Изворни код странице Равномерна непрекидност

== Дефиниција ==

Функцију <math>f:X\rightarrow\mathbb{R}</math>, где је <math>X \subseteq \mathbb{R}</math>, а функција је [[непрекидна функција|непрекидна]] на скупу <math>X</math>, називамо '''равномерно (униформно) непрекидном''' на том скупу, ако се за свако <math>\varepsilon > 0</math>, може наћи позитивно <math> \delta </math>, тако да за сваке две тачке њеног домена које се налазе на растојању мањем од <math> \delta </math>, важи <math> |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon</math>.

Односно, услов равномерне непрекидности функције <math>f</math> на скупу <math>X</math> се може записати као: 

: <math>(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x_1,x_2 \in X)(|x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon)</math>.

== Дискусија дефиниције ==

Оправданост ове дефиниције, поред дефиниције саме [[непрекидна функција|непрекидности функције]] потиче од тога - да би функција била непрекидна у свакој тачки свог домена <math>X</math>, потребно је наћи најмање <math>\delta=\delta_0</math> од свих околина сваке тачке домена, за које би онда важило:
: <math>(\forall x, x_0 \in X)(|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon).</math>

Ако је скуп <math>X</math> коначан, то је могуће урадити. Међутим, када <math>X</math> није коначан, не постоји гаранција да ће такво најмање <math>\delta=\delta_0</math> уопште постојати. Тиме је оправдана постојаност наведене дефиниције равномерне непрекидности.

== Критеријум за одређивање равномерне непрекидности ==
{{главни чланак|Канторов став о равномерној непрекидности}}

Општи критеријум за одређивање равномерне непрекидности функција даје [[Канторов став о равномерној непрекидности]].
Теорема се може доказати коришћењем [[Борел-Лебегова лема|Борел-Лебегове леме]] о покривачима и потпокривачима.

=== Теорема ===

Ако је функција <math>f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}</math> непрекидна на интервалу <math>[a,b]</math>, она је и равномерно непрекидна на њему.

=== Доказ ===

Из [[дефиниције непрекидности]] имамо да ако је функција <math>f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}</math> непрекидна на интервалу <math>[a,b]</math> (дато као услов за теорему), онда за произвољну тачку <math>x</math> из тог сегмента постоји нека околина <math>U(x) = (x - \delta, x + \delta)</math> и за све тачке <math>x_1 \in U(x)</math> важи: <math>|f(x) - f(x_1)| < \frac { \varepsilon} {2})</math>.

Изаберимо 2 тачке, <math>x_1, x_2 \in U(x)</math>. Тада је:
:<math>|f(x_1) - f(x_2)| \leq |f(x) - f(x_1)| + |f(x) - f(x_2)| < \frac { \varepsilon} {2} + \frac { \varepsilon} {2} = \varepsilon.</math>

Изаберимо сада околину дупло мањег полупречника, <math>U'(x) = (x - \frac { \delta} {2}, x + \frac { \delta} {2})</math>. Ако такву околину конструишемо за сваку тачку сегмента <math>[a,b]</math>, добићемо скуп отворених интервала који очигледно прекрива цео сегмент <math>[a,b]</math>, па скуп тих интервала чини [[покривач (математика)|покривач]] сегмента <math>[a,b]</math>. Из [[Борел-Лебегова лема|Борел-Лебегове леме]] имамо да постоји коначан [[покривач (математика)|потпокривач]] тог интервала, тј. да постоје тачке <math>x_1, x_2, ..., x_n</math> тако да њихове околине <math>U'_1, U'_2, ..., U'_n</math> образују подпокривач сегмента <math>[a,b]</math>. Како тачака <math>x_1, x_2, ..., x_n</math> има коначно много, може се међу њиховим околинама пронаћи најмање <math> \frac {\delta_i} {2}</math> и означимо га са <math> \delta</math>.

Изаберимо сада неку тачку <math>x'</math> из интервала <math>[a,b]</math> која припада неком од интервала <math>U'_1, U'_2, ..., U'_n</math>, што записујемо: <math>|x_i - x'| < \frac { \delta_i} {2}</math>.

Изаберимо и тачку <math>x''</math> из интервала <math>[a,b]</math> која се налази у <math>\delta</math>-околини тачке <math>x'</math>, тј. <math>|x' - x''| < \delta</math>. То можемо урадити [[дефиниције непрекидности|по дефиницији]], зато што је функција у целом сегменту непрекидна, а пошто је <math> \delta \leq \frac { \delta_i} {2}</math>, онда је сигурно и <math>|x' - x''| < \frac { \delta_i} {2}</math>.

Сада, из <math>|x_i - x'| < \frac { \delta_i} {2}</math> и <math>|x' - x''| < \frac { \delta_i} {2}</math> имамо да је:
:<math>|x_i - x''| \leq |x' - x_i| + |x' - x''| < \frac { \delta_i} {2} + \frac { \delta_i} {2} = \delta_i,</math>
тј. обе тачке, и <math>x'</math> и <math>x''</math>, припадају <math> \delta_i</math>-околини тачке <math> \delta_i</math>, односно, обе се налазе унутар неке околине <math>(x - \delta_i, x + \delta_i)</math>,
па имамо да је онда
<math>|f(x') - f(x'')| < \varepsilon</math>, што је и требало доказати.

== Види још ==
* [[Непрекидна функција]]
* [[Борел-Лебегова лема]]
* [[Канторов став о равномерној непрекидности]]

== Литература ==
* Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Математика]]
[[Категорија:Математичка анализа]]
[[Категорија:Калкулус]]