре 142857 су понављајућа ниска у децималном развоју [[рационалан број|рационалног броја]] 1/7 = 0 , 142857 142857 14...
Стога се умношци броја 1/7 једноставно добијају поновљеним копијама одговарајућих умножака броја 142857:
: 1 ÷ 7 = 0 , 142857 142857 142857 14...
: 2 ÷ 7 = 0 , 285714 285714 285714 28...
: 3 ÷ 7 = 0 , 428571 428571 428571 42...
: 4 ÷ 7 = 0 , 571428 571428 571428 57...
: 5 ÷ 7 = 0 , 714285 714285 714285 71...
: 6 ÷ 7 = 0 , 857142 857142 857142 85...
: 7 ÷ 7 = 0 , 999999 999999 999999 99...
: 8 ÷ 7 = 1 , 142857 142857 142857 14...
: 9 ÷ 7 = 1 , 285714 285714 285714 28...

: 22 ÷ 7 = 3 , 142857 142857..., је стара апроксимација броја [[Пи]].

: <math>\frac{1}{7} = \sum_{n=0}^\infty 3^{n} * 10^{-(n+1)}</math>

Једноставно комбиновање цифара на различите начине и дељење бројем 7 или умношком броја 7 даје

: 142 + 857 = 999
: 999 ÷ 7 = 142,7 142857 142857 142857 14...

: 14 + 28 + 57 = 99
: 99 ÷ 7 = 14, 142857 142857 142857...

: 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27
: 27 ÷ 7 = 3.857 142857 142857 142857...

: 857 - 142 = 715
: 715 ÷ 7 = 102, 142857 142857 142857...

: 1 × 4 × 2 × 8 × 5 × 7 = 2240
: 2240 ÷ 49 = 45,7 142857 142857 142857...

: 1 + 42 + 857 = 900
: 900 ÷ 7 = 128,57 142857 142857 142857...

: 1 × 4 ÷ 2 × 8 ÷ 5 × 7 = 22,4
: 22,4 ÷ 49 = 0,457 142857 142857 142857...
У основи 10, 142.857 је [[Харшадов број]] и [[Капрекаров број]].

== <span title="22/7 as π"><math>\frac{22}{7} </math> као <math> \pi \,\!</math> ==
Ова античка апроксимација броја <math>\pi \,\!</math> се доводи у везу са јеврејским мистицизмом. У одређеним кабалистичким круговима, као што су ''медиогегнијанци'' је познато да двадесет и два слова хебрејског писма представљају комплетан обим који кад се подели бројем седам (свети број циклуса) даје кабалистички <math>\pi \,\!</math>, такође познат у овим круговима као ''савршени'' <math>\pi \,\!</math>.
<center><math>\frac{22}{7}=3.142857 142857 142857...</math></center><center><math>\pi=3,141592 653589 793238... \,\!</math></center>

Разлика између ова два броја је
<center><math>\frac{22}{7} -\pi = \int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx</math></center>

== Референце ==
{{reflist}}

== Литература ==
{{Литература}}
* {{cite book|author=Leslie, John|title=The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of ....|url=https://archive.org/details/philosophyarith00leslgoog|publisher= Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown|year=1820|isbn=978-1-4020-1546-5|pages=}}
* -{Wells, D. ''The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers'' Revised Edition. London: Penguin Group. (1997): 171 - 175}-
{{Литература крај}}

== Види још ==
* [[Цикличан број]]

== Спољашње везе ==
* [https://web.archive.org/web/20070821203332/http://www.142857.com/ Сајт броја 142857]

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Цели бројеви]]