Изворни код странице Клебш-Горданови коефицијенти

'''Клебш-Горданови коефицијенти''' са ознаком <math>\langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle</math> или <math>C^{JM}_{j_1m_1j_2m_2} </math>користе се у математици и физици да би се за [[Лијева група|Лијеве групе]] декомпоновао [[тензорски производ]] две иредуцибилне репрезентације. Користе се и приликом сабирања угаоних момената. Именовани су у част немачких математичара [[Алфред Клебш|Алфреда Клебша]] и [[Паул Алберт Гордан|Паула Алберта Гордана]].
== Дефиниција ==
Нека Лијева група <math>G</math> има две иредуцибилне репрезентације <math>D^{(\alpha)}</math> и <math>D^{(\beta)}</math>. Вектори базе у две репрезентације претпоставимо да су <math>\psi_\mu^{(\alpha)}</math> и <math>\psi_\nu^{(\beta)}</math>. Иредуцибилни тензорски оператор представља тензорске компоненте <math>\hat F_\chi^{(k)}</math>, које се трансформишу по иредуцибилним репрезентацијама групе, тј. ако задовољавају услов:
: <math>\tilde\hat F_\chi^{(k)}=\sum_{\chi'}D^{(k)}_{\chi'\chi}(g)\hat F_{\chi'}^{(k)}.</math>
Вектори <math>|\hat F^{(k)}_\chi\psi^{(\beta)}_\nu\rangle </math>, где <math>\chi=1,\;2,\;\ldots,\;f_k;\;\nu=1,\;2,\;\ldots,\;f_\beta</math> образују базу репрезентације од <math>D^{(k)}\times D^{(\beta)}</math>. У општем случају тај приказ је редуцибилан, па се даде приказати помоћу линеарних комбинација базе иредуцибилих репрезентација. Добија се:
: <math>|\hat F_\chi^{(k)}\psi_\nu^{(\beta)}\rangle=\sum_{\gamma\rho}\langle k\chi,\;\beta\nu\vert\gamma\rho\rangle\{\hat F^{(k)}\psi^{(\beta)}\}_\rho^\gamma.</math>
Тако дани коефицијенти <math>\langle k\chi,\;\beta\nu\vert \gamma\rho\rangle</math> називају се општи Клебш-Горданови коефицијенти групе <math>G</math>.
== Оператори угаоних момената ==
Оператори угаоних момената су [[аутоадјунгирани оператори]], који задовољавају релације комутације:
:<math>
  [\textrm{j}_k,\textrm{j}_l] = \textrm{j}_k \textrm{j}_l - \textrm{j}_l \textrm{j}_k = i\hbar \sum_m
\varepsilon_{kl m}\textrm{j}_m, \quad\mathrm{gde}\quad k,l,m \in (x,y,z)
</math>
а <math>\varepsilon_{klm}</math> је [[Леви-Чивита симбол]]. Три оператора заједно чине векторски оператор:
<math>
\mathbf{j} = [\textrm{j}_x,\textrm{j}_y,\textrm{j}_z]
</math>
:<math>
\mathbf{j}^2 = \textrm{j}_x^2+\textrm{j}_y^2+\textrm{j}_z^2. \, 
</math> је пример [[Казимиров оператор|Казимировога оператора]].
:<math>
\textrm{j}_\pm = \textrm{j}_x \pm i \textrm{j}_y. \,
</math>

== Стања угаоних момената ==
Из горњих дефиниција добија се да <math>\mathbf{j}^2</math> комутира са <math>\textrm{j}_x</math>, <math>\textrm{j}_y</math>
and <math>\textrm{j}_z</math>:
:<math>
  [\mathbf{j}^2, \textrm{j}_k] = 0\ \mathrm{za}\ k = x,y,z
</math>
Када два [[ермитски оператори|ермитска оператора]] комутирају тада постоји заједнички скуп својствених функција. Одаберу ли се <math>\mathbf{j}^2</math> и <math>\textrm{j}_z</math> онда налазимо својствена стања користећи комутационе релације:
:<math>
\begin{alignat}{2}
  \mathbf{j}^2 |j\,m\rangle = \hbar^2 j(j+1) |j\,m\rangle & \;\;\; j=0,\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \ldots\\
   \textrm{j}_z|j\,m\rangle = \hbar m |j\,m\rangle               & \;\;\; m = -j, -j+1, \ldots , j.
\end{alignat}
</math>
С друге стране оператори <math>\textrm{j}_{+}</math> и <math>\textrm{j}_{-}</math> мењају <math>m</math> вредности:
:<math>
  \textrm{j}_\pm |j\,m\rangle = C_\pm(j,m) |j\,m\pm 1\rangle
</math>
:<math>
  C_\pm(j,m) = \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)} = \sqrt{(j\mp m)(j\pm m + 1)}.
</math>
Стања угаоних момената мора да буду ортогоналана и нормализирана:
:<math>
  \langle j_1\,m_1 | j_2\,m_2 \rangle = \delta_{j_1,j_2}\delta_{m_1,m_2}.
</math>

== Тензорски производ ==
Нека <math>V_1</math> представља <math>2j_1+1</math>-димензионални [[векторски простор]] са базом одређеном стањима:
:<math>
|j_1 m_1\rangle,\quad m_1=-j_1,-j_1+1,\ldots j_1
</math>
Други простор <math>V_2</math> нека је <math>2j_2+1</math>-димензионални векторски простор са базом одређеном стањима:
:<math>
|j_2 m_2\rangle,\quad m_2=-j_2,-j_2+1,\ldots j_2.
</math>
[[Тензорски производ]] тих простора <math>V_{12}\equiv V_1\otimes V_2</math> је <math>(2j_1+1)(2j_2+1)</math> димензионалан простор са базом:
:<math>
|j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \equiv |j_1 m_1\rangle \otimes |j_2 m_2\rangle, \quad m_1=-j_1,\ldots j_1, \quad m_2=-j_2,\ldots j_2.
</math>
Дејство оператора на таквој бази може се дефинисати помоћу:
:<math>
  (\textrm{j}_i \otimes 1)|j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \equiv (j_i|j_1m_1\rangle) \otimes |j_2m_2\rangle
</math>
и
:<math>
  (1 \otimes \textrm{j}_i) |j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \equiv |j_1m_1\rangle \otimes j_i|j_2m_2\rangle
\quad\mathrm{za}\quad i = x,y,z.
</math>
Укупни угаони момент се онда може дефинисати са:
:<math>
  \textrm{J}_i = \textrm{j}_i \otimes 1 + 1 \otimes \textrm{j}_i\quad\mathrm{za}\quad i = x,y,z.
</math>
Угаони моменти задовољавају комутационе релације:
:<math>
  [\textrm{J}_k,\textrm{J}_l] = i\hbar\epsilon_{klm}\textrm{J}_m,  \quad \mathrm{}\quad k,l,m \in (x,y,z)
</math> па следи:
:<math>
  \begin{align}
  \mathbf{J}^2 |(j_1j_2)JM\rangle &= \hbar^2 J(J+1) |(j_1j_2)JM\rangle \\
  \textrm{J}_z |(j_1j_2)JM\rangle &= \hbar M |(j_1j_2)JM\rangle,\quad \mathrm{za}\quad M=-J,\ldots,J.
  \end{align}
</math>
Укупни угаони момент треба да задовољава триангуларну релацију:
:<math>
|j_1-j_2| \leq J \leq j_1+j_2.
</math>
Укупан број својствених стања једнак је димензији <math>V_{12}</math>
:<math>
  \sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} (2J+1) = (2j_1+1)(2j_2+1).
</math>

== Формална дефиниција коефицијената ==
Стања укупнога угаонога момента могу се развити:
:<math>
|(j_1j_2)JM\rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2}
|j_1m_1j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle
</math>
а коефицијенти <math>\langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle</math> тога развоја називају се Клебш-Горданови коефицијенти.
Уколико на обе стране горњега израза применимо оператор <math>
  \textrm{J}_z = \textrm{j}_z \otimes 1 + 1 \otimes \textrm{j}_z
</math> онда можемо да видимо да су коефицијенти различити од нуле само ако је <math>
M = m_1 + m_2.\,
</math>

== Рекурзије ==
Уз помоћ оператора <math>  \textrm{J}_\pm = \textrm{j}_\pm \otimes 1 + 1 \otimes \textrm{j}_\pm
</math> добијамо:
:<math>
  \textrm{J}_\pm|(j_1j_2)JM\rangle = C_\pm(J,M) |(j_1j_2)JM\pm 1\rangle =
  C_\pm(J,M)\sum_{m_1m_2}|j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\pm 1\rangle.
</math>
Применимо ли исти оператор на десну страну прве једначине из прошлога поглавља добија се:
:<math>
  \begin{align}
  \textrm{J}_\pm  & \sum_{m_1m_2} |j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle\\
  & =\sum_{m_1m_2}\left[ C_\pm(j_1,m_1)|j_1 m_1\pm 1\rangle |j_2m_2\rangle
                     +C_\pm(j_2,m_2)|j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\pm 1\rangle \right]
                \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle \\
 &= \sum_{m_1m_2} |j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \left[
   C_\pm(j_1,m_1\mp 1) \langle j_1 {m_1\mp 1} j_2 m_2|J M\rangle
   +C_\pm(j_2,m_2\mp 1) \langle j_1 m_1 j_2 {m_2\mp 1}|J M\rangle \right].
 \end{align}
</math>
Комбинујући те резултате добија се рекурзија:
:<math>
  C_\pm(J,M) \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\pm 1\rangle
  = C_\pm(j_1,m_1\mp 1) \langle j_1 {m_1\mp 1} j_2 m_2|J M\rangle
   + C_\pm(j_2,m_2\mp 1) \langle j_1 m_1 j_2 {m_2\mp 1}|J M\rangle.
</math>
Узмемо ли <math>M=J</math> добијамо:
:<math>
  0 = C_+(j_1,m_1-1) \langle j_1 {m_1-1} j_2 m_2|J J\rangle
      + C_+(j_2,m_2-1) \langle j_1 m_1 j_2 m_2-1|J J\rangle.
</math>
== Ортогоналност ==

:<math>
  \sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{M=-J}^{J}
  \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle\langle J M|j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle=
  \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle
   = \delta_{m_1,m_1'}\delta_{m_2,m_2'}
</math>

:<math>
  \sum_{m_1m_2} \langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle
                \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J' M'\rangle
  = \langle J M | J' M'\rangle  
   = \delta_{J,J'}\delta_{M,M'}.
</math>

== Експлицитан приказ коефицијената ==
<math>\langle j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm\rangle=</math>

<math>\delta_{m,m_1+m_2}
\sqrt{\frac{(2j+1)(j+j_1-j_2)!(j-j_1+j_2)!(j_1+j_2-j)!
}{(j_1+j_2+j+1)!}}
\ \times
</math>

<math>
\sqrt{(j+m)!(j-m)!(j_1-m_1)!(j_1+m_1)!(j_2-m_2)!(j_2+m_2)!}\ \times
</math>

<math>
\sum_k \frac{(-1)^k}{k!(j_1+j_2-j-k)!(j_1-m_1-k)!(j_2+m_2-k)!(j-j_2+m_1+k)!(j-j_1-m_2+k)!}.
</math>

== Специјални случајеви ==
За <math>J=0</math> Клебш-Горданови коефицијенти су:
:<math>
  \langle j_1, m_1; j_2, m_2 | 0 0\rangle  = \delta_{j_1,j_2}\delta_{m_1,-m_2}
\frac{(-1)^{j_1-m_1}}{\sqrt{2j_2+1}}.
</math>
За <math>J=j_1+j_2</math> и <math>M=J</math> имамо
:<math>
   \langle j_1, j_1; j_2, j_2 | j_1+j_2, j_1+j_2\rangle = 1.
</math>

За <math>j_1 = j_2 = J/2</math> и <math>m_2 = {-m_1}</math> вреди:
:<math>
   \langle j_1, m_1; j_1, {-m_1} | 2j_1, 0\rangle = \frac{(2j_1)!^2}{(j_1 - m_1)! (j_1 + m_1)! \sqrt{(4 j_1)!}}.
</math>

За <math>j_1 = j_2 = m_1 = {-m_2}</math> вреди:
:<math>
   \langle j_1, j_1; j_1, {-j_1} | J, 0\rangle = (2j_1)! \sqrt{\frac{2J+1}{(J+2j_1+1)!(2j_1 - J)!}}.
</math>

За <math>j_2 = 1, m_2=0</math> имамо:
:<math>
  \begin{align}
    \langle j_1, m; 1, 0 | j_1+1, m \rangle & = \sqrt{\frac{(j_1-m+1)(j_1+m+1)}{(2j_1+1)(j_1+1)}},\\
    \langle j_1, m; 1, 0 | j_1,   m \rangle & = \frac{m}{\sqrt{j_1(j_1+1)}},\\
    \langle j_1, m; 1, 0 | j_1-1, m \rangle & = -\sqrt{\frac{(j_1-m)(j_1+m)}{j_1(2j_1+1)}}.
  \end{align}
</math>

== Симетрије ==
:<math>
\begin{align}
\langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle
& = (-1)^{j_1+j_2-J}
\langle j_1\, {-m_1} j_2 \, {-m_2}|J \, {-M}\rangle \\
& = (-1)^{j_1+j_2-J} \langle j_2 m_2 j_1 m_1|J M\rangle \\
& = (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_2 +1}}  \langle j_1 m_1 J \, {-M}| j_2\,{-m_2} \rangle \\
& = (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_1 +1}}  \langle J \, {-M} j_2 m_2| j_1 \, {-m_1} \rangle \\
& = (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_2 +1}}  \langle J M  j_1 \, {-m_1} | j_2 m_2 \rangle \\
& = (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_1 +1}}  \langle j_2 \, {-m_2} J M | j_1 m_1 \rangle
\end{align}
</math>
== Веза са 3-jm симболима и D-матрицама ==
Клебш-Горданови коефицијенти повезани су са [[вигнеров 3-j симбол|3-ј симболима]]:
:<math>
  \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle =
  (-1)^{j_1-j_2+m_3}\sqrt{2j_3+1}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & -m_3
\end{pmatrix}.
</math>
Интеграцијом три [[Вигнерова D матрица|Вигнерове D матрице]] добија се Клебш Горданов коефицијент:
:<math>
  \int_0^{2\pi} d\alpha \int_0^\pi \sin\beta d\beta \int_0^{2\pi} d\gamma
  D^J_{MK}(\alpha,\beta,\gamma)^\ast D^{j_1}_{m_1k_1}(\alpha,\beta,\gamma) D^{j_2}_{m_2k_2}(\alpha,\beta,\gamma)
  = \frac{8\pi^2}{2J+1}  \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | J M \rangle \langle j_1 k_1 j_2 k_2 | J K \rangle.
</math>

== Литература ==
* [https://web.archive.org/web/20100527100052/http://dlmf.nist.gov/34 3ј, 6ј и 9ј симболи]
* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. {{page1|location= New York|publisher=Dover|year=1965|isbn=978-0-486-61272-0|pages=}}
* Edmonds, A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton. {{page1|location= New Jersey|publisher=Princeton University Press|year=1957|isbn=978-0-691-07912-7|pages=}}
* Messiah, Albert , Quantum Mechanics (Volume II) {{cite book|location= New York|publisher=North Holland Publishing|year=1981|isbn=978-0-7204-0045-8|pages=|author= |title= |location=|publisher= |edition=12th}}. 

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Лијеве групе]]
[[Категорија:Ротациона симетрија]]
[[Категорија:Квантна механика]]