Изворни код странице Дискретна временска Фуриjеова трансформација

У [[Математика|математици]], '''дискретна Фуријеова трансформација''' ( '''ДТФТ''' ) је облик [[Furijeova analiza|Фуријеове анализе]] који је применљив на низ вредности.

ДТФТ се често користи за анализу узорака континуиране функције. Израз ''дискретно време'' односи се на чињеницу да трансформација делује на дискретне податке, често узорке чији интервал има јединице времена. Из једнолико распоређених узорака настаје функција фреквенције која је периодична сумација [[Фуријеова трансформација|континуиране Фуријеове трансформације]] изворне континуиране функције. Под одређеним теоријским условима, описаним [[Никвист-Шенонова теорема одабирања|теоремом узорковања]], оригинална континуирана функција може се савршено уклонити из ДТФТ-а, а тиме и из оригиналних дискретних узорака. Сам ДТФТ је континуирана функција фреквенције, али се њени дискретни узорци могу лако израчунати помоћу [[Дискретна Фуријеова трансформација|дискретне Фуријеове трансформације]] (види {{Section link|#Sampling the DTFT}} ), што је далеко најчешћа метода модерне Фуријеове анализе.

Обе трансформације су инвертибилне. Инверзни ДТФТ је оригинални узорковани низ података. Инверзни ДФТ је периодична сумација оригиналне секвенце. [[Брза Фуријеова трансформација]] (ФФТ) је алгоритам за рачунање једног циклуса ДФТ-а, а његов инверзни производи један циклус инверзног ДФТ-а.

== Дефиниција ==
Дискретна Фуријеова трансформација дискретног скупа стварних или сложених бројева {{Math|''x''[''n'']}}, за све [[Број|целе бројеве]] {{Mvar|n}}, је [[Фуријеов ред|Фуријеов низ]], који производи периодичну функцију фреквенцијске променљиве. Када варијабла фреквенције, ω, има нормализоване јединице ''радијана/узорка'', периодичност је {{Math|2π}}, а Фуријеов низ је: {{Equation box 1|border|indent=|title=|equation={{NumBlk|:|<math>X_{2\pi}(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \,e^{-i \omega n}.</math>|{{EquationRef|израз 1}}}}|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}} Корисност ове функције фреквенцијске домене налази се у Пуасоновој збирној формули . Нека је {{Math|''X''(''f'')}} Фуријеова трансформација било које функције, {{Math|''x''(''t'')}}, чији су узорци у неком интервалу {{Mvar|T}} (''секунди'') једнаки (или пропорционални) с {{Math|''x''[''n'']}} секвенцом, тј. {{Math|''T''⋅''x''(''nT'') {{=}} ''x''[''n'']}} . Тада је периодична функција представљена Фуријеовим низом периодична сумација {{Math|''X''(''f'')}} у погледу фреквенције {{Mvar|f}} у [[херц]]има (''циклуси/сек''): {{NumBlk|:|<math>
X_{1/T}(f) = X_{2\pi}(2\pi f T)\ \triangleq
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \underbrace{T\cdot x(nT)}_{x[n]}\ e^{-i 2\pi f T n}\;
\stackrel{\mathrm{Poisson\;f.}}{=} \;
 \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(f - k/T\right).
</math>|{{EquationRef|израз 2}}}}
[[Датотека:Fourier_transform,_Fourier_series,_DTFT,_DFT.svg|мини|400x400пиксел| Приказ. 1. Приказ Фуријеове трансформације (горњи леви) и њено периодично сумирање (ДТФТ) у доњем левом углу. Доњи десни угао приказује узорке ДТФТ-а који су израчунати дискретном Фуријеовом трансформацијом (ДФТ). ]]
Цели број {{Mvar|k}} има јединице ''циклуса/узорака'', а {{Math|1/''T''}} је стопа узорковања, {{Mvar|f<sub>s</sub>}} (''узорци/секунди''). Дакле, {{Math|''X''<sub>1/''T''</sub>(''f'')}} садржи тачне копије {{Math|''X''(''f'')}} које су померене умношцима {{Mvar|f<sub>s</sub>}} херца и комбиноване сабирањем. За довољно велике {{Mvar|f<sub>s</sub>}}, {{Math|''k'' {{=}} 0}} може се приметити у региону {{Math|[−''f<sub>s</sub>/2, f<sub>s</sub>/2'']}} са малим или никаквим изобличењем ( [[алијасинг]] ) од осталих термина. На слици 1, крајности расподеле у горњем левом углу су маскиране подземним деловањем у периодичном сабирању (доњи леви). 

Такође приметимо да је {{Math|''e''<sup>−''i2πfTn''</sup>}} Фуријеова трансформација {{Math|''δ''(''t'' − ''nT'')}} . Стога, алтернативна дефиниција ДТФТ је: {{Efn-ua|In fact {{EquationNote|Eq.2}} is often justified as follows:

:<math>\begin{align}
\mathcal{F}\left \{\sum_{n=-\infty}^{\infty} T\cdot x(nT) \cdot \delta(t-nT)\right \} &=\mathcal{F}\left \{x(t)\cdot T \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT)\right \}\\
&= X(f) * \mathcal{F}\left \{T \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT)\right \} \\
&= X(f) * \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left(f - \frac{k}{T}\right) \\
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(f - \frac{k}{T}\right).
\end{align}</math>}} {{NumBlk|:|<math>X_{1/T}(f) = \mathcal{F}\left \{\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot \delta(t-nT)\right \}
</math>|{{EquationRef|израз 3}}}} [[Поворка импулса|Модулирана]] функција [[Поворка импулса|Диракове поворке импулса]] је математичка апстракција која се понекад назива и ''импулсно узорковање'' . <ref name="Rao">{{cite book| last = Rao| first=R. |title=Signals and Systems|url=https://books.google.com/books?id=4z3BrI717sMC|publisher=Prentice-Hall Of India Pvt. Limited|year=2008|isbn=9788120338593|pages=}}</ref>

== Инверзна трансформација ==
Операција која опоравља дискретну секвенцу података из ДТФТ функције назива се ''инверзни ДТФТ'' . На пример, инверзна континуирана Фуријеова трансформација са обе стране израза 3 производи секвенцу у облику модулисане функције Диракове поворке импулса: 

: <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \delta(t-n T) = \mathcal{F}^{-1}\left \{X_{1/T}(f)\right\} \ \triangleq \int_{-\infty}^\infty X_{1/T}(f)\cdot e^{i 2 \pi f t} df.</math>

Међутим, примећујући да је {{Math|''X''<sub>1/''T''</sub>(''f'')}} периодичан, све потребне информације садрже се у било којем интервалу дужине {{Math|1/''T''}}. И у изразу 1 и изразу 2 су суме преко n [[Фуријеов ред|Фуријеов низ]], са коефицијентима {{Math|''x''[''n'']}} . Стандардне формуле за Фуријеове коефицијенте су такође инверзне трансформације: 

{{Equation box 1||indent=|title=|equation={{NumBlk|:|<math>\begin{align}
x[n] &= T \int_{\frac{1}{T}} X_{1/T}(f)\cdot e^{i 2 \pi f nT} df \quad \scriptstyle{\text{(интеграл за сваки интервал дужине }1/T\textrm{)}} \\
\displaystyle &= \frac{1}{2 \pi}\int_{2\pi} X_{2\pi}(\omega)\cdot e^{i \omega n} d\omega \quad \scriptstyle{\text{(интеграл за сваки интервал дужине }2\pi\textrm{)}}
\end{align}</math>|{{EquationRef|израз 4}}}}|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}

== Периодични подаци ==
Када је низ улазних података {{Math|''x''[''n'']}} {{Mvar|N}} , израз 2 се може рачунски свести на дискретну Фуријеову трансформацију (ДФТ), јер: 

* Све доступне информације налазе се унутар {{Mvar|N}} узорака. 
* {{Math|''X''<sub>1/''T''</sub>(''f'')}} се свугде конвертује у нулу, осим код целих бројева {{Math|1/(''NT'')}}, познатих као [[Аликвотни тонови|хармоничне]] фреквенције. 
* ДТФТ је периодичан, тако да је максимални број јединствених хармонских амплитуда {{Math|(1/''T'') / (1/(''NT'')) {{=}} ''N''}} 

Кернел {{Math|''x''[''n''] ''e''<sup>−''i2πfTn''</sup>}} је {{Mvar|N}} периодичан на хармонским фреквенцијама, {{Math|''f'' {{=}} ''k''/(''NT'')}} . Уводимо нотацију <math>\sum_{N}</math> да би представили суму било које {{Mvar|n}} последице дужине {{Mvar|N}}, можемо написати ''':''' 

: <math>
\begin{align}
X_{1/T}\left(\frac{k}{NT}\right) &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} \left(\sum_{N} x[n-mN]\cdot e^{-i 2 \pi \frac{k}{N}(n-mN)}\right) \\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} \left(\sum_{N} x[n]\cdot e^{-i 2 \pi \frac{k}{N}n}\right)
= T \underbrace{\left(\sum_{N} x(nT)\cdot e^{-i 2 \pi \frac{k}{N}n}\right)}_{X[k] \quad \text{(DFT)}} \cdot \left(\sum_{m=-\infty}^{\infty}1\right).
\end{align}
</math>

Због тога се ДТФТ разилази с хармонијским фреквенцијама, али различитим брзинама зависним од фреквенције. Те стопе даје ДФТ једног циклуса {{Math|''x''[''n'']}} секвенце. У погледу функције за Диракове поворке импулса, ово је представљено са ''':''' 

: <math>X_{1/T}(f) =  \sum_{k=-\infty}^{\infty} (T\cdot X[k])\ \cdot\  \frac{1}{NT}\delta\left(f-\frac{k}{NT}\right)
= \underbrace{\frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X[k]\ \cdot\ \delta\left(f-\frac{k}{NT}\right)}_{\text{DTFT of a periodic sequence}}. </math>&nbsp; &nbsp; &nbsp; {{Efn-ua|Substituting this expression into formula &nbsp;<math>x(nT) = \int_{\frac{1}{T}} X_{1/T}(f)\cdot e^{i 2 \pi f nT} df</math>&nbsp; produces the correctly scaled inverse DFT for the {{math|''x''(''nT'')}} sequence.}}{{Efn-ua|The [[generalized function]] <math>\delta\left(f-\tfrac{k}{NT}\right)</math> is not unitless.  It has the same units as {{mvar|''T''}}.}}

== Узорковање ДТФТ-а ==
Када је ДТФТ континуалан, уобичајена је пракса да се израчуна произвољни број узорака ( {{Mvar|N}} ) у једном циклусу периодичне функције {{Math|''X''<sub>1/''T''</sub>}} : 

: <math>\begin{align}
\underbrace{X_{1/T}\left(\frac{k}{NT}\right)}_{X_k} &= \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]\cdot e^{-i 2\pi \frac{kn}{N}} \quad \quad k = 0, \dots, N-1 \\
&= \underbrace{\sum_{N} x_{_N}[n]\cdot e^{-i 2\pi \frac{kn}{N}},}_{DFT}\quad \scriptstyle{\text{(sum over any }n\text{-sequence of length }N)}
\end{align} </math>

где <math>x_{_N}</math> је периодична сумација ''':''' 

: <math>x_{_N}[n]\ \triangleq\ \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[n-mN].</math>

Секвенца <math>x_{_N}</math> је инверзни ДФТ. Стога, наше узорковање ДТФТ-а узрокује да инверзна трансформација постане периодична. Низ {{Math|{{abs|''X''<sub>k</sub>}}<sup>2</sup>}} вредности су познате као '''периодограм''', а параметар {{Mvar|N}} се назива НФФТ у истоименој Матлаб функцији. <ref name="Matlab"><cite class="citation web">[https://www.mathworks.com/help/signal/ref/periodogram.html "Periodogram power spectral density estimate - MATLAB periodogram"].</cite><templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles></ref> 

Да би се оценио један циклус <math>x_{_N}</math> нумерички, потребан нам је низ {{Math|''x''[''n'']}} коначне дужине. На пример, дугачак низ може бити скраћен функцијом прозора дужине {{Mvar|L}} што резултира у три случаја вредна посебне спомена. Ради нотативне једноставности, размотрите вредности {{Math|''x''[''n'']}} тако да представљају вредности модификоване функцијом прозора. 

'''Случај: Декимација фреквенције.''' {{Math|''L'' {{=}} ''N'' ⋅ ''I''}}, за неки цели број {{Mvar|I}} (обично 6 или 8) 

Циклус од <math>x_{_N}</math> своди се на суму {{Mvar|I}} ''блокова'' дужине {{Mvar|N}} или ''кружни додатак'' . {{Efn-ua|Here we borrow a concept from [[Circular shift]] and [[Circular convolution]].}} &nbsp; ДФТ тада иде под различитим именима, као што су ''':''' 

* ''ФФТ прозора'' <ref name="Gumas"><cite class="citation journal">Gumas, Charles Constantine (July 1997). [https://web.archive.org/web/20010210052902/http://www.chipcenter.com/dsp/DSP000315F1.html "Window-presum FFT achieves high-dynamic range, resolution"]. ''Personal Engineering & Instrumentation News'': 58–64. Archived from the original on 2001-02-10.</cite><span class="cs1-maint citation-comment">CS1 maint: BOT: original-url status unknown ([[:Category:CS1 maint: BOT: original-url status unknown|link]])</span><templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles></ref> 
* ''Тежина, преклапање, додавање (ВОЛА)'' <ref name="Wang">{{cite journal |author= Wang, Hong; Lu, Youxin; Wang, Xuegang|date= 16 October 2006|title= Channelized Receiver with WOLA Filterbank|url= https://ieeexplore.ieee.org/document/4148464|location=Shanghai, China|journal= 2006 CIE International Conference on Radar|volume= |issue= |pages= 1–3|publisher=IEEE|doi= 10.1109/ICR.2006.343463|access-date=|isbn=978-0-7803-9582-4|s2cid= 42688070}}</ref> <ref name="Lyons"><cite class="citation web">Lyons, Richard G. (June 2008). [http://www.embedded.com/design/real-time-and-performance/4007611/DSP-Tricks-Building-a-practical-spectrum-analyzer "DSP Tricks: Building a practical spectrum analyzer"]. EE Times.</cite><templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles> &nbsp; Note however, that it contains a link labeled ''weighted overlap-add structure'' which incorrectly goes to [[Overlap-add method]].</ref> {{Efn-ua|WOLA is not to be confused with the [[Overlap-add method]] of piecewise convolution.}} 
* ''полифазни ФФТ'' <ref name="Lillington"><cite class="citation web">Lillington, John. [http://www.edn.com/Pdf/ViewPdf?contentItemId=4133641 "Comparison of Wideband Channelisation Architectures"] {{Wayback|url=http://www.edn.com/Pdf/ViewPdf?contentItemId=4133641 |date=20161031090934 }}. RF Engines Ltd<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">2016-10-30</span></span>.</cite><templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles></ref> 
* ''вишефазни филтерски филтер'' <ref name="Chennamangalam"><cite class="citation web">Chennamangalam, Jayanth (2016-10-18). [https://casper.berkeley.edu/wiki/The_Polyphase_Filter_Bank_Technique "The Polyphase Filter Bank Technique"]. CASPER Group<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">2016-10-30</span></span>.</cite><templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles></ref> 
* ''вишеструко блокирање прозора'' и ''временско подимање'' . <ref name="Dahl"><cite class="citation thesis">Dahl, Jason F. (2003-02-06). [http://scholarsarchive.byu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1049&context=etd ''Time Aliasing Methods of Spectrum Estimation''] (Ph.D.). Brigham Young University<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">2016-10-31</span></span>.</cite><templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles></ref> 

Ваља се подсетити да десетковање (децимација) узоркованих података у једној области (у временском или фреквентном) производи преклапање (познати и као [[алијасинг]] ), у другом и обрнуто. У поређењу са ДФТ дужином {{Mvar|L}} дужина <math>x_{_N}</math> збрајање/преклапање узрокује десетковање у учесталости, остављајући само ДТФТ узорке најмање под утицајем спектралног цурења . То је обично приоритет при имплементацији ФФТ банке филтера (канализатора). С конвенционалном функцијом прозора дужине {{Mvar|L}}, губитак љуштења би био неприхватљив. Тако се мулти-блок прозори стварају помоћу алата за дизајн ФИР филтера . <ref>{{Cite journal|last1=Lin|first1=Yuan-Pei|last2=Vaidyanathan|first2=P.P.|date=јун 1998|title=A Kaiser Window Approach for the Design of Prototype Filters of Cosine Modulated Filterbanks|url=http://authors.library.caltech.edu/6891/1/LINieeespl98.pdf|journal=IEEE Signal Processing Letters|volume=5|issue=6|pages=132–134|bibcode=1998ISPL....5..132L|doi=10.1109/97.681427|s2cid=18159105 |access-date=16. 3. 2017}}</ref> <ref>{{Citation|title=cmfb.m|publisher=Caltech|url=http://www.systems.caltech.edu/dsp/software/conventional/cmfb.m|access-date=16. 3. 2017}}</ref> &nbsp; Њихов профил фреквенције је раван у највишој тачки и брзо отпада у средини између преосталих ДТФТ узорака. Што је већа вредност параметра {{Mvar|I}}, то су веће потенцијалне перформансе. 

'''Случај: {{Math|''L'' {{=}} ''N''+1}} ,''' при чему је {{Mvar|N}} уједначен 

Овај случај настаје у контексту дизајна функције Виндовса, из жеље за реално вреднованим коефицијентима ДФТ. <ref>{{Cite journal|last=Harris|first=Fredric J.|date=јануар 1978|title=On the use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform|url=http://web.mit.edu/xiphmont/Public/windows.pdf|journal=Proceedings of the IEEE|volume=66|issue=1|pages=51–83|bibcode=1978IEEEP..66...51H|citeseerx=10.1.1.649.9880|doi=10.1109/PROC.1978.10837|s2cid=426548 |ref=refHarris}}</ref> &nbsp; Када је симетрична секвенца повезана са индексима {{Nowrap|[-M ≤ n ≤ M],}} познатим као ''коначни прозор података о Фуријеовој трансформацији'', њен ДТФТ је континуирана функција фреквенције <math>(f),</math> је стварно вреднован. Када се редослед помери у ''ДФТ прозору података'', {{Nowrap|[0 ≤ n ≤ 2M],}} ДТФТ се множи сложеном фазном функцијом: <math>e^{-i2\pi f M}</math> . Али када се узоркује на фреквенцијама <math>f = k/2M,</math> за целе вредности од <math>k,</math> сви узорци су стварно вредновани. Да бисмо постигли тај циљ, можемо извршити: <math>2M</math> ДФТ дужине на периодичном сумирању са 1 узорком преклапања. Наиме, брише се последњи узорак секвенце података и додаје се његова вредност првом узорку. Затим се примењује функција прозора, скраћена за 1 узорак, и извршава се ДФТ. Скраћена функција прозора са ''једнаком'' дужином понекад се назива и ''ДФТ-равном'' . У стварној пракси људи најчешће користе прозоре који се подударају са ДФТ-ом без преклапања података, јер су штетни ефекти на цурење спектра занемарљиви за дуге секвенце (обично стотине узорака). {{Efn-ua|An example of the effects for short sequences can be seen at [[:File:Comparison_of_symmetric_and_periodic_Gaussian_windows.svg]], where the 9-sample symmetric sequence (green DTFT) has lower spectral leakage metrics than the 8-sample truncated sequence (blue).}} 
[[Датотека:Zeropad.png|мини|350x350пиксел| Слика 2. ДФТ од {{Math|''e''<sup>i2πn/8</sup>}} за {{Math|''L'' {{=}} 64}} и {{Math|''N'' {{=}} 256}} ]]
[[Датотека:No-zeropad.png|мини|350x350пиксел| Слика 3. ДФТ од {{Math|''e''<sup>i2πn/8</sup>}} за {{Math|''L'' {{=}} 64}} и {{Math|''N'' {{=}} 64}} ]]
'''Случај: Интерполација фреквенције.''' {{Math|''L'' ≤ ''N''}} 

У овом случају, ДФТ поједностављује познатији облик: 

: <math>X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\cdot e^{-i 2\pi \frac{kn}{N}}.</math>

Да би се искористио алгоритам брзе Фуријеове трансформације за рачунање ДФТ-а, сабирање се обично врши преко свих {{Mvar|N}} термина, иако је {{Math|''N'' − ''L''}} нула. Стога се случај {{Math|''L'' < ''N''}} често назива '''нула-пединг'''. 

Спектрално цурење, које се повећава како {{Mvar|L}} опада, штетно утиче на неке важне метрике перформанси, као што су резолуција компоненти више фреквенција и количина буке која се мери у сваком узорку ДТФТ. Али те ствари нису увек важне, на пример када је {{Math|''x''[''n'']}} низ синусоида без буке (или константа), обликован функцијом прозора. Тада је уобичајена пракса да се графички приказују и упоређују детаљни обрасци цурења функција прозора помоћу графичког приказивања ''нула'' . Да бисмо то илустровали за правоугаони прозор, узмимо у обзир редослед: 

: <math>x[n] = e^{i 2\pi \frac{1}{8} n},\quad </math> и <math>L=64.</math>

'''Слике 2 и 3''' су '''графикони''' величине двају ДФТ различитих величина, како је назначено на њиховим ознакама. У оба случаја доминантна компонента је на фреквенцији сигнала: {{Math|''f'' {{=}} 1/8 {{=}} 0.125}} . Такође је на '''слици 2''' видљив дијаграм спектралног цурења правоугаоног прозора {{Math|''L'' {{=}} 64}} . Илузија на '''слици 3''' резултат је узорковања ДТФТ-а само на његовим нултим прелазима. Уместо ДТФТ секвенце коначне дужине, оставља утисак бесконачно дугог синусоидног низа. Фактори који доприносе илузији су употреба правоугаоног прозора и избор фреквенције (1/8 = 8/64) са тачно 8 (целих бројева) циклуса на 64 узорка. Ханов прозор дао би сличан резултат, осим што би се врх проширио на 3 узорка. 

== Конволуција ==
Теорема конволуције за низове је: 

: <math>x * y\ =\ \scriptstyle \text{DTFT}^{-1} \displaystyle \left[\scriptstyle \text{DTFT} \displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle \text{DTFT} \displaystyle \{y\}\right].</math>

Важан посебан случај је кружна конволуција низова {{Mvar|x}} и {{Mvar|y}} дефинисаних са <math>x_{_N}*y,</math> где <math>x_{_N}</math> је периодично сумирање. Начин дискретне фреквенције {{Math|DTFT{''x''<sub><sub>N</sub></sub>}} } "бира" само дискретне вредности из континуиране функције {{Math|DTFT{''y''}} }, што резултира знатним поједностављивањем инверзне трансформације. Као што је приказано у теореми конволуције, функције дискретних променљивих низова : 

: <math>x_{_N} * y\ =\ \scriptstyle \text{DTFT}^{-1} \displaystyle \left[\scriptstyle \text{DTFT} \displaystyle \{x_{_N}\}\cdot \scriptstyle \text{DTFT} \displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle \text{DFT}^{-1} \displaystyle \left[\scriptstyle \text{DFT} \displaystyle \{x_{_N}\}\cdot \scriptstyle \text{DFT} \displaystyle \{y_{_N}\}\right].</math>

За {{Mvar|x}} и {{Mvar|y}} низове чија је нулта вредност трајања мања или једнака {{Mvar|N}}, коначно поједностављење је: 

: <math>x_{_N} * y\ =\ \scriptstyle \text{DFT}^{-1} \displaystyle \left[\scriptstyle \text{DFT} \displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle \text{DFT} \displaystyle \{y\}\right].</math>

Значај овог резултата објашњен је у [[Конволуција|алгоритмима]] кружне конволуције и [[Конволуција|брзе конволуције]] . 

== Својства симетрије ==
Када се стварни и замишљени делови сложене функције разграде на њихове [[Парност функције|парне и непарне делове]], постоје четири компоненте, које доле означавају претплатници RЕ, RО, IЕ и IО. Постоји и мапирање један на један између четири компоненте сложене временске функције и четири компоненте његове сложене фреквентне трансформације ''':''' <ref name="ProakisManolakis">{{Citation|last1=Proakis|first1=John G.|last2=Manolakis|first2=Dimitri G.|title=Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications|place=New Jersey|publisher=Prentice-Hall International|year=1996|edition=3|language=English|id=sAcfAQAAIAAJ|isbn=9780133942897|bibcode=1996dspp.book.....P}}</ref> {{Rp|стp. 291}} 

<math>
\begin{align}
\mathsf{Time\ domain} \quad &\ x \quad &= \quad & x_{_{RE}} \quad &+ \quad & x_{_{RO}} \quad &+ \quad i\ & x_{_{IE}} \quad &+ \quad &\underbrace{i\ x_{_{IO}}} \\
&\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F}\\
\mathsf{Frequency\ domain} \quad &X \quad &= \quad & X_{RE} \quad &+ \quad &\overbrace{i\ X_{IO}} \quad &+ \quad i\ & X_{IE} \quad &+ \quad & X_{RO}
\end{align}
</math>

Из овога су видљиве различите везе, на пример ''':''' 

* Трансформација реално вредноване функције ( {{Math|''x''{{sub|{{sub|RE}}}}+ ''x''{{sub|{{sub|RO}}}}}} ) је [[Парност функције|равномерна симетрична]] функција {{Math|X{{sub|{{sub|RE}}}}+ i X{{sub|{{sub|IO}}}}}} . Супротно томе, равномерна симетрична трансформација подразумева реалну вредност временске домене. 
* Трансформација функције замишљене вредности ( {{Math|i ''x''{{sub|{{sub|IE}}}}+ i ''x''{{sub|{{sub|IO}}}}}} ) је [[Парност функције|непарна симетрична]] функција {{Math|X{{sub|{{sub|RO}}}}+ i X{{sub|{{sub|IE}}}}}}, а обратно је тачна. 
* Трансформација равномерне симетричне функције ( {{Math|''x''{{sub|{{sub|RE}}}}+ i ''x''{{sub|{{sub|IO}}}}}} ) је реално вреднована функција {{Math|X{{sub|{{sub|RE}}}}+ X{{sub|{{sub|RO}}}}}}, а обратно је тачно. 
* Трансформација непарне симетричне функције ( {{Math|''x''{{sub|{{sub|RO}}}}+ i ''x''{{sub|{{sub|IE}}}}}} ) је замишљена вредност функције {{Math|i X{{sub|{{sub|IE}}}}+ i X{{sub|{{sub|IO}}}}}}, а обратно је тачно. 

== Однос према Z-трансформацији ==
<math>X_{2\pi}(\omega)</math> је [[Фуријеов ред|Фуријеов]] ред која се такође може изразити у смислу билатералне [[Z-трансформација|Z-трансформације]] . На пример: 

: <math>X_{2\pi}(\omega) = \left. \widehat X(z) \, \right|_{z = e^{i \omega}} = \widehat X(e^{i \omega}),</math>

где <math>\widehat X</math> нотација разликује Z-трансформацију од Фуријеове трансформације. Стога можемо изразити и Z-трансформацију у смислу Фуријеове трансформације: 

: <math>
\begin{align}
\widehat X(e^{i \omega}) &= \ X_{1/T}\left(\tfrac{\omega}{2\pi T}\right)
 \ = \ \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\tfrac{\omega}{2\pi T} - k/T\right)\\
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\tfrac{\omega - 2\pi k}{2\pi T} \right).
\end{align}
</math>

Имајте на уму да када се параметар {{Mvar|T}} промени, услови <math>X_{2\pi}(\omega)</math> остају стална одвојеност oд <math>2 \pi</math> , а њихова ширина се повећава или смањује. Услови {{Math|''X''<sub>1/''T''</sub>(''f'')}} остају сталне ширине и њихово одвајање {{Math|1/''T''}} скала се повећава или смањује. 

== Табела дискретних Фуријеових трансформација ==
Неки уобичајени парови трансформација приказани су у табели испод. Следећа нота се примењује: 

* <math>\omega=2 \pi f T</math> је стварни број који представља непрекидну угаону фреквенцију (у радијанима по узорку). ( <math>f</math> је у циклусима/секунди, и <math>T</math> је у секундама/узорку. ) У свим случајевима у табели, ДТФТ је 2π-периодичан (у <math>\omega</math> ). 
* <math>X_{2\pi}(\omega)</math> означава функцију дефинисану на <math>-\infty < \omega < \infty </math> . 
* <math>X_o(\omega)</math> означава функцију дефинисану на <math>-\pi < \omega \le \pi</math> и нула гдегод. Онда: 

:: <math>X_{2\pi}(\omega)\ \triangleq \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_o(\omega - 2\pi k).</math>

* <math>\delta ( \omega )</math> је [[Dirakova delta funkcija|Диракова делта функција]]  
* <math>\operatorname{sinc} (t)</math> је нормализована синк функција 
* <math>\operatorname{rect}(t)</math> је функција правоугаоника 
* <math>\operatorname{tri} (t)</math> је функција троугла 
* {{Mvar|n}} је цели број који представља домену дискретног времена (у узорцима) 
* <math>u[n]</math> је [[Хевисајдова функција|функција корака јединице]] дискретне временске [[Хевисајдова функција|јединице]] 
* <math>\delta[n]</math> је [[Кронекер делта функција|Кронекерова делта функција]]  <math>\delta_{n,0}</math> 

{| class="wikitable"
!Временски домен<br /><br /> ''x''[''n'']
!Фреквенцијски домен<br /><br />X<sub>2π</sub>(ω)
!Напомене
!Референце
|-
|<math>\delta[n]</math>
|<math>X_{2\pi}(\omega) = 1</math>
|
|<ref name="ProakisManolakis" />{{Rp|стp. 305}}
|-
|<math>\delta[n-M]</math>
|<math>X_{2\pi}(\omega) = e^{-i\omega M}</math>
|целобројно <math>M</math>
|
|-
|<math>\sum_{m = -\infty}^{\infty} \delta[n - M m] \!</math>
|<math>X_{2\pi}(\omega) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} e^{-i \omega M m} = \frac{2\pi}{M}\sum_{k = -\infty}^{\infty} \delta \left( \omega - \frac{2\pi k}{M} \right) \,</math><br /><br />

<math>X_o(\omega) = \frac{2\pi}{M}\sum_{k = -(M-1)/2}^{(M-1)/2} \delta \left(\omega - \frac{2\pi k}{M} \right) \,</math> &nbsp; &nbsp; odd ''M''
<math>X_o(\omega) = \frac{2\pi}{M}\sum_{k = -M/2+1}^{M/2} \delta \left(\omega - \frac{2\pi k}{M} \right) \,</math> &nbsp; &nbsp; even ''M''
|целобројно <math>M > 0 </math>
|
|-
|<math>u[n]</math>
|<math>X_{2\pi}(\omega) = \frac{1}{1-e^{-i \omega}} + \pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta (\omega - 2\pi k)\!</math><br /><br />

<math>X_o(\omega) = \frac{1}{1-e^{-i \omega}} + \pi \cdot \delta (\omega)\!</math>
| <math>1/(1-e^{-i \omega})</math> термин се мора тумачити као дистрибуција у смислу главне вредности Кошија око његових полова на <math>\omega=2 \pi k</math>.
|
|-
|<math>a^n u[n]</math>
|<math>X_{2\pi}(\omega) = \frac{1}{1-a e^{-i \omega}}\!</math>
|<math>0 < |a| < 1 </math>
|{{Rp|стp. 305}}
|-
|<math>e^{-i a n}</math>
|<math>X_o(\omega) = 2\pi\cdot \delta (\omega +a),</math> &nbsp; &nbsp; -π < a < π<br /><br />

<math>X_{2\pi}(\omega) = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta (\omega +a -2\pi k)</math>
|реални број <math>a</math>
|
|-
|<math>\cos(a\cdot n)</math>
|<math>X_o(\omega) = \pi \left[\delta \left(\omega -a\right)+\delta \left(\omega +a\right)\right],</math><br /><br />

<math>X_{2\pi}(\omega)\ \triangleq \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_o(\omega - 2\pi k)</math>
|<math>-\pi < a < \pi</math>
|
|-
|<math>\sin(a\cdot n)</math>
|<math>X_o(\omega) = \frac{\pi}{i} \left[\delta \left(\omega -a\right)-\delta \left(\omega +a\right)\right]</math>
|реални број <math>a</math> при чему је <math>-\pi < a < \pi</math>
|
|-
|<math>\operatorname{rect} \left[ { n - M \over N  } \right] </math>
|<math>X_o(\omega) = { \sin[ N \omega / 2 ] \over \sin( \omega / 2 ) } \,  e^{ -i \omega M } \!</math>
|целобројне вредности <math>M</math> и  <math>N</math>
|
|-
|<math>\operatorname{sinc} ( W (n+a))</math>
|<math>X_o(\omega) =  \frac{1}{W} \operatorname{rect} \left( { \omega \over 2\pi W } \right) e^{ia\omega}</math>
|реални бројеви<math>W,a</math> при чему је <math>0 < W < 1</math>
|
|-
|<math>\operatorname{sinc}^2(W n)\,</math>
|<math>X_o(\omega) = \frac{1}{W} \operatorname{tri} \left( { \omega \over 2\pi W } \right)</math>
|реални број <math>W</math>, <math>0 < W < 0.5</math>
|
|-
|<math> \begin{cases}
0 & n=0 \\
\frac{(-1)^n}{n} & \mbox{иначе}
\end{cases}</math>
|<math>X_o(\omega) = j \omega</math>
|ради као филтер диференцијатор
|-
|<math>\frac{1}{(n + a)} \left\{ \cos [ \pi W (n+a)] - \operatorname{sinc} [ W (n+a)] \right\}</math>
|<math>X_o(\omega) = \frac{j \omega}{W} \cdot \operatorname{rect} \left( { \omega \over \pi W } \right) e^{j a \omega}</math>
|реални бројеви<math>W,a</math> при чему је <math>0 < W < 1 </math>
|
|-
|<math>\begin{cases}
\frac{\pi}{2}  & n = 0 \\
\frac{(-1)^n - 1}{\pi n^2} & \mbox{ иначе}
\end{cases}</math>
|<math>X_o(\omega) = |\omega|</math>
|
|
|-
|<math>\begin{cases}
0; & n \text{ парно} \\
\frac{2}{\pi n} ; & n \text{ непарно}
\end{cases}</math>
|<math>X_o(\omega) = \begin{cases}
j & \omega < 0 \\
0 & \omega = 0 \\
-j & \omega > 0
\end{cases}</math>
|Хилбертова трансформација
|
|-
|<math>\frac{C (A + B)}{2 \pi} \cdot \operatorname{sinc} \left[ \frac{A - B}{2\pi} n \right] \cdot \operatorname{sinc} \left[ \frac{A + B}{2\pi} n \right]</math>
|<math>X_o(\omega) = </math>[[Датотека:Trapezoid_signal.svg|250x250п]]
|реални бројеви<math>A,B</math> <br /><br /> комплексно <math>C</math>
|
|}

== Својства ==
Ова табела приказује неке математичке операције у временском домену и одговарајуће ефекте у фреквенцијском домену. 

* <math>*\!</math> је [[Конволуција|дискретна конволуција]] две секвенце 
* <math>x[n]^{*}</math> је [[Конјугован комплексан број|сложена конјугација]] {{Math|''x''[''n'']}} . 

{| class="wikitable"
!Својство
!Временски домен<br /><br />{{Math|''x''[''n'']}}
!Фреквенцијски домен<br /><br /><math>X_{2\pi}(\omega)</math>
!Напомене
!е
|-
|Линеарност
|<math>a\cdot x[n] + b\cdot y[n]</math>
|<math>a\cdot X_{2\pi}(\omega) + b\cdot Y_{2\pi}(\omega)</math>
|complex numbers <math>a,b</math>
|<ref name="ProakisManolakis" />{{Rp|стp. 294}}
|-
|Временски преокретl / Фреквенцијски преокрет
|<math>x[-n]</math>
|<math>X_{2\pi}(-\omega) \!</math>
|
|{{Rp|стp. 297}}
|-
|Временска конјугација
|<math>x[n]^*</math>
|<math>X_{2\pi}(-\omega)^* \!</math>
|
|{{Rp|стp. 291}}
|-
|Временски преокрет и конјугација
|<math>x[-n]^*</math>
|<math>X_{2\pi}(\omega)^* \!</math>
|
|{{Rp|стp. 291}}
|-
|Реални део у времену
|<math>\Re{(x[n])}</math>
|<math>\frac{1}{2}(X_{2\pi}(\omega) + X_{2\pi}^*(-\omega))</math>
|
|{{Rp|стp. 291}}
|-
|Имагинарни део у времену
|<math>\Im{(x[n])}</math>
|<math>\frac{1}{2i}(X_{2\pi}(\omega) - X_{2\pi}^*(-\omega))</math>
|
|{{Rp|стp. 291}}
|-
|Реални део у фреквенцији
|<math>\frac{1}{2}(x[n]+x^*[-n])</math>
|<math>\Re{(X_{2\pi}(\omega))}</math>
|
|{{Rp|стp. 291}}
|-
|Имагинарни део у фреквенцији
|<math>\frac{1}{2i}(x[n]-x^*[-n])</math>
|<math>\Im{(X_{2\pi}(\omega))}</math>
|
|{{Rp|стp. 291}}
|-
|Померање у времену/ Модулација у фреквенцији
|<math>x[n-k]</math>
|<math>X_{2\pi}(\omega)\cdot e^{-i\omega k}</math>
|integer {{Mvar|k}}
|{{Rp|стp. 296}}
|-
|Померање у фреквенцији / Модулација у времену
|<math>x[n]\cdot e^{ian} \!</math>
|<math>X_{2\pi}(\omega-a) \!</math>
|реална вредност <math>a</math>
|{{Rp|стp. 300}}
|-
|Децимација
|<math>x[nM]</math>
|<math>\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1} X_{2\pi}\left(\tfrac{\omega - 2\pi m}{M}\right) \!</math>&nbsp; {{Efn-ua|This expression is derived as follows:
:<math>
\begin{align}
\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nMT)\ e^{-i\omega n}
&= \frac{1}{MT}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\tfrac{\omega}{2\pi MT} - \tfrac{k}{MT}\right)\\
&= \frac{1}{MT}\sum_{m=0}^{M-1} \quad \sum_{n=-\infty}^{\infty} X\left(\tfrac{\omega}{2\pi MT} - \tfrac{m}{MT} - \tfrac{n}{T}\right),
\quad \text{where} \quad k \rightarrow m + nM\\
&=\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1} \quad \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X\left(\tfrac{(\omega - 2\pi m)/M}{2\pi T} - \tfrac{n}{T}\right)\\
&= \frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1} \quad X_{2\pi}\left(\tfrac{\omega - 2\pi m}{M}\right)
\end{align}
</math>}}
|целобројно <math>M</math>
|
|-
|Временско ширење
|<math> \scriptstyle \begin{cases}
x[n/M] & n=\text{умножак oд M} \\
0 & \text{иначе}
\end{cases}</math>
|<math>X_{2\pi}(M \omega) \!</math>
|целобројно <math>M</math>
|
|-
|Извод у фреквенцији
|<math>\frac{n}{i} x[n] \!</math>
|<math>\frac{d X_{2\pi}(\omega)}{d \omega} \!</math>
|
|{{Rp|стp. 303}}
|-
|Интеграција у фреквенцији
|<math> \!</math>
|<math> \!</math>
|
|
|-
|Извод по вреемену
|<math> x[n]-x[n-1] \!</math>
|<math> \left( 1-e^{-i \omega} \right) X_{2\pi}(\omega)  \!</math>
|
|
|-
|Сума у времену
|<math> \sum_{m=-\infty}^{n} x[m] \!</math>
|<math> \frac{1}{\left( 1-e^{-i \omega} \right)} X_{2\pi}(\omega) + \pi X(0) \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\omega-2\pi k) \!</math>
|
|
|-
|Конволуција у времену/ Мултипликација у фреквенцији
|<math>x[n] * y[n] \!</math>
|<math>X_{2\pi}(\omega) \cdot Y_{2\pi}(\omega) \!</math>
|
|{{Rp|стp. 297}}
|-
|Мултипликација у времену / Конволуција у фреквенцији
|<math>x[n] \cdot y[n] \!</math>
|<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X_{2\pi}(\nu) \cdot Y_{2\pi}(\omega-\nu) d\nu \!</math>
|Периодична конволуција
|{{Rp|стp. 302}}
|-
|Унакрсна корелација
|<math>\rho_{xy} [n] = x[-n]^* * y[n] \!</math>
|<math>R_{xy} (\omega) = X_{2\pi}(\omega)^* \cdot Y_{2\pi}(\omega) \!</math>
|
|
|-
|[[Парсевалова теорема]]
|<math>E_{xy} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} {x[n] \cdot y[n]^*} \!</math>
|<math>E_{xy} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{X_{2\pi}(\omega) \cdot Y_{2\pi}(\omega)^* d\omega} \!</math>
|
|{{Rp|стp. 302}}
|}

== Види још ==
* Вишедимензионална трансформација 
* Зак трансформација 

== Напомене ==
{{Notelist-ua}}

== Референце ==
{{reflist}}

== Литература ==
* {{Cite book| title=Multirate Digital Signal Processing| url = https://archive.org/details/multiratedigital00croc_877 |last1=Crochiere|first1=R.E.|last2=Rabiner|first2=L.R.|date=1983|publisher=Prentice Hall|isbn=978-0-13-605162-6|location=Englewood Cliffs, NJ|pages=[https://archive.org/details/multiratedigital00croc_877/page/n332 313]–326}}
* {{Cite book| url=https://archive.org/details/discretetimesign00alan|title=Discrete-Time Signal Processing|last1=Oppenheim|first1=Alan V.|last2=Schafer|first2=Ronald W.|publisher=Prentice Hall Signal Processing Series|year=1999|isbn=978-0-13-754920-7|edition=2.|location=|pages=|url-access=registration}}
* {{Cite book| title=A Course in Digital Signal Processing|last=Porat|first=Boaz|date=1996|publisher=John Wiley and Sons|isbn=978-0-471-14961-3|location=|pages=27–29 и 104–105}}
* {{Cite book| title=Circuits, Signals, and Systems|last=Siebert|first=William M.|publisher=MIT Press|year=1986|isbn=9780262690959|location=MIT Electrical Engineering and Computer Science Series. Cambridge, MA|pages=}}
* {{Cite book| title=Understanding Digital Signal Processing|last=Lyons|first=Richard G.|publisher=Prentice Hall|year=2010|isbn=978-0137027415|edition=3.|location=|pages=}}

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Дигитална обрада сигнала]]
[[Категорија:Фуријеова анализа]]
[[Категорија:CS1 одржавање: BOT: статус параметра оригинални-URL непознат]]
[[Категорија:Странице са непрегледаним преводима]]