Изворни код странице Molekularna simetrija

{{добар чланак}}
[[Datoteka:Formaldehyde symmetry elements.svg|thumbnail|right|200px|Elementi simetrije [[formaldehid]]a. ''C''<sub>2</sub> je dvostruka osa rotacije. σ<sub>v</sub> and σ<sub>v</sub>' su dve neekvivalentne refleksijske ravni.]]

U [[хемија|hemiji]], '''molekularna_simetrija''' opisuje [[симетрија|simetriju]] prisutnu u [[molekul]]ima i klasifikaciju ovih molekula prema njihovoj simetriji. Molekularna simetrija je fundamentalni koncept u hemiji, jer se može koristiti za predviđanje ili objašnjenje mnogih [[hemijska osobina|hemijskih svojstava]] molekula, kao što je da li ima ili nema [[дипол|dipolni moment]], kao i njegove dozvoljene [[спектроскоп|spektroskopske prelaze]]. Da bi se to uradilo, potrebno je koristiti [[теорија група|teoriju grupa]]. Ovo uključuje klasifikaciju stanja molekula koristeći [[иредуцибилна репрезентација|nesvodljive reprezentacije]] iz [[tabela znakova|tabele znakova]] grupe simetrije molekula. Simetrija je korisna u proučavanju [[молекулска орбитала|molekularnih orbitala]], sa primenama na [[Hikelov method|Hikelov metod]], na [[teorija ligandnog polja|teoriju polja liganda]] i na [[Vudvard-Hofmanova pravila]]. Mnogi udžbenici na univerzitetskom nivou o [[физичка хемија|fizičkoj hemiji]], [[kvantna hemija|kvantnoj hemiji]], [[спектроскоп|spektroskopiji]] i [[неорганска хемија|neorganskoj hemiji]] govore o simetriji.<ref>''Quantum Chemistry'', 3rd ed. John P. Lowe, Kirk Peterson. {{page|year=|isbn=0-12-457551-X|pages=}}</ref><ref>{{cite book|author=''Physical Chemistry|title=A Molecular Approach'' by Donald A. McQuarrie, John D. Simon|year=1997|url=https://archive.org/details/physicalchemistr0000macqu|isbn=0-935702-99-7|pages=}}</ref><ref>''The chemical bond'', 2nd ed. J.N. Murrell, S.F.A. Kettle, J.M. Tedder. {{page|year=|isbn=0-471-90760-X|pages=}}</ref><ref>''Physical Chemistry'', 8th ed. P.W. Atkins and J. de Paula, W.H. Freeman, 2006 {{ISBN|0-7167-8759-8}}, chap.12</ref><ref>G. L. Miessler and D. A. Tarr ''Inorganic Chemistry'', 2nd ed. Pearson, Prentice Hall, 1998 {{ISBN|0-13-841891-8}}, chap.4.</ref><ref>{{cite book | last = Bunker | first = Philip |author2=Jensen, Per  | title = Molecular Symmetry and Spectroscopy, Second edition | publisher = NRC Research Press | year = 2006 | location = [[Отава|Ottawa]] | isbn = 0-660-19628-X |url= https://volumesdirect.com/products/molecular-symmetry-and-spectroscopy?_pos=1&_sid=ed0cc0319&_ss=r }}</ref> Još jedan okvir na većem obimu je upotreba [[кристални системи|kristalnih sistema]] za opisivanje [[кристалографија|kristalografske]] simetrije u rasutim materijalima.

Postoji mnogo tehnika za određivanje simetrije datog molekula, uključujući [[рендгенска кристалографија|rendgensku kristalografiju]] i različite oblike [[спектроскоп|spektroskopije]]. [[Spektroskopska notacija]] je zasnovana na razmatranjima simetrije.

== Koncepti simetrije grupe tačaka ==

{| class="wikitable" style="float:left; background:#fff; border-style:solid; border-width:2px; border-color:#0095b6; margin-right:20px; padding:8px;"
|+ Primeri odnosa između [[хиралност молекула|hiralnosti]] i simetrije
|- 
! Rotaciona<br />osa (''C''<sub>''n''</sub>) || colspan="3" | Nepravilni rotacioni elementi (''S''<sub>''n''</sub>)
|- 
| &nbsp;|| '''Hiralni'''<br />ne ''S''<sub>''n''</sub> || '''Ahiralna''' <br />ravan ogledala<br />''S''<sub>1</sub> = σ || '''Ahiralni''' <br />inverzioni centar<br />''S''<sub>2</sub> = ''i''
|- 
| ''C''<sub>1</sub> || [[Image:Chiral sym CHXYZ.svg|62px]] || [[Image:Chiral sym CHXYRYS.svg|79px]] || [[Image:Chiral sym CCXRYRXSYS.svg|102px]]
|- 
| ''C''<sub>2</sub> || [[Image:Chiral sym CCCXYXY.svg|154px]] || [[Image:Chiral sym CHHXX.svg|63px]] || [[Image:Chiral sym CCXYXY.svg|102px]]
|}
{| class="wikitable" style="float:right; background:#fff; border-style:solid; border-width:2px; border-color:#0095b6; margin-left:10px; padding:8px;"
|+ Grupe tačaka i njihove operacije simetrije
|- 
! Simbol || Operacije simetrije
|- 
| ''C<sub>1</sub>'' || ''E''
|- 
| ''C<sub>s</sub>'' || ''E'', ''σ''
|-
| ''C<sub>i</sub>'' || ''E'', ''i''
|- 
| ''C<sub>n</sub>'' || ''E'', ''C<sub>n</sub>''
|- 
| ''S<sub>n</sub>'' || ''E'', ''S<sub>n</sub>'' (rotaciona reflekcija)
|- 
| ''C<sub>nv</sub>'' || ''E'', ''C<sub>n</sub>'', ''n<sup>*</sup>σ<sub>v</sub>''
|- 
| ''C<sub>nh</sub>'' || ''E'', ''C<sub>n</sub>'', ''σ<sub>h</sub>''
|- 
| ''D<sub>n</sub>'' || ''E'', ''C<sub>n</sub>'', ''n<sup>*</sup>C<sub>2</sub>(vertikalno)''
|- 
| ''D<sub>nh</sub>'' || ''E'', ''C<sub>n</sub>'', ''n<sup>*</sup>C<sub>2</sub>(vertikalno)'', ''σ<sub>h</sub>''
|- 
| ''D<sub>nd</sub>'' || ''E'', ''C<sub>n</sub>'', ''n<sup>*</sup>C<sub>2</sub>(vertikalno)'', ''n<sup>*</sup>σ<sub>v</sub>(do C<sub>2</sub> ose)''
|- 
| ''T<sub>d</sub>'' || ''E'', ''6<sup>*</sup>σ<sub>d</sub>'', ''4<sup>*</sup>C<sub>3</sub>'', ''3<sup>*</sup>S<sub>4</sub>''
|- 
| ''O<sub>h</sub>'' || ''E'', ''6<sup>*</sup>σ<sub>d</sub>'', ''3<sup>*</sup>σ<sub>h</sub>'', ''6<sup>*</sup>C<sub>2</sub>'', ''4<sup>*</sup>C<sub>3</sub>'', ''3<sup>*</sup>C<sub>4</sub>'', ''4<sup>*</sup>S<sub>6</sub>''
|}

=== Elementi ===

Tačkasta grupna simetrija molekula je definisana prisustvom ili odsustvom 5 tipova [[symmetry element|elementa simetrije]].
{{anchor|axis}}
* '''Osa simetrije''': osa oko koje [[rotaciono kretanje čvrstog tela|rotacija]] za <math> \tfrac{360^\circ} {n} </math> rezultira molekulom koji se ne razlikuje od originala. Ovo se takođe naziva ''n''-struka '''rotaciona osa''' i skraćeno ''C''<sub>''n''</sub>. Primeri su ''C''<sub>2</sub> osa u [[вода|vodi]] i ''C''<sub>3</sub> osa u [[amonijak]]u. Molekul može imati više od jedne ose simetrije; ona sa najvećim ''n'' naziva se '''glavna osa''', i po konvenciji je poravnata sa z-osom u [[декартов правоугли координатни систем|kartezijanskom koordinatnom sistemu]].
* '''Ravan simetrije''': ravan refleksije kroz koju se generiše identična kopija originalnog molekula. Ovo se takođe naziva [[mirror plane|ravan ogledala]] i skraćeno [[S (слово латинице)|σ]] (sigma = grčko „s“, od nemačkog „Spiegel“ što znači ogledalo)..<ref>{{cite web |url=https://newton.ex.ac.uk/research/qsystems/people/goss/symmetry/CharacterTables.html |title=Symmetry Operations and Character Tables  |date=2001 |website=University of Exeter |access-date=29 May 2018 }}</ref> Voda ima dve: jednu u ravni samog molekula i jednu [[perpendicular|okomito]] na njega. Ravan simetrije [[паралелност (геометрија)|paralelna]] sa glavnom osom naziva se ''vertikalna'' (σ<sub>v</sub>), a ona normalna na nju ''horizontalna'' (σ<sub>h</sub>). Postoji treći tip ravni simetrije: Ako vertikalna ravan simetrije dodatno deli ugao između dve ose rotacije koje su upravne u odnosu na glavnu osu, ravan se naziva [[диедар|diedarska]] (σ<sub>d</sub>). Ravan simetrije se takođe može identifikovati po njenoj kartezijanskoj orijentaciji, npr. (xz) ili (yz).
* '''Centar simetrije''' ili '''centar inverzije''', skraćeno ''i''. Molekul ima centar simetrije kada, za bilo koji atom u molekulu, identičan atom postoji dijametralno nasuprot ovom centru na jednakoj udaljenosti od njega. Drugim rečima, molekul ima centar simetrije kada su tačke (x,y,z) i (−x,−y,−z) identične. Na primer, ako postoji atom kiseonika u nekoj tački (x,y,z), onda postoji atom kiseonika u tački (−x,−y,−z). U samom centru inverzije može biti ili ne mora postojati atom. Primeri su [[ksenon tetrafluorid]] gde je centar inverzije na atomu Xe i [[benzen]] ({{chem|C|6|H|6}}) gde je centar inverzije u centru prstena.
* '''Rotaciono-refleksiona osa''': osa oko koje je rotacija za <math> \tfrac{360^\circ} {n} </math>, praćena refleksijom u ravni koja je okomita na nju, ostavlja molekul nepromenjenim. Takođe se naziva ''n''-struka '''nepravilna osa rotacije''', skraćeno je ''S''<sub>''n''</sub>. Primeri su prisutni u tetraedarskom [[silicijum tetrafluorid]]u, sa tri ''S''<sub>4</sub> ose, i [[Stepeničasta konformacija|stepeničastom konformacijom]] [[etan]]a sa jednom ''S''<sub>6</sub> osom. Osa ''S''<sub>1</sub> odgovara ravni ogledala σ, a osa ''S''<sub>2</sub> je centar inverzije ''i''. Molekul koji nema ''S''<sub>''n''</sub> osu za bilo koju vrednost ''n'' je [[хиралност молекула|hiralni]] molekul.
* '''Identitet''', skraćeno ''E'', od nemačkog 'Einheit' što znači jedinstvo.<ref>[https://dict.leo.org/ende?lp=ende&lang=de&searchLoc=0&cmpType=relaxed&sectHdr=on&spellToler=on&search=einheit&relink=on LEO Ergebnisse für "einheit"<!-- Bot generated title -->]</ref> Ovaj element simetrije se jednostavno ne sastoji od promene: svaki molekul ima ovaj element simetrije, koji je ekvivalentan ''C''<sub>1</sub> pravilnoj rotaciji. On mora biti uključen u listu elemenata simetrije tako da formiraju matematičku [[група (математика)|grupu]], čija definicija zahteva uključivanje elementa identiteta. Tako se zove, jer je analogan množenju sa jedan (jedinicom).<ref name=":0">{{Cite book|title=Principles of Inorganic Chemistry|last=Pfenning|first=Brian|publisher=John Wiley & Sons|year=2015|isbn=9781118859025}}</ref>

== Operacije ==
[[Datoteka:Xenon-tetrafluoride-3D-vdW.png|thumb|left|200px|[[Ксенон-тетрафлуорид|XeF<sub>4</sub>]], sa kvadratnom planarnom geometrijom, ima 1 ''C''<sub>4</sub> osu i 4 ''C''<sub>2</sub> ose ortogonalne na ''C''<sub>4</sub>. Ovih pet osa plus ravan ogledala normalna na osu ''C''<sub>4</sub> definišu ''D''<sub>4h</sub> grupu simetrije molekula.]]

Pet elemenata simetrije povezuju sa sobom pet tipova ''[[symmetry operation|simetrijskih operacija]]'', koje ostavljaju da se geometrija molekula ne razlikuje od početne geometrije. Ponekad se razlikuju od elemenata simetrije [[caret|karetom]] ili [[циркумфлекс|cirkumfleksom]]. Stoga, ''Ĉ''<sub>''n''</sub> je rotacija molekula oko ose, a ''Ê'' je operacija identiteta. Element simetrije može imati više od jedne operacije simetrije povezane sa njim. Na primer, ''C''<sub>4</sub> osa [[square planar molecular geometry|kvadratnog]] molekula [[ксенон-тетрафлуорид|ksenon tetrafluorida]] (XeF<sub>4</sub>) povezana je sa dve ''Ĉ''<sub>4</sub> rotacije u suprotnim smerovima (90° i 270°), ''Ĉ''<sub>2</sub> rotacijom (180°) i ''Ĉ''<sub>1</sub> (0° ili 360°). Pošto je ''Ĉ''<sub>1</sub> ekvivalentno ''Ê'', ''Ŝ''<sub>1</sub> sa σ i ''Ŝ''<sub>2</sub> sa ''î'', sve operacije simetrije se mogu klasifikovati kao ispravne ili nepravilne rotacije. Za linearne molekule, rotacija u smeru kazaljke na satu ili u suprotnom smeru oko molekulske ose za bilo koji ugao Φ je operacija simetrije.

[[Datoteka:Improper rotation S4.png|center|thumb|453x453px|Nepravilna rotacija S<sub>4</sub>]]
[[Datoteka:Rotation-Reflection operations for SF6.png|left|thumb|250px|Operacije rotacije-refleksije za oktaedarsku simetriju]]

== Grupe simetrije ==

=== Grupe ===

Operacije simetrije molekula (ili drugog objekta) formiraju [[група (математика)|grupu]]. U matematici, grupa je skup sa [[бинарна операција|binarnom operacijom]] koja zadovoljava četiri svojstva navedena u nastavku.

U '''grupi simetrije''', elementi grupe su operacije simetrije (ne elementi simetrije), a binarna kombinacija se sastoji od primene prvo jedne operacije simetrije, a zatim druge. Primer je sekvenca ''C''<sub>4</sub> rotacije oko z-ose i refleksije u xy-ravni, označene kao σ(xy)''C''<sub>4</sub>. Po konvenciji redosled operacija je s desna na levo.

Grupa simetrije sledi definišuća svojstva bilo koje grupe.
<ol>
<li> Svojstvo ''[[затвореност (математика)|zatvorenosti]]'':
{{block indent|left=1.5|text=Za svaki par elemenata ''x'' i ''y'' u ''G'', ''proizvod'' ''x''*''y'' je takođe u ''G''.}} {{block indent|left=1.5|text=(u simbolima, za svaka dva elementa ''x'', ''y'' ∈ ''G'', ''x''*''y'' e takođe u ''G'' ).}} To znači da je grupa ''zatvorena'' tako da kombinovanje dva elementa ne proizvodi nove elemente. Operacije simetrije imaju ovo svojstvo jer će niz od dve operacije proizvesti treće stanje koje se ne razlikuje od drugog, a samim tim i od prvog, tako da je neto efekat na molekul i dalje operacija simetrije. Ovo se može ilustrovati pomoću tabele. Na primer, sa grupom tačaka ''C''<sub>3</sub>, postoje tri operacije simetrije: rotacija za 120°, ''C''<sub>3</sub>, rotacija za 240°, ''C''<sub>3</sub><sup>2</sup> i rotacija za 360°, što je ekvivalentno identičnosti, ''E''.
[[Datoteka:C2v point group.png|thumb|Tabela C2v množenja grupe tačaka]]

:{| class="wikitable"
|+ Grupa tačaka C<sub>3</sub> Tabela množenja
|- 
!  !!E   || C<sub>3</sub>   || C<sub>3</sub><sup>2</sup>
|-
!E
| E|| C<sub>3</sub> || C<sub>3</sub><sup>2</sup>
|-
!C<sub>3</sub>
|C<sub>3</sub>||C<sub>3</sub><sup>2</sup>||E
|-
!C<sub>3</sub><sup>2</sup>
|C<sub>3</sub><sup>2</sup>||E||C<sub>3</sub>
|-
|}

</li>
<li>Ova tabela takođe ilustruje sledeća svojstva
</li>
<li> ''[[Асоцијативност|Asocijativno svojstvo]]'':
{{block indent|left=1.5|text=Za svako ''x'' i ''y'' i ''z'' u ''G'', oba (''x''*''y'')*''z'' i ''x''*(''y''*''z'') rezultiraju istim elementom u ''G''.}}
{{block indent|left=1.5|text=( u simbolima, (''x''*''y'')*''z'' = ''x''*(''y''*''z'' ) za svako ''x'', ''y'', i ''z'' ∈ ''G'')}}</li>
<li> ''postojanje svojstva [[неутрал|identiteta]]'':
{{block indent|left=1.5|text=Mora postojati element ( recimo ''e'' ) u ''G'' takav da proizvod bilo kog elementa ''G'' sa ''e'' ne menja element.}}
{{block indent|left=1.5|text=( u simbolima, ''x''*''e'' = ''e''*''x'' = ''x'' za svako ''x'' ∈ ''G'' )}}</li>
<li> ''postojanje [[инверз (математика)|inverznog elementa]]'':
{{block indent|left=1.5|text=Za svaki element ''x'' u ''G'', mora postojati element ''y'' u ''G'' takav da je proizvod ''x'' i ''y'' element identiteta ''e''.}}
{{block indent|left=1.5|text=( u simbolima, za svako ''x'' ∈ ''G'' postoji ''y'' ∈ ''G'' takvo da je ''x''*''y'' = ''y''*''x'' = ''e'' za svako ''x'' ∈ ''G'' )}}</li>
</ol>

''Redosled'' grupe je broj elemenata u grupi. Za grupe malih redova, svojstva grupe mogu se lako proveriti razmatranjem njene kompozicione tabele, tabele čiji redovi i kolone odgovaraju elementima grupe i čiji unosi odgovaraju njihovim produktima.

=== Grupe tačaka i grupe permutacije-inverzije ===

[[Datoteka:Point group determination flowchart.png|thumb|400px|Dijagram toka za određivanje tačkaste grupe molekula]]
Uzastopna primena (ili kompozicija) jedne ili više operacija simetrije molekula ima efekat ekvivalentan onom kod neke pojedinačne operacije simetrije molekula. Na primer, ''C''<sub>2</sub> rotacija praćena σ<sub>v</sub> refleksijom se vidi kao σ<sub>v</sub>' operacija simetrije: σ<sub>v</sub>*''C''<sub>2</sub> = σ<sub>v</sub>'. („Operacija ''A'' praćena sa ''B'' u formu ''C''“ piše se ''BA'' = ''C'').<ref name=":0" /> Štaviše, skup svih operacija simetrije (uključujući ovu operaciju kompozicije) poštuje sva svojstva grupe, date gore. Dakle (''S'',''*'') je grupa, gde je ''S'' skup svih operacija simetrije nekog molekula, a * označava kompoziciju (ponovnu primenu) operacija simetrije.

Ova grupa se naziva [[molekularna simetrija|grupa tačaka]] tog molekula, jer skup operacija simetrije ostavlja najmanje jednu tačku fiksnu (iako za neke simetrije cela osa ili cela ravan ostaje fiksna). Drugim rečima, grupa tačke je grupa koja sumira sve operacije simetrije koje imaju svi molekuli u toj kategoriji.<ref name=":0" /> Nasuprot tome, simetrija kristala je opisana [[space group|prostornom grupom]] operacija simetrije, koja uključuje [[транслација (геометрија)|translacije]] u prostoru.

Operacije simetrije grupe tačaka se mogu odrediti za određeni molekul uzimajući u obzir geometrijsku simetriju njegovog molekularnog modela. Međutim, kada se koristi tačkasta grupa za klasifikaciju molekularnih stanja, operacije u njoj se ne tumače na isti način. Umesto toga, operacije se tumače kao rotirajuće i/ili da odražavaju vibronske (vibraciono-elektronske) koordinate<ref>P. R. Bunker and P. Jensen (2005),''Fundamentals of Molecular Symmetry'' (CRC Press){{ISBN|0-7503-0941-5}} [https://www.routledge.com/Fundamentals-of-Molecular-Symmetry/Bunker-Jensen/p/book/9780750309417] Section 8.3</ref> i ove operacije komutuju sa vibracionim Hamiltonijanom. To su „operacije simetrije”" za taj vibracioni Hamiltonijan. Tačkasta grupa se koristi za klasifikaciju vibracionih sopstvenih stanja krutog molekula po simetriji. Klasifikacija simetrije rotacionih nivoa, sopstvenih stanja punog (rotaciono-vibraciono-elektronskog) Hamiltonijana, zahteva upotrebu odgovarajuće permutaciono-inverzione grupe koju je uveo [[Christopher Longuet-Higgins|Longvet-Higins]].<ref name=Longuet-Higgins1963>{{cite journal | last= Longuet-Higgins | first= H.C. | year = 1963 | title = The symmetry groups of non-rigid molecules | journal = Molecular Physics | volume = 6 | issue = 5| pages = 445–460 | doi = 10.1080/00268976300100501 | bibcode = 1963MolPh...6..445L | doi-access = free }}</ref> Grupe tačaka opisuju geometrijsku simetriju molekula, dok grupe permutacije-inverzije opisuju energetsko invarijantnu simetriju.

=== Primeri grupa tačaka ===

Dodeljivanje grupe tačaka svakom molekulu klasifikuje molekule u kategorije sa sličnim svojstvima simetrije. Na primer, PCl<sub>3</sub>, POF<sub>3</sub>, XeO<sub>3</sub>, i NH<sub>3</sub> svi dele identične operacije simetrije.<ref>{{cite book|last=Pfennig|first=Brian|title=Principles of Inorganic Chemistry|date=30 March 2015|publisher=Wiley|isbn=978-1-118-85910-0|pages=191}}</ref> Svi oni mogu da se podvrgnu operaciji identiteta ''E'', dve različite ''C''<sub>3</sub> operacije rotacije i tri različite σ<sub>v</sub> refleksije u ravni bez promene njihovog identiteta, tako da su smešteni u jednu grupu tačaka, ''C''<sub>3v</sub>, sa redosledom 6.<ref name=":0"/> Slično, voda (H<sub>2</sub>O) i vodonik sulfid (H<sub>2</sub>S) takođe dele identične operacije simetrije. Oba molekula prolaze kroz operaciju identiteta ''E'', jednu ''C''<sub>2</sub> rotaciju i dve σ<sub>v</sub> refleksije bez promene identiteta, tako da su oba smeštena u jednu tačkastu grupu, ''C''<sub>2v</sub>, sa redosledom 4.<ref>{{cite book|last=Miessler|first=Gary|title=Inorganic Chemistry|year=2004|url=https://archive.org/details/inorganicchemist03edmies|url-access=registration|publisher=Pearson|isbn=9780321811059}}</ref> Ovaj sistem klasifikacije pomaže naučnicima da efikasnije proučavaju molekule, pošto hemijski srodni molekuli u istoj grupi tačaka imaju tendenciju da pokazuju slične sheme vezivanja, dijagrame molekularnog vezivanja i spektroskopska svojstva.<ref name=":0" /> Simetrija grupe tačaka opisuje simetriju molekula kada je fiksiran u svojoj ravnotežnoj konfiguraciji u određenom elektronskom stanju. Ona ne dozvoljava tuneliranje između minimuma niti promenu oblika do kojih može doći usled efekata centrifugalnog izobličenja molekularne rotacije.

=== Zajedničke grupe tačaka ===

Sledeća tabela navodi mnoge [[Point groups in three dimensions|grupe tačaka]] koje se primenjuju na molekule, označene pomoću [[Schoenflies notation|Šoenflajesove notacije]], koja je uobičajena u hemiji i molekularnoj spektroskopiji. Opisi uključuju uobičajene oblike molekula, koji se mogu objasniti [[VSEPR theory|VSEPR modelom]]. U svakom redu, opisi i primeri nemaju veće simetrije, što znači da imenovana grupa tačaka obuhvata ''sve'' simetrije tačaka.

{| class="wikitable sortable" style="text-align:center; float:left; background:#fff; border-style:solid; border-width:2px; border-color:#0095b6; margin:10px; padding:8px;"
! scope=col style="width: 40px;" | Grupa tačaka
! scope=col style="width: 80px;" | Operacije simetrije<ref>{{cite book |last=Miessler |first=Gary L. |title=Inorganic Chemistry |url=https://archive.org/details/inorganicchemist0002mies |edition=2nd |date=1999 |publisher=Prentice-Hall |isbn=0-13-841891-8 |pages=[https://archive.org/details/inorganicchemist0002mies/page/621 621]–630 |quote=Character tables (all except D7h)}}</ref>
! scope=col style="width: 100px;" | Jednostavan opis tipične geometrije
! scope=col style="width: 100px;" | Primer 1
! scope=col style="width: 170px;" |Primer 2
! scope=col style="width: 200px;" |Primer 3
|-
| ''C''<sub>1</sub>
| ''E'' 
| nema simetrije, [[хиралност молекула|hiralan]]
| [[Image:Chiral.svg|x100px]]<br />[[bromochlorofluoromethane|bromohlorofluorometan]] (oba [[enantiomer]]a su prikazana) 
| [[Image:Lysergic_acid.png|x100px]]<br />[[lizerginska kiselina]]
| [[Image:Leucine-ball-and-stick.png|x100px]]<br />[[Leucin|L-leucin]] i većina drugih α-[[аминокиселина|aminokiselina]] izuzev [[glicin]]a
|-
| ''C''<sub>s</sub>
| ''E'' σ<sub>h</sub>
| ravan ogledala
| [[Image:Thionyl-chloride-from-xtal-3D-balls-B.png|x80px]]<br />[[tionil hlorid]]
| [[Image:Hypochlorous-acid-3D-vdW.svg|x80px]]<br />[[Hipohlorasta kiselina]]
| [[Image:Chloroiodomethane-3D-vdW.png|x80px]]<br />[[hlorojodometan]]
|-
| ''C''<sub>i</sub>
| ''E'' ''i''
| inverzioni centar
| [[Image:Tartaric-acid-3D-balls.png|x100px]]<br />[[vinska kiselina|''meso''-vinska kiselina]]
| [[Image:Mucic acid molecule ball.png|x100px]]<br />[[galaktarinska kiselina|mucična kiselina]] (''meso''-galaktarinska kiselina)
| [[File:Dibromodichloroethane.png|thumb|1,2 dibromo 1,2 dihloroetan]]
|-
| ''C''<sub>∞v</sub>
| ''E'' 2''C''<sub>∞</sub><sup>Φ</sup> ∞σ<sub>v</sub>
| linearna
| [[Image:Hydrogen-fluoride-3D-vdW.svg|x80px]]<br />[[fluorovodonik]]<br>(a svi ostali heteronuklearni [[diatomic molecules|diatomski molekuli]])
| [[Image:Nitrous-oxide-3D-vdW.png|x80px]]<br />[[азот-субоксид|azot-suboksid]]<br />(diazot monoksid)
| [[Image:Hydrogen-cyanide-3D-vdW.svg|x80px]]<br />[[cijanovodonična kiselina]]<br />(vodonik cijanid)
|-
| ''D''<sub>∞h</sub>
| ''E'' 2''C''<sub>∞</sub><sup>Φ</sup>  ∞σ<sub>i</sub> ''i''  2''S''<sub>∞</sub><sup>Φ</sup> ∞''C''<sub>2</sub>
| linearna sa inverzionim centrom
| [[Image:Oxygen molecule.png|x80px]]<br />[[кисеоник|oxygen]]<br>(i svi drugi homonuklearni dvoatomski molekuli) 
| [[Image:Carbon dioxide 3D spacefill.png|x80px]]<br />[[угљен-диоксид|ugljen dioksid]]
| [[Image:Acetylene-3D-vdW.png|x80px]]<br />[[ацетилен|acetilen]] (etin) 
|-
| ''C''<sub>2</sub>
| ''E'' ''C''<sub>2</sub>
| „geometrija otvorene knjige”, hiralna
| [[Image:Hydrogen-peroxide-3D-balls.png|x80px]]<br />[[vodonik peroksid - ureja|vodonik peroksid]]
| [[Image:Hydrazine-3D-balls.png|x80px]]<br />[[hidrazin]]
| [[Image:Tetrahydrofuran-3D-balls.png|x80px]]<br />[[nistediv reagens|tetrahidrofuran]] (konformacija uvijanja) 
|-
| ''C''<sub>3</sub>
| ''E'' ''C''<sub>3</sub> ''C''<sub>3</sub>{{sup|2}}
| propeler, hiralna
| [[Image:Triphenylphosphine-3D-vdW.png|x100px]]<br />[[trifenilfosfin]]
| [[Image:Triethylamine-3D-balls.png|x100px]]<br />[[trietilamin]]
| [[Image:Phosphoric-acid-3D-balls.png|x100px]]<br />[[amonijum dihidrogen fosfat|fosforna kiselina]]
|-
| ''C''<sub>2h</sub>
| ''E'' ''C''<sub>2</sub> ''i'' σ<sub>h</sub>
| ravan sa centrom inverzije, bez vertikalne ravni
| [[Image:Trans-1,2-dichloroethene-3D-balls.png|x100px]]<br />[[geometrijski izomerizam|''trans'']]-[[1,2-Dihloroeten|1,2-dihloroetilen]]
| [[Datoteka:(E)-Dinitrogen-difluoride-3D-balls.png|x100px]]<br />[[geometrijski izomerizam|''trans'']]-[[diazo difluorid|diazot difluorid]]
| [[Image:Azobenzene-trans-3D-balls.png|x100px]]<br />[[geometrijski izomerizam|''trans'']]-[[azobenzen]]
|-
| ''C''<sub>2v</sub>
| ''E'' ''C''<sub>2</sub> σ<sub>v</sub>(xz) σ<sub>v</sub>'(yz)
| uglasta (H<sub>2</sub>O) ili testerasta (SF<sub>4</sub>) 
| [[Image:Water molecule 3D.svg|x80px]]<br />[[вода (молекул)|voda]]
| [[Image:Sulfur-tetrafluoride-3D-balls.png|x80px]]<br />[[sumpor tetrafluorid]]
| [[Image:Dichloromethane-3D-vdW.png|x80px]]<br />[[dihlorokarben|dihlorometan]]
|-
| ''C''<sub>3h</sub>
| ''E'' ''C''<sub>3</sub> ''C''<sub>3</sub><sup>2</sup> σ<sub>h</sub> ''S''<sub>3</sub> ''S''<sub>3</sub><sup>5</sup>
| propeler
| [[Image:Boric-acid-3D-vdW.png|x100px]]<br />[[борна киселина|borna kiselina]]
| [[Image:Phloroglucinol-3D.png|x100px]]<br />[[floroglucinol]] (1,3,5-trihidroksibenzen)
|[[File:Benzotrifuroxan.png|thumb|benzotrifuroksan]]
|-
| ''C''<sub>3v</sub>
| ''E'' 2''C''<sub>3</sub> 3σ<sub>v</sub>
| trigonalno piramidalna
| [[Image:Ammonia-3D-balls-A.png|x90px]]<br />[[nedaplatin|amonijak]] (ako se zanemari [[pyramidal inversion|pirimidalna inverzija]])
| [[Image:Phosphoryl-chloride-3D-vdW.png|x90px]]<br />[[fosforil hlorid]]
| [[Image:HCo(CO)4-3D-balls.png|x90px]]<br />[[kobalt tetrakarbonil hidrid]], HCo(CO)<sub>4</sub> 
|-
| ''C''<sub>4v</sub>
| ''E'' 2''C''<sub>4</sub> ''C''<sub>2</sub> 2σ<sub>v</sub> 2σ<sub>d</sub>
| kvadratno piramidalna
| [[Image:Xenon-oxytetrafluoride-3D-vdW.png|x100px]]<br />[[ksenon oksitetrafluorid]]
| [[Image:Pentaborane-3D-balls.png|x100px]]<br />[[pentaboran|pentaboran(9)]], B<sub>5</sub>H<sub>9</sub>
| [[Image:Nitroprusside-anion-from-xtal-3D-balls.png|x100px]]<br />[[metal nitrosyl complex|nitroprusidni anjon]] [Fe(CN)<sub>5</sub>(NO)]<sup>2−</sup>
|-
| ''C''<sub>5</sub>
| ''E'' 2''C''<sub>5</sub> 2''C''<sub>5</sub><sup>2</sup>
| peterostruka rotacijska simetrija
| [[File:PDB 1b09 EBI.jpg|x100px]]<br />[[Ц реактивни протеин|C-reaktivni protein]]
| [[Datoteka:(Fe(Me5-Cp)(P5)).png|thumb|[Fe(Me<sub>5</sub>-Cp)(P<sub>5</sub><nowiki>)]</nowiki>]]
| [[File:Corannulene derivative.png|thumb|koranulenski derivat]]
|-
| ''C''<sub>5v</sub>
| ''E'' 2''C''<sub>5</sub> 2''C''<sub>5</sub><sup>2</sup> 5σ<sub>v</sub> 
| kompleks 'stolice za mužu'
| [[Image:CpNi(NO).png|x100px]]<br />[[Cyclopentadienyl nickel nitrosyl|ciklopentadienil nikal nitrozil]] (CpNiNO)
| [[Image:Corannulene3D.png|x100px]]<br />[[koranulen]]
| [[File:CpNiNO.png|thumb|Pentametilciklopentadienil nikal nitrozil (Cp*NiNO)]]
|-
| ''D''<sub>2</sub>
| ''E'' ''C''<sub>2</sub>(x) ''C''<sub>2</sub>(y) ''C''<sub>2</sub>(z)
| zaokret, hiralna
| [[Image:Biphenyl-3D-vdW.png|x100px]]<br />[[bifenil]] (iskrivljena konformacija) 
| [[Image:Twistane-3D-balls.png|x100px]]<br />[[tvistan]] (C<sub>10</sub>H<sub>16</sub>)
| [[Datoteka:(δ,δ)-trans-(Co(en)2Cl2)+.png|thumb|(δ,δ)-''trans''-[Co(en)<sub>2</sub>Cl<sub>2</sub><nowiki>]</nowiki><sup>+</sup>]]
|-
| ''D''<sub>3</sub>
| ''E'' ''C''<sub>3</sub>(z) 3''C''<sub>2</sub>
| trostruki heliks, hiralna
| [[Image:Lambda-Tris(ethylenediamine)cobalt(III)-chloride-3D-balls-by-AHRLS-2012.png|x100px]]<br />[[tris(ethylenediamine)cobalt(III) chloride|Tris(etilendiamin)kobalt(III) katjon]]
| [[Image:Delta-tris(oxalato)ferrate(III)-3D-balls.png|x100px]]<br />[[potassium ferrioxalate|tris(oksalat)gvožđe(III) anjon]]
|[[File:Tris(en)cobalt(III).png|thumb|tris(en)kobalt(III)]]
|-
| ''D''<sub>2h</sub>
| ''E'' ''C''<sub>2</sub>(z) ''C''<sub>2</sub>(y) ''C''<sub>2</sub>(x) ''i'' σ(xy) σ(xz) σ(yz)
| planarna sa centrom inverzije, vertikalna ravan
| [[Image:Ethylene-3D-vdW.png|x80px]]<br />[[ciklični olefinski kopolimer|etilen]]
| [[Image:Pyrazine-3D-spacefill.png|x80px]]<br />[[pirazin]]
| [[Image:Diborane-3D-balls-A.png|x80px]]<br />[[diboran]]
|-
| ''D''<sub>3h</sub>
| ''E'' 2''C''<sub>3</sub> 3''C''<sub>2</sub> σ<sub>h</sub> 2''S''<sub>3</sub> 3σ<sub>v</sub>
| trigonalno planarna ili trigonalno bipiramidalna
| [[Image:Boron-trifluoride-3D-vdW.png|x80px]]<br />[[bor trifluorid]]
| [[Image:Phosphorus-pentachloride-3D-balls.png|x90px]]<br />[[fosfor pentahlorid]]
| [[Image:Cyclopropane-3D-vdW.png|x90px]]<br />[[ciklopropan]]
|-
| ''D''<sub>4h</sub>
| ''E'' 2''C''<sub>4</sub> ''C''<sub>2</sub> 2''C''<sub>2</sub>' 2''C''<sub>2</sub>" ''i''  2''S''<sub>4</sub> σ<sub>h</sub> 2σ<sub>v</sub> 2σ<sub>d</sub>
| kvadratno planarna
| [[Image:Xenon-tetrafluoride-3D-vdW.png|x80px]]<br />[[ксенон-тетрафлуорид|ksenon tetrafluorid]] 
| [[Image:Octachlorodirhenate(III)-3D-balls.png|x90px]]<br />[[potassium octachlorodimolybdate|oktahlorodimolibdat(II) anjon]]
| [[Image:Trans-dichlorotetraamminecobalt(III).png|x90px]]<br />''Trans''-[Co<sup>III</sup>(NH<sub>3</sub>)<sub>4</sub>Cl<sub>2</sub>]<sup>+</sup> (isključujući H atome)

|-
| ''D''<sub>5h</sub>
| ''E'' 2''C''<sub>5</sub> 2''C''<sub>5</sub><sup>2</sup> 5''C''<sub>2</sub> σ<sub>h</sub> 2''S''<sub>5</sub> 2''S''<sub>5</sub><sup>3</sup> 5σ<sub>v</sub>
| pentagonalna
| [[Image:Cyclopentadienide-3D-balls.png|x100px]]<br />[[ciklopentadienilni anjon]] 
| [[Image:Ruthenocene-from-xtal-3D-SF.png|x100px]]<br />[[rutenocen]]
| [[Image:Fullerene-C70-3D-balls.png|x100px]]<br />[[c70 fuleren|''C''<sub>70</sub>]]
|-
| ''D''<sub>6h</sub>  
| ''E'' 2''C''<sub>6</sub> 2''C''<sub>3</sub> ''C''<sub>2</sub> 3''C''<sub>2</sub>' 3''C''<sub>2</sub>‘’ ''i'' 2''S''<sub>3</sub> 2''S''<sub>6</sub> σ<sub>h</sub> 3σ<sub>d</sub> 3σ<sub>v</sub>
| heksagonalna
| [[Image:Benzene-3D-vdW.png|x100px]]<br />[[benzen]]
| [[Image:Bis(benzene)chromium-from-xtal-2006-3D-balls-A.png|x100px]]<br />[[bis(benzene)chromium|bis(benzen)hrom]]
| [[Image:Coronene3D.png|x100px]]<br />[[koronen]] (''C''<sub>24</sub>H<sub>12</sub>)
|-
| ''D''<sub>7h</sub> 
| ''E'' ''C''<sub>7</sub> ''S''<sub>7</sub> 7''C''<sub>2</sub> σ<sub>h</sub> 7σ<sub>v</sub>
| heptagonalna
| [[Image:Tropylium-ion-3D-vdW.png|x100px]]<br />[[tropylium|tropilijum]] (''C''<sub>7</sub>H<sub>7</sub><sup>+</sup>) katjon 
| [[File:B7Be2+.png|thumb]]
| 
|-
| ''D''<sub>8h</sub> 
| ''E'' ''C''<sub>8</sub> ''C''<sub>4</sub> ''C''<sub>2</sub> ''S''<sub>8</sub> ''i'' 8''C''<sub>2</sub> σ<sub>h</sub> 4σ<sub>v</sub> 4σ<sub>d</sub> 
| oktagonalna
| [[Image:Cyclooctatetraenide-3D-ball.png|x100px]]<br />[[ciklooktatetraen]]id (''C''<sub>8</sub>H<sub>8</sub><sup>2−</sup>) anion  
| [[Image:Uranocene-3D-vdW.png|x100px]]<br />[[uranocen]] 
| [[File:Bis(cot)thorium(IV).png|thumb|bis(kot)torijum(IV)]]
|-
| ''D''<sub>2d</sub> 
| ''E'' 2''S''<sub>4</sub> ''C''<sub>2</sub> 2''C''<sub>2</sub>' 2σ<sub>d</sub>
| 90° zaokret
| [[Image:Allene3D.png|x100px]]<br />[[Alen (hemija)|alen]]
| [[Image:Tetrasulfur-tetranitride-from-xtal-2000-3D-balls.png|x100px]]<br />[[tetrasumpor tetranitrid]]
| [[Image:Diborane(4) excited state.svg|x100px]]<br />[[diboran(4)]] (pobuđeno stanje)
|-
| ''D''<sub>3d</sub>
| ''E'' 2''C''<sub>3</sub> 3''C''<sub>2</sub> ''i'' 2''S''<sub>6</sub> 3σ<sub>d</sub>
| 60° zaokret
| [[Image:Ethane-3D-vdW.png|x100px]]<br />[[etan]] (anti [[konformacioni izomerizam|rotamer]])
| [[Image:Dicobalt-octacarbonyl-D3d-non-bridged-from-C60-xtal-2009-3D-balls.png|x100px]]<br />[[dikobalt oktakarbonil]] (nepremošteni [[Изомер (хемијски)|izomer]]) 
| [[Image:Cyclohexane-chair-3D-sticks.png|x100px]]<br />[[cikloheksanska konformacija|cikloheksanska konformacija stolice]]
|-
| ''D''<sub>4d</sub>
| ''E'' 2''S''<sub>8</sub> 2''C''<sub>4</sub> 2''S''<sub>8</sub><sup>3</sup> ''C''<sub>2</sub> 4''C''<sub>2</sub>' 4σ<sub>d</sub>
| 45° zaokret
| [[Image:Cyclooctasulfur-above-3D-balls.png|x100px]]<br />[[alotropske modifikacije sumpora|sumpor]] (konformacija krune ''S''<sub>8</sub>)
| [[Image:Dimanganese-decacarbonyl-3D-balls.png|x100px]]<br />[[dimangan dekakarbonil]] (anti rotamer)
| [[Image:Square-antiprismatic-3D-balls.png|x100px]]<br />[[Nitrosonium octafluoroxenate(VI)|oktafluoroksenatni jon]] (idealizovana geometrija)
|-
| ''D''<sub>5d</sub>
| ''E'' 2''C''<sub>5</sub> 2''C''<sub>5</sub><sup>2</sup> 5''C''<sub>2</sub> ''i'' 2''S''<sub>10</sub><sup>3</sup> 2''S''<sub>10</sub> 5σ<sub>d</sub>
| 36° zaokret
| [[File:Ferrocene sandwich.png|112x112px]]<br />[[ferocen]] (anti rotamer)
| [[File:Ferrocene (stag).png|thumb|Rutenocen]]
| [[File:Fulleride ion.png|thumb|fuleridni jon]]
|-
| ''S''<sub>4</sub>
| ''E'' 2''S''<sub>4</sub> ''C''<sub>2</sub> 
| 
| [[File:S4-tetrafluorospiropentane-3D-bs-17.png|x100px]]<br />[[Spiropentan|1,2,3,4-tetrafluorospiropentan]] ([[мезо облик|mezo izomer]])<ref>{{Housecroft3rd|pages=111-112}}</ref>
| [[File:Tetramethyl-cot.png|thumb|tetrametil-kot]]
| [[File:Bis(dth)copper(I).png|thumb|bis(dth)bakar(I)]]
|-
| ''T''<sub>d</sub>
| ''E'' 8''C''<sub>3</sub> 3''C''<sub>2</sub> 6''S''<sub>4</sub> 6σ<sub>d</sub>
| [[тетраедар|tetraedralna]]
| [[Image:Methane-CRC-MW-3D-balls.png|x100px]]<br />[[metan]]
| [[Image:Phosphorus-pentoxide-3D-balls.png|x100px]]<br />[[Фосфор(V)-оксид|fosfor pentoksid]]
| [[Image:Adamantane-3D-balls.png|x100px]]<br />[[adamantan]]
|-
|'' T''<sub>h</sub>
| ''E'' 4''C''<sub>3</sub> 4''C''<sub>3</sub><sup>2</sup> ''i'' 3''C''<sub>2</sub> 4''S''<sub>6</sub> 4''S''<sub>6</sub><sup>5</sup> 3σ<sub>h</sub>
| [[Додекаедар|piritoedarska]]
| [[Datoteka:(Fe(C5H5N)6)2+.png|thumb|[Fe(C<sub>5</sub>H<sub>5</sub>N)<sub>6</sub><nowiki>]</nowiki><sup>2+</sup>]]
| [[Datoteka:(Th(NO3)6)2-.png|thumb|[Th(NO<sub>3</sub>)<sub>6</sub><nowiki>]</nowiki><sup>2-</sup>]]
| [[File:Fe complex.png|thumb|Fe(H2O)6]]
|-
| ''O''<sub>h</sub>
| ''E'' 8''C''<sub>3</sub> 6''C''<sub>2</sub> 6''C''<sub>4</sub> 3''C''<sub>2</sub> ''i'' 6''S''<sub>4</sub> 8''S''<sub>6</sub> 3σ<sub>h</sub> 6σ<sub>d</sub>
| [[октаедар|oktaedarska]] ili [[коцка|kubna]]
| [[Image:Sulfur-hexafluoride-3D-balls.png|x100px]]<br />[[sumpor heksafluorid]]
| [[Image:Molybdenum-hexacarbonyl-from-xtal-3D-balls.png|x100px]]<br />[[molibden heksakarbonil]]
| [[Image:Cubane-3D-balls.png|x100px]]<br />[[kuban]]
|-
| ''I''
| ''E'' 12''C''<sub>5</sub> 12''C''<sub>5</sub><sup>2</sup> 20''C''<sub>3</sub> 15''C''<sub>2</sub>
| hiralna [[икосаедар|ikosaedarska]] ili [[додекаедар|dodekaedrska]]
| [[File:Rhinovirus isosurface.png|x100px]]<br />[[Rhinovirus|rinovirus]]
| [[File:Snub dodecahedron.png|thumb|dodekaedar]]
| [[File:Polio virus.png|thumb|ljudski polio virus]]
|-
| ''I''<sub>h</sub>
| ''E'' 12''C''<sub>5</sub> 12''C''<sub>5</sub><sup>2</sup> 20''C''<sub>3</sub> 15''C''<sub>2</sub> ''i'' 12''S''<sub>10</sub> 12''S''<sub>10</sub><sup>3</sup> 20''S''<sub>6</sub> 15σ
| [[икосаедар|ikosaedarska]] ili [[додекаедар|dodekaedarska]]
| [[Image:Buckminsterfullerene-perspective-3D-balls.png|x100px]]<br />[[bukminsterfuleren]]
| [[Image:Dodecaborate(12)-dianion-from-xtal-3D-bs-17.png|x100px]]<br />[[Caesium dodecaborate|dodekaboratni anjon]]
| [[Image:Dodecahedrane-3D-sticks.png|x100px]]<br />[[dodekahedran|dodekaedran]]
|- <!--
| colspan=4 align=left style="background: #ccccff;" | ''Table 1. Point groups''
|- -->
|}
{{-}}
=== Reprezentacije ===

Skup [[матрица (математика)|matrica]] koje se množe zajedno na način koji oponaša tabelu množenja elemenata grupe naziva se [[reprezentacija grupa|reprezentacija]] grupe. Na primer, za ''C''<sub>2v</sub> grupu tačaka, sledeće tri matrice su deo reprezentacije grupe:

:<math>
 \underbrace{
    \begin{bmatrix}
     -1 &  0 & 0 \\
      0 & -1 & 0 \\
    0 &  0 & 1 \\
      \end{bmatrix}
   }_{C_{2}} \times
 \underbrace{
  \begin{bmatrix}
    1 &  0 & 0 \\
    0 & -1 & 0 \\
    0 &  0 & 1 \\
  \end{bmatrix}
 }_{\sigma_\text{v}} = 
 \underbrace{
  \begin{bmatrix}
   -1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
  \end{bmatrix}
 }_{\sigma'_\text{v}}
</math>

Iako postoji beskonačan broj takvih reprezentacija, [[иредуцибилна репрезентација|nesvodljive reprezentacije]] (ili „irreps”) grupe su sve što je potrebno, jer se sve druge reprezentacije grupa mogu opisati kao linearna kombinacija nesvodljivih reprezentacija. Takođe, nesvodljive reprezentacije su one matrične reprezentacije u kojima su matrice u svom najdijagonalnijem mogućem obliku.

[[Датотека:Tranformation matrices.sr.svg|thumb|548x548px|Operacije simetrije matrice transformacije|none]]

== Tabele znakova ==

{{Main-lat|Spisak tabela znakova za hemijski važne grupe 3D tačaka}}

Za bilo koju grupu, njena ''tabela oznaka'' daje tabelarni prikaz (za klase grupe) znakova (zbir dijagonalnih elemenata) matrice svih nesvodljivih reprezentacija grupe. Kako je broj nesvodljivih reprezentacija jednak broju klasa, tabela znakova je kvadratna.

Reprezentacije su označene u skladu sa setom konvencija:

* A, kada je rotacija oko glavne ose simetrična
* B, kada je rotacija oko glavne ose asimetrična
* E i T su dvostruko i trostruko degenerisane reprezentacije, respektivno
* kada grupa tačaka ima centar inverzije, indeks g ({{lang-de|gerade}} ili ujednačen) signalizira da nema promene u predznaku, a indeks u (''ungerade'' ili neujednačen) promenu predznaka, u odnosu na inverziju.
* kod grupa tačaka ''C''<sub>∞v</sub> i ''D''<sub>∞h</sub> simboli su pozajmljeni iz opisa [[момент импулса|ugaonog momenta]]: [[Сигма (слово)|Σ]], [[Pi (slovo)|Π]], [[Delta (slovo)|Δ]].

Tabele takođe obuhvataju informacije o tome kako se kartezijanski bazni vektori, rotacije oko njih i njihove kvadratne funkcije transformišu operacijama simetrije grupe, primećujući koja se nesvodljiva reprezentacija transformiše na isti način. Ove indikacije su konvencionalno na desnoj strani tabele. Ova informacija je korisna, jer hemijski važne orbitale (posebno ''p'' i ''d'' orbitale) imaju iste simetrije kao ovi entiteti.

Tabela karaktera za grupu tačaka simetrije ''C''<sub>2v</sub> je data u nastavku:

{| class="wikitable" 
 ! ''C''<sub>2v</sub> || ''E'' || ''C''<sub>2</sub> || σ<sub>v</sub>(xz) || σ<sub>v</sub>'(yz) || || 
 |-
 | A<sub>1</sub> || 1 || 1 || 1 || 1 || ''z'' 
 | ''x''<sup>2</sup>, ''y''<sup>2</sup>, ''z''<sup>2</sup>
 |-
 | A<sub>2</sub> || 1 || 1 || &minus;1 || &minus;1 || R<sub>z</sub> || ''xy''
 |-
 | B<sub>1</sub> || 1 || &minus;1 || 1 || &minus;1 || ''x'', R<sub>y</sub> || ''xz''
 |-
 | B<sub>2</sub> || 1 || &minus;1 || &minus;1 || 1 || ''y'', R<sub>x</sub> || ''yz''
|}

Razmotrite primer vode (H<sub>2</sub>O), koja ima ''C''<sub>2v</sub> simetriju opisanu iznad. [[Атомска орбитала|Orbitala]] kiseonika od 2''p''<sub>x</sub> ima B<sub>1</sub> simetriju kao u četvrtom redu tabele znakova iznad, sa x u šestoj koloni). Ona je orijentisana normalno na ravan molekula i menja znak sa ''C''<sub>2</sub> i σ<sub>v</sub>'(yz) operacijom, ali ostaje nepromenjena sa druge dve operacije (očigledno, karakter za operaciju identiteta je uvek +1). Skup znakova ove orbitale je stoga {1, &minus;1, 1, &minus;1}, što odgovara B<sub>1</sub> nesvodljivoj reprezentaciji. Isto tako, vidi se da 2''p''<sub>z</sub> orbitala ima simetriju A<sub>1</sub nesvodljive reprezentacije (tj.: nijedna od operacija simetrije je ne menja), 2''p''<sub>y</sub> B<sub>2</sub> i 3''d''<sub>xy</sub> orbitala A<sub>2</sub>. Ove i druge naznake su zabeleženi u dve krajnje desne kolone tabele.

[[File:Character table properties sr.svg|thumb|573x573px|Svojstva tabele znakova|none]]

== Istorijska pozadina ==

[[Ханс Бете|Hans Bete]] je koristio oznake operacija tačkastih grupa u svojoj studiji [[teorija ligandnog polja|teorije polja liganda]] 1929. godine, a [[Јуџин Вигнер|Judžin Vigner]] je koristio teoriju grupa da objasni pravila selekcije [[atomic spectroscopy|atomske spektroskopije]].<ref>''Group Theory and its application to the quantum mechanics of atomic spectra'', E. P. Wigner, Academic Press Inc. (1959)</ref> Prve tabele karaktera sastavio je [[László Tisza|Laslo Tisa]] (1933), u vezi sa vibracionim spektrima. [[Роберт С. Маликен|Robert Maliken]] je prvi objavio tabele karaktera na engleskom (1933), a [[E. Bright Wilson|E. Brajt Vilson]] ih je koristio 1934. da predvidi simetriju vibracionih [[normalni mod|normalnih modova]].<ref>''Correcting Two Long-Standing Errors in Point Group Symmetry Character Tables'' Randall B. Shirts [[J. Chem. Educ.]] 2007, 84, 1882. [https://jchemed.chem.wisc.edu/Journal/Issues/2007/Nov/abs1882.html Abstract] {{Wayback|url=https://jchemed.chem.wisc.edu/Journal/Issues/2007/Nov/abs1882.html |date=20090831100003 }}</ref> Kompletan set od 32 grupe kristalografskih tačaka objavili su 1936. Rozental i Marfi.<ref>{{cite journal | last= Rosenthal | first= Jenny E. | last2 = Murphy | first2 = G. M. | year = 1936 | title = Group Theory and the Vibrations of Polyatomic Molecules | journal = Rev. Mod. Phys. | volume = 8 | issue = 4 | pages = 317–346 | doi = 10.1103/RevModPhys.8.317 | bibcode=1936RvMP....8..317R}}</ref>

== Molekularna rotacija i molekularna nekrutost ==
{{See also-lat|Fluksioni molekul}}

Kao što je gore objašnjeno u odeljku [[#Grupe tačaka i grupe permutacije-inverzije|''Grupe tačaka i grupe permutacije-inverzije'']], grupe tačaka su korisne za klasifikaciju vibracionih i elektronskih stanja ''krutih'' molekula (ponekad se nazivaju ''polukruti'' molekuli) koji prolaze samo kroz male oscilacije oko jedne ravnotežne geometrije. Longvet-Higins je uveo opštiji tip grupe simetrije<ref name=Longuet-Higgins1963/> pogodan ne samo za klasifikaciju vibracionih i elektronskih stanja krutih molekula već i za klasifikaciju njihovih rotacionih i nuklearnih spinskih stanja. Dalje, takve grupe se mogu koristiti za klasifikaciju stanja ''nekrutih'' (ili ''fluksionih'') molekula koji tuneliraju između ekvivalentnih geometrija (koje se nazivaju ''verzije''<ref>{{cite journal | last = Bone | first = R.G.A.|display-authors=etal| year = 1991 | title =Transition states from molecular symmetry groups:Analysis of non-rigid acetylene trimer| url = https://archive.org/details/sim_molecular-physics_1991-01_72_1/page/33 | journal = Molecular Physics | volume = 72 | issue = 1 | pages = 33–73 | doi = 10.1080/00268979100100021| bibcode = 1991MolPh..72...33B}}</ref>) i da bi se omogućili efekti izobličenja molekularne rotacije. Ove grupe su poznate kao ''permutaciono-inverzione'' grupe, jer su operacije simetrije u njima energetski izvodljive permutacije identičnih jezgara, ili inverzija u odnosu na centar mase (operacija [[parity (physics)|parnosti]]), ili kombinacija ova dva.

Na primer, [[etan]] (C<sub>2</sub>H<sub>6</sub>) ima tri ekvivalentne [[Stepeničasta konformacija|stepeničaste konformacije]]. Tuneliranje između konformacija se dešava na uobičajenim temperaturama unutrašnjom [[metil grupa|rotacijom]] jedne metil grupe u odnosu na drugu. Ovo nije rotacija celog molekula oko ose ''C''<sub>3</sub>. Iako svaka konformacija ima ''D''<sub>3d</sub> simetriju, kao u gornjoj tabeli, opis unutrašnje rotacije i povezanih kvantnih stanja i nivoa energije zahteva potpuniju permutaciono-inverzionu grupu ''G''<sub>36</sub>.<ref>{{cite journal | author=P. R. Bunker | year=1964 | title=The Rotation-Torsion Wavefunctions of Molecules that have two Identical Rotors | journal=Mol. Phys. | volume=8 | page=81 | doi = 10.1080/00268976400100091}}</ref>

Slično, [[amonijak]] (NH<sub>3</sub>) ima dve ekvivalentne piramidalne (''C''<sub>3v</sub>) konformacije koje se međusobno konvertuju procesom poznatim kao [[nitrogen inversion|azotna inverzija]]. Ovo nije operacija inverzije grupe tačaka '''''i''''' koja se koristi za centrosimetrične krute molekule (tj. inverzija vibracionih pomeranja i elektronskih koordinata u nuklearnom centru mase) pošto NH<sub>3</sub> nema centar inverzije i nije centrosimetričan. Umesto toga, to je inverzija nuklearnih i elektronskih koordinata u molekularnom centru mase (ponekad se naziva operacija parnosti), što je energetski izvodljivo za ovaj molekul. Odgovarajuća permutaciono-inverziona grupa koja se koristi u ovoj situaciji je ''D''<sub>3h</sub>(M)<ref>P.R. Bunker 'Practically Everything you Ought to know about the Molecular Symmetry Group' in, ‘Vibrational Spectra and Structure, Vol. III’, ed. James R. Durig, Marcel Dekker. {{page|year=1975|isbn=0824711491|pages=}}</ref> koja je izomorfna sa grupom tačaka ''D''<sub>3h</sub>.

Pored toga, kao primeri, molekuli [[metan]]a (CH<sub>4</sub>) i H<sub>3</sub><sup>+</sup> imaju visoko simetrične ravnotežne strukture sa simetrijama ''T''<sub>d</sub> i ''D''<sub>3h</sub> tačka, respektivno; nedostaju im trajni električni dipolni momenti, ali imaju veoma slab spektar čiste rotacije zbog rotacionog centrifugalnog izobličenja.<ref>{{cite journal | last= Watson | first= J.K.G | year = 1971 | title = Forbidden rotational spectra of polyatomic molecules | journal = Journal of Molecular Spectroscopy | volume = 40 | issue = 3| pages = 546–544 | doi = 10.1016/0022-2852(71)90255-4 | bibcode = 1971JMoSp..40..536W }}</ref><ref>{{cite journal | last = Oldani | first = M.|display-authors=etal | year = 1985 | title =Pure rotational spectra of methane and methane-d4 in the vibrational ground state observed by microwave Fourier transform spectroscopy| journal = Journal of Molecular Spectroscopy | volume = 110 | issue = 1| pages = 93–105 | doi = 10.1016/0022-2852(85)90215-2 | bibcode = 1985JMoSp.110...93O}}</ref> Permutaciono-inverzione grupe potrebne za kompletno proučavanje CH<sub>4</sub> i H<sub>3</sub><sup>+</sup> ''T''<sub>d</sub>(M)<ref>{{cite journal |author=P. R. Bunker |last2=Jensen|first2=Per| title=Spherical top molecules and the molecular symmetry group | journal=Mol. Phys. |volume=97 |page=255 |year=1999 |issue=1–2 |doi=10.1080/00268979909482827|bibcode=1999MolPh..97..255B }}</ref> i ''D''<sub>3h</sub>(M), respektivno. 

U svom osnovnom (N) elektronskom stanju, molekul etilena C<sub>2</sub>H<sub>4</sub> ima simetriju ''D''<sub>2h</sub> tačkaste grupe, dok u pobuđenom (V) stanju ima ''D''<sub>2d</sub> simetriju. Za tretiranje ova dva stanja zajedno potrebno je dozvoliti torziju i koristiti [[double group|dvostruku grupu]] permutaciono-inverzione grupe ''G''<sub>16</sub>.<ref>{{cite journal | last = Watson | first = J.K.G. |display-authors=etal |title=Theory of odd torsional transitions in the V−N resonance Raman spectrum of ethylene |journal = J Chem Phys |volume = 105 |page = 1348| year = 1996| issue = 4 |doi = 10.1063/1.472001| bibcode = 1996JChPh.105.1348W |doi-access = free }}</ref>

Drugi i manje opšt pristup simetriji nečvrstih molekula je Altmanov doprinos.<ref>Altmann S.L. (1977) ''Induced Representations in Crystals and Molecules'', Academic Press</ref><ref name=Flurry>Flurry, R.L. (1980) ''Symmetry Groups'', Prentice-Hall, {{ISBN|0-13-880013-8}}, pp. 115-127</ref> U ovom pristupu grupe simetrije su poznate kao ''Šredingerove supergrupe'' i sastoje se od dva tipa operacija (i njihovih kombinacija): (1) operacije geometrijske simetrije (rotacije, refleksije, inverzije) krutih molekula i (2) ''izodinamičke operacije'', koje prevode nečvrsti molekul u energetski ekvivalentan oblik fizički razumnim procesom kao što je rotacija oko jedne veze (kao u etanu) ili molekularna inverzija (kao u amonijaku).<ref name=Flurry/>

== Vidi još ==
* {{slink|Paritet (fizika)|Molekuli}}
* {{slink|Ireducibilna reprezentacija|Primene u teorijskoj fizici i hemiji}}
* {{slink|Vudvard-Hofmanova pravila|Korelacioni dijagrami}}
* {{slink|Haptičnost|Haptičnost i promenljivost}}
* [[Tabela znakova]]
* [[Crystallographic point group|Grupa kristalografskih tačaka]]
* [[Point groups in three dimensions|Grupe tačaka u tri dimenzije]]
* [[Symmetry of diatomic molecules|Simetrija dvoatomskih molekula]]
* [[Symmetry in quantum mechanics|Simetrija u kvantnoj mehanici]]

== Reference ==
{{reflist|}}

== Literatura ==
{{Литература|30em}}
* {{Cite book | ref=harv|title=Group theory for the standard model and beyond |publisher=Taylor & Francis |first=K.J. |last=Barnes |isbn=978-142-007-874-9 |year=2010 |series=Series in high energy physics, cosmology, and gravitation |url=https://books.google.com/books?id=OG6BJAAACAAJ&q=Group+theory+for+the+standard+model+and+beyond}}
* {{Cite book | ref=harv|title=Symmetry in quantum mechanics: From angular momentum to supersymmetry |publisher=Institute of physics (Bristol and Philadelphia) |first=M. |last=Chaichian |first2=R. |last2=Hagedorn |isbn=0-7503-0408-1 |year=1998 |series=Graduate student series in physics}}
* {{Cite book | ref=harv|first=Brian C. |last=Hall |title=Quantum Theory for Mathematicians |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=267 |publisher=Springer |year=2013 |isbn=978-1-4614-7115-8 |doi=10.1007/978-1-4614-7116-5 |bibcode=2013qtm..book.....H |s2cid=117837329}}
* {{Cite book | ref=harv|first=Brian C. |last=Hall |title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=222 |publisher=Springer |year=2015 |isbn=978-3-319-13466-6 |doi=10.1007/978-3-319-13467-3}}
* {{Cite book | ref=harv|title=Symmetries and Conservation Laws in Particle Physics: An Introduction to Group Theory for Particle Physicists |publisher=World Scientific |year=2011 |isbn=978-184-816-703-2 |first=S. |last=Haywood |url={{GBurl |AyWcQ-9jdeUC |pg=PA131}}}}
* {{Cite book | ref=harv|title=Symmetry in molecules and crystals |publisher=Ellis Horwood series in physical chemistry |first=M.F.C. |last=Ladd |isbn=0-85312-255-5 |year=1989 |series=Solid state science |url=https://books.google.com/books?id=cgfwAAAAMAAJ}}
* {{Cite book | ref=harv|title=Symmetries in physics |publisher=Springer |first=W. |last=Ludwig |first2=C. |last2=Falter |isbn=3-540-60284-4 |edition=2nd |year=1996 |series=Solid state science}}
* {{Cite book | ref=harv|first=B.R. |last=Martin |first2=G. |last2=Shaw |title=Particle Physics |date=2013 |edition=3rd |series=Manchester Physics Series |publisher=Wiley |isbn=978-0-470-03294-7 |url={{GBurl|7tsVcsm84rEC|pg=PT6|pages=3 }}}}
* {{Cite book | ref=harv|title=Quantum Field Theory | url=https://archive.org/details/quantumfieldtheo0000mcma|first=D. |last=McMahon |publisher=McGraw Hill |year=2008 |isbn=978-0-07-154382-8}}
* {{Cite book | ref=harv|first=V. |last=Moretti |title=Spectral Theory and Quantum Mechanics; Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation |series=Unitext |edition=2nd |publisher=Springer |year=2017 |volume=110 |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-70706-8 |isbn=978-3-319-70705-1 |doi=10.1007/978-3-319-70706-8 |bibcode=2017stqm.book.....M |s2cid=125121522}}
* {{cite web |first=R.D. |last=Reece |date=2006 |title=A Derivation of the Quantum Mechanical Momentum Operator in the Position Representation |url=https://philpapers.org/rec/REEADO-4}}
* {{cite web |url=http://physics.uoregon.edu/~soper/QuantumMechanics/momentum.pdf |first=D.E. |last=Soper |date=2011 |title=Position and momentum in quantum mechanics}}
* {{cite web |url=http://www.hep.caltech.edu/~fcp/math/groupTheory/Lie.pdf |first=F. |last=Porter |date=2009 |title=Lie Groups and Lie Algebras |access-date=2013-06-05 |archive-date=2017-03-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170329071231/http://www.hep.caltech.edu/~fcp/math/groupTheory/Lie.pdf |url-status=dead }}
* {{cite web |url=http://www.nat.vu.nl/~mulders/QFT-0.pdf |first=P.J. |last=Mulders |date=November 2011 |id=6.04 |title=Quantum field theory |publisher=Department of Theoretical Physics, VU University}}
* {{cite arXiv |eprint=math-ph/0005032 |first=B.C. |last=Hall |date=2000 |title=An Elementary Introduction to Groups and Representations}}
* Quantum Mechanics, Third Edition: Non-Relativistic Theory (Volume 3)by L. D. Landau, L. M. Lifshitz; {{ISBN|978-0750635394}} Edition: 3rd; chapters: XI and XII. 
* Physics of Atoms & Molecules by B.H. Bransden, C.J. Joachain; {{ISBN|978-8177582796}} Edition: 2nd edition; chapter: 9 
* Molecular Spectra and Molecular Structure: Spectra of Diatomic Molecules by Gerhard Herzberg; {{ISBN|978-0894642685}} Edition: 2nd 
* Molecular Quantum Mechanics by Peter W. Atkins, Ronald S. Friedman; {{ISBN|978-0199541423}} Edition: 5th; chapter: 10. 
* Lecture notes on Quantum Mechanics (handouts: [http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand12.pdf 12], [http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand10.pdf 10]) by Prof. Sourendu Gupta, Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai. 
* Symmetry in Physics: Principles and Simple Applications Volume 1 by James Philip Elliott, P.G. Dawber; {{ISBN|978-0195204551}} 
* A Modern Approach to Quantum Mechanics by John S. Townsend;  Edition 2nd; {{ISBN|978-1891389788}} 
* {{Cite book | ref=harv|title=Introduction to High Energy Physics |last=Perkins |first= Donald H. |year= 2000 |isbn= 9780521621960 }}
* {{Cite book | ref=harv|last=Sozzi |first=M. S. |year=2008 |title=Discrete symmetries and CP violation |publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=978-0-19-929666-8 }}
* {{Cite book | ref=harv|last=Bigi |first=I. I. |last2=Sanda |first2=A. I. |year=2000 |title=CP Violation | url=https://archive.org/details/cpviolation0000bigi|series=Cambridge Monographs on Particle Physics, Nuclear Physics and Cosmology |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=0-521-44349-0 }}
* {{Cite book | ref=harv|last=Weinberg |first=S. |year=1995 |title=The Quantum Theory of Fields | url=https://archive.org/details/quantumtheoryoff0003wein|publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=0-521-67053-5}}
* {{Citation | author-link = Harold Scott MacDonald Coxeter | last = Coxeter | first = H. S. M. | title = Regular Complex Polytopes | publisher = Cambridge University Press | year = 1974 | chapter = 7 The Binary Polyhedral Groups | pages = [https://books.google.com/books?id=9BY9AAAAIAAJ&pg=PA73 73–82] }}.
* {{Cite book | ref=harv|author=Coxeter, H. S. M.  |author2=Moser, W. O. J. | title=Generators and Relations for Discrete Groups, 4th edition | location=New York | publisher=Springer-Verlag | year=1980 | isbn=0-387-09212-9}} 6.5 The binary polyhedral groups, p.&nbsp;68
* {{Citation | last=Conway | first=John Horton | author1-link=John Horton Conway | last2=Huson | first2=Daniel H. | title= The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups   | publisher=Springer Netherlands | doi=10.1023/A:1015851621002 | year=2002 | journal=Structural Chemistry | volume=13 | issue=3 | pages=247–257| s2cid=33947139 }}
{{Литература крај}}

== Spoljašnje veze ==

* [https://www.staff.ncl.ac.uk/j.p.goss/symmetry/ Grupna simetrija tačaka] na Univerzitetu Njukasl
* [https://www.ch.ic.ac.uk/local/symmetry/ Molekularna simetrija] na Imperijalnom koledžu London
* [https://www.webqc.org/symmetry.php Tabele simetrije grupe molekulskih tačaka]
* [https://gernot-katzers-spice-pages.com/character_tables/index.html {{Wayback|url=https://gernot-katzers-spice-pages.com/character_tables/index.html |date=20230328010349 }} Tabele znakova za grupe tačaka za hemiju]
* [https://telem.openu.ac.il/symmetry Molekularna simetrija onlajn] na Otvorenom univerzitetu Izraela
* [https://www.ptc.uni-wuppertal.de/de/trashcan/team/dozenten/prof-per-jensen-phd/fundamentals-of-molecular-symmetry/ Internet kurs predavanja o molekularnoj simetriji na Bergiše univerzitetu]
* [https://www.ccdc.cam.ac.uk/Community/educationalresources/database-of-educational-crystallographic-online-resources/resources-by-topic/symmetry/  DECOR – Simmetrija] @ Kembridž kristalografski centar podataka
* [https://chemphys.ca/pbunker/PointGroupstoPIGroups.pdf Detalji odnosa između grupa tačaka i grupa permutacije-inverzije], [[Philip Bunker|Filip Bunker]]

{{Authority control-lat}}

[[Категорија:Симетрија]]
[[Категорија:Теоретска хемија]]