Изворни код странице Poasonova raspodela

{{Probability distribution-lat
  | name       = Poasonova raspodela
  | type       = mass
  | pdf_image  = File:poisson pmf.svg|325px
  | pdf_caption = Horizontalna osa je indeks -{''k''}-, broj pojava. ''λ'' je očekivani broj pojava, koji ne more da bude ceo broj. Vertikalna osa je verovatnoća za -{''k''}- pojava za dato ''λ''. Funkcija je definisana samo za cele brojeve od -{''k''}-. Povezujuće linije su samo vodiči za oko.
  | cdf_image  = poisson cdf.svg
  | cdf_caption = Horizontalna osa je indeks -{''k''}-, broj pojava. CDF je diskontinuirana u celim brojevima od -{''k''}- i ravna svugde drugde jer promenljiva koja sledi Poasonovu raspodelu može da ima samo celobrojne vrednosti.
  | notation   = <math>\operatorname{Pois}(\lambda)</math> 
  | parameters = <math>\lambda > 0,</math> ([[real number|realno]]) — stopa
  | support    = <math>k \in \{0,1,2,\ldots\} </math>
  | pdf        = <math>\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}</math>
  | cdf        = <math>\frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}</math>, ili <math>e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^i}{i!}\ </math>, ili <math>Q(\lfloor k+1\rfloor,\lambda)</math>
(za <math>k\ge 0</math>, gde je <math>\Gamma(x, y)</math> [[Incomplete gamma function|gornja nepotpuna gama funkcija]], <math>\lfloor k\rfloor</math> je [[Floor and ceiling functions|podna funkcija]], i Q je [[Regularized Gamma function|regulisana gama funkcija]])
  | mean       = <math>\lambda</math>
  | median     = <math>\approx\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor</math>
  | mode       = <math>\lceil\lambda\rceil - 1, \lfloor\lambda\rfloor</math>
  | variance   = <math>\lambda</math>
  | skewness   = <math>\lambda^{-1/2}</math>
  | kurtosis   = <math>\lambda^{-1}</math>
  | entropy    = <math>\lambda[1 - \log(\lambda)] + e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\log(k!)}{k!}</math>
(za veliko <math>\lambda</math>)
<math>\frac{1}{2}\log(2 \pi e \lambda) - \frac{1}{12 \lambda} - \frac{1}{24 \lambda^2} -{}</math><br><math>\qquad \frac{19}{360 \lambda^3} + O\left(\frac{1}{\lambda^4}\right)</math>
  | pgf        = <math>\exp(\lambda(z - 1))</math>
  | mgf        = <math>\exp(\lambda (e^{t} - 1))</math>
  | char       = <math>\exp(\lambda (e^{it} - 1))</math>
  | fisher     = <math>\frac{1}{\lambda}</math>
}}

U [[probability theory|teoriji verovatnoće]] i [[statistics|statistici]] '''Poasonova raspodela''', koja je nazvana po [[France|francuskom]] matematičaru [[Siméon Denis Poisson|Simeonu Poasonu]], jeste diskretna [[Probability distribution|raspodela verovatnoće]] koja izražava verovatnoću da se određeni broj događaja dogodio u fiksnom intervalu vremena ili prostora ako se ti događaji događaju sa poznatom konstantnom brzinom i [[Independence (probability theory)|nezavisno]] od vremena od poslednjeg događaja.<ref name="haight">{{cite book|author=Frank A. Haight|title=Handbook of the Poisson Distribution |publisher=John Wiley & Sons|location=New York|year=1967|ref=harv}}</ref> Poasonova distribucija se takođe može koristiti za broj događaja u drugim vidovima intervala, kao što su udaljenost, površina ili zapremina.

Na primer, pojedinac koji prati količinu pošte koju dobija svaki dan može primetiti da primi u proseku 4 pisma dnevno. Ako primanje bilo kojeg pisma ne utiče na vreme dolaska budućih komada pošte, tj. ako pisma od širokog spektra izvora dolaze nezavisno jedno od drugog, onda je razumna pretpostavka da se broj primljenih komada pošte u danu pokorava Poasonovoj distribuciji.<ref name="umass1">{{cite web |url=http://www.umass.edu/wsp/resources/poisson/index.html |title=Statistics &#124; The Poisson Distribution |publisher=Umass.edu |date=24. 8. 2007 |accessdate=18. 4. 2014 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140419014445/http://www.umass.edu/wsp/resources/poisson/index.html |archive-date=19. 04. 2014 |url-status=dead }}</ref> Ostali primeri koji mogu slediti Poasonovu distribuciju uključuju broj telefonskih poziva koje je primio pozivni centar na sat i broj događaja raspada u sekundi iz radioaktivnog izvora.

== Istorija ==

Ovu distribuciju je uveo [[Siméon Denis Poisson|Simeon Poason]] (1781–1840). Ona je objavljena zajedno sa njegovom teorijom verovatnoće 1837. godine u njegovom radu pod naslovom „''Istraživanje verovatnoće presuda u krivičnim i građanskim stvarima''” (-{''Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile''}-).<ref>S.D. Poisson, ''Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilitiés'' (Paris, France: Bachelier, 1837), [https://books.google.com/books?id=uovoFE3gt2EC&pg=PA206#v=onepage&q&f=false page 206].</ref> Rad je teoretizirao o broju pogrešnih presuda u datoj zemlji fokusirajući se na određene [[random variable|randomne promenljive]] -{''N''}- koje između ostalog računaju broj diskretnih pojava (koje se ponekad nazivaju „događaji” ili „dolasci”) koji se dešavaju tokom [[Време|vremena]] - intervala date dužine. Rezultat je prethodno dao [[Abram de Moavr]] (1711) u radu s naslovom -{''De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus''}- u Filozofskim transakcijama Kraljevskog društva, str. 219.{{r|JKK|p=157}} To ga čini primerom [[Stigler's law of eponymy|Stiglerovog zakona]] i neki autori sumatraju da bi Poasonova distribucija trebalo da nosi ime de Moavra.<ref>{{cite journal| doi=10.1016/0167-7152(82)90010-4 | volume=1 | title=Poisson on the poisson distribution | year=1982 | journal=Statistics & Probability Letters | pages=33–35 | last1 = Stigler | first1 = Stephen M.}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Hald|first=A.|last2=de Moivre|first2=Abraham|last3=McClintock|first3=Bruce|date=1984|title=A. de Moivre: 'De Mensura Sortis' or 'On the Measurement of Chance'|journal=International Statistical Review / Revue Internationale de Statistique|volume=52|issue=3|pages=229–262|doi=10.2307/1403045|jstor=1403045}}</ref>

Praktičnu primenu ove raspodele opisao je [[Ladislaus Bortkiewicz|Vladislav Bortkevič]] 1898. godine, kada je dobio zadatak da istraži broj vojnika u pruskoj vojsci koji su slučajno ubijeni konjskim udarcima; ovaj eksperiment je uveo Poasonovu distribuciju u polje [[Поузданост|inženjerstva pouzdanosti]].<ref>Ladislaus von Bortkiewicz, ''Das Gesetz der kleinen Zahlen'' [The law of small numbers] (Leipzig, Germany: B.G. Teubner, 1898). On [https://books.google.com/books?id=o_k3AAAAMAAJ&pg=PA1#v=onepage&q&f=false page 1], Bortkiewicz presents the Poisson distribution. On [https://books.google.com/books?id=o_k3AAAAMAAJ&pg=PA23#v=onepage&q&f=false pages 23–25], Bortkiewicz presents his analysis of "4. Beispiel: Die durch Schlag eines Pferdes im preussischen Heere Getöteten." (4. Example: Those killed in the Prussian army by a horse's kick.).</ref>

== Definicija ==

Za diskretnu [[random variable|randomnu promenljivu]] ''X{{space}}'' se kaže da ima Poasonovu distribuciju sa parametrom ''λ''&nbsp;>&nbsp;0, ako je za ''k''&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;..., [[probability mass function|funkcija verovatnoće]] od ''X{{space}}'' data sa:<ref>Probability and Stochastic Processes: A Friendly Introduction for Electrical and Computer Engineers, Roy D. Yates, David Goodman, page 60.</ref>
:<math>\!f(k; \lambda)= \Pr(X = k)= \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},</math>
gde je
* ''e'' je [[e (mathematical constant)|Ojlerov broj]] (''e'' = 2.71828...)
* -{''k''}-! je [[faktorijel]] od -{''k''}-.

Pozitivni [[realni broj]] ''λ'' je jednak sa [[expected value|očekivanom vrednosti]] od ''X'' i takođe sa njegovom [[varijansa|varijansom]]<ref>For the proof, see :
[http://www.proofwiki.org/wiki/Expectation_of_Poisson_Distribution Proof wiki: expectation] {{Wayback|url=http://www.proofwiki.org/wiki/Expectation_of_Poisson_Distribution |date=20131004214112 }} and [http://www.proofwiki.org/wiki/Variance_of_Poisson_Distribution Proof wiki: variance] {{Wayback|url=http://www.proofwiki.org/wiki/Variance_of_Poisson_Distribution |date=20131004213208 }}</ref>
:<math>\lambda=\operatorname{E}(X)=\operatorname{Var}(X).</math>

Poasonova raspodela se može primeniti na sisteme sa [[large number of rare events|velikim]] brojem mogućih događaja, svaki od kojih je redak. Koliko će se takvih događaja dogoditi u određenom vremenskom intervalu? Pod adekvatnim okolnostima, ovo je slučajni broj sa Poasonovom raspodelom.

Konvencionalna definicija Poasonove distribucije sadrži dva člana koja lako mogu biti preplavljeni na računarima: λ<sup>-{''k''}-</sup> i -{''k''}-!. Frakcija od λ<sup>-{''k''}-</sup> do -{''k''}-! takođe može da proizvede grešku zaokruživanja koja je vrlo velika u poređenju sa ''e''<sup>−λ</sup>, i stoga daje pogrešan rezultat. Radi numeričke stabilnosti, funkciju Poasonove verovatnoće treba izračunavati kao
:<math>\!f(k; \lambda)= \exp \left\{ {k\ln \lambda  - \lambda  - \ln \Gamma (k+1)} \right\},</math>
što je matematički ekvivalentno i numerički stabilno. Prirodni logaritam [[Gamma function|gama funkcije]] se može dobiti koristeći <code>lgamma</code> funkciju u [[C (programming language)|C]] standardnoj biblioteci (C99 verzija) ili u [[R (programming language)|R jeziku]], <code>gammaln</code> funkciju u [[MATLAB]]u ili [[SciPy]], ili <code>log_gamma</code> funkciju u [[Fortran]]u 2008 i kasnijim.

== Osobine ==

=== Opisna statistika ===
* [[Očekivana vrednost]] i [[varijansa]] Poasonski-raspodeljene randomne promenljive su oba jednaka λ.
* [[coefficient of variation|Koeficijent varijacije]] je <math>\textstyle \lambda^{-1/2}</math>, dok je [[index of dispersion|indeks disperzije]] 1.{{r|Johnson2005|p=163}}
* [[mean absolute deviation|Srednja apsolutna devijacija]] oko srednje vrednosti je {{r|Johnson2005|p=163}}
::<math>\operatorname{E}[|X-\lambda|]= \frac{2 \lambda^{\lfloor\lambda\rfloor + 1} e^{-\lambda}}{\lfloor\lambda\rfloor!}.</math>
* [[Modus (statistika)|Modus]] Poasonski-raspodeljene randomne promenljive sa necelobrojnim λ je jednak <math>\scriptstyle\lfloor \lambda \rfloor</math>, što je najveći ceo broj manji ili jednak od&nbsp;''λ''. Ovo se isto tako zapisuje kao [[floor function|floor]](λ). Kad je λ pozitivni ceo broj, modusi su ''λ'' i ''λ''&nbsp;−&nbsp;1.
* Svi [[Cumulant|kumulanti]] Poasonove raspodele jednaki su očekivanoj vrednosti&nbsp;''λ''. -{''n''}--ti [[factorial moment|faktorijalni momenat]] Poasonove raspodele je ''λ''<sup>-{''n''}-</sup>.
* [[Očekivana vrednost]] [[Poisson point process|Poasonovog procesa]] ponekad se razlaže na proizvod ''intenziteta'' i ''izloženosti'' (ili opštije izražava se kao integral „funkcije intenziteta” tokom vremena ili prostora, ponekad opisivana kao „izloženost”).{{r|Helske2017}}

=== Mediana ===

Granice za medijanu (<math>\nu</math>) raspodele su poznate i [[List of mathematical jargon#sharp|oštre]] su:{{r|Choi1994}}

: <math> \lambda - \ln 2 \le \nu < \lambda + \frac{1}{3}. </math>

=== Viši momenti ===
* Viši [[moment (mathematics)|momenti]] -{''m''<sub>''k''</sub>}- Poasonove raspodele oko koordinatnog početka su [[Touchard polynomials|Tišardovi polinomi]] u λ:
:: <math> m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},</math>

: gde vitičaste zagrade označavaju [[Stirling numbers of the second kind|Stirlingove brojeve druge vrste]].{{r|Riordan1937}}{{r|Haight1967|p=6}} Koeficijenti polinoma imaju [[combinatorics|kombinatorijalno]] značenje. Zapravo, kada je očekivana vrednost Poasonove raspodele 1, tada [[Dobiński's formula|formula Dobinskog]] nalaže da je -{n}--ti momenat jednak broju [[partition of a set|particija skupa]] veličine -{''n''}-.

Za necentrirane momente se definiše <math>B=k/\lambda</math>, i tada je{{r|Jagadeesan2017}}
::<math>
E[X^k]^{1/k} \le C\cdot
\begin{cases}
k/B & \text{if}\quad B < e \\
k/\log B & \text{if}\quad B\ge e
\end{cases}
</math>
pri čemu je <math>C</math> apsolutna konstanta veća od 0.

=== Sume Poason-raspodeljenih slučajnih promenljivih ===

: Ako su <math>X_i \sim \operatorname{Pois}(\lambda_i)</math> za <math>i=1,\dotsc,n</math> [[Independence (probability theory)|nezavisni]], onda je <math>\sum_{i=1}^n X_i \sim \operatorname{Pois}\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i\right)</math>.{{r|Lehmann1986|p=65}} Suprotna je [[Raikov's theorem|Rajkova teorema]], koja navodi da ako je suma dve nezavisne randomne promenljive dosledna Poasonovoj raspodeli, onda je svaka od njih nezavisna randomna promenljiva.{{r|Raikov1937}}{{r|vonMises1964|p=}}

== Reference ==
{{Reflist
|refs =
<ref name="JKK">
{{cite book
 |last1 = Johnson |first1 = N. L.
 |last2 = Kotz |first2 = S.
 |last3 = Kemp |first3 = A. W.
 |year = 1993
 |title = Univariate Discrete distributions
 |edition = 2nd
 |publisher = Wiley
 |isbn = 0-471-54897-9
}}</ref>
<ref name="Johnson2005">
{{citation
 |last1=Johnson |first1=Norman L.
 |last2=Kemp |first2=Adrienne W.
 |last3=Kotz |first3=Samuel
 |chapter=Poisson Distribution
 |year=2005 |pages=156–207
 |title=Univariate Discrete Distributions
 |edition=3rd
 |publisher=John Wiley & Sons, Inc. 
 |location=New York, NY, USA
 |isbn=978-0-471-27246-5
 |doi=10.1002/0471715816
}}</ref>
<ref name="Helske2017">
{{cite arxiv
 |last=Helske |first=Jouni
 |date=2017
 |title=KFAS: Exponential family state space models in R
 |eprint=1612.01907
 |class=stat.CO
}}</ref>
<ref name="Lehmann1986">
{{citation
 |last1=Lehmann |first1=Erich Leo
 |title=Testing Statistical Hypotheses
 |publisher=Springer Verlag |location=New York, NJ, USA
 |edition=second
 |year=1986
 |isbn=978-0-387-94919-2}}</ref>
<ref name="Choi1994">
{{citation
 |last1=Choi |first1=Kwok P.
 |title=On the medians of gamma distributions and an equation of Ramanujan
 |journal=Proceedings of the American Mathematical Society
 |year=1994 |volume=121 |issue=1 |pages=245–251
 |doi=10.2307/2160389
 |jstor=2160389|doi-access=free}}</ref>
<ref name="Riordan1937">
{{citation
 |last=Riordan | first=John
 |journal=Annals of Mathematical Statistics
 |title=Moment Recurrence Relations for Binomial, Poisson and Hypergeometric Frequency Distributions
 |year=1937 |volume=8 |issue=2 |pages=103–111
 |jstor=2957598
 |doi=10.1214/aoms/1177732430
 |url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aoms/1177732430
 |format=PDF
|doi-access=free
 }}</ref>
<ref name="Jagadeesan2017">
{{cite arxiv
 |last1=Jagadeesan |first1=Meena
 |title=Simple analysis of sparse, sign-consistent JL 
 |year=2017 
 |eprint=1708.02966 |class=cs.DS 
}}</ref>
<ref name="Haight1967">
{{citation
 |last1=Haight
 |first1=Frank A.
 |title=Handbook of the Poisson Distribution
 |publisher=John Wiley & Sons
 |location=New York, NY, USA
 |year=1967
|isbn=978-0-471-33932-8
}}</ref>
<ref name="Raikov1937">
{{citation
 |last=Raikov |first=Dmitry
 |title=On the decomposition of Poisson laws
 |journal=Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de l'URSS
 |year=1937 |volume=14 |pages=9–11
}}</ref>
<ref name="vonMises1964">
{{citation
 |last=von Mises |first=Richard
 |title=Mathematical Theory of Probability and Statistics
 |year=1964
 |publisher=Academic Press
 |location=New York, NJ, USA
 |isbn=978-1-4832-3213-3
 |doi=10.1016/C2013-0-12460-9
}}</ref>

}}

== Literatura ==
{{Литература}}
* {{cite journal
 |last1 = Ahrens |first1 = Joachim H.
 |last2 = Dieter |first2 = Ulrich
 |title = Computer Methods for Sampling from Gamma, Beta, Poisson and Binomial Distributions
 |journal = Computing
 |year = 1974
 |volume = 12
 |issue = 3
 |pages = 223–246
 |doi = 10.1007/BF02293108
}}
* {{cite journal
 |last1 = Ahrens |first1 = Joachim H.
 |last2 = Dieter |first2 = Ulrich
 |title = Computer Generation of Poisson Deviates
 |url = https://archive.org/details/sim_acm-transactions-on-mathematical-software_1982-06_8_2/page/163 |journal = ACM Transactions on Mathematical Software
 |year = 1982
 |volume = 8
 |issue = 2
 |pages = 163–179
 |doi = 10.1145/355993.355997
}}
* {{cite journal
 |last1 = Evans |first1 = Ronald J.
 |last2 = Boersma |first2 = J.
 |last3 = Blachman |first3 = N. M. 
 |last4 = Jagers |first4 = A. A. 
 |title = The Entropy of a Poisson Distribution: Problem 87-6
 |journal = SIAM Review
 |year = 1988
 |volume = 30
 |issue = 2
 |pages = 314–317
 |doi = 10.1137/1030059
}}
* {{cite book
 |last = Knuth |first = Donald E. 
 |title = Seminumerical Algorithms
 |publisher = [[Addison Wesley]]
 |series = [[The Art of Computer Programming]]
 |volume = 2
 |year = 1969
}}
* {{cite journal | last = Shanmugam | first = Ramalingam | title = Informatics about fear to report rapes using bumped-up Poisson model | journal = American Journal of Biostatistics | volume = 3 | issue = 1 | pages = 17–29 | doi = 10.3844/amjbsp.2013.17.29 | date = 2013 | ref = harv }}
{{Литература крај}}

== Spoljašnje veze ==
{{Commons category-lat|Poisson distribution}}
* {{cite web |last1=Clarke |first1=R. D., F.I.A. |title=An Application of the Poisson Distribution |url=https://www.actuaries.org.uk/system/files/documents/pdf/0481.pdf |publisher=[[Institute and Faculty of Actuaries]] |accessdate=7. 7. 2019}}

{{Authority control-lat}}

{{СОРТИРАЊЕ:Поасонова расподела}}

[[Категорија:Дискретне расподеле]]