Изворни код странице Орбитални елементи

[[Датотека:Angular Parameters of Elliptical Orbit.png|мини|250п|Угаони параметри елиптичне орбите]]

Свака орбита је одређена '''орбиталним елементима''' или '''параметрима''' који тачно описују орбиту, као и положај тела на њој.<ref>{{cite web
 |title=Tutorial
 |series=Keplerian elements
 |website=[[AMSAT]]
 |url=http://www.amsat.org/amsat/keps/kepmodel.html |url-status=dead
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20021014232553/http://www.amsat.org/amsat/keps/kepmodel.html
 |archive-date=2002-10-14
}}</ref> [[орбитални елементи|Орбиталних елемената]] има шест и они су: [[ексцентрицитет]], [[велика полуоса]], [[инклинација]], [[лонгитуда узлазног чвора]], [[аргумент перихела]], [[Апоцентар и перицентар]], и [[права аномалија]].

== Кеплерови елементи {{anchor|Keplerian}}==

[[File:Orbit1.svg|thumb|250px|У овом дијаграму, [[orbital plane (astronomy)|орбитална раван]] (жута) сече референтну раван (сива). За сателите који круже око Земље, референтна раван је обично Земљина екваторијална раван, а за сателите у орбитама Сунца то је [[plane of the ecliptic|раван еклиптике]]. Пресек се назива [[orbital node|линија чворова]], јер повезује центар масе са узлазним и силажним чворовима. Референтна раван, заједно са тачком [[Равнодневица|равнодневице]] (<big>♈︎</big>), успоставља референтни оквир.]]

Традиционални орбитални елементи су шест '''Кеплерових елемената''', по [[Johannes Kepler|Јоханесу Кеплеру]] и његовим [[Kepler's laws|законима планетарног кретања]].

Када се посматрају из [[inertial frame|инерцијалног оквира]], два тела у орбити оцртавају различите путање. Свака од ових путања има фокус у заједничком [[center of mass|центру масе]]. Када се посматра из неинерцијалног оквира усредсређеног на једно од тела, видљива је само путања супротног тела; Кеплерови елементи описују ове неинерцијалне путање. Орбита има два скупа Кеплерових елемената у зависности од тога које тело се користи као референтна тачка. Референтно тело (обично најмасовније) назива се ''[[primary (astronomy)|примарно]]'', друго тело се назива ''секундарно''. Примарни не мора нужно да поседује већу масу од секундарног, а чак и када су тела једнаке масе, орбитални елементи зависе од избора примарног.

Два елемента дефинишу облик и величину елипсе:
* [[Eccentricity (orbit)|Ексцентрицитет]] ({{mvar|e}}) — облик елипсе, који описује колико је издужена у односу на круг (није означено на дијаграму).
* [[Semimajor axis|Велика полуоса]] ({{mvar|a}}) — збир [[apsis|растојања периапсе и апоапсе]] подељен са два. За класичне орбите са два тела, велика полуоса је растојање између центара тела, а не растојање тела од центра масе.

Два елемента дефинишу оријентацију [[orbital plane (astronomy)|орбиталне равни]] у коју је уграђена елипса:
* [[Inclination|Инклинација]] ({{mvar|i}}) — вертикални нагиб елипсе у односу на референтну раван, мерено у [[ascending node|узлазном чвору]] (где орбита пролази нагоре кроз референтну раван, зелени угао {{mvar|i}} на дијаграму). Угао нагиба се мери нормално на линију пресека између орбиталне и референтне равни. Било које три тачке на елипси ће дефинисати орбиталну раван елипсе. Раван и елипса су дводимензионални објекти дефинисани у тродимензионалном простору.
* [[Longitude of the ascending node|Географска дужина узлазног чвора]] ({{math|Ω}}) — хоризонтално оријентише [[ascending node|узлазни чвор]] елипсе (где орбита пролази нагоре кроз референтну раван, симболизовану са {{math|☊}}) у односу на [[vernal point|тачку равнодневнице]] референтног оквира (симболизовану са ♈︎). Ово се мери у референтној равни и приказано је као зелени угао {{math|Ω}} на дијаграму.

Преостала два елемента су:
* [[Argument of periapsis|Аргумент перихела]] (ω) дефинише оријентацију елипсе у орбиталној равни, као угао мерен од узлазног чвора до перихела (најближа тачка када сателитски објекат долази до примарног објекта око којег кружи, плави угао {{mvar|ω}} у дијаграм).
* [[True anomaly|Права аномалија]] ({{mvar|ν}}, {{mvar|θ}}, или {{mvar|f}}) у [[epoch (astronomy)|епохи]] ({{math|''t''<sub>0</sub>}}) дефинише положај тела у орбити дуж елипсе у одређено време („епоха“).

=== Обавезни параметри ===

С обзиром на [[inertial frame of reference|инерцијални референтни оквир]] и произвољну [[epoch (astronomy)|епоху]] (одређену временску тачку), потребно је тачно шест параметара да се недвосмислено дефинише произвољна и непоремећена орбита.

То је зато што проблем садржи [[degrees of freedom (mechanics)|шест степени слободе]]. Оне одговарају трима просторним [[dimension|димензијама]] које дефинишу позицију ({{mvar|x}}, {{mvar|y}}, {{mvar|z}} у [[Cartesian coordinate system|Декартовом координатном систему]]), плус брзину у свакој од ових димензија. Они се могу описати као [[orbital state vectors|вектори орбиталног стања]], али ово је често незгодан начин за представљање орбите, због чега се уместо њих обично користе Кеплерови елементи.

Понекад се епоха сматра „седмим“ орбиталним параметром, а не делом референтног оквира.

Ако је епоха дефинисана у тренутку када је један од елемената нула, број неодређених елемената се смањује на пет. (Шести параметар је и даље неопходан за дефинисање орбите; он је само нумерички постављен на нулу по конвенцији или се „премешта“ у дефиницију епохе у односу на време у стварном свету.)

=== Алтернативне параметризације ===

Кеплерови елементи се могу добити из [[orbital state vectors|орбиталних вектора стања]] (тродимензионални вектор за позицију и други за брзину) ручним трансформацијама или помоћу компјутерског софтвера.<ref>For example, with {{cite web
 |url=http://www.amsat.org/amsat-new/information/faqs/sv_keps.php
 |title=VEC2TLE
 |website=amsat.org
 |access-date=26. 06. 2022
 |archive-date=20. 05. 2016
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160520165738/http://www.amsat.org/amsat-new/information/faqs/sv_keps.php
 |url-status=dead
 }}</ref>

Други параметри орбите могу се израчунати из Кеплерових елемената као што су [[orbital period|период]], [[apsis|апсида и перихел]]. (Када круже око Земље, последња два појма су позната као апогеј и перигеј.) Уобичајено је да се наведе период уместо велике полуосе у скуповима Кеплерових елемената, пошто се сваки може израчунати из другог за дати [[standard gravitational parameter|стандардни гравитациони параметар]], {{mvar|GM}}, је дат за централно тело.

Уместо [[mean anomaly|средње аномалије]] у [[epoch (astronomy)|епохи]], може се користити [[mean anomaly|средња аномалија]] {{mvar|M}}, [[mean longitude|средња географска дужина]], [[true anomaly|права аномалија]] {{math|''ν''<sub>0</sub>}} или (ретко) [[eccentric anomaly|ексцентрична аномалија]].

Коришћење, на пример, „средње аномалије“ уместо „средње аномалије у епохи“ значи да време {{mvar|t}} мора бити наведено као седми орбитални елемент. Понекад се претпоставља да је средња аномалија нула у епохи (одабиром одговарајуће дефиниције епохе), остављајући само пет других орбиталних елемената да буду специфицирани.

За разна астрономска тела користе се различити скупови елемената. Ексцентрицитет, {{mvar|e}}, и велика полуоса, {{mvar|a}}, или растојање периапсе, {{mvar|q}}, користе се за одређивање облика и величине орбите. Географска дужина узлазног чвора, {{math|Ω}}, инклинација, {{mvar|i}}, и аргумент периапсе, {{mvar|ω}}, или географска дужина периапсе, {{mvar|ϖ}}, одређују оријентацију орбите у њеној равни. Географска дужина у епохи, {{math|''L''<sub>0</sub>}}, средња аномалија у епохи, {{math|''M''<sub>0</sub>}}, или време проласка перихела, {{math|''T''<sub>0</sub>}}, користе се за спецификацију познате тачке у орбити. Избори зависе од тога да ли се пролећна равнодневица или чвор користи као примарна референца. Велика полуоса је позната ако су познате средње кретање и [[mass#Gravitational mass|гравитациона маса]].<ref name="Green">
{{cite book
 |last=Green |first=Robin M.
 |date=1985
 |title=Spherical Astronomy
 |publisher=Cambridge University Press
 |isbn=978-0-521-23988-2
}}</ref><ref name="Danby">
{{cite book
 |last=Danby |first=J.M.A.
 |date=1962
 |title=Fundamentals of Celestial Mechanics
 |publisher=Willmann-Bell
 |isbn=978-0-943396-20-0
}}</ref>

Такође је прилично уобичајено видети или средњу аномалију ({{mvar|M}}) или средњу географску дужину ({{mvar|L}}) изражену директно, без {{math|''M''<sub>0</sub>}} или {{math|''L''<sub>0</sub>}} као међукорака, као [[polynomial|полиномску]] функцију у односу на време. Овај метод изражавања ће консолидовати средње кретање ({{mvar|n}}) у полином као један од коефицијената. Изгледаће да су {{mvar|L}} или {{mvar|M}} изражени на сложенији начин, али ће се чинити да је потребан један орбитални елемент мање.

Средње кретање такође може бити скривено иза цитата орбиталног периода {{mvar|P}}.

:{| class="wikitable" style="text-align: center"
|+ Скупови орбиталних елемената
! Објекат
! Употребљени елементи
|-
| Главна планета
| {{math|''e'', ''a'', [[inclination|''i'']], [[ascending node|Ω]], [[longitude of periapsis|''ϖ'']], [[mean longitude|''L''<sub>0</sub>]]}}
|-
| Комета
| {{math|''e'', [[periapsis|''q'']], ''i'', Ω, [[argument of periapsis|''ω'']], ''T''<sub>0</sub>}}
|-
| Астероид
| {{math|''e'', ''a'', ''i'', Ω, [[argument of periapsis|''ω'']], [[mean anomaly|''M''<sub>0</sub>]]}}
|-
| [[#Two-line elements|Двоправни елементи]]
| {{math|''e'', ''i'', Ω, ''ω'', [[mean motion|''n'']], ''M''<sub>0</sub>}}
|}

==== Трансформације Ојлеровог угла ====

Углови {{math|Ω}}, {{mvar|i}}, {{mvar|ω}} су [[Euler angles|Ојлерови углови]] (који одговарају {{mvar|α}}, {{mvar|β}}, {{mvar|γ}} у ознакама коришћеним у том чланку) који карактеришу оријентацију координатног система
: '''{{math|x̂}}''', '''{{math|ŷ}}''', '''{{math|ẑ}}''' из инерцијалног координатног оквира '''{{math|Î}}''', '''{{math|Ĵ}}''', '''{{math|K̂}}'''

где:
* '''{{math|Î}}''', '''{{math|Ĵ}}''' се налази у екваторијалној равни централног тела. '''{{math|Î}}''' је у правцу пролећне равнодневице. '''{{math|Ĵ}}''' је окомито на '''{{math|Î}}''' и са '''{{math|Î}}''' дефинише референтну раван. '''{{math|K̂}}''' је управно на референтну раван. Орбитални елементи тела (планете, комете, астероиди, ...) у Сунчевом систему обично користе [[ecliptic|еклиптику]] као ту раван.
* '''{{math|x̂}}''', '''{{math|ŷ}}''' су у орбиталној равни и са '''{{math|x̂}}''' у правцу ка [[pericenter|перицентру]] ([[periapsis|периапсис]]). '''{{math|ẑ}}''' је управно на раван орбите. '''{{math|ŷ}}''' је међусобно окомито на '''{{math|x̂}}''' и '''{{math|ẑ}}'''.

Затим, трансформација из '''{{math|Î}}''', '''{{math|Ĵ}}''', '''{{math|K̂}}''' координатног оквира у оквир '''{{math|x̂}}''', '''{{math|ŷ}}''', '''{{math|ẑ}}''' са Ојлеровим угловима {{math|Ω}}, {{mvar|i}}, {{mvar|ω}} је:
:<math>\begin{align}
x_1 &= \cos \Omega \cdot \cos \omega - \sin \Omega \cdot \cos i \cdot \sin \omega\ ;\\
x_2 &= \sin \Omega \cdot \cos \omega + \cos \Omega \cdot \cos i \cdot \sin \omega\ ;\\
x_3 &= \sin i      \cdot \sin \omega ;\\
\, \\
y_1 &=-\cos \Omega \cdot \sin \omega - \sin \Omega  \cdot \cos i \cdot \cos \omega\ ;\\
y_2 &=-\sin \Omega \cdot \sin \omega + \cos \Omega  \cdot \cos i \cdot \cos \omega\ ;\\
y_3 &= \sin i      \cdot \cos \omega\ ;\\
\, \\
z_1 &= \sin i      \cdot \sin \Omega\ ;\\
z_2 &=-\sin i      \cdot \cos \Omega\ ;\\
z_3 &= \cos i\ ;\\
\, \end{align}</math>

:<math>\left[\begin{array}{ccc}
x_1 & x_2 & x_3 \\
y_1 & y_2 & y_3 \\
z_1 & z_2 & z_3
\end{array}
\right] =
\left[\begin{array}{ccc}
\cos\omega & \sin\omega & 0 \\
-\sin\omega & \cos\omega& 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\,
\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 &0 \\
0 & \cos i & \sin i\\
0 & -\sin i & \cos i
\end{array}
\right]
\,
\left[\begin{array}{ccc}
\cos\Omega & \sin\Omega & 0 \\
-\sin\Omega & \cos\Omega& 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]\,; </math>

где је

:<math>\begin{align}
\mathbf\hat{x} &= x_1\mathbf\hat{I} + x_2\mathbf\hat{J} + x_3\mathbf\hat{K} ~;\\
\mathbf\hat{y} &= y_1\mathbf\hat{I} + y_2\mathbf\hat{J} + y_3\mathbf\hat{K} ~;\\
\mathbf\hat{z} &= z_1\mathbf\hat{I} + z_2\mathbf\hat{J} + z_3\mathbf\hat{K} ~.\\
\, \end{align}</math>

Инверзна трансформација, која израчунава 3 координате у I-J-K систему дате 3 (или 2) координате у x-y-z систему, представљена је инверзном матрицом. Према правилима [[invertible matrix|матричне алгебре]], инверзна матрица производа 3 ротационе матрице добија се инвертовањем редоследа три матрице и променом предзнака три Ојлерова угла.

Трансформација од '''{{math|x̂}}''', '''{{math|ŷ}}''', '''{{math|ẑ}}''' до Ојлерових углова {{math|Ω}}, {{mvar|i}}, {{mvar|ω}} је:

:<math>\begin{align}
\Omega &= \operatorname{arg}\left( -z_2, z_1 \right)\\
i &= \operatorname{arg}\left( z_3, \sqrt{{z_1}^2 + {z_2}^2} \right)\\
\omega &= \operatorname{arg}\left( y_3, x_3 \right)\\
\, \end{align}</math>

где {{math|arg(''x'',''y'')}} означава поларни аргумент који се може израчунати са стандардном функцијом {{mono|[[atan2|atan2(y,x)]]}} доступном у многим програмским језицима.

== Референце ==
{{Reflist|}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* Р. Грин: „Астрономија: Класика у новом руху“, Веста, 1998.
* З. Бркић и Б. Шеварлић: „Општа астрономија“, [[Научна књига]], 1981.
* {{cite journal
 |first1=Pini |last1=Gurfil
 |year=2005
 |title=Euler parameters as nonsingular orbital elements in Near-Equatorial Orbits
 |journal=J. Guid. Contrl. Dynamics
 |volume=28 |number=5
 |pages=1079–1084
 |doi=10.2514/1.14760 |bibcode=2005JGCD...28.1079G
}}
* {{cite web
 |title=Tutorial
 |series=Keplerian elements
 |website=[[AMSAT]]
 |url=http://www.amsat.org/amsat/keps/kepmodel.html |url-status=dead
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20021014232553/http://www.amsat.org/amsat/keps/kepmodel.html
 |archive-date=2002-10-14
}}

* {{cite web
 |title=FAQ
 |series=Two-Line Elements
 |website=Celestrak
 |url=http://celestrak.com/columns/v04n03/ |url-status=dead
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160326061740/http://celestrak.com/columns/v04n03/
 |archive-date=2016-03-26
}}

* {{citation
 |last1= Biedenharn
 |first1= L. C.
 |last2= Louck
 |first2= J. D.
 |title= Angular Momentum in Quantum Physics
 |publisher= [[Addison–Wesley]]
 |place= Reading, MA
 |year= 1981
 |isbn= 978-0-201-13507-7
 }}
* {{citation
 |last1= Goldstein
 |first1= Herbert
 |author1-link= Herbert Goldstein
 |title= Classical Mechanics
 |edition= 2nd
 |publisher= Addison–Wesley
 |place= Reading, MA
 |year= 1980
 |isbn= 978-0-201-02918-5
 }}
* {{citation
 |last1= Gray
 |first1= Andrew
 |title= A Treatise on Gyrostatics and Rotational Motion
 |publisher= [[Macmillan Publishers|Macmillan]]
 |place= London
 |year= 1918
 |publication-date= 2007
 |isbn= 978-1-4212-5592-7
 }}
* {{citation
 |last1= Rose
 |first1= M. E.
 |title= Elementary Theory of Angular Momentum
 |publisher= [[John Wiley & Sons]]
 |place= New York, NY
 |year= 1957
 |publication-date= 1995
 |isbn= 978-0-486-68480-2
 }}
* {{citation
 |last1= Symon
 |first1= Keith
 |title= Mechanics
 |publisher= Addison-Wesley
 |place= Reading, MA
 |year= 1971
 |isbn= 978-0-201-07392-8
 }}
* {{citation
 |last1= Landau
 |first1= L.D.
 |author1-link=Lev Landau
 |last2= Lifshitz
 |first2= E. M.
 |author2-link= Evgeny Lifshitz
 |title= Mechanics
 |edition= 3rd
 |publisher=  Butterworth-Heinemann
 |year= 1996
 |isbn= 978-0-7506-2896-9
 |location= Oxford
 }}

{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commons category|Orbital elements}}
{{Литература|30em}}
* {{cite web
 |title=Orbits Tutorial
 |website=marine.rutgers.edu
 |url=https://marine.rutgers.edu/cool/education/class/paul/orbits.html
 |access-date=17. 01. 2022
 |archive-date=19. 04. 2021
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210419070231/https://marine.rutgers.edu/cool/education/class/paul/orbits.html
 |url-status=dead
 }}
* {{cite web
 |title=Orbital elements visualizer
 |website=orbitalmechanics.info
 |url=https://orbitalmechanics.info
}}
* {{cite report
 |title=Report No.&nbsp;3
 |series=Spacetrack
 |website=celestrak
 |publisher=[[North American Aerospace Defense Command]] (NORAD)
 |url=https://www.celestrak.com/NORAD/documentation/spacetrk.pdf
 |access-date=17. 01. 2022
 |archive-date=20. 01. 2022
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220120083353/http://www.celestrak.com/NORAD/documentation/spacetrk.pdf
 |url-status=
 }}
* {{cite web
 |title=The JPL HORIZONS online ephemeris
 |url=https://ssd.jpl.nasa.gov/?horizons
}}
* {{cite web
 |title=Mean orbital parameters
 |series=Planetary satellites
 |website=ssd.jpl.nasa.gov
 |publisher=JPL / NASA |url=https://ssd.jpl.nasa.gov/?sat_elem
}}
* {{cite web
 |title=Introduction to exporting
 |series=JPL planetary and lunar ephemerides
 |website=ssd.jpl.nasa.gov
 |publisher=JPL / NASA
 |url=ftp://ssd.jpl.nasa.gov/pub/eph/planets/README.txt
}}
* {{cite web
 |title=State vectors: VEC2TLE
 |type=software
 |website=MindSpring
 |url=http://www.mindspring.com/~n2wwd/html/body_state_vectors.html
 |url-status=dead
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160303213938/http://www.mindspring.com/~n2wwd/html/body_state_vectors.html
 |archive-date=2016-03-03
}}
* {{cite web
 |title=Function 'iauPlan94'
 |series=IAU SOFA C Library
 |type=[[C programming language|C software source]]
 |url=http://www.iausofa.org/2016_0503_C/sofa/plan94.c
}}
{{Литература крај}}

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Астрономија]]
[[Категорија:Небеска механика]]