Генералисане координате

Радијус вектор положаја у цилиндричним координатама

Често Декартове координате нису погодне за решавање проблема у математици и физици, па према врсти симетрије проблема користе се генералисане координате.

Цилиндричне и сферне координате

На пример, ако постоји цилиндрична симетрија, користе се цилиндричне координате, где се радијус вектор положаја описује као:$\overrightarrow{r}(\rho ,\varphi ,z)=\rho {\overrightarrow{e}}_{\rho }+z\overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{r}(\rho ,\varphi ,z)=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}=\rho \cos \varphi \overrightarrow{i}+\rho \sin \varphi \overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$=>${\overrightarrow{e}}_{\rho }=\cos \varphi \overrightarrow{i}+\sin \varphi \overrightarrow{j}$

Сада брзина тела постаје:$\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{d\rho }{dt}{\overrightarrow{e}}_{\rho }+\rho \frac{d\varphi }{dt}{\overrightarrow{e}}_{\varphi }$;${\overrightarrow{e}}_{\varphi }=\sin \varphi \overrightarrow{i}+\cos \varphi \overrightarrow{j}$

Приметити да је: ${\overrightarrow{e}}_{\rho }=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \rho }$ и $\rho {\overrightarrow{e}}_{\varphi }=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \varphi }$

Код сферних координата:$\overrightarrow{r}(r,\theta ,\varphi )=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}=r\sin \theta \cos \varphi \overrightarrow{i}+r\sin \theta \sin \varphi \overrightarrow{j}+r\cos \theta \overrightarrow{k}$

Радијус вектор положаја у сферним координатама

${\overrightarrow{e}}_r=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial r}=\sin \theta \cos \varphi \overrightarrow{i}+\sin \theta \sin \varphi \overrightarrow{j}+\cos \theta \overrightarrow{k}$

$r{\overrightarrow{e}}_{\theta }=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \theta }=r\cos \theta \cos \varphi \overrightarrow{i}+r\cos \theta \sin \varphi \overrightarrow{j}-r\sin \theta \overrightarrow{k}$;

$r\sin \theta {\overrightarrow{e}}_{\varphi }=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \varphi }=-r\sin \theta \sin \varphi \overrightarrow{i}+r\sin \theta \cos \varphi \overrightarrow{j}$

У општем случају:$h_{q_i}{\overrightarrow{e}}_{q_i}=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_i}$

Површина и запремина сфере

Површина било које криве површи добија се као:$\iint \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \theta }\times \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \varphi }d\varphi d\theta =\iint r^2\sin \theta d\theta d\varphi =S$

$S=r^2\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \theta d\theta =r^{2}2\pi 2=4\pi r^2$

Запремина лопте или сфере добија се као интеграл мешовитог производа вектора:

$\iiint \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial r}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \theta }\times \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \varphi }drd\varphi d\theta =\iiint r^2\sin \theta d\theta d\varphi dr$= $\underset{0}{\overset{R}{\int }}{r}^{2}dr\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \theta d\theta =\frac{4\pi }{3}{R}^3$

Овде се користила особина ортонормираности генералисаних ортова, тј.:${\overrightarrow{e}}_r\cdot {\overrightarrow{e}}_{\varphi }={\overrightarrow{e}}_r\cdot {\overrightarrow{e}}_{\varphi }={\overrightarrow{e}}_{\theta }\cdot {\overrightarrow{e}}_{\theta }=0$;${\overrightarrow{e}}_r\cdot {\overrightarrow{e}}_r={\overrightarrow{e}}_{\varphi }\cdot {\overrightarrow{e}}_{\varphi }={\overrightarrow{e}}_{\theta }\cdot {\overrightarrow{e}}_{\theta }=1$