Изворни код странице Оса-угао ротација

[[Датотека:osa-ugao.png|400px|thumb|right|Оса-угао вектор {{math|'''θ''' {{=}} ''θ'' '''e'''}} где је {{math|'''e'''}} јединични вектор помножен углом {{math|''θ''}}. ]]

У [[математика|математици]], '''оса-угао представљање''' ротације параметризује [[w:rotation (mathematics)|ротацију]] у [[Тродимензионални простор|тродимензионалном]] [[Еуклидов простор|Еуклидовом простору]] са три величине: [[Вектор|Јединичним вектором]] {{math|'''e'''}} (који одређује правац осе ротације) и [[угао|углом]] {{math|''θ''}} (који описује интензитет ротације око осе). Потребне су само две вредности (не три) да би се дефинисао јединични вектор {{math|'''e'''}} зато што му је интензитет константан. [[Скаларни производ вектора|Скаларни производ]] угла {{math|''θ''}} и јединичног вектора {{math|'''e'''}} је оса-угао вектор.

:<math>\boldsymbol{\theta} = \theta\mathbf{e} \,. </math>

Сам по себи вектор не врши ротацију него се користи за конструисање трансформације које одговара ротацији. Ротација се одиграва у складу са правилом десне руке. Оса ротације се понекад назива и '''Ојлерова оса'''.

Ово је само један од начина формализације ротације у тродимензиалном простору. Основа за оса-угао представљање је [[w:Euler%27s_theorem|Ојлерова теорема]] ротације која каже да ротација или секвенца ротација чврстог тела у тродимензионалном простору еквивалентна једној ротацији око фиксене осе.


== Вектор ротације ==
Оса-угао представљање је еквивалентно сажетиом формом '''вектор ротације''' који се такође назива и '''Ојлеров вектор'''. У овом случају и оса и угао ротације су представљени вектором чији је правац паралелан са осом ротације а интензитет одговара углу {{math|''θ''}}. 

:<math>\boldsymbol{\theta} = \theta \mathbf{e}  ~.</math>

Користи се за експоненциајлне и логаритамске функције укључене у овај облик представљања ротације.

=== Пример ===
Рецимо да стојимо и да смо изабрали да је смер вектора гравитације негативан смер {{math|''z''}} осе. Тада, ако се окренемо налево, ротираћемо се за {{math|{{frac|''π''|2}}}} или 90 степени око {{math|''z''}} осе. Посматрајући оса-угао предстваљање као уређени пар:

:<math>( \mathrm{axis}, \mathrm{angle} ) = \left( \begin{bmatrix} e_x \\ e_y \\ e_z \end{bmatrix},\theta \right) = \left( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\frac{\pi}{2}\right).</math>

Овај пример може бити приказан и као вектор ротације интензитета {{math|{{frac|''π''|2}}}} усмереног у {{math|''z''}} правцу,

:<math>\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{\pi}{2} \end{bmatrix}.</math>

== Употреба ==
Оса-угао представљање је погодно за опис динамике чврстог тела. Такође се користи за опис ротације као и за кенверзију из различитих представљања динамике кретања чврстог тела. 

Када се чврсто тело ротира око фиксне осе, тада је оса константна, а угао се мења у зависности од времена.

== Ротирање вектора ==

[[Родригезова формула ротације]]<ref>Садржи уређену тројку за представљање ротационе групе. За више димензионално представљање, погледати {{Cite journal | doi = 10.3842/SIGMA.2014.084|last = Curtright|last2 = Fairlie|last3=Zachos|first = T L |first2 = D B |first3 = C K |authorlink=Thomas Curtright |authorlink2=David Fairlie |authorlink3=Cosmas Zachos|year=2014|title = A compact formula for rotations as spin matrix polynomials| journal =SIGMA| volume=10|pages=084}}</ref> је ефикасан алгоритам за ротацију Еуклидовог вектора, задату са осом ротације и углом. Другим речима Родригезова формула даје алгоритам за израчунавање експоненцијалне функције од {{math|'''so'''(3)}} до {{math|SO(3)}} без рачунања експоненцијалне функције целе матрице. 

Ако је {{math|'''v'''}} вектор у {{math|ℝ<sup>3</sup>}} и {{math|'''e'''}} је јединични вектор који описује осу ротације око које {{math|'''v'''}} ротиран за угао {{math|''θ''}} Родригезова формула за добијање ротираног вектора је:

:<math>
\mathbf{v}_\mathrm{rot} = (\cos\theta) \mathbf{v}  + (\sin\theta) (\mathbf{e} \times \mathbf{v})
  +  (1 - \cos\theta) (\mathbf{e} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{e}~.
</math>

За ротацију једног вектора може бити ефикасније него пребацивање {{math|'''e'''}} и {{math|''θ''}} у матрицу ротације да би се вектор ротирао.

== Однос са осталим облицима представљања ротације ==

Постоји неколико начина представљања ротације. Корисно је разумети у каквој су међусобној вези, и како пребацити иѕ једног представљања у друго. Овде је јединичнни вектор означен са {{math|'''ω'''}} уместо {{math|'''e'''}}

=== Експоненцијална функција из so(3) у SO(3) ===

Експоненцијална фнкција трансформише из оса-уга представљања ротације у матрицу ротације. 

:<math>\exp\colon \mathfrak{so}(3) \to \mathrm{SO}(3)  ~.</math>

Користећи [[Тејлорова формула|Тејлорову формулу]] добијамо приближну релацију два представљања. Дати једиинични вектор '''&omega;''' ∈ <math>\mathfrak{so}</math>(3) = ℝ<sup>3</sup> представља осу ротације и угао ''θ'' ∈ ℝ, еквивалентна матрица ротације ''R'' је као што следи:
где је '''K''' [[Вектор#.D0.92.D0.B5.D0.BA.D1.82.D0.BE.D1.80.D1.81.D0.BA.D0.B8 .D0.BF.D1.80.D0.BE.D0.B8.D0.B7.D0.B2.D0.BE.D0.B4|векторски производ]] матрице '''&omega;'''. 

'''K v''' = '''&omega;''' × '''v''' за све векторе '''v''' ∈ ℝ<sup>3</sup>,
:<math>R = \exp(\theta \mathbf{K}) = \sum_{k=0}^\infty\frac{(\theta \mathbf{K})^k}{k!} = I + \mathbf{K} \theta + \frac{1}{2!}(\theta \mathbf{K})^2 + \frac{1}{3!}(\theta \mathbf{K})^3 + \cdots</math>

Зато што је '''K''' косо-симетрична и сума квадрата изнад дијагонале је 1, карактеристични полином {{math|''P''(''t'')}} од '''K''' је {{math|''P''(''t'') {{=}} det('''K''' − ''t'' '''I''') {{=}}  −(''t''<sup>3</sup> + ''t'')}}. Пошто је по [[Hamilton-Cayley theorem]], {{math|''P''('''K''')}} = 0, следи 
:{{math|'''K'''<sup>3</sup> {{=}} –'''K'''}} . 
И као резултат, '''K'''<sup>4</sup> = –'''K'''<sup>2</sup>, '''K'''<sup>5</sup> = '''K''', '''K'''<sup>6</sup> = '''K'''<sup>2</sup>, '''K'''<sup>7</sup> = –'''K''' . 

Овај патерн се понавља бесконачно и пошто су сви високи степени '''K''' изражени као '''K'''<sup>2</sup>. Из претходне једначине следи: 

:<math>R = I + \left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right) \mathbf{K} + \left(\frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^4}{4!}  + \frac{\theta^6}{6!} - \cdots\right) \mathbf{K}^2 ~, </math>
а то је,
:<math>R = I + \sin(\theta) \mathbf{K}  + (1-\cos(\theta)) \mathbf{K}^2.</math>


Због постојања поменуте експоненцијалне функције, јединични вектор '''&omega;''' представља осу ротације, а угао ''θ'' се понекад назива ''експоненцијална координата'' матрице ротације ''R''.

=== Логаритамска функција из SO(3) у so(3) ===

Нека је '''K''' матрица 3x3 која утиче на векторски производ са осом ротације '''ω''': '''K'''('''v''') = '''ω''' × '''v''' за све векторе '''v''' који следе.

Да би се добила оса-угао форма ротирања, израчунавамо [[w:Rotation matrix#Determining the angle|угао из матрице ротације]]

:<math> \theta = \arccos\left( \frac{\mathrm{trace}(R) - 1}{2} \right) </math>
и то користимо да бисмо пронашли нормализовану осу,
:<math> \mathbf{\omega} = \frac{1}{2 \sin(\theta)} \begin{bmatrix} R(3,2)-R(2,3) \\ R(1,3)-R(3,1) \\ R(2,1)-R(1,2) \end{bmatrix} ~.</math>

Потребно је напоменнути да је логаритам матрице ротације ''R''
:<math> \log R = \left\{ \begin{matrix}
0 & \mathrm{if} \; \theta = 0 \\
\frac{\theta}{2 \sin(\theta)} (R - R^\mathsf{T}) & \mathrm{if} \; \theta \ne 0 \; \mathrm{and} \; \theta \in (-\pi, \pi)
  \end{matrix}\right.</math>

Изузетак је када ''R'' има sopstvene vrednosti jednake −1. U tom slučaju logaritam nije jedinstven. Ipak čak i kada je ''θ''&nbsp;=&nbsp;<math>\pi</math> Frobenius норма логаритма је :<math> \| \log(R) \|_F = \sqrt{2} | \theta | ~.</math>
Дате матрице ротација '''A''' и '''B''', 
:<math> d_g(A,B) := \| \log(A^\mathsf{T} B)\|_F </math>
је растојање у тродимензионалном простору између матрица ротације.

За мале ротације претходна рачуница за ''θ'' може биити нумерички непрецизна пошто извод arccos иде ка бесконачности како ''θ''&nbsp;→&nbsp;0. У том случају облици без осе ће обезбедити бољу информацију о ''θ'' пошто је за мале углове {{math|''R'' ≈ ''I''+ ''θ'' '''K'''}}. (то је зато што су то прва два члана у Тејлоровом реду за exp(''θ'' '''K''').)

Ова формулација такође има проблема када је ''θ''&nbsp;=&nbsp;<math>\pi</math>, где услови изван осе не дају информацију о оси ротације (која је вишесмислено дефинисана). У таковом случају потребно је приспитати претходну формули.
:<math>R = I + \mathbf{K} \sin(\theta) + \mathbf{K}^2 (1-\cos(\theta))</math>
У ''θ=π'', имамо
:<math>R = I + 2 \mathbf{K}^2 = I + 2(\mathbf{\omega} \otimes \mathbf{\omega} - I) = 2 \mathbf{\omega} \otimes \mathbf{\omega} - I</math>
и нека
:<math>B:=\mathbf{\omega} \otimes \mathbf{\omega} = \frac{1}{2}(R+I) ~,</math>
тако да је диагонална вредност од ''B'' квадрат елемената '''&omega;''' и знак може бити одређен из знакова ван дијагонале од &nbsp;''B''.

=== Кватерниони ===

Следећи израз трансформише оса-угао координате у версоре (јединичне кватернионе).
:<math>Q = \left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right),  \mathbf{\omega} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)</math>


Дати версор <math>q = s + \mathbf{x}</math> представљен са својим скаларом ''s'' и вектором '''x''', оса-угао вредности могу бити нађене следећом формулом:

:<math>\theta = 2\,\arccos(s)\,</math>
:<math>\mathbf{\omega} =
\left\{
  \begin{matrix}
    \frac{x}{ \sin( \theta/2 ) }
     , & \mathrm{if} \; \theta \neq 0 \\ 
    0, & \mathrm{otherwise}
  \end{matrix}
\right.
</math>

Нумерички стабилнија метода користи атан2 функцију:

:<math>\theta = 2\,\operatorname{atan2}(|x|,s)\,,</math>
где |'''x'''| је [[Еуклидска раздаљина|Еуклидова норма]] вектора (3) '''x'''.

== Референце ==
{{reflist}}

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Угао]]