Једноставан доказ да је 22/7 веће од пи

Рационалан број 22/7 је приближна вредност ирационалног броја π.

$22/7\cong 3,142857\dots$

$\pi \cong 3,14159\dots$

Следи математички доказ да је 22/7 > π. Овај доказ је једноставан јер је кратак и непосредан и захтева само основни ниво познавања математичке анализе.

Идеја

$0<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}dx=\frac{22}{7}-\pi .$

Детаљи

$0<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}dx$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2})dx$

$={\frac{x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+x^5-\frac{4x^3}{3}+4x-4\arctan x|}_0^1$

$=\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi$ (сетите се да је -{arctan}-(1) = π/4)

$=\frac{22}{7}-\pi .$

Дакле, разлика 22/7 и π је већа од нуле што и доказује да је 22/7 > π.

Патнамово такмичење

Развој овог интеграла био је први проблем на америчком Годишњем Вилијам Лоуел Патнам студентском математичком такмичењу 1968. године.

Спољни линк

• Проблеми са Патнамовог такмичења 1968, где је овај доказ дат као проблем А1.
• The Life of Pi Шаблон:Wayback by Jonathan Borwein—see page 5 for this integral.