Изворни код странице Секанс

{{Функција
|име = Секанс
|слика = Sec.svg

|заглавље1 = 1
|парност = парна
|домен = (-π/2+-{k}-π,π/2+-{k}-π), ''-{k}-'' из ''-{Z}-''
|кодомен = (-∞,1] и [1,∞)
|период = 2π

|заглавље2 = 1
|лмакс = ((2-{k}-+1)π,-1)
|лмин = (2-{k}-π,1)

|заглавље3 = 1
|асимптоте = (-{k}- + 1/2)π

|напомене = Променљива -{k}- је [[цео број]]
}}
'''Секанс''' је [[тригонометријске функције|тригонометријска функција]] изведена из функције [[косинус]]а.

Дефиниција гласи:

:<math>\operatorname{sec}\;x = \frac{1}{\cos x}</math>
Веза са [[косеканс]]ом
:<math>\operatorname{sec}\;x = \operatorname{cosec}\, (\pi / 2 - x)</math>
док је ''Питагорин идентитет'', идентитет заснован на Питагориној теореми, који повезује тригонометријске функције
:<math>1+\tan^2(\alpha)= \operatorname{sec}^2(\alpha)</math>
Као и остале тригонометријске функције и секанс представља однос између двеју страница правоуглог троугла. Секанс је однос хипотенузе и налегле катете.<ref>Риста Карљиковић, ''Геометрија за више разреде средњих школа'', трећи део, тригонометрија, издање књижарнице Рајковића и Ђурковића, Београд-Теразије, 1931</ref> (Сл.1.)
{|
| style="padding: 0;" |
:<math>\operatorname{sec}\;\phi = \frac{r}{x}</math>

[[Слика:Trig-funkcije1.gif|мини|лево|300п|Сл.1. Тригонометријски троугао]]
|}
На тригонометријском кругу је вредност секанса једнака величини следеће дужи
{|
| style="padding: 0;" |
:<math>\sec\phi = \overline{OE}</math>

[[Слика:Trigonometrijska-kruznica2.gif|мини|лево|300п|Сл.2. Тригонометријска кружница]] 
|}
{| border="1" cellpadding="1" align="center" style="width:400px"
|+''Неке карактеристичне вредности''
|- align="center"
! степени !! 0° !! 30° !! 45° !! 60° !! 90°
|- align="center"
| радијана || 0 ||<math>\pi/6</math>||<math>\pi/4</math>||<math>\pi/3</math>||<math>\pi/2</math> 
|- align="center"
! <math>\sec\phi\,</math>
| <math>1\;</math> || <math>\frac{2}{3}{\sqrt{3}}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>2\;</math> || <math>\pm\infty\;</math>
|}
<br clear=all/>

== Репрезантација функције ==
Представљање функције у виду Тејлоровог реда у околини тачке <math>x = 0</math>
:<math>\sec x = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5 x^4}{24} + \frac{61 x^6}{720} + \cdots \qquad \textrm{za} \ |x|< \frac{\pi}{2}</math>
односно уопштено
:<math>\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ za } |x| < \frac{\pi}{2}\!</math>
где су <math>E_k\!</math> у формули [[Ојлерови бројеви]].

Могуће је такође представити и у виду 
:<math>\sec(x) = \pi \, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k(8k+4)} {(2k+1)^2 \pi^2 - 4 x^2 } \quad\mbox{ za } |x| < \frac{\pi}{2}\!</math>

== Особине функције ==
Детаљном анализом се могу утврдити карактеристичне особине функције.
* Област дефинисаности функције:
:функција је дефинисана у скупу реалних бројева <math>\mathbb{R}</math>, сем у пребројиво много тачака где има прекиде
:<math>-\infty < x < +\infty \quad ; \quad x \ne \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}</math>
* Област вредности функције:
:функција узима вредности у опсегу реалних бројева, сем у области -1 до 1
:<math> -\infty < \operatorname{sec}(x)  \le -1 \quad \cup \quad 1 \le \operatorname{sec}(x) < +\infty </math>
* Парност
:функција је парна
:<math>\operatorname{sec}(-x) = \operatorname{sec}(x)</math>
* Периодичност
:функција је периодична са основном периодом 2π
:<math>\operatorname{sec}(x+2\pi) = \operatorname{sec}(x)</math>
* Асимптоте
:функција има вертикалне асимптоте у тачкама
:<math>x = \left(n + \frac{1}{2}\right)\cdot\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}</math>
:функција нема хоризонталне и косе асимптоте
* Нуле функције
:функција нема нуле
* Монотоност функције
* Екстремуми
:нема глобални екстремум
::локални минимум
::<math>\operatorname{sec}(2 n \cdot \pi) = 1\,; \,n\in\mathbb{Z}</math>
::локални максимум
::<math>\operatorname{sec}((2 n + 1) \cdot \pi) = -1\,; \,n\in\mathbb{Z}</math>
* Конвексност и конкавност функције
:функција је конвексна у интервалу
::<math>-\pi/2+2n\pi<x<\pi/2+2n\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}</math>
:функција је конкавна у интервалу
::<math>\pi/2+2n\pi<x<3\pi/2+2n\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}</math>
* Превојне тачке
:функција нема превојне тачке
==== Извод функције ====
Први извод функције је
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{sec}(x) = \operatorname{sec}(x) \cdot \tan(x) = \frac{\operatorname{sec}^2(x)}{\operatorname{cosec}(x)}</math>
==== Интеграл ====
Неодређени интеграл функције 
:<math>\int\sec(x)\,\mathrm dx=\ln\left|\frac{1 + \sin(x)} {\cos(x)}\right| = \ln\Big| \sec(x) +\tan(x)\Big|</math>

== Историја ==
Први пут се скраћеница '''''-{sec}-''''' појављује [[1626|1626.]] године у књизи Албера Жерара о тригонометрији.<ref>Миодраг Петковић, Љиљана Петковић, ''Математички времеплов, прилози за историју математике'', ЗМАЈ, Нови Сад, 2006</ref>

== Извори ==
{{reflist}}

== Спољашње везе ==
* [http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sec/ Функција секанса на -{wolfram.com}-]



== Литература ==
* Бронштајн, Семендјајев, ''Справочник по математике дља инжењеров и учахчихсја втузов'', Москва, »Наука«, 1980


{{Тригонометријске функције}}
{{Commonscat|Secant function}}

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Тригонометријске функције]]

[[en:Trigonometric functions#Reciprocal functions]]