Изворни код странице Сфера

[[Слика:Sphere wireframe 10deg 6r.svg|мини|200п|Модел сфере. Тамноплавим линијама је извучена мрежа, која покрива ову [[површ]]. Сама сфера на слици је транспарентно-бела, што је уочљиво делимичном видљивошћу мреже на њеној сакривеној страни.]]

'''Сфера''' ({{etymology|grc|''{{wikt-lang|grc|σφαῖρα}}'' ({{grc-transl|σφαῖρα}})|globe, ball}})<ref>[https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dsfai%3Dra^ σφαῖρα], Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus.</ref> у [[математика|математици]] примарно означава [[Површина|површину]] у тродимензионом простору. У том смислу се може дефинисати као [[геометријско место тачака]] у простору, чије је растојање од дате [[Тачка (геометрија)|тачке]] ''-{O}-'' константно и износи ''-{r}-''. Притом се ''-{O}-'' назива центром сфере, а ''-{r}-'' њеним [[полупречник]]ом.<ref name=Albert54>{{harvnb|Albert|2016|loc=p. 54}}.</ref> Део простора, којег сфера ограничава се назива [[лопта|лоптом]].

Сфера је основни објекат у многим областима [[mathematics|математике]]. Сфере и готово сферични облици се такође појављују у природи и индустрији. [[Bubble (physics)|Мехурићи]] као што су [[soap bubble|мехурићи сапуна]] у равнотежи попримају сферни облик. Земља се у [[geography|географији]] често [[spherical Earth|апроксимира]] као сфера, а [[celestial sphere|небеска сфера]] је важан појам у [[astronomy|астрономији]]. Произведени предмети, укључујући [[pressure vessels|посуде под притиском]] и већина [[curved mirror|закривљених огледала]] и [[lens|сочива]], засновани су на сферама. Сфере се глатко [[rolling|котрљају]] у било ком правцу, тако да је већина [[ball|лопти]] које се користе у спорту и играчкама сферичне, као и [[ball bearings|куглични лежајеви]].

Геометријски гледано, сфера се може формирати ротирањем круга за пола обртаја око осе која сече центар круга, или ротацијом полукруга за један пун обрт око осе која се поклапа (или истовремено) са правом ивицом полукруга.

== Једначине сфере ==
Сфера се у [[декартов координатни систем|Декартовом координатном систему]] може представити једначином:

:<math>(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 + (z-z_c)^2 = r^2\,</math>,

где је тачка ''-{C}- = (-{x}-<sub>-{c}-</sub>, -{y}-<sub>-{c}-</sub>, -{z}-<sub>-{c}-</sub>)'' центар сфере, а ''-{r}-'' њен полупречник.

Координате из ове једначине се могу разложити и на појединачне компоненте:

:<math>\, x = x_c + r \sin \theta \; \cos \varphi </math>
:<math>\, y = y_c + r \sin \theta \; \sin \varphi \qquad (0 \leq \varphi \leq 2\pi ; 0 \leq \theta \leq \pi ) \,</math>
:<math>\, z = z_c + r \cos \theta \,</math>

== Особине ==
[[Површина]] сфере је дефинисана њеним полупречником, и износи<ref name="wolfram">[http://mathworld.wolfram.com/Sphere.html О сфери на -{wolfram.com}-] {{en}}, приступљено 28.01.2010.</ref>:
:<math>S = 4 \pi r^2\,</math>

Иако је сфера као површ шупља, она у простору ограничава одређену [[запремина|запремину]], која се такође може дефинисати [[полупречник]]ом те сфере, и износи<ref name="wolfram" />:

:<math>V = \frac{4}{3}\pi r^3</math>

== Затворена запремина{{anchor|Volume}} ==
[[File:Sphere and circumscribed cylinder.svg|thumb|Сфера и описани цилиндар]]

У три димензије, [[запремина]] унутар сфере (тј. запремина [[ball (mathematics)|лопте]], али се класично назива запремина сфере) је
: <math>V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{\pi}{6}\ d^3 \approx 0.5236 \cdot d^3</math>

где је {{mvar|r}} полупречник а {{mvar|d}} пречник сфере. [[Archimedes|Архимед]] је први извео ову формулу показујући да је запремина унутар сфере двоструко већа од запремине између сфере и [[circumscribe|описаног]] [[cylinder (geometry)|цилиндра]] те сфере (имају висину и пречник једнаке пречнику сфере).<ref>{{harvnb|Steinhaus|1969|loc=p. 223}}.</ref> Ово се може доказати уписивањем конуса у полусферу, уз напомену да је површина попречног пресека конуса плус површина попречног пресека сфере иста као и површина попречног пресека описаног цилиндра, и применом [[Cavalieri's principle|Кавалијеријевог принципа]].<ref>{{cite web|url=http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.01/rahul1.html|title=The volume of a sphere - Math Central|website=mathcentral.uregina.ca|access-date=2019-06-10}}</ref> Ова формула се такође може извести коришћењем [[integral calculus|интегралног рачуна]], односно [[disk integration|интеграције дискова]] да се саберу запремине [[infinite number|бесконачног броја]] [[Кружница|кружних]] дискова бесконачно мале дебљине наслаганих један поред другог и центрираних дуж {{mvar|x}}-осе од {{math|1=''x'' = −''r''}} до {{math|1=''x'' = ''r''}}, под претпоставком да је сфера полупречника {{mvar|r}} је центрирана у координатном почетку.

{{Collapse top|title=Доказ запремине сфере, коришћењем калкулуса}}
На било ком датом {{mvar|x}}, инкрементална запремина ({{mvar|δV}}) једнака је производу површине попречног [[area of a disk#Onion proof|пресека диска]] у {{mvar|x}} и његове дебљине ({{mvar|δx}}):
: <math>\delta V \approx \pi y^2 \cdot \delta x.</math>

Укупна запремина је збир свих инкременталних запремина:
: <math>V \approx \sum \pi y^2 \cdot \delta x.</math>

У лимиту како се {{mvar|δx}} приближава нули,<ref name="delta"/> ова једначина постаје:
: <math>V = \int_{-r}^{r} \pi y^2 dx.</math>

У било ком датом {{mvar|x}}, правоугли троугао повезује {{mvar|x}}, {{mvar|y}} и {{mvar|r}} са исходиштем; дакле, примена [[Pythagorean theorem|Питагорине теореме]] даје:
: <math>y^2 = r^2 - x^2.</math>

Коришћење ове замене даје
: <math>V = \int_{-r}^{r} \pi \left(r^2 - x^2\right)dx,</math>

који се може проценити да би дао резултат
: <math>V = \pi \left[r^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^{r} = \pi \left(r^3 - \frac{r^3}{3} \right) - \pi \left(-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) = \frac43\pi r^3.</math>

Алтернативна формула се налази помоћу [[spherical coordinates|сферних координата]], са [[volume element|елементом запремине]]
: <math> dV=r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi</math>
тако да је
: <math>V=\int_0^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta\, d\varphi 
= 2\pi \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta
= 4\pi \int_0^r r'^2\, dr'\ 
=\frac43\pi r^3.</math>
{{Collapse bottom}}

За већину практичних сврха, запремина унутар сфере [[Inscribed figure|уписане]] у коцку може се апроксимирати као 52,4% запремине коцке, пошто је {{math|1=''V'' = {{sfrac|{{pi}}|6}} ''d''<sup>3</sup>}}, где је {{mvar|d}} пречник сфере и такође дужина странице коцке и {{sfrac|{{pi}}|6}}&nbsp;≈&nbsp;0,5236. На пример, сфера пречника 1{{Spaces}}-{m}- има 52,4% запремине коцке са дужином ивице 1{{Spaces}}-{m}-, или око 0,524&nbsp;-{m}-<sup>3</sup>.

== Површина{{anchor|Area}}==

[[surface area|Површина сфере]] полупречника {{mvar|r}} је:
:<math>A = 4\pi r^2.</math>

[[Archimedes|Архимед]] је први извео ову формулу<ref name=MathWorld_Sphere>{{MathWorld |title=Sphere |id=Sphere}}</ref> из чињенице да пројекција на бочну површину [[circumscribe|описаног]] цилиндра очувава површину.<ref>{{harvnb|Steinhaus|1969|loc=p. 221}}.</ref> Други приступ добијању формуле долази из чињенице да је она једнака [[derivative|деривату]] формуле за запремину у односу на {{mvar|r}}, јер се укупна запремина унутар сфере полупречника {{mvar|r}} може сматрати збиром површине бесконачног броја сферних шкољки бесконачно мале дебљине концентрично наслаганих једна унутар друге од полупречника 0 до полупречника {{mvar|r}}. При инфинитезималној дебљини, неслагање између унутрашње и спољашње површине било које дате шкољке је инфинитезимално мало, а елементарна запремина на радијусу {{mvar|r}} је једноставно производ површине на радијусу {{mvar|r}} и бесконачно мале дебљине.

{{Collapse top|title=Доказ површине, коришћењем калкулуса}}
На било ком датом полупречнику {{mvar|r}},{{NoteTag |{{mvar|r}} is being considered as a variable in this computation.}} инкрементална запремина ({{mvar|δV}}) једнака је производу површине на полупречнику {{mvar|r}} ({{math|''A''(''r'')}}) и дебљине љуске ({{mvar|δr}}):
:<math>\delta V \approx A(r) \cdot \delta r. </math>

Укупна запремина је збир свих запремина шкољке:

:<math>V \approx \sum A(r) \cdot \delta r.</math>

У лимиту како се {{mvar|δr}} приближава нули<ref name="delta">{{cite book |author1=E.J. Borowski |author2=J.M. Borwein |title=Collins Dictionary of Mathematics |url=https://archive.org/details/dictionaryofmath0000boro |year=1989 |isbn=978-0-00-434347-1|pages=[https://archive.org/details/dictionaryofmath0000boro/page/141 141], 149|publisher=Collins }}</ref> ова једначина постаје:
:<math>V = \int_0^r A(r) \, dr.</math>

Заменом {{mvar|V}} се добија:
:<math>\frac43\pi r^3 = \int_0^r A(r) \, dr.</math>

Диференцирање обе стране ове једначине у односу на {{mvar|r}} даје {{mvar|A}} као функцију {{mvar|r}}:
:<math>4\pi r^2 = A(r).</math>

Ово се углавном скраћено записује као:
:<math>A = 4\pi r^2,</math>
где се {{mvar|r}} сада сматра фиксним полупречником сфере.

Алтернативно, [[area element|елемент површине]] на сфери је дат у [[spherical coordinates|сферним координатама]] са {{math|1=''dA'' = ''r''<sup>2</sup> sin ''θ dθ dφ''}}. У [[Cartesian coordinates|Декартовим координатама]], елемент површине је
: <math>dS=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-{\displaystyle \sum_{i\ne k}x_{i}^{2}}}}\prod_{i\ne k}dx_{i},\;\forall k.</math>

Укупна површина се тако може добити [[Integral|интеграцијом]]:
:<math>A = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2 \sin\theta \, d\theta \, d\varphi = 4\pi r^2.</math>
{{Collapse bottom}}

Сфера има најмању површину од свих површина које обухватају дату запремину, а обухвата највећу запремину међу свим затвореним површинама са датом површином.<ref>{{cite journal |last1=Osserman |first1=Robert |title=The isoperimetric inequality |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |date=1978 |volume=84 |issue=6 |page=1187 |doi=10.1090/S0002-9904-1978-14553-4 |url=https://www.ams.org/journals/bull/1978-84-06/S0002-9904-1978-14553-4/ |access-date=14 December 2019 |ref=Osserman|doi-access=free }}</ref> Сфера се стога појављује у природи: на пример, мехурићи и мале капи воде су отприлике сферне, јер [[surface tension|површински напон]] локално минимизира површину.

Површина у односу на масу лопте назива се [[specific surface area|специфична површина]] и може се изразити из горе наведених једначина као
:<math>\mathrm{SSA} = \frac{A}{V\rho} = \frac{3}{r\rho},</math>
где је {{mvar|ρ}} [[густина]] (однос масе и запремине).

== Уопштење сфере ==
Сфера се може уопштити и на друге просторе и метрике, осим ''-{R³}-'', следећи њену основну дефиницију да се ради о ''геометријском месту тачака, подједнако удаљеним од једне централне тачке''. Пример њене примене у неком другом простору је нпр. у ''-{R²}-'', где је она заправо [[кружница]].

== Види још ==
{{Commonscat|Spheres}}
* [[Сферни координатни систем]]
* [[Лопта]]
* [[Хиперсфера]]

== Напомене ==
{{NoteFoot}}

== Извори ==
{{reflist}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{citation|first=Abraham Adrian|last=Albert|title=Solid Analytic Geometry|year=2016|orig-year=1949|publisher=Dover|isbn=978-0-486-81026-3}}.
* {{cite book|title=The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities |first=William |last=Dunham |pages=[https://archive.org/details/mathematicaluniv00dunh/page/n34 28], 226 |url=https://archive.org/details/mathematicaluniv00dunh |url-access=limited |journal= Wiley|location=New York |isbn=978-0-471-17661-9 |year=1997 |bibcode=1994muaa.book.....D }}
* {{citation | first1 = Erwin | last1 = Kreyszig | year = 1972 | isbn = 978-0-471-50728-4 | title = Advanced Engineering Mathematics | edition = 3rd | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York | url-access = registration | url = https://archive.org/details/advancedengineer00krey }}.
* {{citation|first=H.|last=Steinhaus|title=Mathematical Snapshots|year=1969|publisher=Oxford University Press|edition=Third American}}.
* {{citation|first=Frederick S.|last=Woods|title=Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry|year=1961|orig-year=1922|publisher=Dover}}.
* [[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable'', second edition, [[McGraw-Hill Book Company]], New York, 1966.
* {{cite book|last1= Boyer|first1= Carl B.|title=A History of Mathematics|url= https://archive.org/details/historyofmathema00boye|isbn=0-471-54397-7|pages=|date= 20 March 1991|location=New York |publisher=John Wiley & Sons|edition=2nd}}. 
* Gal, Shmuel and Bachelis, Boris. An accurate elementary mathematical library for the IEEE floating point standard, ACM Transactions on Mathematical Software (1991).
* Joseph, George G., ''The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics'', 2nd ed. [[Penguin Books]], London. (2000). {{cite book|title= The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics|url= https://archive.org/details/crestofpeacockno00jose|location= |publisher= Princeton University Press|isbn=0-691-00659-8|pages=|last1= Joseph|first1= George Gheverghese|date= 2000}}. 
* {{cite journal|author=Kantabutra, Vitit |title= On hardware for computing exponential and trigonometric functions|journal= IEEE Trans. Computers|date=1996|volume=45|issue=3|pages=328–339|doi= 10.1109/12.485571}} (1996).
* Maor, Eli, ''[https://web.archive.org/web/20040404234808/http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ Trigonometric Delights]'', Princeton University Press. (1998). Reprint edition (2002): {{cite book|title= Trigonometric Delights|url= https://archive.org/details/trigonometricdel0000maor_s1m0|location= |publisher= Princeton University Press|isbn=0-691-09541-8|pages=|last1= Maor|first1= Eli|date= 1998}}. 
* Needham, Tristan, [https://web.archive.org/web/20040602145226/http://www.usfca.edu/vca/PDF/vca-preface.pdf "Preface"]" to ''[http://www.usfca.edu/vca/ Visual Complex Analysis]''. Oxford University Press, (1999). {{cite book|title= Visual Complex Analysis|url= https://archive.org/details/visualcomplexana0000need|location= |publisher= Clarendon Press|isbn=0-19-853446-9|pages=|last1= Needham|first1= Tristan|date= 1997}}. 
* {{citation |last1=Nielsen |first1=Kaj L. |title=Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places |edition=2nd |location=New York|publisher=[[Barnes & Noble]] |date=1966 |lccn=61-9103}}
* O'Connor, J. J., and E. F. Robertson, [https://web.archive.org/web/20130120084848/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Trigonometric_functions.html "Trigonometric functions"], ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]''. (1996).
* O'Connor, J. J., and E. F. Robertson, [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Madhava.html "Madhava of Sangamagramma"] {{Wayback|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Madhava.html |date=20060226001644 }}, ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]''. (2000).
* Pearce, Ian G., [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html "Madhava of Sangamagramma"] {{Wayback|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html |date=20060505201342 }}, ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]''. (2002).
* {{ citation | last1 = Protter | first1 = Murray H. | last2 = Morrey | first2 = Charles B., Jr. | year = 1970 | lccn = 76087042 | title = College Calculus with Analytic Geometry | edition = 2nd | publisher = [[Addison-Wesley]] | location = Reading }}
* Weisstein, Eric W., [http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html "Tangent"] from ''[[MathWorld]]'', accessed 21 January 2006.
* {{cite book |last1=Iyanaga |first1=Shōkichi |last2=Kawada |first2=Yukiyosi |title=[[Encyclopedic Dictionary of Mathematics]] |date=1977 |publisher=MIT Press |isbn=978-0262090162}}
* {{cite book |title = Methods of Theoretical Physics, Part I | author = Philip M. Morse |author2= Herman Feshbach | year = 1953 | url = https://archive.org/details/methodstheoretic00mors | publisher = McGraw-Hill | location = New York | isbn = 0-07-043316-X | pages = [https://archive.org/details/methodstheoretic00mors/page/n680 658] | lccn = 52011515}}
* {{cite book |title = The Mathematics of Physics and Chemistry | author = Henry Margenau |author2= Murphy GM | year = 1956 | url = https://archive.org/details/mathematicsofphy0002marg| url-access = registration| publisher = D. van Nostrand | location = New York | pages = [https://archive.org/details/mathematicsofphy0002marg/page/177 177–178] | lccn = 55010911 }}
* {{cite book |title = Mathematical Handbook for Scientists and Engineers | author = Korn GA, [[Theresa M. Korn|Korn TM]] |year = 1961 | publisher = McGraw-Hill | location = New York | asin = B0000CKZX7 | pages = 174–175 | lccn = 59014456}}
* {{cite book |title = Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs | author = Sauer R, Szabó I | year = 1967 | publisher = Springer Verlag | location = New York | pages = 95–96 | lccn = 67025285}}
* {{cite book |title = Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions | author = Moon P, Spencer DE | year = 1988 | chapter = Spherical Coordinates (r, θ, ψ) | edition = corrected 2nd ed., 3rd print | publisher = Springer-Verlag | location = New York | pages = 24–27 (Table 1.05) | isbn = 978-0-387-18430-2}}
* {{cite book |title = Practical Astronomy with your Calculator or Spreadsheet, 4th Edition | author = Duffett-Smith P, Zwart J | year = 2011 | url = https://archive.org/details/practicalastrono00duff | publisher = Cambridge University Press | location = New York | pages = [https://archive.org/details/practicalastrono00duff/page/n57 34] | isbn = 978-0521146548}}

{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commons category|Sphere}}
* [[b:Mathematica/Uniform Spherical Distribution|Mathematica/Uniform Spherical Distribution]]
* [http://mathschallenge.net/index.php?section=faq&ref=geometry/surface_sphere Surface area of sphere proof]

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Површи]]
[[Категорија:Елементарни облици]]
[[Категорија:Елементарна геометрија]]