Rešavanje jednačina

Primer korišćenja Njutn-Rafsonove metode za rešavanje jednačine $f(x)=0$ ili ekvivalentno, za pronalaženje korena od Шаблон:Mvar (kada je prikazana funkcija Шаблон:Mvar). Njutn-Rafsonova metoda je postupak za nalaženje numeričkog rešenja.

U matematici, rešavanje jednačina je nalaženje njihovih rešenja, koja su vrednosti (brojevi, funkcije, skupovi, itd.) koje zadovoljavaju uslove navedene jednačinom, koja se generalno sastoji od dva izraza povezana znakom jednakosti. Kada se traži rešenje, jedna ili više slobodnih promenljivih se označavaju kao nepoznate. Rešenje je dodeljivanje izraza nepoznatim promenljivama, uz održavanje tačnosti jednačina. Drugim rečima, rešenje je izraz ili kolekcija izraza (jedan za svaku nepoznatu) tako da, kada se supstituišu nepoznate, jednačina postane identitet. Rešenje jednačine često se naziva i koren jednačine, posebno, mada ne samo, za algebarske ili numeričke jednačine.

Problem rešavanja jednačine može biti numerički ili simbolički. Rešavanje jednačine numerički znači da se kao rešenja prihvataju samo brojevi koji su eksplicitno predstavljeni kao numerali (a ne kao izrazi koji sadrže promenljive). Rešavanje jednačine simbolički znači da se izrazi koji mogu sadržavati poznate promenljive ili eventualno i promenljive koje nisu u originalnoj jednačini prihvataju kao rešenja.

Na primer, jednačina Шаблон:Math je rešena za nepoznato x rešenjem Шаблон:Math, jer zamenjivanjem Шаблон:Math za x u jednačini rezultira u Шаблон:Math, istinitim izrazom. Moguće je i da se uzme promenljiva y za nepoznatu, u kom slučaju je jednačina je rešena sa Шаблон:Math. Ili se x i y mogu tretirati kao nepoznate, u kom slučaju postoji mnogo rešenja jednačine. Шаблон:Math je simbolično rešenje. Instanciranje simboličkog rešenja sa specifičnim brojevima uvek daje numeričko rešenje; na primer, Шаблон:Math daje Шаблон:Math (to jest, Шаблон:Math i Шаблон:Math), a Шаблон:Math daje Шаблон:Math. Razlika između poznatih i nepoznatih promenljivih je data u definiciji problema, a ne u jednačini. Međutim, u nekim oblastima matematike konvencija je da se rezervišu neke promenljive kao poznate, a druge kao nepoznate. Pri pisanju polinoma, koeficijenti se obično smatraju poznatim, a promenljive su nepoznate, mada u zavisnosti od problema, sve promenljive mogu poprimiti bilo koju od uloga.

U zavisnosti od problema, zadatak može biti pronalaženje bilo kog rešenja (dovoljno je pronalaženje jednog rešenja) ili svih rešenja. Set svih rešenja naziva se skup rešenja. U gornjem primeru, rešenje Шаблон:Math je takođe parametrizacija skupa rešenja sa parametrom Шаблон:Math. Moguće je i da je zadatak da se nađe rešenje, među mnogim mogućim, koje je u nekom pogledu najbolje; problemi te prirode se nazivaju problemima optimizacije; rešavanje optimizacionih problema se uglavnom ne naziva „rešavanjem jednačina”.

Formulacija poput „jednačina od x i y”, ili „rešiti za x i y”, podrazumeva da su nepoznate naznačene: u ovim slučajevima x i y.

Pregled

U opštem slučaju postoji situacija kao što je

Шаблон:Math,

gde su x₁,...,x_-{n}- nepoznate promenljive, a -{c}- je konstanta. Rešenja su članovi inverznog prikaza

ƒ ⁻¹[c] = {(a₁,...,a_n) ∈ T₁×···×T_n | ƒ(a₁,...,a_n) = c},

gde je T₁×···×T_n domen funkcije -{ƒ}-. Skup rešenja može biti prazan skup (nema rešenja), singlton (postoji tačno jedno rešenje), konačan ili beskonačan (postoji beskonačno mnogo rešenja).

Na primer, jednačina kao što je

Шаблон:Math

sa nepoznatim promenljivama x, y i z, može se rešiti tako što će se prvo promeniti jednačina na neki način, zadržavajući je u ekvivalentnom obliku, kao što je oduzimanje 21-{z }- sa obe strane jednačine da bi se dobilo

Шаблон:Math

U ovom konkretnom slučaju ne postoji samo jedno rešenje ove jednačine, već je beskonačni skup rešenja, koji se može napisati

{(x, y, z) | 3x + 2y − 21z = 0}.

Jedno određeno rešenje je -{x = 0, y = 0, z = 0}-. Druga dva rešenja su -{x = 3, y = 6, z = 1}-, i -{x = 8, y = 9, z = 2}-. Zapravo, ovoj specifični skup rešenja opisuje ravan u trodimenzionalnom prostoru, koja prolazi kroz tri tačke sa tim koordinatama.

Vidi još

• Strana i nedostajuća rešenja
• Simultanene jednačine
• Izjednačavanje koeficijenata
• Rešavanje geodetskih jednačina
• Unifikacija (informatika) — rešavanje jednačina koje obuhvataju simboličke izraze

Literatura

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Kendall E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, (1989) John Wiley & Sons, Inc, Шаблон:Isbn
• Tjalling J. Ypma, SIAM Review 37 (4), 531–551, 1995. Шаблон:Cite journal.
• Шаблон:Cite book
• P. Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics, Vol. 35. Springer, Berlin, 2004. Шаблон:Isbn.
• C. T. Kelley, Solving Nonlinear Equations with Newton's Method, no 1 in Fundamentals of Algorithms, SIAM, 2003. Шаблон:Isbn.
• J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. Classics in Applied Mathematics, SIAM, 2000. Шаблон:Isbn.
• Шаблон:Cite book. See especially Sections 9.4 Шаблон:Wayback, 9.6 Шаблон:Wayback, and 9.7 Шаблон:Wayback.
• Шаблон:Cite document
• Шаблон:Cite book
• T.S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, Шаблон:ISBN.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite conference (examples of the importance of accurate arithmetic).
• Trefethen, Lloyd N. (2006). "Numerical analysis", 20 pages. In: Timothy Gowers and June Barrow-Green (editors), Princeton Companion of Mathematics, Princeton University Press.

Spoljašnje veze

• Шаблон:MathWorld
• Mathews, J., The Accelerated and Modified Newton Methods, Course notes.
• Wu, X., Roots of Equations, Course notes.