Квадратни корен из 2

Извор: testwiki
Датум измене: 13. април 2024. у 10:53; аутор: imported>MilicevicBot (Бот: Special:Diff/27547949)
(разл) ← Старија измена | Тренутна верзија (разл) | Новија измена → (разл)
Пређи на навигацију Пређи на претрагу
Квадратни корен из 2 једнак је дужини хипотенузе једнакокраког троугла са крацима дужине 1

Квадратни корен из 2 (математичка ознака је Шаблон:Math или Шаблон:Math) је позитиван алгебарски број који помножен са самим собом даје број 2. Технички гледано, постоје два броја која помножена самим собом дају резултат 2. Међутим, позитиван број који испуњава овај услов назива се главна вредност корена да би се разликовала од негативног броја са истим својствима.

Геометријски, квадратни корен из 2 је дужина дијагонале јединичног квадрата што следи из Питагорине теореме. Претпоставља се да је то први познати ирационални број.

Рационална апроксимација квадратног корена из два, Шаблон:Sfrac, изведена је из четвртог корака вавилонским алгоритмом почевши од Шаблон:Math, премашује праву вредност за Шаблон:Val: њен квадрат је Шаблон:Val…

Често коришћена рационална апроксимација је Шаблон:Sfrac (≈ 1.41429). Упркос томе што је именилац само 70, од праве вредности одступа за мање од Шаблон:Sfrac (приближно Шаблон:Val). Пошто је у питању конвергентан верижни разломак квадратног корена из два, свака боља рационална апроксимација има именилац већи од 169, будући да је Шаблон:Sfrac конвергентан разломак са приближном грешком од Шаблон:Val.

Нумеричка вредност за квадратни корен из два, скраћена на 65 децимала, је:

Шаблон:Gaps Шаблон:OEIS.
Квадратни корен из 2 и апроксимације конвергентним верижним разломцима
Запис квадратног корена из 2 у различитим
системима и верижним разломком.
Бинарни Шаблон:Gaps
Декадни Шаблон:Gaps
Хексадецимални Шаблон:Gaps
Верижни разломак 1+12+12+12+12+⋱

Историја

Вавилонска глинена плочица (-{YBC}- 7289) са напоменама. Поред тога што приказује запис квадратног корена из 2 у шездесетичном бројевном систему (Шаблон:Nowrap), плочица даје и пример где је једна страница квадрата 30, а дијагонала је онда Шаблон:Nowrap. У шездесетичном бројевном систему, цифра 30 може означавати Шаблон:Nowrap = Шаблон:Sfrac, и у том случају Шаблон:Nowrap има приближну вредност 0.7071065.

Вавилонска глинена плочица (-{YBC}- 7289) (око 1800-1600. п. н. е.) даје апроксимацију Шаблон:Math са четири цифре шездесетичног система, Шаблон:Nowrap, што одговара тачности око шест цифара у декадном систему[1] и то је најпрецизнија могућа репрезентација Шаблон:Math са три децимале у шездесетичном бројевном систему:

1+2460+51602+10603=3054721600=1.41421296‾.

Још једна приближна апроксимација дата је у древним индијским математичким текстовима у Сулба Сутри (Шаблон:Јез-ен) (око 800-200. п. н. е.) на следећи начин: Увећање дужине (странице) за трећину и ту трећину за своју четвртину умањену за тридесет-четврти део те четвртине.[2] Дакле,

1+13+13×4−13×4×34=577408=1.4142156862745098039‾.

Ова апроксимација је седма у низу све прецизнијих апроксимација базираних на низу Пелових бројева, која се може извести из експанзије верижног разломка од Шаблон:Math. Упркос томе што ова апроксимација има мањи именилац, незнатно је мање прецизности од вавилонске.

Питагорејци су открили да дијагонала квадрата није самерљива са страницом, што у савременом језику има значење да је квадратни корен из два ирационалан број. Не зна се са сигурношћу када је ово откривено и под каквим околностима, али се у вези са овим открићем често помиње Хипас из Метапонта. Један период, Питaгорејци су ово откриће третирали као службену тајну, и према легенди, Хипас је убијен због откривања те тајне.[3][4][5] Квадратни корен из два се понекад назива "Питагорин број" или "Питагорина константа"; на пример, код Конвеја и Гаја у њиховој књизи Књига бројева.[6]

Компјутерски алгоритми

Постоји велики број алгоритама за приближно рачунање Шаблон:Math, који за апроксимацију користе само однос целих или децималних бројева. Најчешћи такав алгоритам који се користи као основа у многим рачунарима и калкулаторима је вавилонски алгоритам (вавилонска метода)[7] што је само једна од многих метода за рачунање квадратних корена. Алгоритам иде овако:

Најпре, одаберемо произвољно Шаблон:Math; ова вредност утиче само на број итерација потребних да би се постигла одређена тачност. Затим, користимо Шаблон:Math, као почетну вредност у следећем рекурзивном израчунавању:

an+1=an+2an2=an2+1an.

Што више итерација кроз алгоритам (тј. што више израчунавања и што је веће "Шаблон:Math"), добићемо бољу апроксимацију квадратног корена из 2. Свака итерација отприлике удвостручује број тачних цифара. Почевши са Шаблон:Math, добијају се следеће апроксимације:

Јапански математичар Јасумаса Канада је заједно са својим тимом 1997. године израчунао 137.438.953,444 децимала за Шаблон:Math.

Референце

Шаблон:Reflist

Литература

Шаблон:Литература

Шаблон:Литература крај

Спољашње везе

Шаблон:Commonscat

Шаблон:Алгебарски бројеви Шаблон:Ирационалан број Шаблон:Нормативна контрола

  1. ↑ Fowler & Robson. стр. 368.
    Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection Шаблон:Wayback
    High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
  2. ↑ Шаблон:Cite web
  3. ↑ Stephanie J. Morris, "The Pythagorean Theorem", Dept. of Math. Ed., University of Georgia.
  4. ↑ Brian Clegg, "The Dangerous Ratio ...", Nrich.org, November 2004.
  5. ↑ Шаблон:Cite journal
  6. ↑ Шаблон:Citation
  7. ↑ Иако се термин "вавилонска метода" често користи у модерној употреби, не постоје директни докази који показују како су Вавилоњани рачунали апроксимацију Шаблон:Math која се види на плочици -{YBC}- 7289. Фоулер и Робсон понудили су детаљније претпоставке .
    Fowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
Преузето из „https://sr.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Квадратни_корен_из_2&oldid=6809”