Изворни код странице Sličnost (geometrija)

[[Датотека:Similar-geometric-shapes.svg|мини|300px|Figure koje su prikazane istom bojom su slične]]

Dva [[geometry|geometrijska]] objekta se nazivaju '''sličnim''' ako imaju isti [[oblik]], ili jedan ima isti oblik kao lik u ogledalu drugog. Preciznije, jedan se može dobiti od drugog ravnomernim [[Scaling (geometry)|skaliranjem]] (uvećavanjem ili smanjivanjem), i po potrebi sa dodatnom [[Транслација (геометрија)|translacijom]], [[Rotation (mathematics)|rotacijom]] i [[Reflection (mathematics)|refleksijom]]. To znači da se oba objekta mogu reskalirati, repozicionirati i reflektovati, tako da se tačno poklapaju s drugim objektom. Ako su dva objekta slična, svaki od njih je [[Podudarnost (geometrija)|podudaran]] sa rezultatom određenog ravnomernog skaliranja drugog.

Na primer, svi [[krug]]ovi su slični jedni drugima, svi [[kvadrat]]i su međusobno slični, a svi [[Једнакостранични троугао|jednakostranični trouglovi]] su međusobno slični. S druge strane, [[Elipsa|elipse]] nisu slične jedna drugoj, [[Pravougaonik|pravougaonici]] nisu svi međusobno slični, a [[Једнакокраки троугао|jednakokraki trouglovi]] nisu svi slični jedan drugom.

Ako dva ugla trougla imaju mere jednake merama dva ugla drugog trougla, onda su trouglovi slični. Odgovarajuće strane sličnih poligona su proporcionalne, a odgovarajući uglovi sličnih poligona imaju istu meru.

U ovom članku se pretpostavlja da skaliranje može imati faktor skale od 1, tako da su svi podudarni oblici takođe slični, mada neki školski udžbenici eksplicitno isključuju kongruentne trouglove iz njihove definicije sličnih trouglova insistirajući da se veličine moraju razlikovati, ako su trouglovi kvalifikuju kao slični.

== Slični trouglovi ==

U [[geometrija|geometriji]] dva trougla, {{math|△''ABC''}} i {{math|△''A′B′C′''}}, su slična ako i samo ako korespondirajući uglovi imaju istu meru: to znači da su slični ako i samo ako su dužine [[Corresponding sides and corresponding angles|odgovarajućih strana]] [[Proportionality (mathematics)|proporcionalne]].<ref>{{harvnb|Sibley|1998|loc=p. 35}}</ref> Može se pokazati da su dva trougla koja imaju kongruentne uglove (''jednakougaoni trouglovi'') slični, odnosno može se dokazati da su odgovarajuće strane proporcionalne. To je poznato kao AAA teorema sličnosti.<ref>{{harvnb|Stahl|2003|loc=p. 127}}. This is also proved in [[Euclid's Elements]], Book VI, Proposition 4.</ref> Neophodno je napomenuti da je „AAA” mnemonička konstrukcija: svako od tri „A” odnosi se na jedan ugao. Usled ove teoreme, nekoliko autora pojednostavljuje definiciju sličnih trouglova da bi se samo zahtevalo da su odgovarajuća tri ugla kongruentna.<ref>For instance, {{harvnb|Venema|2006|loc=p. 122}} and {{harvnb|Henderson|Taimiṇa|2005|loc=p. 123}}</ref>

Postoji nekoliko tvrdnji od kojih je svaka neophodna i dovoljna da bi dva trougla bila slična:
* Trouglovi imaju dva kongruentna ugla,<ref>[[Euclid's elements]] Book VI Proposition 4.</ref> koji u euklidskoj geometriji podrazumevaju da su svi njihovi uglovi kongruentni.<ref>This statement is not true in [[Non-euclidean geometry]] where the triangle angle sum is not 180 degrees.</ref> Drugim rečima:
:: Ako je {{math|∠''BAC''}} jednake mere sa {{math|∠''B′A′C′''}}, i {{math|∠''ABC''}} jednake mere sa {{math|∠''A′B′C′''}}, onda se iz toga podrazumeva da je {{math|∠''ACB''}} jednake mere {{math|∠''A′C′B′''}} i da su trouglovi slični.

* Sve korespondirajuće strane imaju dužine istog odnosa:<ref>[[Euclid's elements]] Book VI Proposition 5</ref>
:: {{math|{{sfrac|''AB''|''A′B′''}} {{=}} {{sfrac|''BC''|''B′C′''}} {{=}} {{sfrac|''AC''|''A′C′''}}}}. Ovo je ekvivalentno tvrdnji da je jedan trougao (ili njegov odraz u ogledlu) [[Homothetic transformation|uvećanje]] drugog.

* Dve strane imaju dužine istog odnosa, i uglovi između ovih strana imaju istu meru.<ref>[[Euclid's elements]] Book VI Proposition 6</ref> Na primer:
:: {{math|{{sfrac|''AB''|''A′B′''}} {{=}} {{sfrac|''BC''|''B′C′''}}}} i {{math|∠''ABC''}} ima istu meru sa {{math|∠''A′B′C′''}}.
Ovo je poznato kao SAS kriterijum sličnosti.<ref name="Venema 2006 loc=p. 143">{{harvnb|Venema|2006|loc=p. 143}}</ref> „SAS” je mnemonička konstrukcija: svaki od dva „S” se odnosi na stranicu ({{jez-eng-lat|side}}), dok se „A” odnosi na ugao ({{jez-eng-lat|angle}}) između stranica.

Kad su dva trougla {{math|△''ABC''}} i {{math|△''A′B′C′''}} slična, piše se<ref name="PL">[[Alfred Posamentier|Posamentier, Alfred S.]] and Lehmann, Ingmar. ''The Secrets of Triangles'', Prometheus Books, 2012.</ref>{{rp|p. 22}}
:{{math|△''ABC'' ∼ △''A′B′C′''}}.

Postoji nekoliko elementarnih rezultata koji se tiču sličnih trouglova u euklidskoj geometriji:<ref>{{harvnb|Jacobs|1974|loc=pp. 384 - 393}}</ref><ref name=PS>{{citation|first1=Victor|last1=Pambuccian|first2=Celia|last2=Schacht|title=The Case for the Irreducibility of Geometry to Algebra|journal=Philosophia Mathematica|volume=29|year=2021|issue=4|doi=10.1093/philmat/nkab022|url=https://academic.oup.com/philmat/advance-article-abstract/doi/10.1093/philmat/nkab022/6371269?redirectedFrom=fulltext}}</ref>
* Svaka dva [[Једнакостранични троугао|jednakostranična trougla]] su slična.
* Dva trougla, oba slična trećem trouglu, su međusobno slična ([[Transitive relation|tranzitivnost]] sličnosti trouglova).
* Korespondirajuće [[Висина троугла|visine]] sličnih trouglova imaju isti odnos kao i odgovarajuće strane.
* Dva [[Pravougaoni trougao|pravougaona trougla]] su slična ako [[hipotenuza]] i jedna druga strana imaju dužine u istom odnosu.<ref>{{citation|title=Lessons in Geometry, Vol. I: Plane Geometry|first=Jacques|last=Hadamard|authorlink=Jacques Hadamard|publisher=American Mathematical Society|year=2008|isbn=9780821843673|at=Theorem&nbsp;120, p. 125|url=https://books.google.com/books?id=SaZwAAAAQBAJ&pg=PA125}}</ref>

Polazeći od trougla {{math|△''ABC''}} i linijskog segmenta {{math|{{overline|''DE''}}}}, može se pomoću [[Конструкције лењиром и шестаром|lenjira i šestara]] pronaći tačka {{math|''F''}} takva da je {{math|△''ABC'' ∼ △''DEF''}}. Tvrdnja da tačka {{math|''F''}} zadovoljava ovaj uslov postoji kao Valisov postulat<ref>Named for [[John Wallis]] (1616–1703)</ref> i logički je ekvivalentna [[Постулат паралелности|Euklidovom postulatu paralelnosti]].<ref>{{harvnb|Venema|2006|loc=p. 122}}</ref> U [[Хиперболичка геометрија|hiperboličkoj geometriji]] (gde je Valisov postulat ne važi) slični trouglovi su kongurentni.

U aksiomatskom tretmanu euklidske geometrije koji je dao [[George David Birkhoff|G.D. Birkof]] (pogledajte [[Birkhoff's axioms|Birkofove aksiome]]),<ref>{{citation|last=Birkhoff|first= George David|author-link=George David Birkhoff|year= 1932|title=A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors)|journal= [[Annals of Mathematics]]|volume= 33|issue= 2|pages=329–345|doi=10.2307/1968336|jstor= 1968336|hdl=10338.dmlcz/147209|hdl-access=free}}</ref><ref>{{citation|last1=Birkhoff|first1= George David|first2=Ralph|last2= Beatley|author1-link=George David Birkhoff|title=Basic Geometry|edition= 3rd|publisher=American Mathematical Society|year=2000|isbn=978-0-8218-2101-5|orig-year=first edition, 1940}}</ref><ref>{{citation|first1=Paul Joseph|last1= Kelly|first2=Gordon|last2=Matthews|year= 1981|title=The non-Euclidean, hyperbolic plane: its structure and consistency|isbn=0-387-90552-9|publisher=Springer-Verlag}}</ref> SAS kriterijum sličnosti naveden gore je korišten da se zameni Euklidov postulat paralelnosti i SAS aksiom, što je omogućilo dramatično skraćivanje [[Хилбертове аксиоме|Hilbertovih aksioma]].<ref name="Venema 2006 loc=p. 143"/>

Slični trouglovi pružaju osnovu za mnoge [[Synthetic geometry|sintetičke]] (bez upotrebe koordinata) dokaze u euklidskoj geometriji.<ref>{{cite book| author=Ernst Kötter| title=Die Entwickelung der Synthetischen Geometrie von Monge bis auf Staudt (1847)| year=1901| url=http://gdz-lucene.tc.sub.uni-goettingen.de/gcs/gcs?&action=pdf&metsFile=PPN37721857X_0005&divID=LOG_0035&pagesize=original&pdfTitlePage=http%3A%2F%2Fgdz.sub.uni-goettingen.de%2Fdms%2Fload%2Fpdftitle%2F%3FmetsFile%3DPPN37721857X_0005%7C&targetFileName=PPN37721857X_0005_LOG_0035.pdf&| access-date=27. 06. 2023| archive-date=04. 03. 2016| archive-url=https://web.archive.org/web/20160304074153/http://gdz-lucene.tc.sub.uni-goettingen.de/gcs/gcs?&action=pdf&metsFile=PPN37721857X_0005&divID=LOG_0035&pagesize=original&pdfTitlePage=http%3A%2F%2Fgdz.sub.uni-goettingen.de%2Fdms%2Fload%2Fpdftitle%2F%3FmetsFile%3DPPN37721857X_0005%7C&targetFileName=PPN37721857X_0005_LOG_0035.pdf&| url-status=}} (2012 Reprint as {{ISBN|1275932649}})</ref><ref>{{Citation|first1=Victor|last1=Pambuccian|first2=Celia|last2=Schacht|title=The Case for the Irreducibility of Geometry to Algebra|journal=Philosophia Mathematica|volume=29|year=2021 |issue=4|doi=10.1093/philmat/nkab022|url=https://academic.oup.com/philmat/advance-article-abstract/doi/10.1093/philmat/nkab022/6371269?redirectedFrom=fulltext}}</ref> Među elementarnim rezultatima koji se mogu dokazati na ovaj način su: [[Angle bisector theorem|teorema ugaone simetrale]],<ref>Alfred S. Posamentier: ''Advanced Euclidean Geometry: Excursions for Students and Teachers''. Springer, 2002, {{ISBN|9781930190856}}, pp. [https://books.google.com/books?id=9grsxFZUci8C&pg=PA4 3-4]</ref> [[geometric mean theorem|teorema geometrijske sredine]], [[Ceva's theorem|Čevova teorema]], [[Menelaus's theorem|Menelajeva teorema]]<ref>{{Cite journal |last=Benitez |first=Julio |date=2007 |title=A Unified Proof of Ceva and Menelaus' Theorems Using Projective Geometry |url=https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg11/j11h1beni.pdf |journal=Journal for Geometry and Graphics |volume=11 |issue=1 |pages=39–44}}</ref><ref name="musa">{{cite journal|last=Moussa|first=Ali|title=Mathematical Methods in Abū al-Wafāʾ's Almagest and the Qibla Determinations|journal=Arabic Sciences and Philosophy|year=2011|volume=21|issue=1|pages=1–56|publisher=[[Cambridge University Press]]|doi=10.1017/S095742391000007X|s2cid=171015175}}</ref> i [[Pitagorina teorema]]. Slični trouglovi takođe pružaju osvno za [[Trigonometrija|trigonometriju pravog trougla]].<ref>{{harvnb|Venema|2006|loc=p. 145}}</ref>

== U euklidskom prostoru ==

'''Sličnost''' (koja se naziva i '''transformacija sličnosti''' ili '''upoređenje''') [[Euclidean space|euklidskog prostora]] je [[bijection|bijekcija]] {{math|''f''}} iz prostora na sebe koja množi sve udaljenosti sa istim pozitivnim [[real number|realnim brojem]] {{math|''r''}}, tako da za bilo koje dve tačke {{math|''x''}} i {{math|''y''}} postoji

:<math>d(f(x),f(y)) = r\, d(x,y), \, </math>

gde je „{{math|''d''(''x'',''y'')}}” [[Euclidean distance|euklidsko rastojanje]] od {{math|''x''}} do {{math|''y''}}.{{sfn|Smart|1998|p=92}} [[scalar (mathematics)|Skalar]] {{math|''r''}} ima mnogo imena u literaturi uključujući; ''odnos sličnosti'', ''faktor rastezanja'' i ''koeficijent sličnosti''. Kada je {{math|''r''}} = 1, sličnost se naziva [[Euclidean plane isometry|izometrija]] ([[rigid transformation|rigidna transformacija]]). Dva skupa se nazivaju ''sličnima'' ako je jedan slika drugog pod sličnošću.

Kao mapa {{math|''f'' : ℝ{{sup|''n''}} → ℝ{{sup|''n''}}}}, sličnost odnosa {{math|''r''}} ima oblik

:<math>f(x) = rAx + t,</math>

gde je {{math|''A'' ∈ ''O''{{sub|''n''}}(ℝ)}} jedna {{math|''n'' × ''n''}} [[orthogonal matrix|ortogonalna matrica]] i {{math|''t'' ∈ ℝ{{sup|''n''}}}} je translacioni vektor.

Sličnosti čuvaju ravni, prave, perpendikularnost, paralelizam, sredine, nejednakosti između rastojanja i segmenata pravca.{{sfn|Yale|1968|p=47 Theorem 2.1}} Sličnosti čuvaju uglove, ali ne čuvaju nužno orijentaciju, ''direktne sličnosti'' čuvaju orijentaciju, a ''suprotne sličnosti'' je menjaju.{{sfn|Pedoe|1988|pp=179–181}}

Sličnosti euklidskog prostora čine [[group (mathematics)|grupu]] pod operacijom kompozicije koja se naziva ''grupa sličnosti'' ''{{math|''S''}}.{{sfn|Yale|1968|p=46}} Direktne sličnosti formiraju [[normal subgroup|normalnu podgrupu]] od {{math|''S''}} i [[Euclidean group|euklidska grupa]] {{math|''E''(''n'')}} izometrija takođe formira normalnu podgrupu.{{sfn|Pedoe|1988|p=182}} Grupa sličnosti {{math|''S''}} je sama po sebi podgrupa [[affine group|afine grupe]], tako da je svaka sličnost [[affine transformation|afina transformacija]].<ref>{{Cite book| ref=harv|last=Nomizu|first=Katsumi|last2=Sasaki|first2=Takeshi|title=Affine Differential Geometry: Geometry of Affine Immersions|url=https://books.google.com/books?id=lEUVHyjQANcC|year=1994|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-44177-3|pages=}}</ref><ref>{{Cite book| ref=harv|last=Berger |first=Marcel|last2=Cole|first2=M.|title=Geometry I|url=https://books.google.com/books?id=5W6cnfQegYcC|year=1987|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-11658-5|pages=}}</ref>

Euklidska ravan se može posmatrati kao [[complex plane|kompleksna ravan]],<ref>This traditional term, as explained in its article, is a misnomer. This is actually the 1-dimensional complex line.</ref> odnosno kao dvodimenzionalni prostor nad [[real number|realnim]]. 2D transformacije sličnosti se tada mogu izraziti u kontekstu kompleksne aritmetike i date su sa {{math|''f''(''z'') {{=}} ''az'' + ''b''}} (direktne sličnosti) i {{math|''f''(''z'') {{=}} ''a{{overline|z}}'' + ''b''}} (suprotne sličnosti), gde su {{math|''a''}} i {{math|''b''}} kompleksni brojevi, {{math|''a'' ≠ 0}}. Kada je {{math|{{!}}''a''{{!}} {{=}} 1}}, ove sličnosti su izometrije.

== Reference ==
{{reflist}}

== Literatura ==
{{Литература|30em}}
* {{citation|first=David W.|last=Henderson|first2=Daina|last2=Taimina|title=Experiencing Geometry/Euclidean and Non-Euclidean with History|edition=3rd|publisher=Pearson Prentice-Hall|year=2005|isbn=978-0-13-143748-7}}
* {{citation|first=Harold R.|last=Jacobs|title=Geometry|year=1974|publisher=W.H. Freeman and Co.|isbn=0-7167-0456-0}}
* {{citation|first=Dan|last=Pedoe|title=Geometry/A Comprehensive Course|year=1988|origyear=1970|publisher=Dover|isbn=0-486-65812-0}}
* {{citation|first=Thomas Q.|last=Sibley|title=The Geometric Viewpoint/A Survey of Geometries|year=1998|publisher=Addison-Wesley|isbn=978-0-201-87450-1}}
* {{citation|first=James R.|last=Smart|title=Modern Geometries|edition=5th|publisher=Brooks/Cole|year=1998|isbn=0-534-35188-3}}
* {{citation|first=Saul|last=Stahl|title=Geometry/From Euclid to Knots|year=2003|publisher=Prentice-Hall|isbn=978-0-13-032927-1}}
* {{citation|first=Gerard A.|last=Venema|title=Foundations of Geometry|year=2006|publisher=Pearson Prentice-Hall|isbn=978-0-13-143700-5}}
* {{citation|first=Paul B.|last=Yale|title=Geometry and Symmetry|year=1968|publisher=Holden-Day}}
* Judith N. Cederberg (1989, 2001) ''A Course in Modern Geometries'', Chapter 3.12 Similarity Transformations, pp. 183–9, Springer {{page|year=|isbn=0-387-98972-2|pages=}} .
* [[H.S.M. Coxeter]] (1961,9) ''Introduction to Geometry'', §5 Similarity in the Euclidean Plane, pp. 67–76, §7 Isometry and Similarity in Euclidean Space, pp 96–104, [[John Wiley & Sons]].
* Günter Ewald (1971) ''Geometry: An Introduction'', pp 106, 181, [[Wadsworth Publishing]].
* George E. Martin. ''Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry'', Chapter 13 Similarities in the Plane, pp. 136–46, Springer {{page|year=1982|isbn=0-387-90636-3|pages=}}.
* {{citation|first=Carl B.|last=Boyer|title=History of Analytic Geometry|year=2004|orig-year=1956|publisher=Dover|isbn=978-0-486-43832-0}}
* {{citation|author-link=Marvin Greenberg|first=Marvin Jay|last=Greenberg|title=Euclidean and Non-Euclidean Geometries/Development and History|year=1974|publisher=W.H. Freeman|place=San Francisco|isbn=0-7167-0454-4}}
* Halsted, G. B. (1896) [https://archive.org/details/elementarysynth00halsgoog Elementary Synthetic Geometry] via Internet Archive
* [[G. B. Halsted|Halsted, George Bruce]] (1906) [https://archive.org/details/syntheticproject00halsuoft Synthetic Projective Geometry], via [[Internet Archive]].
* Hilbert & Cohn-Vossen, ''Geometry and the imagination''.
* {{citation|first=Felix|last=Klein|title=Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint/Geometry|publisher=Dover|place=New York|year=1948}}
* {{citation|first=Leonard|last=Mlodinow|title=Euclid's Window/The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace|publisher=The Free Press|place=New York|year=2001|isbn=0-684-86523-8|url-access=registration|url=https://archive.org/details/euclidswindowsto00mlod}}
* {{cite book | last = Heath | first = Thomas L. | author-link = T. L. Heath | title = The Thirteen Books of Euclid's Elements | url = https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl | url-access = registration | edition = 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] | year = 1956 | publisher = Dover Publications | location = New York }}
* {{cite book |title=Pure Geometry |first=John Wellesley|last=Russell|publisher=Clarendon Press |year=1905 |chapter= Ch. 1 §6 "Menelaus' Theorem" |url=https://archive.org/details/anelementarytre02russgoog}}

{{Литература крај}}

== Spoljašnje veze ==
{{commons category-lat|Similarity (geometry)}}
* -{[http://www.mathopenref.com/similartriangles.html Animated demonstration of similar triangles]}-

{{Authority control-lat}}

[[Категорија:Еуклидска геометрија]]
[[Категорија:Геометрија троугла]]