Подскуп

Ојлеров дијаграм који показује
-{A}- је подскуп скупа -{B}-

Венов дијаграм који показује
-{A}- је подскуп скупа -{B}-

У математици, а посебно у теорији скупова, скуп -{A}- је подскуп скупа -{B}- ако се -{A}- садржи унутар -{B}-. Притом -{A}- може бити једнак -{B}-.

Дефиниције

Ако су -{A}- и -{B}- скупови, и сваки елемент из -{A}- такође елемент из -{B}-, онда:

• -{A}- је подскуп скупа -{B}-, у ознаци $A\subseteq B$,

или еквивалентно

• -{B}- је надскуп скупа -{A}-, у ознаци $B\supseteq A$.

Ако је -{A}- подскуп од -{B}-, али -{A}- није једнак -{B}- (то јест, постоји барем један елемент у -{B}- који не постоји у -{A}-), онда

• -{A}- је такође прави подскуп од -{B}-; ово се записује као $A⊊B$.

или еквивалентно

• -{B}- је прави надскуп од -{A}-; ово се записује као $B⊋A$.

За сваки скуп -{S}-, релација инклузије ⊆ је парцијално уређење на скупу 2^-{S}- свих подскупова од -{S}- (партитивни скуп од -{S}-).

Симболи ⊂ и ⊃

Понекад се записује -{A ⊂ B}- уместо -{A ⊆ B}- да се означи да је -{A}- подскуп од -{B}-. Слично, понекад се пише -{A ⊃ B}- да се означи да је -{A}- надскуп од -{B}-. По овој конвенцији, ако је све шта знамо да је -{A ⊂ B}-, још увек је могуће да су -{A}- и -{B}- једнаки скупови.

Некад се симболи ⊂ и ⊃ користе да означе праве подскупове или надскупове уместо $⊊$ и $⊋$. Ово коришћење чини симболе ⊆ и ⊂ аналогне симболима ≤ и <. На пример, ако -{x ≤ y}- онда -{x}- може бити једнако -{y}-, али не мора, али ако је -{x < y}-, онда -{x}- сигурно није једнако -{y}-, већ је строго мање од -{y}-. Слично, ако се узме да ⊂ значи прави подскуп, онда ако -{A ⊆ B}-, следи да -{A}- може али не мора бити једнако -{B}-, али ако -{A ⊂ B}-, онда -{A}- сигурно није једнако -{B}-.

Примери

• Скуп {1, 2} је прави подскуп скупа {1, 2, 3}.
• Сваки скуп је подскуп самог себе, али није прави подскуп самог себе.
• Празан скуп, у ознаци ∅, је такође подскуп сваког датог скупа -{X}-. Празан скуп је увек прави подскуп, изузев себе самог.
• Скуп {-{x}- : -{x}- је прост број већи од 2000} је прави подскуп скупа {-{x}- : -{x}- је непаран број већи од 1000}
• Скуп природних бројева је прави подскуп скупа рационалних бројева, а скуп тачака на дужи је прави подскуп скупа тачака на правој на којој та дуж лежи. Ово су контраинтуитивни примери код којих су и део и целина бесконачни, и део има исти број елемената као целина.