Изворни код странице Гама-функција

[[Датотека:Gamma plot.svg|мини|десно|250п|Гама-функција на интервалу реалне осе.]]

У [[Математика|математици]], '''гама-функција''' је [[Функција (математика)|функција]] дефинисана [[несвојствени интеграл|несвојственим интегралом]]:
:<math>\Gamma(z)=\int_0^{\infty}e^{-t}t^{z-1}\,dt.</math>

Из парцијалне интеграције и израчунавања интеграла за <math>z=1</math>, добија се израз
:<math>\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n!</math>
који проширује појам [[факторијел]]a<ref name=gkp>{{cite book|first1=Ronald L.|last1=Graham|author1-link=Ronald Graham |first2=Donald E.|last2=Knuth|author2-link=Donald Knuth|first3=Oren|last3=Patashnik|author3-link=Oren Patashnik|date=1988|title=Concrete Mathematics|publisher=Addison-Wesley|location=Reading, MA|isbn=0-201-14236-8|title-link=Concrete Mathematics|page=111}}</ref> на [[комплексан број|комплексне бројеве]].<ref>[http://math.albany.edu/~hammond/course/calcnotes/gamma.pdf О Гама функцији, белешке са предавања 1995. године] {{Wayback|url=http://math.albany.edu/~hammond/course/calcnotes/gamma.pdf |date=20140502220534 }}, Универзитет у [[Олбани]], [[Њујорк]], Приступљено: 2.5.2014.</ref>

== Дефиниција ==

Гама-функција <math>\Gamma(z)\,</math> дефинисана је [[несвојствени интеграл|несвојственим интегралом]]<ref name="Buck">{{cite book|title=Advanced Calculus |url=https://archive.org/details/advancedcalculus00buck_1 |first=R. Creighton |last=Buck |edition=2nd |year=1965 |publisher=McGraw-Hill |pages=[https://archive.org/details/advancedcalculus00buck_1/page/133 133]–134}}</ref><ref name="Schaums">{{cite book|title=Schaum's Outline of Theory and Problems of Advanced Calculus |url=https://archive.org/details/schaumsoutlineo00spie |first=Murray R. |last=Spiegel |publisher=McGraw-Hill |year=1963 |page=[https://archive.org/details/schaumsoutlineo00spie/page/260 260] |isbn=0-07-060229-8}}</ref> за комплексне бројеве <math>z\,</math> за које је <math>\Re(z)>0</math> на следећи начин:
:<math>\Gamma(z)=\int_0^{\infty}e^{-t}t^{z-1}\,dt.</math>
Другим речима, гама-функција је [[Мелинова трансформација]] функције <math>e^{-t}\,</math>. [[Парцијална интеграција|Парцијалним интеграљењем]] се показује следеће њено основно својство:
:<math>\,\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).</math>
Како је <math>\Gamma(1)=1\,</math>, комбиновањем ове и претходне релације добија се:
:<math>\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=\cdots=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\cdot\Gamma(1)=n!,</math>
за све [[природан број|природне бројеве]] ''-{n}-''.

Са друге стране, формулисана у облику
:<math>\Gamma(z)=\Gamma(z+1)/z\,</math>,
она даје [[аналитичко продужење]] почетно дефинисаној <math>\Gamma\,</math>-функцији до полуравни <math>\Re(z)>-1</math>, са [[Пол (Комплексна анализа)|полом]] у <math>z=0\,</math>, затим до полуравни <math>\Re(z)>-2</math>, са још једним полом у <math>z=-1\,</math>, итд. Тако се <math>\Gamma\,</math>-функција продужује до [[мероморфна функција|мероморфне функције]], дефинисане за све комплексне бројеве <math>z\,</math> осим полова у [[позитиван број|непозитивним]] [[цео број|целим бројевима]] <math>z=0,-1,-2,\ldots\ </math> Под <math>\Gamma\,</math>-функцијом се, по правилу, подразумева овако дефинисано продужење.

== Основна својства ==

Гама-функција није [[елементарне функције|елементарна функција]], али су њена својства веома добро истражена због њене повезаности са [[факторијел]]ом и примене у [[Теорија бројева|теорији бројева]]. Међу најважнијима особинама Гама-функције су ''функционална једначина''
:<math>\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}</math>
и [[Лежандр]]ова ''дупликациона формула''
:<math>\Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac12\right).</math>

Гама-функција нема нула. У тачкама <math>z=-n\,</math>, где је <math>n\,</math> ненегативан цео број, гама-функција има пол реда 1 са [[Остатак (Комплексна анализа)|остатком]] <math>(-1)^n/n!\,</math>; њено понашање у околини полова одређено је функционалном једначином.

За велике <math>|z|\,</math>, вредности <math>\Gamma(z)\,</math> даје са великом прецизношћу [[Стирлингова апроксимациона формула]]:
:<math>\Gamma(z)=z^{z-1/2}e^{-z}\sqrt{2\pi}\left(1+\frac1{12z}+\frac1{288z^2}+\mathrm{O}\left(\frac1{z^3}\right)\right)</math>

За све ''-{z}-'' где је гама-функција дефинисана, важи и следећи [[бесконачан производ]] [[Датотека:Gamma_abs.png|мини|десно|Модул гама-функције комплексног аргумента]]
:<math>\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}z\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}e^{z/n},</math>
где је γ [[Број е|Ојлерова константа]], који се добија као [[Вајерштрасов производ]] функције <math>1/\Gamma(z)\,</math>, која је [[цела функција|цела]] јер гама-функција нема нула, и [[Ред целе функције|реда]] 1 према Стрилинговој формули. Некад се заправо за дефиницију гама-функције узима овај производ, или неки од еквивалентних облика
:<math>\Gamma(z)=\frac1z\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\left(1+\frac1k\right)^z}{1+\frac zk}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{z(z+1)\cdots(z+n)}.</math>


Ваљда најпознатија вредност гама-функције за нецелобројне вредности аргумента је <math>\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}</math>, што се може видети нпр. коришћењем дупликационе формуле. Овај резултат даје и вредност такозваног [[интеграл вероватноће|интеграла вероватноће]]
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi},</math>
који је од изузетне важности у [[Вероватноћа и статистика|вероватноћи и статистици]]. Тако једноставне формуле нису познате већ нпр. за <math>\Gamma(1/n)\,</math> (<math>n>2\,</math>). За <math>\Gamma(1/3)\,</math> и <math>\Gamma(1/4)\,</math> је познато да су [[трансцендентан број|трансцендентни]], као и <math>\Gamma(1/2)\,</math>. Такође, <math>\Gamma'(1)=-\gamma\,</math>.

Веома ретко користе се и алтернативне ознаке <math>\Pi(z)=\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\,</math> и <math>\pi(z)=1/\Pi(z)\,</math>. Тако је <math>\Pi(n)=n!\,</math>, док је функција π цела.

Према [[Бор-Молерупова теорема|Бор-Молеруповој теореми]], гама-функција је једина [[логаритамски конвексна функција]] која проширује факторијел на све позитивне бројеве.

Дупликациона формула је специјални случај следеће [[Карл Фридрих Гаус|Гаусове]] теореме о производу:
:<math>\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac12}}{(2\pi)^{\frac{n-1}2}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac1n\right)\cdots\Gamma\left(z+\frac{n-1}n\right).</math>

Гама-функција је од изузетног значаја у [[математичка анализа|математичкој анализи]], вероватноћи и статистици, теорији бројева, [[комбинаторна математика|комбинаторици]] и другим областима математике, те у [[Физика|физици]], [[техника|техници]] и другим областима.

== Историјат ==

Гама-функцију први је посматрао и изучавао [[Леонард Ојлер]], који је доказао и функционалну једначину. Неки је називају и Ојлеровим интегралом друге врсте. Ознаку <math>\Gamma(z)\,</math> је увео [[Адријен-Мари Лежандр|Адријан-Мари Лежандр]], коме дугујемо дупликациону формулу.

Индијски математичар [[Сриниваса Рамануџан|Рамануџан]] доказао је низ фасцинантних идентитета са гама-функцијом.

== Уопштења и везе са другим функцијама ==

У интегралу којим се дефинише <math>\Gamma\,</math>-функција, границе интеграције су фиксиране. Често је пожељно посматрати такав интеграл у којем је доња или горња граница променљива (често у зависности од ''-{z}-''), тако се добија [[непотпуна гама-функција]]. [[Логаритамски извод]] понекад се назива и [[дигама-функција|дигама-функцијом]]. У [[статистика|статистици]] и другде је од значаја [[вишедимензиона гама-функција]].


Са [[Апстрактни Бесмисао|апстрактне]] [[Алгебра|алгебарске]] тачке гледишта, интеграл којим се дефинише гама-функција представља [[конволуција|конволуцију]] мултипликативног [[карактер]]а [[Поље (Алгебра)|поља]] [[реалан број|реалних бројева]] <math>{\mathbb R}</math> са једним фиксираним адитивним карактером тог поља. На тај начин своју гама-функцију има, на пример, свако [[алгебарско бројно поље]], [[нормирано локално поље]], итд. У теорији бројева, такве гама-функције део су функционалних једначина [[Л-функција]]. Види још [[Риманова зета-функција]].

== Апроксимације ==
[[File:Mplwp factorial gamma stirling.svg|thumb|right|upright=1.35|Упоређивање гама функције (плава линија) са [[факторијел]]ом (плаве тачке) и [[Stirling's approximation|Стирлинговом апроксимацијом]] (црвена линија)]]

Комплексне вредности гама функције могу се израчунати нумерички са произвољном прецизношћу користећи [[Stirling's approximation|Стирлингову апроксимацију]] или [[Lanczos approximation|Ланцошову апроксимацију]].

Гама функција се може израчунати са фиксном прецизношћу за <math>\operatorname{Re} (z) \in [1, 2]</math> применом [[Integration by parts|парцијалне интеграције]] у [[Ојлеров интеграл|Ојлеровом интегралу]]. За било који позитивни број {{math|''x''}} може се написати гама функција

:<math>\begin{align}
\Gamma(z) &= \int_0^x e^{-t} t^z \, \frac{dt}{t} + \int_x^\infty e^{-t} t^z\, \frac{dt}{t} \\
&= x^z e^{-x} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{z(z+1) \cdots (z+n)} + \int_x^\infty e^{-t} t^z \, \frac{dt}{t}.
\end{align}</math>

Кад је {{math|Re(''z'') ∈ [1,2]}} и <math>x \geq 1</math>, апсолутна вредност задњег интеграла је мања од <math>(x + 1)e^{-x}</math>. Одабиром довољно великог <math>x</math>, овај последњи израз може се учинити мањим од <math>2^{-N}</math> за било коју жељену вредност&nbsp;<math>N</math>. Тако се гама функција може проценити на <math>N</math> бита прецизности са горенаведеном серијом.

Е.А. Каратсуба је конструисао брз алгоритам за израчунавање Ојлерове гама функције за било који алгебарски аргумент (укључујући и рационални).<ref>{{cite journal|last1= Karatsuba|first1= E. A. |title=Fast evaluation of transcendental functions |url=https://www.researchgate.net/publication/246166981|journal= Probl. Inf. Transm.|date=1991 |volume=27|issue=4|pages=339–360}} (1991).</ref><ref>{{cite journal|title= On a new method for fast evaluation of transcendental functions|journal= Russ. Math. Surv.|date= 1991|volume=46|issue=2|pages=246–247|doi= 10.1070/RM1991v046n02ABEH002747|bibcode= 1991RuMaS..46..246K|last1= Karatsuba|first1= E. A.}}</ref><ref>E.A. Karatsuba "[http://www.ccas.ru/personal/karatsuba/algen.htm Fast Algorithms and the FEE Method]"</ref>

За аргументе који су целобројни умношци од {{math|{{sfrac|1|24}}}}, гама функција се такође може брзо проценити коришћењем [[arithmetic–geometric mean|аритметичко-геометријских]] средњих вредности итерација (погледајте [[particular values of the gamma function|посебне вредности гама функције]] и {{harvtxt|Borwein|Zucker|1992}}).

== Апликације ==

Један аутор описује гама функцију као „Аргументирано, најчешћу специјалну функцију, или најмање 'посебну' од њих. Друге трансценденталне функције […] називају се 'посебне', јер бисте неке од њих могли избећи држањем подаље од многих специјализованих математичких тема. Са друге стране, гама функцију {{math|''y'' {{=}} Γ(''x'')}} је најтеже избећи.”<ref>Michon, G. P. "[http://home.att.net/~numericana/answer/functions.htm Trigonometry and Basic Functions] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100109035934/http://home.att.net/~numericana/answer/functions.htm |date=9. 1. 2010 }}". ''Numericana''. Retrieved May 5, 2007.</ref>

== Види још ==
* [[бета-функција]]
* [[хипергеометријска функција]].

== Референце ==
{{reflist}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{Cite book| ref=harv|editor1-first=Milton |editor1-last=Abramowitz |editor2-first=Irene A. |editor2-last=Stegun |title=[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]] |location=New York |publisher=Dover |year=1972|chapter-url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_253.htm |chapter=Chapter 6}}
* {{Cite book| ref=harv|first=G. E. |last=Andrews |first2=R. |last2=Askey |authorlink=Richard Askey |first3=R. |last3=Roy |title=Special Functions | url=https://archive.org/details/specialfunctions0071andr|publisher=Cambridge University Press |location=New York |year=1999|isbn=978-0-521-78988-2 |chapter=Chapter 1 (Gamma and Beta functions)}}
* {{Cite book| ref=harv|last=Artin |first=Emil |authorlink=Emil Artin |contribution=The Gamma Function |editor-last=Rosen |editor-first=Michael |title=Exposition by Emil Artin: a selection |series=History of Mathematics |volume=30 |location=Providence, RI |publisher=American Mathematical Society |date=2006}}
* {{dlmf|authorlink=Richard Askey|first=R.|last=Askey|first2= R.|last2=Roy |id=5 |ref=none }}
* {{cite journal|last=Birkhoff |first = George D. |authorlink= George David Birkhoff |title = Note on the gamma function |journal = Bulletin of the American Mathematical Society |year=1913 |volume = 20 |number = 1 |pages=1–10 |mr = 1559418 |doi = 10.1090/s0002-9904-1913-02429-7 }}
* {{Cite book| ref=harv|first=P. E. |last=Böhmer |title=Differenzengleichungen und bestimmte Integrale |trans-title=Differential Equations and Definite Integrals |publisher=Köhler Verlag |location=Leipzig |date=1939}}
* {{cite journal|first=Philip J. |last=Davis |title=Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1959-12_66_10/page/849 |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=66 |year=1959|doi=10.2307/2309786|pages=849-869}}
* {{Cite book |ref = harv |last = Press |first = W. H. |last2 = Teukolsky |first2 = S. A. |last3 = Vetterling |first3 = W. T. |last4 = Flannery |first4 = B. P. |year = 2007 |title = Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing |edition = 3rd |publisher = Cambridge University Press |publication-place = New York |isbn = 978-0-521-88068-8 |chapter = Section 6.1. Gamma Function |chapter-url = http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=256 |access-date = 16. 12. 2018 |archive-date = 27. 10. 2021 |archive-url = https://web.archive.org/web/20211027043154/http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=256 |url-status =  }}
* {{Cite book| ref=harv|first=O. R. |last=Rocktäschel |title=Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument |trans-title=Methods for Calculating the Gamma Function for Complex Arguments |publisher=[[Technische Universität Dresden|Technical University of Dresden]] |location=Dresden |date=1922}}
* {{Cite book| ref=harv|first=Nico M. |last=Temme |title=Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics |publisher=John Wiley & Sons |location=New York |isbn=978-0-471-11313-3 |date=1996}}
* {{Cite book| ref=harv|authorlink=E. T. Whittaker |first=E. T. |last=Whittaker |first2=G. N. |last2=Watson |title=A Course of Modern Analysis |publisher=Cambridge University Press |year=1927|isbn=978-0-521-58807-2}}
* {{cite journal|first=T. |last=Amdeberhan|first2=Mark W.|last2=Coffey|first3=Olivier|last3=Espinosa|first4=Christoph|last4=Koutschan|first5=Dante V.|last5=Manna|first6=Victor H.|last6=Moll|title= Integrals of powers of loggamma|journal=Proc. Amer. Math. Soc.|volume=139|issue=2 |date=2011 |doi=10.1090/S0002-9939-2010-10589-0|doi-access=free|pages=535-545 }}
* {{Cite book | ref=harv| last = Borwein| first=J. |last2=Bailey|first2=D. H. | last3 = Girgensohn| first3=R. |year = 2003 |title = Experimentation in Mathematics |publisher = A. K. Peters |pages = 133 |isbn = 978-1-56881-136-9 }}
* {{cite journal |last=Davis |first=P. J. |date=1959 |title=Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=66 |issue=10 |pages=849–869 |url=http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3104 |access-date=3. 12. 2016 |doi=10.2307/2309786 |jstor=2309786 |archive-date=07. 11. 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20121107190256/http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3104 |url-status= }}
* {{Cite book | ref=harv|last=Remmert |first=R. |translator-last=Kay |translator-first=L. D. |title = Classical Topics in Complex Function Theory |publisher = Springer |year = 2006 |isbn = 978-0-387-98221-2 }}
* {{Cite book | ref=harv|last= Knuth |first=D. E. |title = The Art of Computer Programming, Volume 1 (Fundamental Algorithms) |publisher = Addison-Wesley |year = 1997 }}
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commons category|Gamma and related functions}}
* [http://dlmf.nist.gov/5 NIST Digital Library of Mathematical Functions:Gamma function]
* Pascal Sebah and Xavier Gourdon. ''Introduction to the Gamma Function''. In [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/gammaFunction.ps PostScript] and [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/gammaFunction.html HTML] formats.
* [http://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/math/tgamma C++ reference for <tt>std::tgamma</tt>]
* Examples of problems involving the gamma function can be found at [https://web.archive.org/web/20161002083601/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php?title=Special_Functions Exampleproblems.com].
* {{springer|title=Gamma function|id=p/g043310|ref=none}}
* [http://functions.wolfram.com/webMathematica/FunctionEvaluation.jsp?name=Gamma Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)]
* {{WolframFunctionsSite | urlname=GammaBetaErf/Gamma | title=Gamma}}
* [http://www.mathpages.com/home/kmath163/kmath163.htm Volume of n-Spheres and the Gamma Function] at MathPages

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Специјалне функције]]
[[Категорија:Комплексна анализа]]