Homološka algebra

Dijagram koji se koristi u lemi zmije, osnovnom rezultatu u homološkoj algebri.

Homološka algebra je grana matematike koja izučava homologiju u opštem algebarskom okruženju. To je relativno mlada disciplina, čije poreklo se može pratiti do istraživanja kombinatorne topologije (preteče algebarske topologije) i apstraktne algebre (teorije modula i linearnih relacija) s kraja 19. veka, uglavnom zaslugom Anrija Poenkarea i Dejvida Hilberta.

Razvoj homološke algebre bio je usko isprepleten s nastankom teorije kategorija. Uopšte, homološka algebra je proučavanje homoloških funktora i zamršenih algebričnih struktura koje oni uključuju. Jedan prilično koristan i sveprisutan koncept u matematici su lančani kompleksi, koji se mogu proučavati putem njihove homologije i kohomologije. Homološka algebra pruža sredstva za izdvajanje informacija sadržanih u ovim kompleksima i njihovo predstavljanje u obliku homoloških invarijanati prstenova, modula, topoloških prostora i drugih 'opipljivih' matematičkih objekata. Moćan alat za ovo pružaju spektralne sekvence.

Homološka algebra je od samog nastanka igrala ogromnu ulogu u algebarskoj topologiji. Njen uticaj se postepeno proširio i trenutno uključuje komutativnu algebru, algebarsku geometriju, teoriju algebarskih brojeva, teoriju reprezentacije, matematičku fiziku, operatorske algebre, kompleksnu analizu i teoriju parcijalnih diferencijalnih jednačina. K-teorija je nezavisna disciplina koja se zasniva na metodama homološke algebre, kao i nekomutativna geometrija Alena Kona.

Istorija homološke algebre

Proučavanje homološke algebre je započeto u njenom najosnovnijem obliku tokom 1800-ih kao grane topologije. Tek je tokom 1940-ih godina ona postala samostalni predmet proučavanja, sa izučavanjem tema kao što su: ext funktor i tor funktor, između ostalog.

Lančani kompleksi i homologija

Pojam kompleksa lanaca je centralan u homološkoj algebri. Apstraktni lančani kompleks je niz $(C_{\bullet },d_{\bullet })$ abelovih grupa i grupa homomorfizama, sa svojstvom da je kompozicija bilo koje dve uzastopne mape nula:

$C_{\bullet }:\cdots ⟶C_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{⟶}{C}_n\stackrel{d_n}{⟶}{C}_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{⟶}\cdots ,d_n\circ d_{n+1}=0.$

Elementi C_n se nazivaju n-lancima, a homomorfizmi d_n se nazivaju graničnim mapama ili diferencijalima. Lančane grupe C_n mogu biti obdarene dodatnom strukturom; na primer, to mogu biti vektorski prostori ili moduli preko fiksnog prstena R. Diferencijali moraju da sačuvaju dodatnu strukturu ako ona postoji; na primer, to moraju biti linearne mape ili homomorfizmi R-modula. Radi lakšeg označavanja, pažnju treba usredsrediti na abelove grupe (tačnije, na kategoriju Ab abelovih grupa); proslavljena teorema Barija Mičela implicira da će se rezultati generalizovati na bilo koju abelovu kategoriju. Svaki lančani kompleks definiše još dva niza abelovih grupa, cikluse Z_n = Ker d_n i granice B_n = Im d_n+1, gde Ker d i Im d označavaju jezgro i sliku od d. Pošto je kompozicija dve uzastopne granične mape nula, ove grupe su ugrađene jedna u drugu kao

$B_n\subseteq Z_n\subseteq C_n.$

Podgrupe abelovih grupa su automatski normalne; stoga se može definisati n-ta homološka grupu H_n(C) kao faktorska grupa n-ciklusa po n-granicama,

$H_n(C)=Z_n/B_n=\mathrm{Ker}{d}_n/\mathrm{Im}{d}_{n+1}.$

Kompleks lanca naziva se acikličnim ili tačan niz ako su sve njegove homološke grupe nula.

Literatura

• Шаблон:Cite book. With an appendix by David A. Buchsbaum. Reprint of the 1956 original. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999. xvi+390 pp.
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book. Reprint of the 1975 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995. x+422 pp.
• Шаблон:Cite book. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 4. Springer-Verlag, New York, 1997. xii+364 pp.
• Шаблон:Cite book. Translated from Russian 1988 edition. Second edition. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xx+372 pp.
• Шаблон:Cite book, V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlin, 1994). Springer-Verlag, Berlin, 1999. iv+222 pp.
• Шаблон:Cite book. Springer (2002) ()
• Шаблон:Cite book. Oxford 1969, Addison–Wesley Publishing Company, Inc. .
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite journal.
• Шаблон:Cite journal.
• R. Brown and T. Porter, On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations, Proceedings of the Royal Irish Academy, vol. 96A (1996), 213–227.
• Шаблон:Cite journal.
• P. J. Morandi, Group Extensions and H³. From his collection of short mathematical notes.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:CitationШаблон:Мртва веза

Dodatna literatura

• Шаблон:Cite journal

Spoljašnje veze

• Шаблон:MathWorld
• -{Snake Lemma Шаблон:Wayback at PlanetMath}-
• -{Homological conjectures, old and new, Melvin Hochster. Шаблон:Cite journal.}-