Изворни код странице Квадратни корен из 3

{| class="infobox bordered" cellpadding="5"
| colspan="2" align="center" |[[Списак природних бројева]] | [[Ирационалан број]]<div class="hlist">
* [[:en:Apéry's_constant|<span class="texhtml mvar">ζ</span>(3)]]
* [[:en:Square_root_of_2|<span class="nowrap">&#x221A;2</span>]]
* [[:en:Square_root_of_3|<span class="nowrap">&#x221A;3</span>]]
* [[:en:Square_root_of_5|<span class="nowrap">&#x221A;5</span>]]
* [[:en:Golden_ratio|<span class="texhtml mvar">φ</span>]]
* [[:en:E_(mathematical_constant)|<span class="texhtml mvar">e</span>]]
* [[:en:Pi|<span class="texhtml mvar">π</span>]]
</div>
|-
| [[Бинарни систем|Бинарни систем]]  
| {{Gaps|1.1011|1011|0110|0111|1010|…}} 
|-
| [[Декадни систем|Децимални систем]] 
| {{Gaps|1.73205|08075|68877|2935…}} 
|-
| [[Хексадецимални систем|Хексадецимални систем]] 
| {{Gaps|1.BB67|AE85|84CA|A73B|…}} 
|-
| [[Верижни разломак]] 
| <math>1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}}</math> 
|}
'''Квадратни корен из 3''' је позитиван [[Реалан број|реалан број]] који, када се множи са собом, даје број [[3 (број)|3]] . Тачније се назива '''главни квадратни корен из 3''', да би се разликовао од негативног броја са истим својством. Означен је са '''{{Radic|3}}''' . 

Квадратни корен из 3 је [[ирационалан број]] . Познат је и као '''Теодорова константа''', названа по [[Теодор из Сирене|Теодору из Цирене]], који је доказао његову ирационалност. 

Првих шездесет цифара његовог децималног проширења су: 

: {{Gaps|1.73205|08075|68877|29352|74463|41505|87236|69428|05253|81038|06280|5580…}} {{OEIS|id=A002194}}

Од децембра 2013. године, њена бројчана вредност у децималним бројевима израчуната је на најмање десет милијарди цифара. <ref>{{Cite web|url=http://www.komsta.net/computations|title=Computations &#124; Łukasz Komsta|last=Łukasz Komsta|date=|website=komsta.net|access-date=24. 9. 2016|archive-date=04. 11. 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20161104012857/https://www.komsta.net/computations|url-status=}}</ref> 

Разломак   {{sfrac|97|56}} ({{Val|1.732142857}} ...) за [[квадратни корен]] од три се може користити као приближна вредност. Упркос томе што има [[Разломак|именилац]] од само 56, разликује се од правилне вредности за мање од {{sfrac|1|10,000}} (приближно {{val|9.2|e=-5}}). Заокружена вредност од 1.732 је тачна до 0,01% од стварне вредности. 

[[Архимед]] пријавио {{Math|<big><big>(</big></big>{{sfrac|1351|780}}<big><big>)</big></big>{{su|p=2}} > 3 > <big><big>(</big></big>{{sfrac|265|153}}<big><big>)</big></big>{{su|p=2}}}}, <ref>{{Citation|last=Knorr|first=Wilbur R.|author-link=Wilbur Knorr|number=2|journal=Archive for History of Exact Sciences|jstor=41133444|mr=0497462|pages=115–140|title=Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation|volume=15|year=1976|doi=10.1007/bf00348496}}.</ref> тачно до {{sfrac|1|608400}} (шест децималних места) и {{sfrac|2|23409}} (четири децимале). 

Може се изразити као [[верижни разломак]] {{Nowrap|[1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …]}} (низ [[А040001]] у [[Енциклопедија низова целих бројева на мрежи]]), проширен са десне стране. Тако да је тачно рећи: 

: <math>\begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 3 \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}</math>

онда када <math>n\to\infty</math>  : 

: <math> \sqrt{3} = 2 \cdot \frac{a_{22}}{a_{12}} -1 </math>

Може се изразити преко генерализованог верижног разломака као што су 

: <math> [2; -4, -4, -4, ...] = 2 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \ddots}}}</math>

што је {{Nowrap|[1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …]}} оцењено на сваком другом термину. 

Следећи угнеждени низ квадратних израза конвергирају ка {{Radic|3}} : 

: <math> \!\ \sqrt{3} =2 - 2 \left( \frac{1}{2}- \left( \frac{1}{2}-\left( \frac{1}{2}- \left( \frac{1}{2}- \dots \right)^2 \right)^2 \right)^2 \right)^2= \frac{7}{4} - 4 \left( \frac{1}{16}+ \left( \frac{1}{16}+\left( \frac{1}{16}+ \left( \frac{1}{16}+ \dots \right)^2 \right)^2 \right)^2 \right)^2. </math>

== Доказ ирационалности ==
Овај доказ ирационалност за {{Radic|3}} користи [[Пјер де Ферма]]ову методу бесконачног порекла :

Претпоставимо да је {{Radic|3}} рационалан и изразите га на најнижи могући начин (тј. као потпуно смањени разломак ) као {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} за природне бројеве {{Math|''m''}} и {{Math|''n''}} . 

Стога ће множење са 1 дати једнак израз: 

: <math>\frac{m(\sqrt{3}-q)}{n(\sqrt{3}-q)}</math>

где је {{Mvar|q}} највећи цели број мањи од {{Radic|3}} . Имајте на уму да су и бројилац и именилац помножени са бројем мањим од 1. 

Помоћу овога и множењем и бројиоца и именилаца добијамо: 

: <math>\frac{m\sqrt{3}-mq}{n\sqrt{3}-nq}</math>

Слиједи да се {{Math|''m''}} може замијенити са {{Math|{{sqrt|3}}''n''}} : 

: <math>\frac{n\sqrt{3}^2-mq}{n\sqrt{3}-nq}</math>

Затим се {{Radic|3}} такође може заменити са {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} у називнику: 

: <math>\frac{n\sqrt{3}^2-mq}{n\frac{m}{n}-nq}</math>

Квадрат {{Radic|3}} се може заменити са 3. Како се {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} множи са {{Math|''n''}}, њихов производ једнак је {{Math|''m''}} : 

: <math>\frac{3n-mq}{m-nq}</math>

Тада се {{Radic|3}} може изразити нижим изразима од {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} (пошто је први корак смањио величине од бројиоца и имениоца, а следећи кораци их нису променили) као {{Math|{{sfrac|3''n'' − ''mq''|''m'' − ''nq''}}}}, што је супротност хипотези да је {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} најнижи. <ref name="Grant">{{Cite journal|last=Grant|first=M.|last2=Perella|first2=M.|date=јул 1999|title=Descending to the irrational|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1999-07_83_497/page/263|journal=Mathematical Gazette|volume=83|issue=497|pages=263–267|doi=10.2307/3619054}}</ref> 

Алтернативни доказ за то је претпоставка да је {{Math|{{sqrt|3}} {{=}} {{sfrac|''m''|''n''}}}} са {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} потпуно смањени разломак : 

Множењем са {{Math|''n''}} обе стране, а затим квадрирањем даје 

: <math>3n^2=m^2.</math>

Пошто је лева страна дељива са 3, тако је и десна страна, захтевајући да {{Math|''m''}} буде дељив са 3. Тада се {{Math|''m''}} може изразити као {{Math|3''k''}} : 

: <math>3n^2=(3k)^2=9k^2</math>

Стога, дељење обе стране са 3 даје: 

: <math>n^2=3k^2</math>

Како је десна страна дељива са 3, тако је и лева страна, па је и {{Math|''n''}} . Дакле, како су и {{Math|''n''}} и {{Math|''m''}} дељиви са 3, они имају заједнички делилац и {{Math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} није потпуно смањени разломак, супротстављена изворној премиси. 

== Геометрија и тригонометрија ==
{{multiple image
| align = right
| total_width = 420
| image1 = 30-60-90.svg
| image2 = Root 3 Hexagon.svg
| footer = [[ Висина троугла | Висина]] [[Једнакостранични троугао | једнакостраничног троугла]] са ивицом дужине 2 је {{sqrt|3}}. <small>(Еквивалентно са дужом [[Катета | катетом]] од [[Pravougli trougao |30-60-90 троугла]] са [[Хипотенуза | хипотенузом]] од 2.</small>)
| direction = 
| alt1 = 
| caption1 = 
| caption2 = 
}}
[[Датотека:Square_root_of_3_in_cube.svg|мини| Дијагонала јединичне коцке је {{Radic|3}} . ]]
[[Датотека:Bilinski_dodecahedron,_ortho_matrix.png|мини| Ова пројекција Билинског додекаедра је ромб са дијагоналним односом од {{Radic|3}} . ]]
Квадратни корен од 3 се може наћи као дужина [[Катета|хипотенузе]] једнакостраничног троугла који обухвата круг пречника 1. 

Ако је [[једнакостранични троугао]] са странама дужине 1 подељен на два једнака дела, дељењем унутрашњег угла како би направили прав угао са једном страном, прав угла троуглове [[Хипотенуза|хипотенузе]] је дужина један и стране су дужине {{sfrac|1|2}} и {{sfrac|{{sqrt|3}}|2}}. Из овога је тригонометријска функција тангенте од 60° једнака {{Radic|3}} и синус од 60° и косинус 30° и једнаке {{sfrac|{{sqrt|3}}|2}}. 

Квадратни корен од 3 се такође појављује у алгебарским изразима за разне друге [[Тачне тригонометријске константе|тригонометријске константе]], укључујући <ref>Julian D. A. Wiseman [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Sin and Cos in Surds]</ref> синус од 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84°, и 87°. 

То је растојање између паралелних страна правилног [[Шестоугао|шестоугла]] са страницама дужине 1. На [[Комплексна раван|комплексној равни]], то растојање се изражава као {{Math|''i''{{sqrt|3}}}} поменуто у наставку. 

То је дужина [[ Дијагонала |дијагонале]] [[Коцка|јединичне коцке]] . 

Весица писцис има однос главне осе до мање осе једнак 1: {{Radic|3}}, што се може показати конструкцијом два једнакостранична троугла у себи. 

=== Квадратни корен од −3 ===
[[Множење|Множењем]] {{Radic|3}} помоћу [[Имагинарна јединица|имагинарне јединице]] даје квадратни корен [[3 (број)|-3]], који је [[имагинарни број]] . Тачније, 

: <math>\sqrt{-3} = \pm\sqrt{3}i</math>

(види [[Имагинарни број|квадратни корен негативних бројева]]). То је Ајзенштајнов цео број. Наиме, изражава се као разлика два нереална кубна корена од 1 (који су Ајзенштајнови цели бројеви). 

== Друге намене ==

=== Енергетика ===
У [[Електроенергетика|електроенергетици]], напон између две фазе у трофазном систему је једнака {{Radic|3}} пута линији неутралног напона. То је зато што било које два фазе су 120° размакнуте, и две тачке на кругу од 120 степени су раздвојене {{Radic|3}} пута полупречника (види примере геометрије горе). 

== Види још ==
* [[Квадратни корен из 2]] 
* [[Квадратни корен од 5]]

== Референце ==
{{reflist}}

== Литература ==
* {{Cite journal|last=S.|first=D.|last2=Jones|first2=M. F.|year=1968|title=22900D approximations to the square roots of the primes less than 100|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1968-01_22_101/page/234|journal=Mathematics of Computation|volume=22|issue=101|pages=234–235|doi=10.2307/2004806|jstor=2004806}}
* {{Cite journal|last=Uhler|first=H. S.|year=1951|title=Approximations exceeding 1300 decimals for {{sqrt|3}}, {{sfrac|1|{{sqrt|3}}}}, sin({{sfrac|{{pi}}|3}}) and distribution of digits in them|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|volume=37|issue=7|pages=443–447|doi=10.1073/pnas.37.7.443|pmc=1063398|pmid=16578382}}
* {{Cite book|title=[[The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers]]|last=Wells|first=D.|publisher=Penguin Group|year=1997|edition=Revised|location=London|page=[https://archive.org/details/penguindictionar0000well_f3y1/page/23 23]}}

== Спољашње везе ==
* [http://mathworld.wolfram.com/TheodorussConstant.html Теодорова константа] на Math World 
* [http://www.mathpages.com/home/kmath038/kmath038.htm] Кевин Браун 
* [http://www.mth.kcl.ac.uk/staff/eb_davies/PDFfiles/209.pdf] Е.Б. Давис 

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Ирационални бројеви]]
[[Категорија:Математичке константе]]
[[Категорија:Алгебарски бројеви]]