Изворни код странице Лијувилова теорема (комплексна анализа)

'''Лијувилова теорема''' је теорема из области [[Комплексна анализа|комплексне анализе]]. Она гласи: ако је функција <math>f</math> [[холоморфна функција|холоморфна]] над цијелим скупом комплексних бројева (<math>f \in H(\mathbb{C})</math> и ограничена, тада је она идентички константа, тј. <math>f \equiv const</math>.

== Доказ ==
Нека је <math>K_R=\{z | |z-0| < R\}</math> круг са полупречником <math>R</math> и центром у нули. Како је функција холоморфна у <math>\mathbb{C}</math>, она је холоморфна и унутар <math>K_R</math>, па можемо да је развијемо у [[Тејлоров ред]]:

<math>f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-0)^n, \forall z \in K_R</math>

<math>a_n=\frac{1}{2\pi\rm i} \int_{|\xi-0|=R} \frac{f(\xi)}{(\xi-0)^{n+1}}</math>

Како је <math>f</math> ограничена, онда постоји <math>M>0</math> тако да је <math>|f(z)| \le M, \forall z \in \mathbb{C}</math>. Зато важе [[Кошијеве неједнакости]]:

<math>|a_n| \le \frac{M}{R^n}</math>.

Одатле:

<math>n \ne 0: \frac{M}{R^n}\rightarrow 0, R\rightarrow \infty \Rightarrow |a_n|\rightarrow 0</math>. (пустили смо да <math>R\rightarrow\infty</math> јер ће једначина бити иста за ма колико велико <math>R</math>).

<math>n=0: \frac{M}{R^n}=\frac{M}{R^0}=\frac{M}{1}=M\not\rightarrow 0</math>

Пошто су сви коефицијенти у Тејлоровом развоју једнаки нули, осим коефицијента <math>a_0</math>, слиједи да је:

<math>f(z) = a_0 \Rightarrow f(z) \equiv const</math>.

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Комплексна анализа]]