Изворни код странице Радијан

{{Infobox Unit
| name = Радијан   
| standard = [[Изведене јединице СИ система]]
| quantity = [[Угао]]
| symbol = -{rad}-
| symbol2 = {{sup|c}}
| symbol3 = -{r}-
| symbol4 = {{sup|R}}<ref name="Hall_1909"/>
| extralabel   = У јединицама
| extradata    = [[Dimensionless quantity|Без димензија]] са дужином лука једнаком полупречнику, тј. 1&nbsp;{{sfrac|m|m}}
| units1     = [[milliradian|милирадијани]]
| inunits1   = 1000 -{mrad}-
| units2     = [[Turn (unit)|обрт]]
| inunits2   = {{sfrac|1|2{{pi}}}} обрт
| units3     = [[Degree (angle)|степена]]
| inunits3   = {{sfrac|180|{{pi}}}} ≈ 57,296°
| units4     = [[Град (математика)|града]]
| inunits4   = {{sfrac|200|{{pi}}}} ≈ 63,662<sup>-{g}-</sup>
}}
[[Датотека:Circle radians.gif|мини|right|250px|Лук [[круг]]а исте дужине као и [[полупречник]] тог круга обухвата ''угао'' од 1 радијана. Обим обухвата угао од 2{{math|[[pi|&pi;]]}} радијана.]]

У [[математика|математици]] и [[физика|физици]], '''радијан''' је мерна јединица угла. То је [[СИ изведене јединице|СИ изведена јединица]] за угао.<ref>{{cite web |title=Resolution 8 of the CGPM at its 20th Meeting (1995) |url=http://www.bipm.org/en/CGPM/db/20/8/ |access-date=2014-09-23 |publisher=[[Bureau International des Poids et Mesures]] |archive-date=2018-12-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181225010949/https://www.bipm.org/en/CGPM/db/20/8/%20 |url-status=dead }}</ref> Дефинисана је као угао код центра круга затворен луком кружнице који је једнак у дужини полупречнику круга. Мере угла у радијанима су често дате без икакве експлицитне јединице. Када се да јединица, користи се скраћеница '''rad''', а понекад симбол '''<sup>c</sup>''' (за циркуларни).

== Дефиниција ==
[[File:2pi-unrolled.gif|thumb|лево|250px|Потпуна револуција је 2{{pi}} радијана (овде је приказана кругом полупречника један, а тиме и [[circumference|обимом]] 2{{pi}}).]]

Један радијан се дефинише као угао формиран од центра круга који пресеца лук једнаке дужине полупречнику круга.<ref>{{ citation | last1 = Protter | first1 = Murray H. | last2 = Morrey | first2 = Charles B., Jr. | title = College Calculus with Analytic Geometry | edition = 2nd | location = Reading | publisher = [[Addison-Wesley]] | year = 1970 | page = APP-4 | lccn = 76087042 }}</ref> Уопштеније, [[magnitude (mathematics)|магнитуда]] тог угла у радијанима једнака је односу дужине лука и полупречника круга; то јест, {{math|1=''[[θ]]'' = ''s''/''r''}}, где је {{mvar|θ}} угао у радијанима, {{mvar|s}} је дужина лука, а {{mvar|r}} је полупречник. Супротно томе, дужина пресеченог лука једнака је полупречнику помноженом са величином угла у радијанима; односно {{math|1=''s'' = ''rθ''}}.

Као однос две дужине, радијан је [[pure number|чист број]].{{efn|While the radian is normally defined as the ratio of two lengths (it is a "pure number"), Mohr and Phillips<ref>{{cite journal | last1 = Mohr | first1 = J. C. | last2 = Phillips |
 first2 = W. D. | year = 2015 | title = Dimensionless Units in the SI |
 journal = Metrologia | volume = 52 | issue = 1 | pages = 40–47 |
 doi = 10.1088/0026-1394/52/1/40 | bibcode = 2015Metro..52...40M |
 arxiv = 1409.2794 | s2cid = 3328342 }}</ref> and others
<ref>{{cite journal | last1 = Mills |
 first1 = I. M. | year = 2016 | title = On the units radian and cycle for the quantity plane angle | journal = Metrologia |volume = 53 | issue = 3 | pages = 991–997 | 
doi = 10.1088/0026-1394/53/3/991 | bibcode = 2016Metro..53..991M }}</ref>
<ref>{{cite journal | title = SI units need reform to avoid confusion |
 journal = Nature | department = Editorial | date = 7 August 2011 |
 volume = 548 | issue = 7666 | page = 135 | doi = 10.1038/548135b|
 pmid = 28796224 | doi-access = free }}</ref> point out that problems can arise if angles are defined to be dimensionless.
}} У СИ, радијан је дефинисан као да има вредност [[1]].<ref>ISO 80000-3:2006</ref> Као последица тога, у математичком писању, симбол „rad“ се скоро увек изоставља. Када се квантификује угао у одсуству било ког симбола, претпостављају се радијани, а када се мисли на степене, користи се [[degree sign|знак степена]] {{char|°}}.

Из тога следи да је величина у радијанима једног потпуног обртаја (360 степени) дужина целог обима подељена полупречником, или {{math|2[[pi|''π'']]''r'' / ''r''}}, или 2{{pi}}. Тако је 2{{pi}} радијана једнако 360 степени, што значи да је један радијан једнак 180/{{pi}} ≈ {{gaps|57,29577|95130|82320|876}} степени.<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Radian|url=https://mathworld.wolfram.com/Radian.html|access-date=2020-08-31|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>

Релација {{math|1=2''π'' rad = 360°}} се може извести коришћењем формуле за [[arc length|дужину лука]], <math>\ell_{\text{arc}}=2\pi r\left(\tfrac{\theta}{360^{\circ}}\right)</math>, и коришћењем круга полупречника 1. Пошто је радијан мера угла који спаја лук дужине једнаке полупречнику круга, следи <math>1=2\pi\left(\tfrac{1\text{ rad}}{360^{\circ}}\right)</math>. Ово се даље може поједноставити на <math>1=\tfrac{2\pi\text{ rad}}{360^{\circ}}</math>. Множење обе стране са 360° даје {{math|360° {{=}} 2''π'' rad}}.

== Историја ==

Концепт радијанске мере, за разлику од степена угла, обично се приписује [[Roger Cotes|Роџеру Котсу]] 1714. године.<ref>{{cite web |url = http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Cotes.html |title = Biography of Roger Cotes |work = The MacTutor History of Mathematics |date = February 2005 |last1 = O'Connor |first1 = J. J. |first2 = E. F. |last2 = Robertson |access-date = 2006-04-21 |archive-date = 2012-09-24 |archive-url = https://www.webcitation.org/6AuwvrfcU?url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Cotes.html |url-status = dead }}</ref><ref>Roger Cotes died in 1716.  By 1722, his cousin Robert Smith had collected and published Cotes' mathematical writings in a book, ''Harmonia mensurarum'' … .  In a chapter of editorial comments by Smith, he gives, for the first time, the value of one radian in degrees.  See:  Roger Cotes with Robert Smith, ed., ''Harmonia mensurarum'' … (Cambridge, England:  1722), chapter: Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum, [https://books.google.com/books?id=J6BGAAAAcAAJ&pg=RA1-PA95#v=onepage&q&f=false top of page 95].  From page 95:  After stating that 180° corresponds to a length of {{pi}} (3.14159…) along a unit circle (i.e., {{pi}} radians), Smith writes:  ''"Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57.2957795130 &c. "'' (Whence the unit of trigonometric measure, 57.2957795130… [degrees per radian], will appear.)</ref> Он је описао радијан у свему осим у имену и препознао његову природност као јединицу угаоне мере. Пре него што је термин радијан постао широко распрострањен, јединица се обично звала ''кружна мера'' угла.<ref>Isaac Todhunter, ''Plane Trigonometry: For the Use of Colleges and Schools'', [https://books.google.co.uk/books?id=bo5FAAAAcAAJ&pg=PA10 p. 10], Cambridge and London: MacMillan, 1864 {{OCLC|500022958}}</ref>

Идеју о мерењу углова дужином лука већ су користили други математичари. На пример, [[al-Kashi|ал-Каши]] (око 1400) користио је такозване ''делове пречника'' као јединице, где је један део пречника био {{sfrac|1|60}} радијана. Такође су користили сексагезималне подјединице дела пречника.<ref>{{cite book|first=Paul|last= Luckey|editor-first=A. |editor-last=Siggel|location=Berlin|publisher= Akademie Verlag| orig-year=Translation of 1424 book|year=1953| title=Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi|trans-title=Treatise on the Circumference of al-Kashi| number=6|pages= 40}}</ref>

Термин ''радијан'' се први пут појавио у штампи 5. јуна 1873. у испитним питањима које је поставио [[James Thomson (engineer)|Џејмс Томсон]] (брат [[Lord Kelvin|лорда Келвина]]) на [[Queen's University Belfast|Квинс колеџу]] у [[Белфаст]]у. Он је користио тај термин још 1871. године, док је 1869. [[Thomas Muir (mathematician)|Томас Мјур]], тада са [[University of St Andrews|Универзитета Сент Ендруз]], колебао између појмова -{''rad''}-, -{''radial''}-, и -{''radian''}-. Године 1874, након консултација са Џејмсом Томсоном, Мјур је усвојио ''радијан''.<ref>{{cite book| author-link=Florian Cajori| first=Florian| last=Cajori| year=1929| title=History of Mathematical Notations| volume=2| pages=[https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/147 147–148]| publisher=Dover Publications| isbn=0-486-67766-4| url-access=registration| url=https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/147}}</ref><ref>{{cite journal| journal=Nature| year=1910| volume= 83| pages=156|doi=10.1038/083156a0| title=The Term "Radian" in Trigonometry| last1=Muir| first1=Thos.| issue=2110|bibcode = 1910Natur..83..156M | s2cid=3958702| url=https://zenodo.org/record/1429528| doi-access=free}}{{cite journal| journal=Nature| year=1910| volume= 83| pages=217|doi=10.1038/083217c0| title=The Term "Radian" in Trigonometry| last1=Thomson| first1=James| issue=2112|bibcode = 1910Natur..83..217T | s2cid=3980250| url=https://zenodo.org/record/1429530}}{{cite journal| journal=Nature| year=1910| volume= 83| pages=459–460|doi=10.1038/083459d0| title=The Term "Radian" in Trigonometry| last1=Muir| first1=Thos.| issue=2120|bibcode = 1910Natur..83..459M | s2cid=3971449| url=https://zenodo.org/record/1429528}}</ref><ref>{{cite web|url=http://jeff560.tripod.com/r.html|date=Nov 23, 2009| access-date=Sep 30, 2011|last=Miller|first=Jeff |title= Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics}}</ref> Име ''радијан'' није било универзално усвојено неко време након овога. ''Лонгмансова школска тригонометрија'' је и користила назив радијанска ''кружна мера'' када је објављена 1890.<ref>Frederick Sparks, ''Longmans' School Trigonometry'', p. 6, London: Longmans, Green, and Co., 1890 {{oclc|877238863}} (1891 edition)</ref>

== Симбол јединице ==

[[International Bureau of Weights and Measures|Међународни биро за тегове и мере]]<ref>[https://www.bipm.org/utils/common/pdf/si-brochure/SI-Brochure-9.pdf 2019 BIPM Brochure]</ref> и [[International Organization for Standardization|Међународна организација за стандардизацију]]<ref>[https://www.iso.org/standard/31888.html ISO 80000-3:2006 Quantities and Units - Space and Time]</ref> наводе -{''rad''}- као симбол радијана. Алтернативни симболи који су коришћени пре 100 година су <sup>-{c}-</sup> (наднасловно написано слово -{c}-, за „кружну меру“), слово -{r}- или суперскрипт {{sup|R}},<ref name="Hall_1909"/> али се ове варијанте ретко користе, јер могу бити помешане са [[degree symbol|симболом степена]] (°) или полупречником (-{r}-). Стога би вредност од 1,2 радијана најчешће била записана као 1,2&nbsp;rad; друге ознаке укључују 1,2&nbsp;r, 1,2{{sup|rad}}, 1,2{{sup|c}}, или 1,2{{sup|R}}.

== Конверзије ==
Постоје 2[[Пи|π]] (око 6,283185) радијана у пуном кругу, па:

2π rad = 360[[Лучни степен|°]]<br />
1 rad = 360°/2π = 180°/π (приближно 57,29578°).

или:

:<math>360^\circ=2\pi\mbox{rad}</math>

:<math>1^\circ=\frac{2\pi}{360}\mbox{rad}=\frac{\pi}{180}\mbox{rad}</math>

У [[Математичка анализа|математичкој анализи]], углови морају да се представе у радијанима у [[тригонометријске функције|тригонометријским функцијама]], да би идентитети и резултати били што простији и природнији. На пример, употреба радијана води до простог идентитета

:<math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1</math>,

који је основа за многе друге елегантне идентитете у математици, укључујући 

:<math>\frac{d \sin x}{dx} = \cos x</math>.

Радијан је пре био [[СИ допунска јединица]], али је ова категорија укинута из [[Међународни систем јединица|СИ]] система [[1995]]. године.

Треба нагласити да, иако је радијан јединица за меру, све мерено у радијанима је ''бездимензионално''. Ово може лако да се уочи у томе да је однос дужине [[лук (геометрија)|лука]] и [[полупречник]]а у ствари угао лука, мерен у радијанима; а ипак [[дељење|количник]] два [[растојање|растојања]] је без димензија. Величине углова су напросто ''[[број]]еви''—у математичком смислу—а ''не'' физичке величине мерене у односу на известан фиксан еталон. Величина угла, у радијанима, [[Лучни степен|степенима]] или ма којој другој јединици, независна је од јединице која се користи за изражавање дужина и других физичких мерљивих величина.

За мерење [[просторни угао|просторних углова]], видите [[стерадијан]].

== Предности мерења у радијанима ==
[[File:Radian-common.svg|thumb|357px|right|Неки уобичајени углови, мерени у радијанима. Сви велики полигони у овом дијаграму су [[regular polygon|правилни полигони]]. ]]

У [[calculus|калкулусу]] и већини других грана математике изван практичне [[geometry|геометрије]], углови се универзално мере у радијанима. То је зато што радијани имају математичку „природности” која доводи до елегантније формулације бројних важних резултата. Што је најважније, резултати у [[analysis (mathematics)|анализи]] која укључује тригонометријске функције могу се елегантно навести, када су аргументи функција изражени у радијанима. На пример, употреба радијана доводи до једноставне формуле [[limit of a function|лимита]]

:<math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1,</math>

што је основа многих других идентитета у математици, укључујући

:<math>\frac{d}{dx} \sin x = \cos x</math><ref name=":0" />
:<math>\frac{d^2}{dx^2} \sin x = -\sin x.</math>

Због ових и других својстава, тригонометријске функције се појављују у решењима математичких проблема који нису очигледно повезани са геометријским значењима функција (на пример, решења [[differential equation|диференцијалне једначине]]: <math> \tfrac{d^2 y}{dx^2} = -y </math>, израчунавања интеграла <math> \textstyle\int \frac{dx}{1+x^2}, </math> и тако даље). У свим таквим случајевима, нађено је да су аргументи функција најприродније написани у облику који одговара, у геометријском контексту, радијанском мерењу углова.

Тригонометријске функције такође имају једноставна и елегантна проширења серије када се користе радијани. На пример, када је ''x'' у радијанима, [[Taylor series|Тејлоров низ]] за -{sin&nbsp;''x''}- постаје:

:<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots .</math>

Ако је ''x'' изражено у степенима, онда би серија садржала непрегледне факторе који укључују степене {{pi}}/180: ако је ''x'' број степени, број радијана је {{nowrap|1=''y'' = {{pi}}''x'' / 180}}, тако да

:<math>\sin x_\mathrm{deg} = \sin y_\mathrm{rad} = \frac{\pi}{180} x - \left (\frac{\pi}{180} \right )^3\ \frac{x^3}{3!} + \left (\frac{\pi}{180} \right )^5\ \frac{x^5}{5!} - \left (\frac{\pi}{180} \right )^7\ \frac{x^7}{7!} + \cdots .</math>

У сличном духу, математички важни односи између синусних и косинусних функција и [[exponential function|експоненцијалне функције]] (погледајте, на пример, [[Euler's formula|Ојлерову формулу]]) могу се елегантно изразити, када су аргументи функција у радијанима (а иначе неуредни).

== Димензионална анализа ==

Иако је радијан јединица мере, он је [[dimensionless quantity|бездимензионална]] величина. Ово се може видети из раније дате дефиниције: угао везан за центар круга, мерен у радијанима, једнак је односу дужине затвореног лука и дужине полупречника круга. Пошто се мерне јединице поништавају, овај однос је бездимензионалан.

Иако [[Polar coordinates|поларне]] и [[spherical coordinates|сферне координате]] користе радијане за описивање координата у две и три димензије, јединица се изводи из радијусне координате, тако да је мера угла и даље бездимензионална.<ref>For a debate on this meaning and use see:{{cite journal|doi=10.1119/1.18616|title=Angles—Let's treat them squarely|year=1997|last1=Brownstein|first1=K. R.|journal=American Journal of Physics|volume=65|issue=7|pages=605–614|bibcode = 1997AmJPh..65..605B }}, {{cite journal|title=Angles as a fourth fundamental quantity|year=1962|last1=Romain|first1=J.E.|journal=Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B|volume=66B|issue=3|pages=97|doi=10.6028/jres.066B.012|doi-access=free}}, {{cite journal|doi=10.1119/1.18964|title=Dimensional angles and universal constants|year=1998|last1=LéVy-Leblond|first1=Jean-Marc|journal=American Journal of Physics|volume=66|issue=9|pages=814–815|bibcode = 1998AmJPh..66..814L }}, and {{cite journal|doi=10.1119/1.19185|title=Units—SI-Only, or Multicultural Diversity?|year=1999|last1=Romer|first1=Robert H.|journal=American Journal of Physics|volume=67|issue=1|pages=13–16 |bibcode = 1999AmJPh..67...13R }}</ref>

== Види још ==
* [[Тригонометрија]]
* [[Хармонијска анализа]]
* [[Угаона фреквенција]]
* [[Лучни степен|Степени]]
* [[Пи]]

== Напомене ==
{{Notelist}}

== Референце ==
{{reflist|refs=
<ref name="Hall_1909">{{cite book |title=Trigonometry |volume=Part I: Plane Trigonometry |author-first1=Arthur Graham |author-last1=Hall |author-first2=Fred Goodrich |author-last2=Frink |date=January 1909 |location=Ann Arbor, Michigan, USA |chapter=Chapter VII. The General Angle [55] Signs and Limitations in Value. Exercise XV. |publisher=[[Henry Holt and Company]] / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA |publication-place=New York, USA |page=73 |url=https://archive.org/stream/planetrigonometr00hallrich#page/n88/mode/1up |access-date=2017-08-12 }}</ref>
}}

== Литература ==
{{Литература|}}
* {{GreenBook3rd}}
* {{GreenBook2nd}}
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Radian}}

{{СИ јединице}}
{{нормативна контрола}}

[[Категорија:СИ изведене јединице]]
[[Категорија:Тригонометрија]]
[[Категорија:Угао]]
[[Категорија:Јединице за угао]]
[[Категорија:Природне јединице]]
[[Категорија:Пи]]