Изворни код странице Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori

U [[linear algebra|linearnoj algebri]], '''sopstveni vektor''', '''svojstveni vektor''' ili '''karakteristični vektor''' [[Linear map|linearne transformacije]] je nenulti [[Vector space|vektor]] koji se menja jedino skalarnim faktorom kad se linearne transformacije primene na njega. Formalnije, ako je {{mvar|T}} linearna transformacija iz [[vector space|vektorskog prostora]] {{mvar|V}} nad [[Field (mathematics)|poljem]] {{mvar|F}} u samog sebe i ako je {{math|'''v'''}} vektor u {{mvar|V}} koji nije [[zero vector|nulti vektor]], onda je {{math|'''v'''}} svojstveni vektor od {{mvar|T}} ako je {{math|''T''('''v''')}} skalarni umnožak od {{math|'''v'''}}. Ovo stanje se može zapisati kao jednačina
:<math>T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v},</math>

gde je {{mvar|λ}} [[scalar (mathematics)|skalar]] u polju {{mvar|F}}, poznat kao ''svojstvena vrednost'',  ''karakteristična vrednost'', ili ''karakteristični koren'' asociran sa svojstvenim vektorom {{math|'''v'''}}.

Ako je vektorski prostor {{mvar|V}} konačnih dimenzija, onda se linearna transformacija {{mvar|T}} može predstaviti kao [[square matrix|kvadratna matrica]] ''A'', a vektor {{math|'''v'''}} pomoću [[row and column vectors|kolonskog vektora]], prikazujući gornje mapiranje kao [[Matrix-vector multiplication|matrično množenje]] sa leve strane i skaliranje kolonskih vektora sa desne strane jednačine
:<math>A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}.</math>

Postoji direktna podudarnost između kvadratnih matrica oblika -{''n''}--sa--{''n''}- i linearnih transformacija iz -{''n''}--dimenzionalnog vektorskog prostora u samog sebe, za sve baze vektorskog prostora. Iz tog razloga, ekvivalentno je definisati sopstvene vrednosti i svojstvene vektore koristeći bilo jezik matrica ili jezik linearnih transformacija.<ref name="Herstein 1964 228–299">{{harvtxt|Herstein|1964|pp=228,229}}</ref><ref name="Nering 1970 38">{{harvtxt|Nering|1970|p=38}}</ref>

Geometrijski gledano, svojstveni vektor koji korespondira realnoj nenultoj svojstvenoj vrednosti, usmeren je u pravcu koji je određen transformacijom, a svojstvena vrednost je faktor kojim se menja njegova dužina. Ako je svojstvena vrednost negativna, smer je obrnut.<ref>{{harvtxt|Burden|Faires|1993|p=401}}</ref>

== Pregled ==

Svojstvene vrednosti i svojstveni vektori imaju značajnu ulogu u analizi linearnih transformacija. Njihovi [[Engleski jezik|engleski]] nazivi -{''eigenvalue''}- i -{''eigenvector''}- sadrže prefiks -{''eigen''-}- koji je usvojen iz [[Nemački jezik|nemačke]] reči -{''eigen''}- za „vlastiti”, „karakterističan”.<ref>{{harvtxt|Betteridge|1965}}</ref> Prvobitno korišćeni za proučavanje [[Момент инерције|glavnih osa]] rotacionog kretanja [[Rigid body|krutih tela]], svojstvene vrednosti i svojstveni vektori imaju širok spektar primena, na primer u [[Stability theory|analizi stabilnosti]], [[Vibration|analizi vibracija]], [[Атомска орбитала|atomskim orbitalima]], [[Eigenface|prepoznavanju lica]] i [[Eigendecomposition of a matrix|dijagonalizaciji matrice]].

U suštini, svojstveni vektor -{''v''}- linearne transformacije -{''T''}- je nenulti vektor koji, kada se -{''T''}- primeni na njega, ne menja pravac. Primena -{''T''}- na svojstveni vektor skalira svojstveni vektor samo za skalarnu vrednost ''λ'', svojstvenu vrednost. Ovaj uslov se može napisati kao jednačina

:<math>T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v},</math>

zvana '''svojstvena jednačina'''. Generalno, ''λ'' može da bude bilo koji [[Скалар (математика)|skalar]]. Na primer, ''λ'' može da bude negativno, u kom slučaju svojstveni vektor ima suprotan smer kao deo skaliranja, ili može biti nula ili [[complex number|kompleksan]].

[[File:Mona Lisa eigenvector grid.png|thumb|320px|U ovom [[shear mapping|preslikavanju]] crvena strelica menja smer, dok plava to ne čini. Plava strelica je svojstveni vektor ovog preseka, jer ne menja pravac, i pošto je njena dužina nepromenjena, njena svojstvena vrednost je 1.]]

Primer [[Mona Lisa|Mona Lize]] na slici desno pruža jednostavnu ilustraciju. Svaka tačka na slici može biti predstavljena kao vektor umeren od centra slike do te tačke. Linearna transformacija u ovom primeru naziva se [[shear mapping|preslikavanje]]. Tačke u gornjoj polovini pomeraju se udesno, a tačke u donjoj polovini pomeraju se ulevo proporcionalno svom rastojanju od horizontalne ose koja prolazi kroz sredinu slike. Vektori koji upućuju na svaku tačku na originalnoj slici su prema tome nagnuti desno ili levo i učinjeni dužim ili kraćim transformacijom. Tačke duž horizontalne ose se uopšte ne pomeraju kada se primeni ova transformacija. Prema tome, bilo koji vektor koji je usmeren direktno na desno ili levo bez vertikalne komponente je svojstveni vektor ove transformacije, jer mapiranje ne menja njegov pravac. Štaviše, svi svojstveni vektori imaju svojstvenu vrednost jednaku jedinici, jer mapiranje ne menja njihovu dužinu.

Linearne transformacije mogu imati različite oblike, mapirajući vektore u različitim [[vector space|vektorskim prostorima]], tako da i svojstveni vektori mogu imati različite oblike. Na primer, linearna transformacija može biti [[diferencijalni operator]] kao što je <math>\tfrac{d}{dx}</math>, u kom slučaju su svojstveni vektori funkcije koje se nazivaju [[eigenfunction|svojstvene funkcije]] koje su skalirane tim diferencijalnim operatorom, kao što je

:<math>\frac{d}{dx}e^{\lambda x} = \lambda e^{\lambda x}.</math>

Alternativno, linearna transformacija može biti u obliku -{''n''}- sa -{''n''}- matrice, u kom slučaju svojstveni vektori su -{''n''}- sa 1 matrice koje se takođe nazivaju svojstvenim vektorima. Ako je linearna transformacija izražena u obliku -{''n''}- sa -{''n''}- matrice -{''A''}-, onda se gornja jednačina svojstvenih vrednosti za linearnu transformaciju može napisati kao množenje matrica

:<math>Av = \lambda v,</math>

gde je svojstveni vektor -{''v''}- jedna -{''n''}- sa 1 matrica. Za matricu, svojstvene vrednosti i svojstveni vektori mogu se koristiti za [[matrix decomposition|razlaganje matrice]], na primer [[diagonalizable matrix|dijagonalizacijom]].

Svojstvene vrednosti i svojstveni vektori pružaju osnovu za mnoge usko povezane matematičke koncepte, koji su imenovani na analogan način:
* Skup svih svojstvenih vektora linearne transformacije, svaki uparen sa odgovarajućom svojstvenom vrednošću, naziva se ''sopstveni sistem'' te transformacije.<ref>{{harvtxt|Press|2007|p=536}}</ref><ref name="WolframEigenvector">Wolfram Research, Inc. (2010) [http://mathworld.wolfram.com/Eigenvector.html ''Eigenvector'']. Accessed on 2016-04-01.</ref>
* Skup svih svojstvenih vektora -{''T''}- koji odgovaraju istoj svojstvenoj vrednosti, zajedno sa nultim vektorom, naziva se ''svojstveni prostor'' ili -{''karakteristični prostor''}- od -{''T''}-.<ref name="Anton 1987 305,307">{{harvtxt|Anton|1987|pp=305,307}}</ref><ref name="Nering 1970 107">{{harvtxt|Nering|1970|p=107}}</ref>
* Ako skup svojstvenih vektora -{''T''}- čini [[База (линеарна алгебра)|bazu]] domena -{''T''}-, onda se ova baza naziva ''svojstvenom bazom''.

== Reference ==
{{Reflist}}

== Literatura ==
{{Литература|30em}}
* {{Citation
| last=Akivis
| first=Max A.
| last2=Goldberg
| first2=Vladislav V.
| title=Tensor calculus
| series=Russian
| publisher=Science Publishers, Moscow
| year=1969
}}
* {{Citation
| last = Aldrich
| first = John
| title = Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
| url = http://jeff560.tripod.com/e.html
| editor = Jeff Miller
| year = 2006
| chapter = Eigenvalue, eigenfunction, eigenvector, and related terms
| chapterurl = http://jeff560.tripod.com/e.html
| accessdate = 2006-08-22 }}
* {{Citation
| last=Alexandrov
| first=Pavel S.
| title=Lecture notes in analytical geometry
| series=Russian
| publisher=Science Publishers, Moscow
| year=1968
| isbn=
}}
* {{ Citation
| last = Anton
| first = Howard
| year = 1987
| isbn = 0-471-84819-0
| title = Elementary Linear Algebra
| edition = 5th
| publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]]
| location = New York }}
* {{ citation
| last = Beauregard
| first = Raymond A.
| first2 = John B.
| last2 = Fraleigh
| year = 1973
| isbn = 0-395-14017-X
| title = A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields
| publisher = [[Houghton Mifflin Co.]]
| location = Boston }}
* {{Citation
| last=Beezer
| first=Robert A.
| title=A first course in linear algebra
| url=http://linear.ups.edu/
| publisher=Free online book under GNU licence, University of Puget Sound
| year=2006
| isbn=
}}
* {{Citation
| last = Betteridge
| first = Harold T.
| title = The New Cassell's German Dictionary
| publisher = [[Funk & Wagnall]]
| location = New York
| lccn = 58-7924
| year = 1965
}}
* {{Citation
| last=Bowen
| first=Ray M.
| last2=Wang
| first2=Chao-Cheng
| title=Linear and multilinear algebra
| publisher=Plenum Press, New York
| year=1980
| isbn=0-306-37508-7
}}
* {{ citation
| last = Burden
| first = Richard L.
| first2 = J. Douglas
| last2 = Faires
| year = 1993
| isbn = 0-534-93219-3
| title = Numerical Analysis
| edition = 5th
| publisher = [[Prindle, Weber and Schmidt]]
| location = Boston }}
* {{Citation
| last=Carter
| first=Tamara A.
| last2=Tapia
| first2=Richard A.
| last3=Papaconstantinou
| first3=Anne
| title=Linear Algebra: An Introduction to Linear Algebra for Pre-Calculus Students
| publisher=Rice University, Online Edition
| url=http://ceee.rice.edu/Books/LA/index.html
| accessdate=2008-02-19
}}
* {{Citation
| last = Cohen-Tannoudji
| first = Claude
| authorlink = Claude Cohen-Tannoudji
| title = Quantum mechanics
| publisher = John Wiley & Sons
| year = 1977
| chapter = Chapter II. The mathematical tools of quantum mechanics
| isbn = 0-471-16432-1 }}
* {{ citation
| last =  Curtis
| first = Charles W.
| authorlink = Charles W. Curtis
| title = Linear Algebra: An Introductory Approach
| publisher = Springer
| edition = 4th
| year = 1999
| ISBN = 0-387-90992-3 }}
* {{Citation
| last=Demmel
| first=James W. | authorlink = James Demmel
| title=Applied numerical linear algebra
| publisher=SIAM
| year=1997
| isbn=0-89871-389-7
}}
* {{ citation
| last = Fraleigh
| first = John B.
| year = 1976
| isbn = 0-201-01984-1
| title = A First Course In Abstract Algebra
| edition = 2nd
| publisher = [[Addison-Wesley]]
| location = Reading }}
* {{Citation
| last = Fraleigh
| first = John B.
| first2 = Raymond A.
| last2 = Beauregard
| title = Linear algebra
| edition = 3rd
| publisher = Addison-Wesley Publishing Company
| year = 1995
| isbn = 0-201-83999-7}}
* {{Citation
| last = Friedberg
| first = Stephen H.
| first2 = Arnold J.
| last2 = Insel
| first3 = Lawrence E.
| last3 = Spence
| title = Linear algebra
| edition = 2nd
| publisher = Prentice Hall
| location = Englewood Cliffs, New Jersey 07632
| year = 1989
| isbn = 0-13-537102-3 }}
* {{Citation
| last=Gelfand
| first=I. M.
| title=Lecture notes in linear algebra
| series=Russian
| publisher=Science Publishers, Moscow
| year=1971
| isbn=
}}
* {{Citation
| last=Gohberg
| first=Israel
| last2=Lancaster
| first2=Peter
| last3=Rodman
| first3=Leiba
| title=Indefinite linear algebra and applications
| publisher=Birkhäuser Verlag
| place=Basel-Boston-Berlin
| year=2005
| isbn=3-7643-7349-0
}}
* {{Citation
| last = Golub
| first = Gene F.
| first2 = Henk A.
| last2 = van der Vorst
| title = Eigenvalue computation in the 20th century
| journal = Journal of Computational and Applied Mathematics
| volume = 123
| pages = 35–65
| year = 2000
| doi = 10.1016/S0377-0427(00)00413-1 |bibcode = 2000JCoAM.123...35G }}
* {{Citation
| last=Golub
| first=Gene H.
| authorlink1 = Gene H. Golub
| last2=Van Loan
| first2=Charles F.
| authorlink2 = Charles F. Van Loan
| title=Matrix computations
| edition=3rd
| publisher=Johns Hopkins University Press, Baltimore, Maryland
| year=1996
| isbn=978-0-8018-5414-9
}}
* {{Citation
| last=Greub
| first=Werner H.
| title=Linear Algebra
| edition=4th
| publisher=Springer-Verlag, New York
| year=1975
| isbn=0-387-90110-8
}}
* {{Citation
| last = Halmos
| first = Paul R.
| authorlink = Paul Halmos
| title = Finite-dimensional vector spaces
| edition = 8th
| publisher = Springer-Verlag
| location = New York
| year = 1987
| isbn = 0-387-90093-4 }}
* {{Citation
| last = Hawkins
| first = T.
| title = Cauchy and the spectral theory of matrices
| journal = Historia Mathematica
| volume = 2
| pages = 1–29
| year = 1975
| doi = 10.1016/0315-0860(75)90032-4 }}
* {{Citation
| last=Hefferon
| first=Jim
| title=Linear Algebra
| publisher=Online book, St Michael's College, Colchester, Vermont, USA
| url=http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/
| year=2001
| isbn=
| accessdate=30. 06. 2019
| archive-date=01. 03. 2014
| archive-url=https://web.archive.org/web/20140301110706/http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/
| url-status=
}}
* {{ citation
| last = Herstein
| first = I. N.
| year = 1964
| isbn = 978-1114541016
| title = Topics In Algebra
| publisher = [[Blaisdell Publishing Company]]
| location = Waltham }}
* {{Citation
| last=Horn
| first=Roger A.
| last2=Johnson
| first2=Charles F.
| title=Matrix analysis
| publisher=Cambridge University Press
| year=1985
| isbn=0-521-30586-1
}}
* {{Citation
| last=Kline
| first=Morris
| title=Mathematical thought from ancient to modern times
| publisher=Oxford University Press
| year=1972
| isbn=0-19-501496-0
}}
* {{Citation
| last=Korn
| first=Granino A.
| last2=Korn
| first2=Theresa M.
| title=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review
| publisher=Dover Publications
| edition=2nd Revised
| year=2000
| isbn=0-486-41147-8
| bibcode=1968mhse.book.....K
| journal=New York: McGraw-Hill
}}
* {{Citation
| last=Kuttler
| first=Kenneth
| title=An introduction to linear algebra
| publisher=Online e-book in PDF format, Brigham Young University
| url=http://www.math.byu.edu/~klkuttle/Linearalgebra.pdf
| format=PDF
| year=2007
| isbn=
| accessdate=30. 06. 2019
| archive-date=07. 08. 2008
| archive-url=https://web.archive.org/web/20080807175104/http://www.math.byu.edu/~klkuttle/Linearalgebra.pdf
| url-status=
}}
* {{Citation
| last = Lancaster
| first = P.
| title = Matrix theory
| series = Russian
| publisher = Science Publishers
| location = Moscow, Russia
| year = 1973 }}
* {{Citation
| last=Larson
| first=Ron
| last2=Edwards
| first2=Bruce H.
| title=Elementary linear algebra
| edition=5th
| publisher=Houghton Mifflin Company
| year=2003
| isbn=0-618-33567-6
}}
* {{Citation
| last = Lipschutz
| first = Seymour
| title = Schaum's outline of theory and problems of linear algebra
| edition = 2nd
| publisher = McGraw-Hill Companies
| location = New York
| series = Schaum's outline series
| year = 1991
| isbn = 0-07-038007-4 }}
* {{Citation
| last=Meyer
| first=Carl D.
| title=Matrix analysis and applied linear algebra
| publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia
| year=2000
| isbn=978-0-89871-454-8
}}
* {{ citation
| last = Nering
| first = Evar D.
| year = 1970
| title = Linear Algebra and Matrix Theory
| edition = 2nd
| publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]]
| location = New York
| lccn = 76091646
}}
* {{ru icon}}{{ cite encyclopedia
| last = Pigolkina
| first = T. S.
| last2 = Shulman
| first2 = V. S.
| title = Eigenvalue
| editor-last = Vinogradov
| editor-first = I. M.
| encyclopedia = Mathematical Encyclopedia
| volume = 5
| publisher = Soviet Encyclopedia
| place = Moscow
| year = 1977 }}
* {{Citation
| last=Press
| first=William H.
| last2=Teukolsky
| first2=Saul A.
| authorlink2=Saul Teukolsky
| last3=Vetterling
| first3=William T.
| last4=Flannery
| first4=Brian P.
| title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
| year=2007
| edition=3rd
| isbn=9780521880688
}}
* {{Citation
| last=Roman
| first=Steven
| title=Advanced linear algebra
| edition=3rd
| publisher=Springer Science + Business Media, LLC
| place=New York
| year=2008
| isbn=978-0-387-72828-5
}}
* {{Citation
| last=Sharipov
| first=Ruslan A.
| title=Course of Linear Algebra and Multidimensional Geometry: the textbook
| year=1996
| isbn=5-7477-0099-5
| arxiv=math/0405323
|bibcode = 2004math......5323S }}
* {{Citation
| last=Shilov
| first=Georgi E.
| title=Linear algebra
| others=Translated and edited by Richard A. Silverman
| publisher=Dover Publications
| place=New York
| year=1977
| isbn=0-486-63518-X
}}
* {{Citation
| last=Shores
| first=Thomas S.
| title=Applied linear algebra and matrix analysis
| publisher=Springer Science+Business Media, LLC
| year=2007
| isbn=0-387-33194-8
}}
* {{Citation
| last=Strang
| first=Gilbert
| title=Introduction to linear algebra
| publisher=Wellesley-Cambridge Press, Wellesley, Massachusetts
| year=1993
| isbn=0-9614088-5-5
}}
* {{Citation
| last=Strang
| first=Gilbert
| title=Linear algebra and its applications
| publisher=Thomson, Brooks/Cole, Belmont, California
| year=2006
| isbn=0-03-010567-6
}}
{{Литература крај}}

== Spoljašnje veze ==
{{Commons category-lat|Eigenvalues and Eigenvectors}}
{{Литература|30em}}
* -{[http://www.physlink.com/education/AskExperts/ae520.cfm What are Eigen Values?] – non-technical introduction from PhysLink.com's "Ask the Experts"}-
* -{[http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/LinearAlgebra/EigenValueEigenVector.html Eigen Values and Eigen Vectors Numerical Examples] – Tutorial and Interactive Program from Revoledu.}-
* -{[https://web.archive.org/web/20100325112901/http://khanexercises.appspot.com/video?v=PhfbEr2btGQ Introduction to Eigen Vectors and Eigen Values] – lecture from Khan Academy}-
* {{cite web |last=Hill |first=Roger |title=λ – Eigenvalues |url=http://www.sixtysymbols.com/videos/eigenvalues.htm |work=Sixty Symbols |publisher=[[Brady Haran]] for the [[University of Nottingham]] |year=2009}}
* {{cite web |title=A Beginner's Guide to Eigenvectors |url=http://deeplearning4j.org/eigenvector |publisher=[[Deeplearning4j]] |year=2015 |access-date=30. 06. 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180721133013/https://deeplearning4j.org/eigenvector |archive-date=21. 07. 2018 |url-status=dead }}
* -{[https://www.youtube.com/watch?v=PFDu9oVAE-g&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=14 Eigenvectors and eigenvalues | Essence of linear algebra, chapter 10] – A visual explanation with [[3Blue1Brown]]}-
* -{[https://www.symbolab.com/solver/matrix-eigenvectors-calculator Matrix Eigenvectors Calculator]}- 

=== Teorija ===
* {{Springer |title=Eigen value |id=p/e035150}}
* {{Springer |title=Eigen vector |id=p/e035180}}
* {{planetmath reference|id=4397|title=Eigenvalue (of a matrix)}}
* -{[http://mathworld.wolfram.com/Eigenvector.html Eigenvector] – Wolfram [[MathWorld]]}-
* -{[http://ocw.mit.edu/ans7870/18/18.06/javademo/Eigen/ Eigen Vector Examination working applet]}-
* -{[http://web.mit.edu/18.06/www/Demos/eigen-applet-all/eigen_sound_all.html Same Eigen Vector Examination as above in a Flash demo with sound]}-
* -{[http://www.sosmath.com/matrix/eigen1/eigen1.html Computation of Eigenvalues]}-
* [http://www.cs.utk.edu/~dongarra/etemplates/index.html Numerical solution of eigenvalue problems] Edited by Zhaojun Bai, [[James Demmel]], Jack Dongarra, Axel Ruhe, and [[Henk van der Vorst]]}-
* -{Eigenvalues and Eigenvectors on the Ask Dr. Math forums: [http://mathforum.org/library/drmath/view/55483.html], [http://mathforum.org/library/drmath/view/51989.html]}-

=== Demonstracioni apleti ===
* -{[http://scienceapplets.blogspot.com/2012/03/eigenvalues-and-eigenvectors.html Java applet about eigenvectors in the real plane]}-
* -{[http://reference.wolfram.com/language/guide/DifferentialEquations.html Wolfram Language functionality for Eigenvalues, Eigenvectors and Eigensystems]}-
{{Литература крај}}

{{Oblasti matematike-lat}}
{{Authority control-lat}}

{{СОРТИРАЊЕ:Сопствене вредности и сопствени вектори}}
[[Категорија:Математичка физика]]
[[Категорија:Апстрактна алгебра]]
[[Категорија:Линеарна алгебра]]
[[Категорија:Теорија матрица]]
[[Категорија:Декомпозиција сингуларне вредности]]