Изворни код странице Цео број

{{друга употреба|Број (вишезначна одредница)}}
{{Sidebox |style=width:20.0em |text={{center|[[File:Latex integers.svg|100px|''Цалин'' симбол, који се често користи за означавање сета целих бројева]]}} |below=''[[wikt:Zahlen|Цалин]]'' симбол, који се често користи за означавање сета целих бројева (погледајте [[List of mathematical symbols|списак математичких симбола]])}}

'''Цели бројеви''', поједностављено говорећи, су сви „округли“ [[број]]еви, тј. без децимала, укључујући нулу, позитивне и негативне бројеве.<ref>{{cite book |first=Nick |last=Evans |contribution=A-Quantifiers and Scope |editor-first=Emmon W. |editor-last=Bach |title=Quantification in Natural Languages |isbn=978-0-7923-3352-4 |year=1995 |pages=262 |url=https://books.google.com/books?id=NlQL97qBSZkC |location=Dordrecht, The Netherlands; Boston, MA |publisher=Kluwer Academic Publishers}}</ref> То су дакле бројеви 0, 1, 2, 3, ..., 100, 101, итд, али и бројеви -1, -2, -3, ..., -100, -101, итд.<ref>{{cite web|url=http://jeff560.tripod.com/nth.html|title=Earliest Uses of Symbols of Number Theory|last=Miller|first=Jeff|date=2010-08-29|accessdate=2010-09-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20100131022510/http://jeff560.tripod.com/nth.html|archive-date=31. 01. 2010|url-status=dead}}</ref><ref name="Cameron1998"/>

Скуп свих целих бројева се у [[математика|математици]] означава великим [[латиница|латиничним]] словом <math>\mathbb{Z}</math>, и спада у [[пребројив скуп|пребројиве скупове]].<ref name="edexcelc1">Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008</ref><ref name="#1">LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.</ref><ref>{{MathWorld|title=Z^*|id=Z^*}}</ref> [[Скуп]] целих бројева састоји се од нуле ({{num|0}}), позитивних [[natural number|природних бројева]] ({{num|1}}, {{num|2}}, {{num|3}},&nbsp;...), који се називају и ''цели бројеви'' или ''редни бројање'', и њихових адитивних [[additive inverse|инверзних]] вредности (''негативни цели бројеви'', тј. [[−1]], −2, −3, ...).<ref name="MathWorld_CountingNumber">{{MathWorld|title=Counting Number|id=CountingNumber}}</ref><ref name="MathWorld_WholeNumber">{{MathWorld|title=Whole Number|id=WholeNumber}}</ref> Скуп целих бројева често се означава [[Emphasis (typography)|подебљаним]] словима, {{math|'''Z'''}} или <math>(\mathbb{Z})</math>, слова „-{Z}-”, што потиче од првобитне [[German language|немачке]] речи ''[[wikt:Zahlen|Zahlen]]'' („бројеви”).<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Integer|url=https://mathworld.wolfram.com/Integer.html|access-date=2020-08-11|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{cite web |url=http://jeff560.tripod.com/nth.html |title=Earliest Uses of Symbols of Number Theory |access-date=2010-09-20 |date=2010-08-29 |first=Jeff |last=Miller |archive-url=https://web.archive.org/web/20100131022510/http://jeff560.tripod.com/nth.html |archive-date=2010-01-31 |url-status=dead }}</ref><ref name="Cameron1998">{{cite book |author=Peter Jephson Cameron |title=Introduction to Algebra |url=https://books.google.com/books?id=syYYl-NVM5IC&pg=PA4 |year=1998 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-850195-4 |page=4 |access-date=2016-02-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161208142220/https://books.google.com/books?id=syYYl-NVM5IC&pg=PA4 |archive-date=2016-12-08 |url-status=live }}</ref>

== Симбол ==

Симбол <math>\mathbb{Z}</math> се може користити да означава различите скупове, са различитим употребама међу различитим ауторима: <math>\mathbb{Z}^+</math>,<math>\mathbb{Z}_+</math> или <math>\mathbb{Z}^{>}</math> за целе позитивне бројеве, <math>\mathbb{Z}^{0+}</math> или <math>\mathbb{Z}^{\geq}</math> за не-негативне целе бројеве и <math>\mathbb{Z}^{\neq}</math> за целе бројеве који нису нула. Неки аутори користе <math>\mathbb{Z}^{*}</math> за целе бројеве који нису нула, док га други користе за не-негативне целе бројеве или за {{math|{–1, 1}{{void}}}}. Поред тога, <math>\mathbb{Z}_{p}</math> се користи за означавање било [[Модуларна аритметика|целог броја по модулу {{math|''p''}}]] (тј., скупа [[congruence relation|класа подударности]] целих бројева), или скуп [[p-adic integer|{{math|''p''}}-адитивних]] целих бројева.<ref name="edexcelc1">Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008</ref><ref name="#1"/><ref>{{MathWorld |title=Z^* |id=Z^*}}</ref>

== Алгебарска својства ==
[[File:Number-line.svg|right|thumb|300px|Цели бројеви се могу сматрати дискретним, једнако размакнутим тачкама на бесконачно дугој [[Бројевна права|бројевној правој]]. У горе наведеном, [[Sign (mathematics)|негативни]] цели бројеви су приказани плавом бојом, а негативни црвени.]]

Као и [[Природан број|природни бројеви]], скуп <math>\mathbb{Z}</math> је [[Затвореност (математика)|затворен]] за [[binary operation|операције]] сабирања и [[multiplication|множења]]. То значи да је збир и производ било која два цела броја опет цео број. Међутим, за разлику од природних бројева, скуп целих бројева је затворен и за [[subtraction|одузимање]].<ref>{{Cite web|title=Integer {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/integer|access-date=2020-08-11|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> Ово не важи и за дељење, јер количник два цела броја не мора да буде цео број (на пример, 1 подељено са 2).

{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+Нека основна својства сабирања и множења било којих целих бројева, -{''a''}-, -{''b''}- и -{''c''}-.
!
!scope="col" |сабирање
!scope="col" |множење
|-
!scope="row" |[[Затвореност (математика)|Затвореност]]:
|{{math|''a'' + ''b''}}{{pad|1em}}је цео број 
|{{math|''a'' × ''b''}}{{pad|1em}}је цео број 
|-
!scope="row"|[[Асоцијативност]]:
|{{math|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}}
|{{math|''a'' × (''b'' × ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') × ''c''}}
|-
!scope="row" |[[Комутативност]]:
|{{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}}
|{{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}
|-
!scope="row" |Постојање [[Неутрал|елемента идентитета]]:
|{{math|''a'' + 0 {{=}} ''a''}}
|{{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}
|-
!scope="row" Постојање [[Инверз (математика)|инверзних елемената]]:
|{{math|''a'' + (−''a'') {{=}} 0}}
|Једини инвертабилни цели бројеви (који се називају [[Unit (ring theory)|јединице]]) су {{math|−1}} и&nbsp;{{math|1}}.
|-
!scope="row" |[[Дистрибутивност]]:
|colspan=2 align=center |{{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}{{pad|1em}}and{{pad|1em}}{{math|(''a'' + ''b'') × ''c'' {{=}} (''a'' × ''c'') + (''b'' × ''c'')}}
|-
!scope="row" |Нема [[zero divisor|нултог делитеља]]:
| || | Ако је {{math|''a'' × ''b'' {{=}} 0}}, онда {{math|''a'' {{=}} 0}} или {{math|''b'' {{=}} 0}} (или оба)
|}

Правила за сабирање целих бројева:
* Знак збира је исти као знак сабирка са већом апсолутном вредношћу.
* Апсолутна вредност збира једнака је:
** збиру апсолутних вредности сабирака, ако су знаци сабирака исти;
** разлици апсолутних вредности сабирака, ако су знаци сабирака различити.

== Теоретска својства реда ==
<math>\mathbb{Z}</math> је [[total order|потпуно уређен скуп]] без [[upper and lower bounds|горње или доње границе]]. Редослед <math>\mathbb{Z}</math> је дат са: {{math|... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...}} Цео број је ''позитиван'' ако је већи од [[0 (број)|нуле]], а ''негативан'' ако је мањи од нуле. Нула се дефинише као ни негативна, нити позитивна.

Поредак целих бројева компатибилан је са алгебарским операцијама на следећи начин:
# ако су {{math|''a'' < ''b''}} и {{math|''c'' < ''d''}}, онда је {{math|''a'' + ''c'' < ''b'' + ''d''}}
# ако је {{math|''a'' < ''b''}} и {{math|0 < ''c''}}, онда је {{math|''ac'' < ''bc''}}.

Стога следи да је <math>\mathbb{Z}</math> заједно са горенаведеним редоследом [[ordered ring|уређен прстен]].

Цели бројеви су једина нетривијална [[Total order|потпуно уређена]] [[abelian group|абеловска група]] чији су позитивни елементи [[Well-order|добро уређени]].<ref>{{cite book |title=Modern Algebra |series=Dover Books on Mathematics |first=Seth |last=Warner |publisher=Courier Corporation |year=2012 |isbn=978-0-486-13709-4 |at=Theorem 20.14, p.&nbsp;185 |url=https://books.google.com/books?id=TqHDAgAAQBAJ&pg=PA185 |access-date=2015-04-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150906083836/https://books.google.com/books?id=TqHDAgAAQBAJ&pg=PA185|archive-date=2015-09-06 |url-status=live}}.</ref> Ово је еквивалентно тврдњи да је било који [[Noetherian ring|Нотеров]] [[valuation ring|прстен вредновања]] [[Field (mathematics)|поље]] - или [[discrete valuation ring|дискретни прстен вредновања]].

== Конструкција ==
[[File:Relative numbers representation.svg|thumb|alt=Representation of equivalence classes for the numbers −5 to 5
|Црвене тачке представљају уређене парове [[natural number|природних бројева]]. Повезане црвене тачке су класе еквиваленције које представљају плаве целе бројеве на крају реда.|upright=1.5]]

У настави основних школа цели бројеви се често интуитивно дефинишу као (позитивни) природни бројеви, [[0 (број)|нула]] и негације природних бројева. Међутим, овај стил дефиниције доводи до много различитих случајева (сваку аритметичку операцију треба дефинисати на свакој комбинацији типова целих бројева) и тиме се отежава доказивање да се цели бројеви покоравају различитим законима аритметике.<ref>{{cite book |title=Number Systems and the Foundations of Analysis |series=Dover Books on Mathematics |first=Elliott |last=Mendelson |publisher=Courier Dover Publications |year=2008 |isbn=978-0-486-45792-5 |page=86 |url=https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC&pg=PA86 |access-date=2016-02-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161208233040/https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC&pg=PA86 |archive-date=2016-12-08|url-status=live}}.</ref> Због тога се у савременој теоретској математици скупова уместо тога често користи апстрактнија конструкција<ref>{{cite book|author=Ivorra Castillo|title=Álgebra |location= |publisher= |year= |isbn= }}</ref> која омогућава дефинисање аритметичких операција без разликовања засебних подсетова.<ref>{{cite book |title=Learning to Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School |series=The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series |first=Len |last=Frobisher |publisher=Nelson Thornes |year=1999 |isbn=978-0-7487-3515-0 |page=126 |url=https://books.google.com/books?id=KwJQIt4jQHUC&pg=PA126 |access-date=2016-02-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161208121843/https://books.google.com/books?id=KwJQIt4jQHUC&pg=PA126 |archive-date=2016-12-08 |url-status=live}}.</ref> Тако се цели бројеви могу формално конструисати као [[equivalence class|класе еквиваленције]] [[Уређени пар|уређених парова]] [[natural number|природних бројева]] {{math|(''a'',''b'')}}.<ref name="Campbell-1970-p83">{{cite book |author=Campbell, Howard E. |title=The structure of arithmetic |publisher=Appleton-Century-Crofts |year=1970 |isbn=978-0-390-16895-5 |page=[https://archive.org/details/structureofarith00camp/page/83 83] |url-access=registration |url=https://archive.org/details/structureofarith00camp/page/83 }}</ref>

Интуитивно разумевање је да {{math|(''a'',''b'')}} представља резултат одузимања {{math|''b''}} од {{math|''a''}}.<ref name="Campbell-1970-p83"/> Да би се потврдило очекивање да {{nowrap|1 − 2}} и {{nowrap|4 − 5}} означавају исти број, дефинише се [[Релација еквиваленције|однос еквиваленције]] {{math|~}} на овим паровима следећим правилом:
:<math>(a,b) \sim (c,d) </math>
тачно када
:<math>a + d = b + c. </math>

Сабирање и множење целих бројева може се дефинисати у смислу еквивалентних операција на природним бројевима;<ref name="Campbell-1970-p83"/> коришћењем {{math|[(''a'',''b'')]}} за означавање класе еквиваленције која има {{math|(''a'',''b'')}} као члан, добија се:
:<math>[(a,b)] + [(c,d)] := [(a+c,b+d)].</math>
:<math>[(a,b)]\cdot[(c,d)] := [(ac+bd,ad+bc)].</math>

Негација (или инверзни адитив) целог броја добија се обрнутим редоследом пара:
:<math>-[(a,b)] := [(b,a)].</math>

Отуда се одузимање може дефинисати као сабирање инверзије адитива:
:<math>[(a,b)] - [(c,d)] := [(a+d,b+c)].</math>

Стандардно уређивање целих бројева дато је са:
:<math>[(a,b)] < [(c,d)]</math> [[ако и само ако]] <math>a+d < b+c.</math>

Лако се може проверити да су ове дефиниције независне од избора представника класа еквиваленције.

Свака класа еквиваленције има јединствени члан који има облик {{math|(''n'',0)}} или {{math|(0,''n'')}} (или оба одједном). Природни број {{math|''n''}} је идентификован са класом {{math|[(''n'',0)]}} (i.e.. природни бројеви су [[embedding|део]] целих бројева папирањем {{math|''n''}} у {{math|[(''n'',0)]}}), и класа {{math|[(0,''n'')]}} је означена као {{math|−''n''}} (ово покрива све преостале класе и даје класу {{math|[(0,0)]}} други пут јер је {{math|−0 {{=}} 0.}}

Тако је, {{math|[(''a'',''b'')]}} означено са
:<math>\begin{cases} a - b, & \mbox{ако је  }  a \ge b  \\ -(b - a),  & \mbox{ако је  } a < b. \end{cases}</math>

Ако су природни бројеви идентификовани са одговарајућим целим бројевима (користећи горе наведена уграђивања), ова конвенција не ствара нејасноће.

Овај запис опоравља познати [[group representation|приказ]] целих бројева као {{math|{..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} }}.

Неки примери су:
:<math>\begin{align}
 0 &= [(0,0)] &= [(1,1)] &= \cdots & &= [(k,k)] \\
 1 &= [(1,0)] &= [(2,1)] &= \cdots & &= [(k+1,k)] \\
-1 &= [(0,1)] &= [(1,2)] &= \cdots & &= [(k,k+1)] \\
 2 &= [(2,0)] &= [(3,1)] &= \cdots & &= [(k+2,k)] \\
-2 &= [(0,2)] &= [(1,3)] &= \cdots & &= [(k,k+2)].
\end{align}</math>

У теоријском рачунарству други приступи за конструисање целих бројева користе се помоћу [[Automated theorem proving|аутоматизованих доказивача теорема]] и механизама за [[Rewriting|реформулацију]] термина. Цели бројеви су представљени као [[Term algebra|алгебарски појмови]] изграђени помоћу неколико основних операција (нпр. -{''zero'', ''succ'', ''pred''}-) и, вероватно, коришћењем [[natural number|природних бројева]], за које се претпоставља да су већ конструисани (користећи, рецимо, [[Пеанове аксиоме|Пеанов приступ]]).

Постоји најмање десет таквих конструкција знаковних целих бројева.<ref>{{cite conference |last=Garavel |first=Hubert |title=On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers |conference=Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016) |year=2017 |publisher=Springer |series=Lecture Notes in Computer Science |volume=10644 |pages=120–134 |doi=10.1007/978-3-319-72044-9_9 |url=https://hal.inria.fr/hal-01667321 |access-date=2018-01-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180126125528/https://hal.inria.fr/hal-01667321 |archive-date=2018-01-26 |url-status=live }}</ref> Ове конструкције се разликују на неколико начина: број основних операција које се користе за конструкцију, број (обично између 0 и 2) и врсте аргумената које ове операције прихватају; присуство или одсуство природних бројева као аргумената неких од ових операција и чињеница да су те операције слободни конструктори или не, тј. да се исти цео број може представити користећи само један или више алгебарских појмова.

== Референце ==
{{Reflist}}

== Литература ==
{{Литература|}}
* [[Eric Temple Bell|Bell, E.T.]], ''[[Men of Mathematics]].'' New York: Simon & Schuster, 1986. (Hardcover; {{cite book|title= Men of Mathematics. The Lives and Achievements of the Great Mathematicians from Zeno to Poincare|location= |publisher= Simon and Schuster|isbn=0-671-46400-0|pages=|last1= Bell|first1= Eric Temple|date= 1965}})/(Paperback; {{cite book|title= Men of Mathematics|url= https://archive.org/details/menofmathematics0000bell|location= |publisher= Simon and Schuster|isbn=0-671-62818-6|pages=|last1= Bell|first1= E. T.|date= 15 October 1986}})
* Herstein, I.N., ''Topics in Algebra'', Wiley; 2 edition (June 20, 1975), {{cite book|title= Topics in Algebra|location= |publisher= John Wiley & Sons|isbn=0-471-01090-1|pages=|last1= Herstein|first1= I. N.|date= 16 January 1991}}.
* [[Saunders Mac Lane|Mac Lane, Saunders]], and [[Garrett Birkhoff]]; ''Algebra'', American Mathematical Society; 3rd edition (1999). {{cite book|title= Algebra|location= |publisher= American Mathematical Soc.|isbn=0-8218-1646-2|pages=|last1= Lane|first1= Saunders Mac|last2= Birkhoff|first2= Garrett|date= 1999}}.

{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Integers}}{{Wiktionary}}
* {{Springer|title=Integer|id=p/i051290}}
* [http://www.positiveintegers.org The Positive Integers – divisor tables and numeral representation tools]
* [[oeis:|On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]] cf [[OEIS]]
* {{mathworld|Integer}}

{{Типови података}}
{{Рационални бројеви}}
{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Број]]
[[Категорија:Алгебарска теорија бројева]]
[[Категорија:Елементарна математика]]
[[Категорија:Цели бројеви]]