Изворни код странице Комплексан број

{{друга употреба|Број (вишезначна одредница)}}
[[Датотека:Complex number illustration.svg|мини|десно|Комплексни број може бити визуелно представљени као пар бројева {{math|(''a'', ''b'')}} који формирају вектор на дијаграму који се назива [[Комплексна раван|Аргандов дијаграм]], чиме се представља [[комплексна раван]]. -{„Re“}- је реална оса, -{„Im“}- је имагинарна оса, и {{math|''i''}} је [[имагинарна јединица]] која задовољава {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}.]]

Уређени пар [[Реалан број|реалних бројева]], означен са <math>(a, b)</math>, при чему су <math>a</math> и <math>b</math> реални бројеви (<math>a, b\in\mathbb{R}</math>), назива се '''комплексан број'''.<ref>Complex Variables (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outline Series, Mc Graw Hill (USA). {{page|year=|isbn=978-0-07-161569-3|pages=}}</ref><ref>{{harvnb|Aufmann|Barker|Nation|2007|pp=66}}</ref> (Реалан број је „прост“, док је уређени пар „сложен“, или комплексан, јер га сачињавају два броја). Скуп свих оваквих парова, односно свих комплексних бројева, означавамо са <math>\mathbb{C}</math> и он је суштински Декартов производ <math>\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}</math>. Уређени пар <math>(a, b)</math>, као комплексан број, записује се још као <math>a+bi</math>. Притом се елемент <math>i</math> назива имагинарна јединица, и има својство да је <math>i^2=-1</math>. {{sfn|McKeague|2011|p=524}} Имагинарни број се у физици често обележава и латиничним словом <math>j</math>.

У скупу комплексних бројева могуће је вршити операције [[Сабирање|сабирања]], [[Множење|множења]] и [[Дељење|дељења]] и оне се дефинишу на следећи начин:
: <math>(x_1, y_1)+(x_2, y_2)=(x_1+x_2, y_1+y_2)\,</math> (сабирамо први са првим, други са другим)
: <math>(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2)=(x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)\,</math> (до овог резултата је лако доћи ако их помножимо у облику <math>(x_1+y_1 i)\cdot(x_2+y_2 i)</math> и запамтимо да је <math>i^2=-1</math>)
: <math> \frac{(x_1, y_1)}{(x_2, y_2)} = (\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2},\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2})</math> (применимо методу као код множења, с тим што израз у имениоцу помножимо са <math>x_2-y_2 i</math>)

У комплексном броју <math>z=a+bi</math> број <math>a</math> се назива реални део и пише се <math>a=Re(z)</math>, а број <math>b</math> је имагинарни део и пише се <math>b=Im(z)</math>.

Комплексан број чији је реални део једнак нули назива се ''чисто имагинарни број''.

Скуп реалних бројева може се посматрати као подскуп скупа комплексних бројева (кад је други члан уређеног пара, односно коефицијент уз <math>i</math>, једнак нули). Иако се комплексним бројевима не изражавају [[количина|количине]], као што је то случај с реалним бројевима, њихово увођење се користи у решавању проблема састављених у терминима реалних бројева, на пример, проблема о пролазу струје кроз проводник, о профилу крила авиона (користећи [[функције Жуковског]]), итд.

Није мање важна ни примена комплексних бројева на чисто математичке проблеме. Тако на пример, за налажење корена [[кубна једначина|кубне једначине]] потребне су операције с комплексним бројевима.<ref>{{harvnb|Burton|1995|p=294}}</ref> Историјски, комплексни бројеви су уведени због решавања [[квадратна једначина|квадратних једначина]]. Свака квадратна једначина облика <math>ax^2+bx+c=0</math> има два решења у скупу комплексних бројева, док смо у скупу реалних бројева наилазили на проблем кад је у решењу облика <math>x=(-b\plusmn\sqrt{b^2-4ac})/2a</math> израз испод корена био негативан. Увођењем имагинарног броја са својством да је <math>i^2=-1</math>, корен поприма облик <math>\sqrt{i^2|b^2-4ac|}=\sqrt{i^2}\sqrt{|b^2-4ac|}=i\sqrt{b^2-4ac}</math> и решење добијамо у скупу комплексних бројева. Чињеница да комплексни бројеви не изражавају величине дала је повод за идеалистичко тумачење комплексних бројева (Г. [[Готфрид Вилхелм Лајбниц|Лајбниц]]). велика заслуга у смислу материјалистичког тумачења комплексних бројева припада Л. [[Леонард Ојлер|Ојлеру]]. Комплексни број се аксиоматски дефинише као [[уређени пар|уређен пар]] реалних бројева <math>(a, b)</math>. Формуле сабирања, множења, дељења се [[постулат|постулирају]] овако:

<math>(a, b)+(x, y)=(a+x, b+y)\,</math>,
<math>(a, b) \cdot (x, y)=(ax-by, ay+bx)</math>,
<math> \frac{(a, b)}{(x, y)} = (\frac{ax+by}{x^2+y^2}, \frac{bx-ay}{x^2+y^2})</math>.

Пар <math>(0;1)</math> се назива имагинарна јединица и означава симболом <math>i</math>. Из последњих формула произилази да је <math>i^2=-1</math>. Операције са комплексним бројевима задовољавају обичне законе комутативности, дистрибутивности и асоцијативности (као и у случају реалних бројева). Међутим, операције с комплексним бројевима под радикалима (коренима) донекле се разликују од аналогних операција с реалним бројевима. Тако је

<math>-1=i^2= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \not= \sqrt{(-1)(-1)}=1</math>.

== Дефиниција ==
Дефиницију комплексних бројева као уређених парова дао је [[Вилијам Роуан Хамилтон|Вилијам Р. Хамилтон]], ирски математичар (1805– 1865) Та се дефиниција темељи само на особини реалних бројева, чиме се избјегава донекле неразјашњени појам броја <math>\sqrt{-1}</math> .

С друге стране, запис облика <math>z = x + yi</math> погоднији је за рачунање.

Оба облика комплексног броја

<math>z = x + yi</math> i

<math>z = (x, y)</math> потпуно су еквивалентна.

Скуп комплексних бројева <math>\mathbb{C}</math> је скуп свих бројева облика <math>z=x+iy</math>, где су <math>x, y\in \mathbb{R}</math>.

Посебно је <math>0=0+i0</math>.

<math>x=\mathrm{Re}( z)</math> је реални део комплексног броја <math>z</math>,

<math>y=\mathrm{Im} z</math> је имагинарни део комплексног броја <math>z</math>.

;Алгебарски облик комплексног броја је

<math>z = x + iy</math> za <math>x, y \in \mathbb{R}</math>

;Тригонометријски облик комплексног броја је

<math>z = r(cos \theta + isin\theta), r \ge 0,\theta \in \mathbb{R}</math>

pri čemu je

<math>r=\mid z\mid</math> модул

<math>\theta = ARg z</math> аргумент

;Експоненцијални облик комплексног броја је

<math>z=r^{i\theta}</math> za <math>r \ge 0,\theta \in \mathbb{R}</math>

при чему је

<math>r=\mid z\mid</math> модул

<math>\theta = ARg z</math> аргумент

Два комплексна броја су једнака ако су им једнаки реални и имагинарни делови.

<math>z_{1} = z_{2} \, \, \leftrightarrow \, \, ( \operatorname{Re}(z_{1}) = \operatorname{Re}(z_{2}) \, \land \, \operatorname{Im} (z_{1}) = \operatorname{Im} (z_{2})).</math>

Коњуговано комплексни број броја <math>z=x+iy</math> је број <math>\bar z=x-iy</math>.

Модул или [[апсолутна вредност]] комплексног броја <math>z</math> је ненегативни реални број <math>r=\vert z\vert=\sqrt{x^2+y^2}</math>.

== Особине сабирања комплексних бројева ==

<math>(z_1+z_2=z_2+z_1 </math> za <math>\forall z_1, z_2 \in \mathbb{C}</math> [[комутативност]] сабирања<ref>{{Cite web |url=http://lav.fesb.hr/mat1/predavanja/node19.html |title=Рачунске операције су дефинисане |access-date=06. 04. 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170407143515/http://lav.fesb.hr/mat1/predavanja/node19.html |archive-date=07. 04. 2017 |url-status=dead }}</ref>

<math>z_1 + (z_2 + z_3)=(z_1 + z_2) + z_3,</math> za <math>\forall z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}</math> [[асоцијативност]] сабирања

<math>\exists 0\in \mathbb{C} z+0=z</math> za <math>\forall z \in \mathbb{C}</math> неутрални елемент [[0 (broj)|0(nula)]] за сабирање

Комплексни број <math>0=(0,0)=0+0i</math>

<math>(\forall z \in \mathbb{C}) (\exists (-z)\in \mathbb{C} z+(-z)=0 </math> постојање инверзног елемента.

Комплексни број <math>-z=(-x,-y)=-x-yi</math><ref name="file1333" >{{Cite web |url=https://element.hr/artikli/file/1333 |title=Аксиоми поља комплексних бројева |access-date=06. 04. 2017 |archive-date=07. 04. 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170407144504/https://element.hr/artikli/file/1333 |url-status=dead }}</ref>

== Особине множења комплексних бројева ==
<math>(z_1*z_2=z_2*z_1 </math> za <math>\forall z_1, z_2 \in \mathbb{C}</math> комутативност множења

<math>z_1 * (z_2 + z_3)=(z_1 + z_2) + z_3</math> za <math>\forall z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}</math> асоцијативност множења

<math>\exists 1\in \mathbb{C} z*1=z</math> za <math>\forall z \in \mathbb{C}</math> неутрални елемент <math>1</math> за множење

<math>\forall z \in \mathbb{C})(z \ne 0 )(\exists z'\in \mathbb{C} z*(-z)=1 </math> постојање реципрочног елемента

<math>z_1 * (z_2 + z_3) = z_1 * z_2 + z_1 * z_3</math> za <math>\forall z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}</math> дистрибутивност множења у односу на сабирање<ref name="file1333" />

=== Реалан производ два комплексна броја ===
У скупу комплексних бројева скаларном производу вектора одговара појам реалног производа комплексних бројева који је скаларни производ вектора који су одређени комплексним бројевима који се множе.

;Дефиниција
Реалан производ комплексних бројева <math>a</math> i <math>b</math>, у ознаци <math>a \circ b</math>, је реалан број одређен као

<math>a \circ b =\frac{1}{2}( \overline{a}b+a\overline{b})</math>

Нека су -{A}- и -{B}- тачке одређене комплексним бројевима <math>a = \mid a \mid(cos \varphi +
i sin \varphi)</math> i<math>b = \mid b \mid(cos \psi +
i sin \psi)</math> Лако је проверити да је

<math>a \circ b = \mid a \mid \mid b \mid ( cos \varphi+i sin \psi)=  \mid OA \mid \mid AB \mid cos \widehat{AOB}         </math>

Особине реалног производа два комплексна броја
# <math>a \circ a = \mid a \mid ^2</math>
# <math>a \circ b = b \circ a</math>
# <math>\overline{a \circ b}=a \circ b</math>
# <math>(\alpha a )\circ b =\alpha(a \circ b )=a \circ ( \alpha b)</math>
# <math>(az))bz)= \mid z \mid ^2 (a\circ b)</math>
# <math>a\circ b = 0 <=> OA \perp OB</math> (за тачке -{A}- и -{B}- комплексне равни одређене комплексним бројевима <math>a</math> и <math>b</math>)

Реалан производ комплексних бројева <math>a</math> и <math>b</math> једнак је потенцији координатног почетка <math>O</math> комплексне равни у односу на круг чији је пречник <math>AB</math>, где су <math>A</math> и <math>B</math> тачке комплексне равни одређене комплексним бројевима <math>a</math> Q <math>b</math>.

Тачка <math>M</math> је средина дужи -{AB}- одређена комплексним бројем <math>\frac{a+b}{2}
</math>, потенција тачке <math>O</math> у односу на круг са средиштем у тачки <math>M</math> и полупречником

<math>r = \frac{a-b}{2}= \frac{\mid a-b \mid}{2}</math> једнака је

<math>OM^2 - r^2 =\mid  \frac{a+b}{2}    \mid -\mid  \frac{a-b}{2}    \mid = \frac{(a+b)(\overline{a}+\overline{b}   }{4}-\frac{(a-b)(\overline{a}-\overline{b})   }{4}= a\circ b
</math>

Нека су тачке <math>A</math>,<math>B</math>,<math>C</math>,<math>D</math> тачке комплексне равни одређене комплексним бројевима <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math>. Тада су следећа тврђења еквивалентна:
# <math>AB \perp CD</math>
# <math>(a+b)\circ (c+d)=0</math>
# <math>\frac{b-a}{d-c}\in i\mathbb{R} \ \begin{Bmatrix}
 0
\end{Bmatrix}</math>
# <math>Re(\frac{b-a}{d-c})=0</math>

Средиште кружнице описане око троугла <math>ABC</math> налази се у координатном почетку комплексне равни. Ако су темена <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> троугла <math>ABC</math> одређена комплексним бројевима <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> респективно, тада је ортоцентар <math>H</math> тог троугла одређен комплексним бројем <math>h = a + b + c</math>.

=== Комплексан производ два комплексна броја ===
Комплексан производ два комплексна броја је аналоган векторском производу вектора.

;Дефиниција

Комплексан број

<math>a \times b =\frac{\overline{a}b - a \overline{b}}{2}</math>
називамо комплексним производом комплексних бројева <math>a</math> и <math>b</math>.

Нека су <math>A</math> и <math>B</math> тачке одређене комплексним бројевима
<math>
a = \mid a \mid(cos\varphi +i sin \varphi)</math> и
<math>a = \mid b \mid(cos\psi +i sin \psi)</math>
Лако је провјерити да је

<math>\mid a \times b \mid =\mid a \mid \mid b \mid sin(\varphi -\psi)=

\mid OA \mid \mid AB \mid sin\widehat{AOB}=2P_{AOB} </math>

Нека су <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> комплексни бројеви. Тада комплексан производ два комплексна броја има следеће особине
# <math>\overline{a \times b}= -a \times b</math>
# <math>a \times b= 0 <=> a=0 \lor b=0 \lor a= \lambda b</math> gdje je <math>\lambda \in \mathbb{R} \  \begin{Bmatrix}
 0
\end{Bmatrix}</math>
# <math>
a \times b =-b \times a</math>
# <math>\alpha (a \times b)=(\alpha a)\times b = a \times (\alpha b)</math> ( <math>\forall \alpha \in\mathbb{R}</math> )

Ако су <math>A(a)</math> и <math>B(b)</math> две различите тачке различите од <math>O(0)</math>, тада је
<math>a \times b = 0 </math> onda i samo onda ako su <math>O</math>, <math>A</math>,<math>B</math> колинеарне тачке.

Нека су <math>A(a</math>) и <math>B(b</math>) две различите тачке у комплексној равни различите од координатног почетка. Комплексан производ бројева <math>a</math> и <math>b</math> има следећи геометријски смисао

<math>a \times b = \begin{cases}
   2iP_{AOB} \ za \ trougao \ AOB \ pozitivno \  orijentisan \\
   -2iP_{AOB} \ za \ trougao \ AOB \ negativno \ orijentisan
\end{cases}</math>
Нека су <math>A(a)</math>, <math>B(b)</math> и <math>C(c)</math> три различите тачке у комплексној равни.

Тада је

<math>P_{ABC}=\begin{cases}
   \frac{1}{2}( a \times b + b \times c + c \times a )\ ako \ je \ ABC \ pozitivno \ orijentisan \\
   \frac{1}{2}( a \times b + b \times c + c \times a )\ ako \ je \ ABC \ negativno \ orijentisan 
\end{cases}</math>

Нека су <math>A(a)</math>, <math>B(b)</math> и <math>C(c)</math> три различите тачке у комплексној равни.

Тада су следећа тврђења еквивалентна
# Тачке <math>A</math>,<math>B</math>,<math>C</math> су колинеарне
# <math>(b - a) \times  (c - a) = 0</math>
# <math>a \times b + b \times  c + c \times  a = 0</math>

Нека су <math>A(a)</math>, <math>B(b)</math>, <math>C(c)</math> и <math>D(d)</math> четири тачке од којих ни једна група од три нису колинеарне. Тада је <math>AB\parallel CD</math> онда и само онда ако је <math>(b-a)\times(d-c) = 0</math>

== Дељење комплексних бројева ==
<math>\displaystyle \frac{z_1}{z_2} \displaystyle = \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\cdot \frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2} \displaystyle = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \quad \textrm{za}\quad z_2\neq 0</math>

У сваком скупу бројева дељење се дефинише као множење инверзним елементом. Уверимо се да за

<math>
\forall z \in \mathbb{C})(z \ne 0 )\exists z'\in \mathbb{C}</math>

Нека је
<math>z = x + yi \ne  0</math> bilo koji. Onda je <math>x^2 + y^2 \ne 0</math> па је добро дефинисан број

<math>z'=	\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{-y}{x^2+y^2}i</math>

<math>\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z \bar{z}}=\frac{\bar{z}}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2} -\frac{y}{x^2+y^2}i.</math>

имамо

<math>z'*z=z*z'=1 </math>

<math>z'=z^{-1}=\frac{1}{z}</math>

== Коњуговано комплексни бројеви ==
[[Датотека:Complex conjugate picture.svg|мини|десно|Коњуговано комплексни бројеви]]
Комплексан број <math>\overline{z} \  = x - yi=r^{-i\theta} </math> називамо коњугованим бројем <math>z = x + yi = r^{i\theta}</math>.<ref>[http://www.elfak.ni.ac.rs/downloads/informacije/studenti/praktikumi/kompleksni-brojevi.pdf Коњуговано комплексни број комплексног броја]</ref>

Бројеви <math>z</math> i <math>\overline{z}</math> чине пар коњугованих бројева. Њиховим сабирањем и одузимањем добијамо
: <math>Re z = \frac{1}{2}(z+\overline{z})</math>
: <math>Im z = \frac{1}{2i}(z-\overline{z})</math>

Лако се проверава да вреди
# <math>
\overline{z_1+z_2} =\overline{z_1} +\overline{z_2}</math>
# <math>
\overline{z_1-z_2} =\overline{z_1} -\overline{z_2}</math>
# <math>
\overline{z_1*z_2} =\overline{z_1} *\overline{z_2}</math>
# <math>
\overline{(\frac{z_1}{z_2})} =\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_1}}</math><ref name="file1333" />
Neka je
<math>z=r(cos \theta+ isin \theta)= r\ cis \theta</math> тригонометријски облик комплексног броја. Тада је

<math>z^2=z*z</math>

<math>z^2=r\ cis \theta * r\ cis \theta =r^2 \ cis (\theta + \theta)=  r^2 \ cis 2\theta</math>

<math>z^3=r^2\ cis 2\theta * r\ cis \theta =r^3 \ cis (2\theta + \theta)=  r^3 \ cis 3\theta</math>

<math>z^4=r^3\ cis 3\theta * r\ cis \theta =r^4 \ cis (3\theta + \theta)=  r^4 \ cis 4\theta</math><ref>[http://www.elfak.ni.ac.rs/downloads/informacije/studenti/praktikumi/kompleksni-brojevi.pdf Степеновање, 19. фебруар 2014].</ref>

На овај начин добијамо општи облик Де Моавровог теорема који има важну улогу у електротехници

<math>z^n=  r^n \ cis n\theta</math> Q

<math>(cos \theta+ isin \theta)^n=  cos n\theta + isin n\theta (n \in Z)</math><ref>[http://www.elfak.ni.ac.rs/downloads/informacije/studenti/praktikumi/kompleksni-brojevi.pdf Моаврова формула]</ref>

== Степеновање комплексног броја ==

<math>z^n = r^n(cosn \theta + isin n \theta) = r^ne^{in\theta}</math> za <math>n \in  N</math>.

<math>z^mz^n=z^{m+n}</math>

<math>(z_1z_2)^n=(z_1z_2)^n</math>

<math>(z^m)^n=z^{mn}</math>

== Кореновање комплексног броја ==

<math>\sqrt[n]{z}=\begin{Bmatrix}
 u_0, u_1...u_n
\end{Bmatrix}
</math> за <math>n \in  N</math>

где је

<math>
u_k=\sqrt[n]{r}(cos\frac{\sqrt[n]{r}}{n}+i sin \frac{\theta+2k\pi }{n})</math> za <math>k=0,1...(n-1)</math>

<math>u_k= \sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi )/2} </math> za <math>k=0,1...(n-1)</math>

== Квадратни корен имагинарног броја ==

<math>\sqrt{i} = \frac{1}{2}\sqrt{2} + i\frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).</math>

Овај резултат можемо добити на следећи начин

<math>i = (a+bi)^2\!</math>

<math>i = a^2 + 2abi - b^2.\!</math>

Добијамо две једначине

<math>\begin{cases}
2ab = 1\! \\
a^2 - b^2 = 0\!
\end{cases}</math>

чија су решења

<math>a = b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.</math>

Избор главног корена даје

<math>a = b = \frac{1}{\sqrt{2}}.</math>

Резултат можемо добити помоћу Моаврове формуле

<math>i = \cos\left (\frac{\pi}{2}\right ) + i\sin\left (\frac{\pi}{2}\right )</math>

<math>\begin{align}
\sqrt{i} & = \left ( \cos\left ( \frac{\pi}{2} \right ) + i\sin \left (\frac{\pi}{2} \right ) \right )^{\frac{1}{2}}  \\
             & = \cos\left (\frac{\pi}{4} \right ) + i\sin\left ( \frac{\pi}{4} \right ) \\
             & = \frac{1}{\sqrt{2}} + i\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right ) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i) . \\
\end{align}
</math>

== Апсолутна вредност аргумента ==
Апсолутна вредност (или модул или величине) комплексног броја <math>z = x + yi</math> je

:<math>\textstyle r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.\,</math><ref name="file1333" />

Квадрат апсолутне вредности је

<math>\textstyle |z|^2=z\bar{z}=x^2+y^2.\,</math>

<math>\varphi = \arg(z) =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
\mbox{indeterminate } & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0.
\end{cases}</math>

== Множење и дељење у поларном облику ==

Из тригонометријских идентитета
: <math> \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a + b)</math>
: <math> \cos(a)\sin(b) + \sin(a)\cos(b) = \sin(a + b)</math>

имамо
: <math>z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).\,</math>

;Пример
: <math>(2+i)(3+i)=5+5i. \,</math>
: <math>\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} </math>

Дељење
: <math>\frac{z_1}{ z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right).</math>

== Тригонометријски облик ==
Понекад је комплексне бројеве погодно писати у тригонометријском облику:

<math>a+bi= \rho (\cos \phi +i \sin \phi )\,</math>,

<math> \rho = \sqrt{a^2+b^2}, \ \phi = \arctan \frac{b}{a}</math>, за <math>a>0\,</math> и <math> \phi = \pi + \arctan \frac{b}{a}</math> за <math>a<0\,</math>; када је <math>a=0</math> онда је <math> \phi = \frac{ \pi}{2}</math>, ако је <math>b>0</math> и <math> \phi =- \frac{ \pi}{2}</math>, ako je <math>b<0</math>. Број <math> \rho\,</math> се назива [[модуларна аритметика|модуо]] комплексног броја, а <math> \phi\,</math> је [[Аргумент (математика)|аргумент]] комплексног броја.

Множити комплексне бројеве је веома погодно баш у овом облику.

У множењу комплексних бројева множе се њихови модули, а аргументи се сабирају. 
<math> r_1(\cos \phi_1 +i \sin \phi_1) \cdot r_2(\cos \phi_2 +i \sin \phi_2) = r_1 r_2 (\cos (\phi_1 + \phi_2) +i \sin(\phi_1 + \phi_2) ) \,  </math>.

слично је и за дељење.
<math> \frac{ r_1(\cos \phi_1 +i \sin \phi_1 )}{ r_2(\cos \phi_2 +i \sin \phi_2) } = \frac{r_1}{ r_2} (\cos (\phi_1 - \phi_2) +i \sin(\phi_1 - \phi_2) ) \,  </math>.

Из овог правила произлази [[Моаврова формула]]:

<math>(\cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\,</math> .

Комплексни бројеви се често представљају [[вектор]]има у [[комплексна раван|комплексној равни]] (слика доле). Геометријски смисао бројева <math>a, b, \rho,\phi</math> види се на [[цртеж]]у. У сабирању комплексних бројева њихови вектори се сабирају по [[правило паралелограма|правилу паралелограма]].

[[Датотека:Kompleksna-ravan.gif|мини|десно|Комплексна раван]]

Дужина вектора <math>\rho</math> је [[модуларна аритметика|модуо]], или модул комплексног броја, а као што се види на горњој слици, може се добити помоћу [[Питагорина теорема|Питагорине теореме]]. Модул, интензитет комплексног броја често означавамо као апсолутну вредност, тј. удаљеност броја од исходишта координатног система: <math>|z|=\rho = \sqrt{a^2+b^2}</math>.

Комплексни бројеви у тригонометријском облику су уско повезани с експоненцијалном функцијом имагинарног аргумента. Важи следећа [[Ојлерова формула]]:
: <math>e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi \,</math>;

помоћу ње се дефинише [[степеновање]] комплексних бројева, [[логаритам]] комплексног броја и др.

Комплексни бројеви образују [[алгебарско затворено поље]]. [[Поље (математика)|Поље]] комплексних бројева је проширење поља реалних бројева придруживањем овом пољу елемента <math>i</math>, таквог да је <math>i^2=-1</math>.

;Множење
Множење комплексних бројева у тригонометријском облику је слично множењу комплексних бројева у стандардном облику.

Нека су задани комплексни бројеви

<math>z_1=r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1)</math> i <math>z_2=r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)</math>

онда је<ref name="profesorka.wordpress.com" >[https://profesorka.wordpress.com/2014/02/19/mnozenje-i-deljenje-kompleksnih-brojeva-u-trigonometrijskom-obliku/ Множење и дељење комплексних бројева у тригонометрији, 19. фебруар 2014]</ref>

<math>z_1z_2=r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1)r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)=</math>

<math>r_1r_2(cos\varphi_1cos\varphi_2+icos\varphi_1sin\varphi_2+icos\varphi_2sin\varphi_1+i^2sin\varphi_1sin\varphi_2)=</math>

<math>
r_1r_2((  cos\varphi_1cos\varphi_2 -  sin\varphi_1 sin\varphi_2)+ i(cos\varphi_1sin\varphi_2 cos\varphi_2sin\varphi_1))=</math>

<math>r_1r_2(cos(\varphi_1+\varphi_2)+i sin(\varphi_1+\varphi_2))</math>

;Дељење

Нека су задати комплексни бројеви

<math>z_1=r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1)</math> i <math>z_2=r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)</math>

<math>\frac{z_1}{z_2}= 	\frac{r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1)}{r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)}= \frac{r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1)}{r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)}*
\frac{(cos\varphi_2-isin\varphi_2)}{(cos\varphi_2-isin\varphi_2)}
</math><ref name="profesorka.wordpress.com" />

<math>	 \frac{r_1}{r_2}*\frac{cos\varphi_1cos\varphi_2-icos\varphi_1sin\varphi_2+icos\varphi_2sin\varphi_1-i^2sin\varphi_1sin\varphi_2}{cos^2\varphi_2+sin^2\varphi_2}</math>

<math>\frac{r_1}{r_2}(cos(\varphi_1-\varphi_2)+isin (\varphi_1-\varphi_2))=\frac{r_1}{r_2}(cis(\varphi_1-\varphi_2)</math>

=== Де Моаврова формула ===
Нека је
: <math>z=r(cos \theta+ isin \theta)= r\ cis \theta</math> тригонометријски облик комплексног броја. Тада је
: <math>z^2=z*z</math>
: <math>z^2=r\ cis \theta * r\ cis \theta =r^2 \ cis (\theta + \theta)=  r^2 \ cis 2\theta</math>
: <math>z^3=r^2\ cis 2\theta * r\ cis \theta =r^3 \ cis (2\theta + \theta)=  r^3 \ cis 3\theta</math>
: <math>z^4=r^3\ cis 3\theta * r\ cis \theta =r^4 \ cis (3\theta + \theta)=  r^4 \ cis 4\theta</math>

На овај начин добијамо општи облик Де Моаврове теореме који има важну улогу у електротехници
: <math>( \cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\,</math><ref>[https://profesorka.wordpress.com/2014/02/21/moavrova-formula-i-n-ti-koren-kompleksnog-broja/ Де Моаврова формула, 21. фебруар 2014.]</ref>

== Поларни облик ==
{{Main|Поларни координатни систем}}
[[Датотека:Complex number illustration modarg.svg|десно|мини|Аргумент {{mvar|φ}} и модуо {{mvar|r}} лоцирају тачку на Аргандовом дијаграму; <math>r(\cos \varphi + i \sin \varphi)</math> или <math>r e^{i\varphi}</math> су ''поларни'' изрази за тачку.]]

=== Апсолутна вредност и аргумент ===
Један алтернативни начин дефинисања тачке -{''P''}- у комплексној равни, осим коришћења ''x''- и ''y''- координата, је употреба растојања тачака од ''O'', тачке чије су координате {{math|(0, 0)}} ([[координатни почетак]]), заједно са углом између [[Позитивни реални бројеви|позитивне реалне осе]] и линијског сегмента -{''OP''}- у смеру наупрот кретања казаљки на сату. Ова идеја производи поларни облик комплексних бројева.

''[[Апсолутна вредност]]'' (или ''модуо'' или ''магнитуда'') комплексног броја {{math|1=''z'' = ''x'' + ''yi''}} је
:<math>\textstyle r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.\,</math>

Ако је {{mvar|z}} реални број (нпр., {{math|1=''y'' = 0}}), онда је {{math|1=''r'' = {{!}} ''x'' {{!}}}}. Генерално, по [[Питагорина теорема|Питагориној теореми]], {{mvar|r}} је растојање од тачке -{''P''}- која представља комплексни број {{mvar|z}} до координатног почетка. Квадрат апсолутне вредности је
:<math>\textstyle |z|^2=z\bar{z}=x^2+y^2.\,</math>
где је <math>\bar{z}</math> [[#Конјугација|комплексно конјуговани]] број од <math>z</math>.

''Аргумент'' {{mvar|z}} (који се у многим применама назива „фазом“) је угао [[полупречник]]а -{''OP''}- са позитивном реалном осом, и пише се као <math>\arg(z)</math>. Као и код модула, аргумент се може одредити из правоугаоног облика <math>x+yi</math>:<ref>{{Citation
|title = Complex Variables: Theory And Applications
|edition=2nd
|chapter=Chapter 1
|first=H.S.
| last =Kasana
|publisher=PHI Learning Pvt. Ltd
|year=2005
|isbn=978-81-203-2641-5|url=https://books.google.com/books?id=rFhiJqkrALIC&pg=PA14|pages=14}}</ref>

:<math>\varphi = \arg(z) =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
\mbox{indeterminate } & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0.
\end{cases}</math>

[[Датотека:visualisation_complex_number_roots.svg|мини|{{{1|250px}}}|Визуализација квадратног до шестог корена комплексног броја -{''z''}-, у поларној форми <span class="nowrap">-{''re''<sup>''iφ''}-</sup></span> где <span class="nowrap">-{''φ'' = arg ''z''}-</span> и <span class="nowrap">-{''r''}- = | -{''z''}- |</span>{{snd}}ако је -{''z''}- реално, <span class="nowrap">-{''φ''}- = 0 или {{pi}}</span>. Главни корени су приказани црном бојом.]]

Нормално, као што је дато горе, главна вредност се разматра на интервалу {{open-closed|−π,π}}. Вредности у опсегу {{closed-open|0,2π}} се добијају додавањем {{math|2π}} ако је вредност негативна. Вредност {{mvar|φ}} се изражава у [[радијан]]има угла. Она може да буде повећана за целобројни умножак од {{math|2π}} и да се још увек односи на исти угао. Стога се -{arg}- функција понекад сматра [[Мултивредносна функција|мултивредносном]]. Поларни угао комплексног броја 0 је неодређен, мада се арбитрарни избор угла 0 често прави.

Вредност {{mvar|φ}} је једнака резултату [[atan2]]:
:<math>\varphi = \mbox{atan2}\left(\operatorname{Im}(z),\operatorname{Re}(z) \right).</math>

Заједно, {{mvar|r}} и {{mvar|φ}} дају један додатни начин приказивања комплексних бројева, ''поларни облик'', пошто комбинација модула и аргумента у потпуности специфицирају позицију тачке у равни. Оригиналне правоугаоне координате се могу извести из поларних применом формула званих ''тригонометријска форма''
:<math> z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ).\,</math>

Користећи [[Ојлерова формула|Ојлерову формулу]] ово се може записати као
:<math>z = r e^{i \varphi}.\,</math>

Користећи [[Cis (математика)|-{cis}-]] функцију, тај израз се понекад скраћује на
:<math> z = r \operatorname{cis} \varphi. \,</math>

У [[угаона нотација|угаоној нотацији]], који асе често користи у [[електроника|електроници]] за приказивање вектора са амплитудом {{mvar|r}} и фазом {{mvar|φ}}, то се може записати као<ref>{{Citation
|title = Electric circuits
|chapter=Chapter 9
|edition=8th
|first1=James William
| last1 =Nilsson
|first2=Susan A.
| last2 =Riedel
|publisher=Prentice Hall
|year=2008
|isbn=978-0-13-198925-2|url=https://books.google.com/books?id=sxmM8RFL99wC&pg=PA338|pages=338}}</ref>
:<math>z = r \angle \varphi . \,</math>

=== Множење и дељење у поларном облику ===
[[Датотека:Complex multi.svg|десно|мини|Множење {{math|2 + ''i''}} (плави троугао) и {{math|3 + ''i''}} (црвени троугао). Црвени троугао се ротира да се поклопи са највишом тачком плавог и прошири се за [[квадратни корен од 5|{{sqrt|5}}]], дужину [[хипотенуза|хипотенузе]] плавог троугла.]]

Формуле за множење, дељење и степеновање су једноставније у поларном облику него кореспондирајуће формуле у Картезијанским координатама. За два дата комплексна броја {{math|1=''z''<sub>1</sub> = ''r''<sub>1</sub>(cos φ<sub>1</sub> + ''i'' sin φ<sub>1</sub>)}} и {{math|1=''z''<sub>2</sub> = ''r''<sub>2</sub>(cos φ<sub>2</sub> + ''i'' sin φ<sub>2</sub>)}}, због добро познатих тригонометријских релација
:<math> \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a + b)</math>
:<math> \cos(a)\sin(b) + \sin(a)\cos(b) = \sin(a + b)</math>

се може извести
:<math>z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).\,</math>

Другим речима, апсолутне вредности се множе а аргументи се додају чиме се добија поларни облик производа. На пример, множење са {{math|''i''}} је истоветно са заокретом за четвртину круга у смеру супротном кретању казаљки на сату, чиме се производи {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}. Слика на десној страни илуструје множење
:<math>(2+i)(3+i)=5+5i. \,</math>

Пошто су реални и имагинарни део броја {{math|5 + 5''i''}} једнаки, аргумент тог броја је 45 степени, или π/4 (у [[радијан]]има). С друге стране, то је исто тако сума углова у координатном почетку црвеног и плавог троугла, који су -{[[arctan]]}-(1/3) и -{arctan}-(1/2). Стога формула
:<math>\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} </math>
важи. Пошто се -{[[arctan]]}- функција може веома ефикасно апроксимирати, формуле попут ове —познате као формуле сличне Машиновим — се користе за апроксимације високе прецизности вредности [[pi|π]].

Слично томе, дељење је дато изразима
:<math>\frac{z_1}{ z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right).</math>

== Матрични облик ==

<math> (a+ib) := \begin{bmatrix}a & -b  \\ b & a \end{bmatrix} </math>

У матричном облику сабирање, одузимање и множење радимо тако што сабирамо, одузимамо и множимо одговарајуће матрице које представљају комплексан број.

Реципрочну вредност у овом запису рачунамо тражењем инверзне матрице. Дељење дефинишемо као множење реципрочном вредношћу.

== Референце ==
{{reflist|30em}}

== Литература ==
{{Литература|2}}
* {{Cite book |title = Elementary Algebra | last =McKeague|first=Charles P. |publisher=Brooks/Cole |isbn=978-0-8400-6421-9 |year=2011|url=https://books.google.com/books?id=etTbP0rItQ4C&pg=PA524|pages=524}}
* {{Cite book |title = College Algebra and Trigonometry |edition=6 |first1=Richard N. | last1 =Aufmann|first2=Vernon C. | last2 =Barker|first3=Richard D. | last3 =Nation|publisher=Cengage Learning |year=2007|isbn=978-0-618-82515-8 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=g5j-cT-vg_wC&pg=PA66 |chapter=Chapter P|pages=66}}
* {{Cite book | last =Ahlfors|first=Lars |authorlink=Lars Ahlfors |title = Complex analysis | url =https://archive.org/details/complexanalysisi0000ahlf_v7n1|publisher=McGraw-Hill |year=1979|edition=3rd |isbn=978-0-07-000657-7|pages=}}
* {{Cite book | last =Conway|first=John B. |title = Functions of One Complex Variable I |year=1986|publisher=Springer |isbn=978-0-387-90328-6|pages=}}
* {{Cite book | last =Joshi|first=Kapil D. |title = Foundations of Discrete Mathematics |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=New York |isbn=978-0-470-21152-6 |year=1989}}
* {{Cite book | last =Pedoe|first=Dan |authorlink=Dan Pedoe |title = Geometry: A comprehensive course | url=https://archive.org/details/geometrycomprehe0000pedo  |publisher=Dover |year=1988|isbn=978-0-486-65812-4|pages=}}
* {{Cite book |last1=Press |first1=WH |last2=Teukolsky |first2=SA |last3=Vetterling |first3=WT |last4=Flannery |first4=BP |year=2007 |title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing |edition=3rd |publisher=Cambridge University Press |publication-place=New York |isbn=978-0-521-88068-8 |chapter=Section 5.5 Complex Arithmetic |chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=225 |access-date=06. 04. 2017 |archive-date=13. 03. 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200313111530/http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=225 |url-status= }}
* {{springer|id=c/c024140|title = Complex number|year=2001|first=E.D.| last =Solomentsev}}
* {{Cite book | last =Burton|first=David M. |title = The History of Mathematics |publisher=[[McGraw-Hill]] |location=New York |edition=3rd |isbn=978-0-07-009465-9 |year=1995}}
* {{Cite book | last =Katz|first=Victor J. |title = A History of Mathematics, Brief Version |publisher=[[Addison-Wesley]] |isbn=978-0-321-16193-2 |year=2004}}
* {{Cite book |title = An Imaginary Tale: The Story of <math>\scriptstyle\sqrt{-1}</math> |first=Paul J. | last =Nahin|publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-02795-1 |year=1998}}
* {{Cite book |author=H.D. Ebbinghaus |last2=Hermes|first2=H.|last3=Hirzebruch|first3=F.|last4=Koecher|first4=M.|last5=Mainzer|first5=K.|last6=Neukirch|first6=J.|last7=Prestel|first7=A.|last8=Remmert|first8=R.|title = Numbers |publisher=Springer |isbn=978-0-387-97497-2 |edition=hardcover |year=1991}}
* {{cite book|author= |title=The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe |location= |publisher= |year=2005|isbn=978-0-679-45443-4|pages=}}. by [[Roger Penrose]]; Alfred A. Knopf.  Chapters 4–7 in particular deal extensively (and enthusiastically) with complex numbers.
* -{{{cite book|author= |title=Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra |location= |publisher= |year=|isbn=978-0-309-09657-7|pages=}}. by John Derbyshire; Joseph Henry Press.  (hardcover 2006). A very readable history with emphasis on solving polynomial equations and the structures of modern algebra.}-
* -{{{cite book|author= |title=Visual Complex Analysis |location= |publisher= |year=|isbn=978-0-19-853447-1|pages=}}. by [[Tristan Needham]]; Clarendon Press.  (hardcover, 1997). History of complex numbers and complex analysis with compelling and useful visual interpretations.}-
* {{Cite book | last =Conway|first=John B.|title = Functions of One Complex Variable I| year = 1978 | url = https://archive.org/details/isbn_9781461263142 |location=|publisher=(Graduate Texts in Mathematics), Springer; 2 edition (12 September 2005)|isbn=978-0-387-90328-6|pages=}}-
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Complex numbers}}
{{wikiversity|Complex Numbers}}
{{wikibooks|Calculus/Complex numbers}}
* {{springer|title = Complex number|id=p/c024140}}
* -{[https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary-and-complex-numbers/the-complex-numbers/v/complex-number-intro Introduction to Complex Numbers from Khan Academy]}-
* {{In Our Time|Imaginary Numbers|b00tt6b2}}
* -{[http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/eulers-investigations-on-the-roots-of-equations Euler's Investigations on the Roots of Equations] at Convergence. MAA Mathematical Sciences Digital Library.}-
* -{[http://mathforum.org/johnandbetty/ John and Betty's Journey Through Complex Numbers]}-
* -{[https://web.archive.org/web/20170429200948/http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/c2003/complexnumberorigin.html The Origin of Complex Numbers by John H. Mathews and Russell W. Howell]}-
* -{[http://www.dimensions-math.org/Dim_regarder_E.htm Dimensions: a math film.] Chapter 5 presents an introduction to complex arithmetic and [[stereographic projection]]. Chapter 6 discusses transformations of the complex plane, [[Julia set]]s, and the [[Mandelbrot set]].}-

{{Комплексни бројеви}}

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Број]]
[[Категорија:Комплексни бројеви| ]]