Изворни код странице Studentova t-raspodela

{{DISPLAYTITLE:Studentova ''t''-raspodela}}
{{Probability distribution-lat |
  name       =Studentova ''t''|
  type       =density|
  pdf_image  =[[File:student t pdf.svg|325px]]|
  cdf_image  =[[File:student t cdf.svg|325px]]|
  parameters =<math>\nu > 0</math> [[Degrees of freedom (statistics)|stepeni slobode]] ([[Real number|realnih]])|
  support    =<math>x \in (- \infty, \infty)</math>|
  pdf        =<math>\textstyle\frac{\Gamma \left(\frac{\nu+1}{2} \right)} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma \left(\frac{\nu}{2} \right)} \left(1+\frac{x^2}{\nu} \right)^{-\frac{\nu+1}{2}}\!</math>|
  cdf        =<math>\begin{matrix}
     \frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right)  \times\\[0.5em]
     \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2};
           -\frac{x^2}{\nu} \right)}
     {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma \left(\frac{\nu}{2}\right)}
     \end{matrix}</math><br/>
     gde je <sub>2</sub>''F''<sub>1</sub> [[hypergeometric function|hipergeometrijska funkcija]]|
  mean       =0 za <math>\nu > 1</math>, inače [[indeterminate form|nedefinisana]]|
  median     =0|
  mode       =0|
  variance   =<math>\textstyle\frac{\nu}{\nu-2}</math> za <math>\nu > 2</math>, ∞ za <math>1 < \nu \le 2</math>, inače [[indeterminate form|nedefinisana]]|
  skewness   =0 za <math>\nu > 3</math>, inače [[indeterminate form|nedefinisana]]|
  kurtosis   =<math>\textstyle\frac{6}{\nu-4}</math> za <math>\nu > 4</math>, ∞ za <math>2 < \nu \le 4</math>, inače [[indeterminate form|nedefinisana]]|
  entropy    =<math>\begin{matrix}
         \frac{\nu+1}{2}\left[
             \psi \left(\frac{1+\nu}{2} \right)
               - \psi \left(\frac{\nu}{2} \right)
         \right] \\[0.5em]
+ \ln{\left[\sqrt{\nu}B \left(\frac{\nu}{2},\frac{1}{2} \right)\right]}\,{\scriptstyle\text{(nats)}}
\end{matrix}</math>
* ψ: [[digamma function|digama funkcija]],
* ''B'': [[beta function|beta funkcija]]|
|
  mgf        = nedefinisano|
  char       =<math>\textstyle\frac{K_{\nu/2} \left(\sqrt{\nu}|t|\right)
                    \cdot \left(\sqrt{\nu}|t| \right)^{\nu/2}}
                    {\Gamma(\nu/2)2^{\nu/2-1}}</math> za <math>\nu > 0</math>
* <math>K_\nu(x)</math>: [[Bessel function|modifikovana Bezelova funkcija druge vrste]]<ref>Hurst, Simon. ''[http://wwwmaths.anu.edu.au/research.reports/srr/95/044/ The Characteristic Function of the Student-t Distribution]'', Financial Mathematics Research Report No. FMRR006-95, Statistics Research Report No. SRR044-95 {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20100218072259/http://wwwmaths.anu.edu.au/research.reports/srr/95/044/ |date=18. 2. 2010 }}</ref>
}}

U [[probability|verovatnoći]] i [[statistics|statistici]], '''Studentova ''t''-raspodela''' (ili jednostavno '''''t''-raspodela''') je bilo koji član familije kontinuarnih [[probability distribution|raspodela verovatnoće]] koje nastaju iz procenjivanja [[expected value|srednje vrednosti]] [[normal distribution|normalne raspodele]] [[Statistical population|populacije]] u situacijama gde je [[sample size|veličina uzorka]] mala i populaciona [[standardna devijacija]] nije poznata. Ovu raspodelu je razvio [[William Sealy Gosset|Vilijam Goset]] pod pseudonimom ''Student''.

''t''-Raspodela igra ulogu u velikom broju široko korištenih statističkih analiza, uključujući [[Student's t-test|Studentov ''t''-test]] za procenu [[statistical significance|statističke važnosti]] razlike između dve [[mean|srednje vrednosti]] uzorka, izgradnju [[confidence interval|intervala pouzdanosti]] za razliku između dve populacijske sredine, i u linearnoj [[regresiona analiza|regresionoj analizi]]. Studentova ''t''-distribucija se takođe pojavljuje u [[Bajesovo zaključivanje|Bajesovoj analizi]] podataka iz normalne porodice.

Ako se uzme uzorak sa -{''n''}- opažanja iz [[normal distribution|normalne raspodele]], onda se ''t''-raspodela sa <math>\nu=n-1</math> stepeni slobode može definisati kao raspodela lokacija srednje vrednosti uzorka u odnosu na pravu sredinu, podeljena sa standardnom devijacijom uzorka, nakon što se pomnoži sa standardizacionim članom  <math>\sqrt{n}</math>. Na taj se način, ''t''-raspodela se može koristiti za izgradnju [[confidence interval|intervala pouzdanosti]] za pravu sredinu.

''t''-Raspodela je simetrična i zvonastog oblika, poput [[normal distribution|normalne raspodele]], ali ima teže repove, što znači da je sklonija stvaranju vrednosti koje padaju daleko od srednje vrednosti. Ovo je korisno za razumevanje statističkog ponašanja određenih vrsta odnosa slučajnih veličina, u kojima je varijacija u deliocu pojačana i može da proizvede udaljene vrednosti kada brojilac odnosa padne blizu nule. Studentova t-raspodela je poseban slučaj [[generalised hyperbolic distribution|generalizovane hiperbolične raspodele]].

== Istorija i etimologija ==
[[File:William_Sealy_Gosset.jpg|thumb|upright|Statističar Wilijam Sili Goset, poznat kao „Student”]]

U statistici, ''t''-raspodelu su prvi izveli kao [[posterior distribution|posteriornu raspodelu]] [[Friedrich Robert Helmert|Helmert]]<ref name="HFR1">{{cite journal|vauthors=Helmert FR|date=1875|title=Über die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler|journal=Z. Math. U. Physik|volume=20|pages=300–3|via=}}</ref><ref name="HFR2">{{cite journal|vauthors=Helmert FR|date=1876|title=Über die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und uber einige damit in Zusammenhang stehende Fragen|url=|journal=Z. Math. Phys.|volume=21|pages=192–218}}</ref><ref name="HFR3">{{cite journal|vauthors=Helmert FR|date=1876|title=Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers directer Beobachtungen gleicher Genauigkeit|url=|journal=[[Astronomische Nachrichten|Astron. Nachr.]]|volume=88|issue=8–9|pages=113–32|bibcode=1876AN.....88..113H|doi=10.1002/asna.18760880802}}</ref> i [[Jacob Lüroth|Lirot]] 1876. godine.<ref name="L1876">{{Cite journal|vauthors=Lüroth J|date=1876|title=Vergleichung von zwei Werten des wahrscheinlichen Fehlers|url=https://zenodo.org/record/1424693|journal=[[Astronomische Nachrichten|Astron. Nachr.]]|volume=87|issue=14|pages=209–20|bibcode=1876AN.....87..209L|doi=10.1002/asna.18760871402}}</ref><ref>{{Cite journal|vauthors=Pfanzagl J, Sheynin O|date=1996|title=Studies in the history of probability and statistics. XLIV. A forerunner of the t-distribution.|url=https://archive.org/details/sim_biometrika_1996-12_83_4/page/891|journal=[[Biometrika]]|volume=83|issue=4|pages=891–898|doi=10.1093/biomet/83.4.891 |mr=1766040}}</ref><ref>{{Cite journal|vauthors=Sheynin O|date=1995|title=Helmert's work in the theory of errors|url=|journal=[[Archive for History of Exact Sciences|Arch. Hist. Exact Sci.]]|volume=49|issue=1|pages=73–104|doi=10.1007/BF00374700}}</ref> ''t''-Raspodela se isto tako pojavila u opštijoj formi kao [[Pearson distribution|Pirsonova raspodela tipa -{IV}-]] u publikaciji [[Karl Pearson|Karla Pirsona]] iz 1895. godine.

U litiraturi na engleskom jeziku ova raspodela nosi ime iz publikacije [[William Sealy Gosset|Vilijama Goseta]] iz 1908. godine u časopisu ''[[Biometrika]]'' objavljene pod pseudonimom „Student”.<ref>{{Cite journal|last="Student" <nowiki>[</nowiki>[[William Sealy Gosset]]<nowiki>]</nowiki>|date=1908|title=The probable error of a mean|url=http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/student.pdf|journal=[[Biometrika]]|volume=6|issue=1|pages=1–25|doi=10.1093/biomet/6.1.1|jstor=2331554|via=}}</ref> Goset je radio u [[Guinness Brewery|Ginisovoj pivari]] u [[Dablin]]u u [[Irska|Irskoj]], i bio je zainteresovan za probleme malih uzoraka – na primer, hemijskih svojstva ječma gde veličina uzorka može da bude samo 3. Jedna verzija porekla pseudonima je da je Gosetov poslodavac preferirao da zaposleni koriste [[pen name|književne pseudonime]] kad objavljuju naučne radove umesto svojih stvarnih imena, tako da je on koristio ime „Student” da bi prikrio svoj identitet. Druga verzija je da Ginis nije želeo da njegovi konkurenti znaju da oni koriste ''t''-test za određivanje kvaliteta sirovina.<ref>{{Cite journal|author-link=Michael Christopher Wendl|vauthors=Wendl MC|date=2016|title=Pseudonymous fame|url=|journal=[[Science (journal)|Science]] |volume=351|issue=6280 |pages=1406|doi=10.1126/science.351.6280.1406}}</ref><ref>{{Cite book|title=Mathematics for physical chemistry|url=https://archive.org/details/mathematicsforph00mort|vauthors=Mortimer RG|publisher=Elsevier|year=2005|isbn=9780080492889|edition=3rd|location=Burlington, MA|pages=[https://archive.org/details/mathematicsforph00mort/page/n327 326]|oclc=156200058}}</ref>

Gosetova publikacija naziva ovu raspodelu „frekvencija distribucije standardnih devijacija uzoraka uzetih iz normalne populacije”. Ona je postala dobro poznata zahvaljujući radu [[Ronald Fisher|Ronalda Fišera]], koji je nazivao ovu raspodelu „Studentova raspodela” i predstavljao testne vrednosti slovom ''t''.<ref name="Fisher 1925 90–104">{{Cite journal|authorlink=Ronald Fisher|vauthors=Fisher RA|date=1925|title=Applications of "Student's" distribution|url=http://www.sothis.ro/user/content/4ef6e90670749a86-student_distribution_1925.pdf|deadurl=y|journal=Metron|volume=5|pages=90–104|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160305130235/http://www.sothis.ro/user/content/4ef6e90670749a86-student_distribution_1925.pdf|archivedate=5. 3. 2016|via=}}</ref><ref>{{Cite book|title=Probability & Statistics for Engineers & Scientists|vauthors=Walpole RE, Myers R, Myers S, Ye K|publisher=Pearson|year=2006|isbn=9788177584042|edition=7th|location=New Delhi|pages=237|oclc=818811849|display-authors=3}}</ref>

== Nastanak Studentove raspodele iz uzorkovanja ==

Neka je <math display="inline"> X_1, \ldots, X_n </math> nezavisno i identično raspodeljeni kao <math>N(\mu, \sigma^2)</math>, i.e. ovo je uzorak veličine <math>n</math> iz normalno raspodeljene populacije sa očekivanom srednjom vrednošću <math>\mu </math> i varijansom <math>\sigma^2</math>.

Neka je

: <math> \bar X = \frac 1 n \sum_{i=1}^n X_i </math>

srednja vrednosti uzorka i neka je

: <math> S^2 = \frac 1 {n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 </math>

([[Bessel's correction|korigovana po Beselu]]) varijansa uzorka. Onda randomna promenljiva

: <math> \frac{ \bar X - \mu } { \sigma /\sqrt{n}} </math>

ima standardnu normalnu raspodelu (i.e. normalnu sa očekivanom vrednosti&nbsp;0 i varijansom&nbsp;1), i randomna promenjiva

: <math> \frac{ \bar X - \mu} {S /\sqrt{n}}, </math>

gde je <math>S</math> supstituisano za <math>\sigma</math>, ima Studentovu ''t''-raspodelu sa <math>n - 1</math> stepeni slobode. Brojilac i delilac u prethodnom izrazu su nezavisne randmne promenljive uprkos toga što se zasnivaju na istom uzorku <math display="inline">X_1,\ldots,X_n</math>.

== Definicija ==

=== Funkcija gustine verovatnoće ===

Studentova '''''t''-raspodela''' ima [[probability density function|funkciju raspodele]] datu sa

:<math>f(t) = \frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} \left(1+\frac{t^2}{\nu} \right)^{\!-\frac{\nu+1}{2}},\!</math>

gde je <math>\nu</math> broj ''[[degrees of freedom (statistics)|stepeni slobode]]'' i <math>\Gamma</math> je [[gama funkcija]]. Ovo se isto tako može napisati kao

:<math>f(t) = \frac{1}{\sqrt{\nu}\,\mathrm{B} (\frac{1}{2}, \frac{\nu}{2})} \left(1+\frac{t^2}{\nu} \right)^{\!-\frac{\nu+1}{2}}\!,</math>

gde je B [[Beta funkcija]]. Za celobrojne vrednosti stepena slobode <math> \nu </math> važi:

Za <math>\nu >1 </math> parno,

: <math>\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} =  \frac{(\nu -1)(\nu -3)\cdots 5 \cdot 3} { 2 \sqrt{\nu}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 4 \cdot 2\,}\cdot </math>
Za <math>\nu >1 </math> neparno,

: <math>\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} =  \frac{(\nu -1)(\nu -3)\cdots 4 \cdot 2} {\pi \sqrt{\nu}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 5 \cdot 3\,}\cdot\!</math>

Funkcija gustine verovatnoće je [[Symmetric distribution|simetrična]], i njen sveukupni oblik podseća na zvonasti oblik promenljive sa [[normal distribution|normalnom raspodelom]] sa srednjom vrednosti od 0 i varijansom od 1, izuzev što je nešto niža i šira. Sa porastom broja stepeni slobode, ''t''-raspodela prilazi normalnoj raspodeli sa srednjom vrednosti 0 i varijansom 1. Iz tog razloga <math>{\nu}</math> je isto tako poznato kao parametar normalnosti.<ref>{{Cite book|title=Doing Bayesian Data Analysis|vauthors=Kruschke JK|publisher=Academic Press|year=2015|isbn=9780124058880|edition=2nd|location=|pages=|oclc=959632184}}</ref>

Sledeće slike prikazuju gustinu ''t''-raspodele za povećane vrednosti od <math>\nu</math>. Normalna raspodela je prikazana plavom linijom radi poređenja. Treba uočiti da ''t''-raspodela (crvena linija) postaje bliža normalnoj raspodeli sa povećanjem <math>\nu</math>.

{| align="center"
|+ Gustina ''t''-raspodele (crveno) za 1, 2, 3, 5, 10, i 30 stepeni slobode u poređenju sa standardnom normalnom distribucijom (plavo).<br/>Prethodni grafikoni su prikazani zeleno.
|-
| [[Image:T distribution 1df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=1df|1 stepen slobode]]
| [[Image:T distribution 2df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=2df|2 stepena slobode]]
| [[Image:T distribution 3df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=3df|3 stepena slobode]]
|-
| [[Image:T distribution 5df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=5df|5 stepeni slobode]]
| [[Image:T distribution 10df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=10df|10 stepeni slobode]]
| [[Image:T distribution 30df enhanced.svg|thumb|center|240x240px|alt=30df|30 stepeni slobode]]
|}

=== Funkcija kumulativne raspodele ===

[[Cumulative distribution function|Funkcija kumulativne raspodele]] se može napisati u smislu ''I'', regulisane [[incomplete beta function|nekompletne beta funkcija]]. Za ''t''&nbsp;>&nbsp;0,<ref name="JKB">{{Cite book|title=Continuous Univariate Distributions|vauthors=Johnson NL, Kotz S, Balakrishnan N|publisher=Wiley|year=1995|isbn=9780471584940|edition=2nd|volume=2|location=|pages=|chapter=Chapter 28}}</ref><ref name="Hogg">{{cite book|title=Introduction to Mathematical Statistics|url=https://archive.org/details/introductiontoma0000hogg|vauthors=Hogg RV, Craig AT|publisher=Macmillan|year=1978|edition=4th|location=New York|asin=B010WFO0SA|postscript=. Sections 4.4 and 4.8|authorlink=Robert V. Hogg}}</ref>

:<math>F(t) = \int_{-\infty}^t f(u)\,du = 1 - \tfrac{1}{2} I_{x(t)}\left(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{1}{2}\right), </math>

gde je

:<math>x(t) = \frac{\nu}{{t^2+\nu}}.</math>

Druge vrednosti se mogu dobiti simetrijom. Jedna alternativna formula, validna za <math>t^2 < \nu</math>, je<ref name="JKB"/>

:<math>\int_{-\infty}^t f(u)\,du = \tfrac{1}{2} + t\frac{\Gamma \left( \tfrac{1}{2}(\nu+1) \right)} {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma \left(\tfrac{\nu}{2}\right)} \, {}_2F_1 \left( \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}(\nu+1); \tfrac{3}{2}; -\tfrac{t^2}{\nu} \right),</math>

gde je <sub>2</sub>''F''<sub>1</sub> poseban slučaj [[hypergeometric function|hipergeometrijske funkcije]].

Za informacije o njenoj inverznoj funkciji kumulativne distribucije, pogledajte {{slink|kvantilna funkcija|Studentova t-distribucija}}.

=== Specijalni slučajevi ===

Određene vrednosti <math>\nu</math> daju posebno jednostavnu formu.

*<math>\nu = 1</math>

:Funkcija raspodele:

::<math>F(t) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{\pi}\arctan(t).</math>

:Funkcija gustine:

::<math>f(t) =  \frac{1}{\pi (1+t^2)}.</math>

:Pogledajte [[Cauchy distribution|Košijevu raspodelu]]

*<math>\nu = 2</math>
:Funkcija raspodele:

::<math>F(t) = \tfrac{1}{2}+\frac{t}{2\sqrt{2}\sqrt{1+\frac{t^2}{2}}}.</math>

:Funkcija gustine:

::<math>f(t) = \frac{1}{2\sqrt{2}\left(1+\frac{t^2}{2}\right)^{\frac{3}{2}}}.</math>

*<math>\nu = 3</math>
:Funkcija raspodele:

::<math>F(t) = \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{\pi}{[\frac{1}{\sqrt{3}}{\frac{t}{1+\frac{t^2}{3}}}+\arctan(\frac{t}{\sqrt{3}})]}.</math>

:Funkcija gustine:

::<math>f(t) = \frac{2}{\pi\sqrt{3}\left(1+\frac{t^2}{3}\right)^2}.</math>

*<math>\nu = 4</math>
:Funkcija raspodele:

::<math>F(t) = \tfrac{1}{2}+\frac{3}{8}{\frac{t}{\sqrt{1+\frac{t^2}{4}}}}{[1-\frac{1}{12}{\frac{t^2}{1+\frac{t^2}{4}}}]}.</math>

:Funkcija gustine:

::<math>f(t) = \frac{3}{8\left(1+\frac{t^2}{4}\right)^{\frac{5}{2}}}.</math>

*<math>\nu = 5</math>
:Funkcija raspodele:

::<math>F(t) = \tfrac{1}{2}+\frac{1}{\pi}{  [\frac{t}{\sqrt{5}\left(1+\frac{t^2}{5}\right)} (1+\frac{2}{3\left(1+\frac{t^2}{5}\right)})  +\arctan(\frac{t}{\sqrt{5}})]}.</math>

:Funkcija gustine:

::<math>f(t) = \frac{8}{3\pi\sqrt{5}\left(1+\frac{t^2}{5}\right)^3}.</math>

*<math>\nu = \infty</math>
:Funkcija raspodele:

::<math>F(t) = \tfrac{1}{2}{[1+\operatorname{erf}(\frac{t}{\sqrt{2}})]}.</math>

:Pogledajte [[Error function|funkciju greške]]

:Funkcija gustine:

::<math>f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}}.</math>

:Pogledajte [[Normal distribution|normalnu raspodelu]].

== Reference ==
{{Reflist|}}

== Literatura ==
{{Литература|30em}}
*{{Cite journal
| last1 = Senn | first1 = S.
| last2 = Richardson | first2 = W.
| title = The first ''t''-test
| journal = [[Statistics in Medicine (journal)|Statistics in Medicine]]
| volume = 13
| issue = 8
| pages = 785–803
| year = 1994
| pmid = 8047737 |doi=10.1002/sim.4780130802
}}
*{{cite book|title=Introduction to Mathematical Statistics|url=https://archive.org/details/introductiontoma0000hogg|vauthors=Hogg RV, Craig AT|publisher=Macmillan|year=1978|isbn=|edition=4th|location=New York|pages=|asin=B010WFO0SA|authorlink=Robert V. Hogg}}
*{{cite book |last=Venables |first=W. N. |first2=B. D. |last2=Ripley |year=2002 |title=Modern Applied Statistics with S |edition=Fourth |location= |publisher=Springer |isbn= }}
*{{Cite book
  | last = Gelman
  | first = Andrew
  |author2=John B. Carlin |author3=Hal S. Stern |author4=Donald B. Rubin
   | title = Bayesian Data Analysis (Second Edition)
  | publisher = CRC/Chapman & Hall
  | year = 2003
  | isbn = 1-58488-388-X
  | url = http://www.stat.columbia.edu/~gelman/book/
}}
{{Литература крај}}

== Spoljašnje veze ==
{{Commons category-lat|Student's t-distribution}}
* {{springer|title=Student distribution|id=p/s090710}}
* [http://jeff560.tripod.com/s.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S)] ''(Remarks on the history of the term "Student's distribution")''
* {{Citation |last=Rouaud |first=M. |date=2013 |url=http://www.incertitudes.fr/book.pdf |title=Probability, Statistics and Estimation |edition=short |ref=none}} First Students on page 112.

{{Authority control-lat}}

{{СОРТИРАЊЕ:Студентова т-расподела}}
[[Категорија:Континуиране расподеле]]
[[Категорија:Специјалне функције]]
[[Категорија:Нормална расподела]]