Неједнакости између бројевних средина

Неједнакости између бројевних средина су неопходан математички инструмент за доказивање многих других неједнакости. Познато је да је хармонијска средина мања или једнака геометријској, геометријска мања или једнака аритметичкој, аритметичка мања или једнака квадратној, квадратна мања или једнака кубној и тд...

Математички запис

Ако је:

H - хармонијска средина

G - геометријска средина

А - аритметичка средина

К - квадратна средина

$min$ - минимални члан

$max$ - максимални члан

тада важи:

$min\le H\le G\le A\le K\le max$

Општи облик

$min(x_1,...,x_n)\le \frac{n}{\frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{x_n}}\le \sqrt[n]{x_1\cdot ...\cdot x_n}\le \frac{x_1+...+x_n}{n}\le \sqrt[]{\frac{{x_1}^2+...+{x_n}^2}{n}}\le max(x_1,...,x_n)$

Неједнакост аритметичке и геометријске средине. Доказ индукцијом

Најпре доказујемо да за реалне бројеве Шаблон:Math and Шаблон:Math следи

$x_1+x_n>x_1{x}_2+1.$

Заиста, множење обе стране неједнакости Шаблон:Math са Шаблон:Math, даје

$x_2-x_1{x}_2>1-x_1,$

одакле непосредно следи тражена неједнакост.

Сада ћемо доказати да за позитивне реалне бројеве Шаблон:Math, који задовољавају једнакост Шаблон:Math, важи

$x_1+\cdots +x_n\ge n.$

Знак једнакост стоји само ако је Шаблон:Math.

Индукцијска провера: За Шаблон:Math тврђење је тачно на основу горње неједнакости.

Индукцијска претпоставка: Претпоставимо да је тврђење тачне за првих Шаблон:Math природних бројева.

Индукцијски корак: Размотримо случај када за Шаблон:Math позитивних реалних бројева Шаблон:Math, важи Шаблон:Math. Како постоји бар један број Шаблон:Math, постоји бар један Шаблон:Math. Неће се изгубити на општости, ако допустимо да је Шаблон:Math and Шаблон:Math.

Даље, једнакост Шаблон:Math напишимо у облику Шаблон:Math. Тада, из индукцијске претпоставке, следи

$(x_1+\cdots +x_{n-2})+(x_{n-1}{x}_n)>n-1.$

Међутим, узимајући у обзир индукцијску проверу, имамо

$x_1+\cdots +x_{n-2}+x_{n-1}+x_n=(x_1+\cdots +x_{n-2})+(x_{n-1}+x_n)>(x_1+\cdots +x_{n-2})+x_{n-1}{x}_n+1>n,$

чиме је доказано тврђење.

Сада, за позитивне реалне бројеве Шаблон:Math, означимо

$x_1=\frac{a_1}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}},...,x_n=\frac{a_n}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}.$

Како бројеви Шаблон:Math задовољавају услов Шаблон:Math, имамо

$\frac{a_1}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}+\cdots +\frac{a_n}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}\ge n,$

чиме се добија неједнакост аритметичке и геометријске средине

$\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1\cdots a_n},$

при чему једнакост важи само за Шаблон:Math.

Уколико за позитивне реалне бројеве Шаблон:Math, ставимо

$x_1=\frac{\frac{1}{a_1}}{\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}}},...,x_n=\frac{\frac{1}{a_n}}{\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}}},$

уочавамо да је Шаблон:Math, па је

$\frac{\frac{1}{a_1}}{\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}}}+\cdots +\frac{\frac{1}{a_n}}{\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}}}\ge n,$

одакле се добија неједнакост геометријске и хармонијске средине

$\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\ge \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots \frac{1}{a_n}}.$

Види још

• Хармонијска средина
• Геометријска средина
• Аритметичка средина
• Квадратна средина