Изворни код странице Krutost

[[File:Stiffness of a coil spring.png|thumb|right|250px|Produžetak opruge, ''δ'', uzrokovan aksijalnom silom, -{''F''}-]]

'''Krutost''' se može definisati kao otpornost na [[Deformacija|deformaciju]], i matematički se definiše kao odnos [[Sila|sile]] <math>\mathbf{}F</math> koja uzrokuje deformaciju i same deformacije <math>\mathbf{}x</math>,<ref>{{cite journal
| title = Stiffness--an unknown world of mechanical science?
| url = https://archive.org/details/sim_injury_2000-03_31_2/page/14
| journal = Injury
| author = Baumgart F.
| year = 2000
| volume = 31
| pages = 14–84
| publisher = Elsevier
| quote = “Stiffness” = “Load” divided by “Deformation”
| doi=10.1016/S0020-1383(00)80040-6}}</ref> e.g. <math>k={F / x}</math>. Iz ove jednačine je jasno da je merna jedinica za krutost [[njutn]] po metru [-{''N/m''}-], što znači da je to veličina koja govori kolika je sila potrebna da bi se postigla jedinična deformacija. Ova je veličina od velike važnosti u primenjenim naukama [[Mašinstvo|mašinstvu]], [[Brodogradnja|brodogradnji]] i [[Građevinarstvo|građevinarstvu]], te je jedan od temeljnih pojmova u fizici čvrstih tela. Komplementarni koncept je '''fleksibilnost''' ili savitljivost: što je objekt fleksibilniji, to je manje krut.<ref>{{citation |page=126 |chapter=Stiffness and flexibility |title=200 science investigations for young students |author=Martin Wenham |year=2001 |isbn=978-0-7619-6349-3}}</ref>

O krutosti ima smisla govoriti samo kod čvrstih materija, s obzirom na to da tečnosti i gasovi nemaju stalan oblik zbog slabijih međumolekularnih sila. Važno je imati na umu da krutost zavisi od nekoliko faktora: materijala tela, geometrije tela ili sistema (oblik i dimenzije), te vrsta opterećenja. Kao jednostavan primer može se uzeti štap učvršćen na svom kraju i opterećen silom [[pritisak|pritiska]] na drugom kraju, koja se poklapa s uzdužnom osom štapa. Jasno je da će se usled takvog opterećenja štap saviti, tj. javiće se deformacija. Kolika će ta deformacija biti zavisi od toga koliko je štap aksijalno krut. Tako će se za istu silu i iste dimenzije čelični štap manje saviti nego drveni štap, s obzirom na to da je čelik čvršći od drveta. Ako se uzme istu silu i dva čelična štapa različitih dimenzija, manje će se saviti štap koji ima veću površinu poprečnog preseka. Ako se uzme isti štap i optereti silom istog intenziteta, ali normalno na njegovu uzdužu osu, iznos deformacije će biti drugačiji, jer je i fleksijska krutost (krutost na savijanje) drugačija od aksijalne krutosti.

Generalno, mogu se definisati tri vrste krutosti: i) aksijalna [-{''N/m''}-], ii) fleksijska (krutost na savijanje) [-{''N/m''}-] i iii) torzijska (krutost na uvijanje) [-{''Nm/rad''}-]. U slučaju torzije (uvijanja), štap je opterećen [[moment]]om čiji se vektor poklapa s uzdužnom osom štapa, tj. opterećen je momentom koji deluje u ravni normalnoj na uzdužnu osu štapa. Iz izloženog je vidljivo da krutost nije jednostavna i jednoznačna osobina te da izračunavanje krutosti za složenije strukture može biti vrlo zahtevan posao. Veličina recipročne krutosti je '''podatljivost''' i računa se kao: <math>\mathbf{}s={1 / k}={x / F}</math>. Merna jedinica je [-{''m/N''}-] i ta veličina govori kolika će se deformacija javiti pri opterećenju jediničnom silom. Analogno torzijskoj krutosti, torzijska podatljivost se izražava u poluprečnicima po njutn-metru [-{''rad/Nm''}-].<ref>{{Cite journal|last=Pao|first=Yih-Hsing|date=1998-02-01|title=Applied Mechanics in Science and Engineering|url=https://doi.org/10.1115/1.3098993|journal=Applied Mechanics Reviews|volume=51|issue=2|pages=141–153|doi=10.1115/1.3098993|bibcode=1998ApMRv..51..141P |issn=0003-6900}}</ref><ref>{{Citation|last=Drabble|first=George E.|title=Applied Mechanics |date=1971-01-01|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780491002080500067|work=Applied Mechanics|pages=1–8|editor-last=Drabble|editor-first=George E.|publisher=Academic Press|language=en|isbn=978-0-491-00208-0|access-date=2021-11-06}}</ref><ref name=":1">{{Cite book|date=2016|editor-last=Eberhard|editor-first=Peter|editor2-last=Juhasz|editor2-first=Stephen|title=IUTAM|url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-31063-3|language=en-gb|doi=10.1007/978-3-319-31063-3|isbn=978-3-319-31061-9}}</ref><ref name=":2">{{Cite journal|last=Abdel Wahab|first=Magd|date=March 2020|title=Editorial|journal=Applied Mechanics|language=en|volume=1|issue=1|pages=1–2|doi=10.3390/applmech1010001|doi-access=free}}</ref>

== Proračuni ==

Krutost, -{''k''}-, tela je mera otpornosti koju elastično telo ispoljava pri deformaciji. Za elastično telo sa jednim [[Степени слободе (механика)|stepenom slobode]] (DOF) (na primer, istezanje ili kompresija šipke), krutost je definisana kao

:<math>k=\frac {F} {\delta} </math>

gde,

: -{''F''}- je sila na telo
: <math> \delta </math> je [[Вектор помераја|pomeraj]] proizveden silom duž istog stepena slobode (na primer, promena dužine opruge)

U [[Међународни систем јединица|Internacionalnom sistemu jedinica]], krutost se tipično meri u [[Newton (unit)|njutnima]] po metru. U imperijalnim jedinicama, krutost se tipično meri u [[Pound (force)|funtama]] (-{lbs}-) po inču.

Uopšteno govoreći, [[Deflection (engineering)|pomeraji]] (ili pokreti) infinitezimalnog elementa (koji se posmatra kao tačka) u elastičnom telu mogu se javiti duž više stepeni slobode (maksimalno šest stepena slobode u jednoj tački). Na primer, tačka na horizontalnoj [[Euler–Bernoulli beam theory|gredi]] može podleći vertikalnom [[Displacement (vector)|pomeranju]] i rotaciji u odnosu na njenu nedeformisanu osu. Kada postoji M stepeni slobode, M x M [[Матрица (математика)|matrica]] se mora koristiti za opis krutosti u tački. Dijagonalni izrazi u matrici su direktno vezani za krutost (ili jednostavno krutosti) duž istog stepena slobode, a vandijagonalni članovi su krutosti sprege između dva različita stepena slobode (ili na istoj ili različitim tačkama) ili isti stepen slobode na dve različite tačke. U industriji se pojam koeficijenta uticaja ponekad koristi za označavanje krutosti spojnice.

Poznato je da za telo s višestrukim stepenima slobode, gore navedena jednačina generalno ne važi, jer primenjena sila ne stvara samo otklon uzduž vlastitog smera (ili stupana slobode), nego i duž drugih smerova. Za telo sa višestrukim stepenima slobode, da bi se izračunala krutost u datom pravcu (dijagonalni izrazi), korespondirajući stepen slobode se ostavlja slobodnim, dok se preostali ograničavaju. Pod takvim uslovima, gornja jednačina se može koristiti za dobijanje krutosti datog stepena slobode koji nije ograničen. Odnosi između reakcionih sila (ili momenata) i proizvedenog otklona su krutosti sprezanja. Opis koji uključuje sve moguće parametre istezanja i smicanja je dat [[Hukov zakon|tenzorom elastičnosti]].<ref name="anagram">{{Cite web | url = http://physics.info/springs/ | title = Springs | accessdate = 18. 7. 2010. | last = Elert | first = Glenn | date = | year = | month = | format = | work = The Physics Hypertextbook | publisher  = | location    = | language   =  | doi = | archiveurl  = | archivedate = |quote = }}</ref><ref>The anagram was given in alphabetical order, ''ceiiinosssttuu'', representing ''Ut tensio, sic vis'' – "As the extension, so the force": {{cite book|last=Petroski|first=Henry|author-link=Henry Petroski|title=Invention by Design: How Engineers Get from Thought to Thing|url=https://archive.org/details/inventionbydesig00petr|url-access=registration|year=1996|publisher=Harvard University Press|location=Cambridge, MA|isbn=978-0674463684|page=[https://archive.org/details/inventionbydesig00petr/page/11 11]}}</ref><ref>[[Robert Hooke]], ''De Potentia Restitutiva, or of Spring. Explaining the Power of Springing Bodies'', London, 1678.</ref>

== Fleksibilnost ==

[[Реципрочна вредност|Inverzna]] veličina od krutosti je ''fleksibilnost'', koja se obično meri u jedinicama metar po njutnu. U [[Rheology|reologiji]] se može definisati kao odnos naprezanja prema stresu,<ref>V. Gopalakrishnan and Charles F. Zukoski;  "Delayed flow in thermo-reversible colloidal gels";  Journal of Rheology;  Society of Rheology, U.S.A.;  July/August 2007;  51 (4): pp. 623–644.</ref> i stoga koristiti jedinica recipročnog stresa, ''e.g''. 1/[[pascal (unit)|-{Pa}-]].

== Rotacijska krutost ==
[[File:Angle torsion cylindre.svg|thumb|right|Uvrtanje za ugao ''α'', cilindrične šipke, dužine -{''L''}-, uzrokuje aksijalni momenat, -{''M''}-]]

Telo takođe može da ima rotacijsku krutost, ''k'', datu izrazom

:<math>k=\frac {M} {\theta} </math>

gde
: -{''M''}- je primenjeni [[moment (physics)|momenat]]
: ''&theta;'' je rotacija

U SI sistemu, rotacijska krutost se obično meri u [[newton-metre|njutn-metrima]] po [[radian]]u. U SAE sistemu, rotacijska krutost se meri u inč-[[Pound (force)|funtama]] po [[Степен (угао)|stepenu]].

Dalje mere krutosti izvedene su na sličnoj osnovi, uključujući:
* krutost smicanja - odnos primenjene sile [[Shear stress|smicanja]] i smicajne deformacije
* torziona krutost - odnos primenjenog [[Uvijanje|torzionog]] momenta i ugla uvijanja

== Odnos prema elastičnosti==

[[Modul elastičnosti]] materijala nije isto što i krutost komponente napravljene od tog materijala. Modul elastičnosti je svojstvo sastavnog materijala; krutost je svojstvo strukture ili komponente strukture, i stoga ona zavisi od različitih fizičkih dimenzija koje opisuju tu komponentu. Drugim rečima, modul je [[Intensive and extensive properties|intenzivno svojstvo]] materijala; krutost, s druge strane, je ekstenzivno svojstvo čvrstog tela koje zavisi od materijala i njegovog oblika i graničnih uslova. Na primer, za element pri [[tension (mechanics)|istezanju]] ili [[compression (physical)|kompresiji]], aksijalna krutost je

:<math>k=\frac {AE} {L} </math>

gde
: -{''A''}- je [[Cross section (geometry)#Area and volume|površina poprečnog preseka]],
: -{''E''}- je (istezni) elastični modul (ili [[Jangov modul]]),
: -{''L''}- je [[dužina]] elementa.

Slično tome, torziona krutost ravnog dela je

:<math>k=\frac {GJ} {L} </math>

gde
: -{''J''}- je [[torsion constant|torziona konstanta]] za sekciju,
: -{''G''}- je [[rigidity modulus|modul krutosti]] materijala.

Treba imati u vidu da u SI, ove jedinice daju <math>k : \frac{\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}}{\mathrm{rad}}</math>. Za poseban slučaj neograničenog jednoosnog istezanja ili kompresije, [[Jangov modul]] može se smatrati merom krutosti konstrukcije.

== Aplikacije ==

Krutost konstrukcije je od suštinske važnosti u mnogim inženjerskim primenama, tako da je [[modulus of elasticity|modul elastičnosti]] često jedna od primarnih osobina koje se uzimaju u obzir pri izboru materijala..<ref>{{cite book| last = Askeland| first = Donald R.| last2 = Phulé| first2 = Pradeep P.| title = The science and engineering of materials| year = 2006| publisher = Cengage Learning| page = 198| edition = 5th| url = https://books.google.com/books?id=fRbZslUtpBYC&pg=PA198| isbn = 978-0-534-55396-8}}</ref><ref>{{cite book | last = Beer | first = Ferdinand P. | last2 = Johnston | first2 = E. Russell | last3 = Dewolf | first3 = John | last4 = Mazurek | first4 = David | title = Mechanics of Materials | url = https://archive.org/details/mechanicsmateria00beer_274 | year = 2009 | publisher = McGraw Hill | page = [https://archive.org/details/mechanicsmateria00beer_274/page/n78 56] | isbn = 978-0-07-015389-9}}</ref> Visok modul elastičnosti se traži kada je [[Deflection (engineering)|otklon]] nepoželjan, dok je nizak modul elastičnosti potreban kada je potrebna fleksibilnost.

U biologiji, krutost [[extracellular matrix|ekstracelularnog matriks]]a je važna za vođenje migracije ćelija u fenomenu koji se zove [[durotaxis|durotaksija]].<ref name="ReferenceA">{{cite journal|last1=Plotnikov|first1=SV |last2=Pasapera|first2=AM |last3=Sabass|first3=B|last4=Waterman|first4=CM|title=Force fluctuations within focal adhesions mediate ECM-rigidity sensing to guide directed cell migration.|journal=Cell|date=21 December 2012|volume=151|issue=7 |pages=1513–27 |pmid=23260139|doi=10.1016/j.cell.2012.11.034|pmc=3821979}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Bray|first1=D|title=Axonal growth in response to experimentally applied mechanical tension.|journal=Developmental Biology|date=April 1984|volume=102|issue=2|pages=379–89|pmid=6706005|doi=10.1016/0012-1606(84)90202-1}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Lamoureux|first1=P|last2=Buxbaum|first2=RE |last3=Heidemann|first3=SR|title=Direct evidence that growth cones pull.|url=https://archive.org/details/sim_nature-uk_1989-07-13_340_6229/page/159|journal=Nature|date=13 July 1989|volume=340|issue=6229|pages=159–62|pmid=2739738|doi=10.1038/340159a0|bibcode=1989Natur.340..159L|s2cid=4235755}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Chada|first1=S|last2=Lamoureux|first2=P |last3=Buxbaum|first3=RE|last4=Heidemann|first4=SR|title=Cytomechanics of neurite outgrowth from chick brain neurons.|journal=Journal of Cell Science|date=May 1997|volume=110|pages=1179–86|pmid=9191042|issue=10|doi=10.1242/jcs.110.10.1179}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Verkhovsky|first1=AB|last2=Svitkina|first2=TM|last3=Borisy|first3=GG|title=Self-polarization and directional motility of cytoplasm.|journal=Current Biology|date=14 January 1999|volume=9|issue=1|pages=11–20|pmid=9889119|doi=10.1016/s0960-9822(99)80042-6|doi-access=free}}</ref>

Još jedna primena krutosti nalazi se u biologiji [[skin|kože]]. Koža održava svoju strukturu zahvaljujući unutrašnjoj napetosti, kojoj doprinosi [[kolagen]], ekstracelularni protein koji čini oko 75% njene suve težine.<ref>{{cite journal|last1=Chattopadhyay|first1=S.|last2=Raines|first2=R.|title=Collagen-Based Biomaterials for Wound Healing|journal=Biopolymers|date=August 2014|volume=101|issue=8|pages=821–833|doi= 10.1002/bip.22486|pmid=24633807|pmc=4203321}}</ref> Savitljivost kože je parametar od interesa koji predstavlja njenu čvrstoću i rastegljivost, obuhvatajući karakteristike kao što su elastičnost, krutost i prianjanje. Ovi faktori su od funkcionalnog značaja za pacijente. Ovo je od značaja za pacijente sa traumatskim povredama kože, pri čemu se savitljivost može smanjiti usled formiranja i zamene zdravog kožnog tkiva patološkim [[scar|ožiljkom]]. Ovo se može proceniti subjektivno ili objektivno korišćenjem uređaja kao što je kutometar. Kutometar primenjuje vakuum na kožu i meri u kojoj meri se može vertikalno rastegnuti. Ova merenja su u stanju da razlikuju zdravu kožu, normalne ožiljke i patološke ožiljke,<ref>{{cite journal|last1=Nedelec|first1=Bernadette|last2=Correa|first2=José|last3=de Oliveira|first3=Ana|last4=LaSalle|first4=Leo|last5=Perrault|first5=Isabelle|title=Longitudinal burn scar quantification|journal=Burns|volume=40|issue=8 |pages=1504–1512|date=2014|doi= 10.1016/j.burns.2014.03.002|pmid=24703337}}</ref> i metoda je našla primenu u kliničkim i industrijskim okruženjima za praćenje patofizioloških posledica, kao i efekata tretmana na kožu.

== Vidi još ==
* [[Deformacija]]
* [[Naprezanje]]
* [[Tvrdoća]]
* [[Hukov zakon]]
* [[Moment inercije]]

== Reference ==
{{reflist|}}

== Literatura ==
{{Литература|30em}}
* {{Cite book|last=Kurrer|first=Karl‐Eugen|url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/9783433600160|title=The History of the Theory of Structures: From Arch Analysis to Computational Mechanics|date=2008-04-23 |publisher=Wiley |isbn=978-3-433-01838-5|edition=1|language=en|doi=10.1002/9783433600160}}
* [[ASTM]] E 111, [http://www.astm.org/Standards/E111.htm "Standard Test Method for Young's Modulus, Tangent Modulus, and Chord Modulus"] 
* The ''[[ASM Handbook]]'' (various volumes) contains Young's Modulus for various materials and information on calculations. [http://products.asminternational.org/hbk/index.jsp Online version]
* [[Jacob Pieter Den Hartog|J.P. Den Hartog]], ''Strength of Materials'', Dover, New York, 1949.
* [[Ferdinand Beer|F.P. Beer]], E.R. Johnston, J.T. DeWolf, ''Mechanics of Materials'', McGraw-Hill, New York, 1981.
* S.P. Timoshenko, ''History of Strength of Materials'', Dover, New York, 1953. 
* [[J.E. Gordon]], ''The New Science of Strong Materials'', Princeton, 1984.
* H. Petroski, ''To Engineer Is Human'', St. Martins, 1985.
* T.A. McMahon and J.T. Bonner, ''On Size and Life'', Scientific American Library, W.H. Freeman, 1983.
* [[M. F. Ashby]], ''Materials Selection in Design'', Pergamon, 1992.
* A.H. Cottrell, ''Mechanical Properties of Matter'', Wiley, New York, 1964.
* S.A. Wainwright, W.D. Biggs, J.D. Organisms'', Edward Arnold, 1976.
* S. Vogel, ''Comparative Biomechanics'', Princeton, 2003.
* J. Howard, ''Mechanics of Motor Proteins and the Cytoskeleton'', Sinauer Associates, 2001.
* J.L. Meriam, L.G. Kraige. ''Engineering Mechanics Volume 2: Dynamics'', John Wiley & Sons., New York, 1986.
* J.L. Meriam, L.G. Kraige. ''Engineering Mechanics Volume 1: Statics'', John Wiley & Sons., New York, 1986.
* {{Cite web|title=Mechanics & Materials – Mechanical Engineering|url=https://me.engin.umich.edu/research/areas/mechanics-materials/|access-date=2021-11-06|website=me.engin.umich.edu}}
* {{Cite web|title=Applied Mechanics and Biomedical Engineering|url=https://www.brunel.ac.uk/mechanical-engineering/research-and-phd-programmes/applied-mechanics-and-biomedical-engineering|access-date=2021-11-06|website=www.brunel.ac.uk|language=en-GB}}
* {{Cite book|last=Kurrer|first=Karl‐Eugen|url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/9783433600160|title=The History of the Theory of Structures|date=2008-04-23|publisher=Wiley|isbn=978-3-433-01838-5|language=en|doi=10.1002/9783433600160}}
* {{Cite book|last=Rankine|first=William John Macquorn|url=http://archive.org/details/manualappmecha00rankrich|title=A manual of applied mechanics|date=1858|publisher=London : R. Griffin|others=University of California Libraries}}
* {{cite book
 | last = Hartsuijker
 | first = C.
 | last2 = Welleman
 | first2 = J. W.
 | title = Engineering Mechanics
 | series = Volume 2
 | year = 2001
 | publisher = Springer
 | isbn = 978-1-4020-4123-5}}
* {{cite journal
 | last1 = De Jong | first1 = Maarten
 | last2 = Chen | first2 = Wei
 | year = 2015
 | title = Charting the complete elastic properties of inorganic crystalline compounds
 | journal = [[Scientific Data (journal)|Scientific Data]]
 | volume = 2 
 | doi = 10.1038/sdata.2015.9
 | pages=150009| bibcode = 2013NatSD...2E0009D| pmc = 4432655
 }}
* {{Cite book
| last = Chakrabarty
| first = J.
| title = Theory of plasticity
| edition= 3
| publisher = Butterworth-Heinemann
| year = 2006
| pages = 17–32
| url= https://books.google.ca/books?id=9CZsqgsfwEAC&lpg=PP1&dq=related%3AISBN0486435946&rview=1&pg=PA17#v=onepage&q=&f=false
| isbn = 0-7506-6638-2 |ref=harv}}
* {{Cite book
| last = Beer
| first = Ferdinand Pierre
| author2=Elwood Russell Johnston |author3=John T. DeWolf
| title = Mechanics of Materials
| url = https://archive.org/details/mechanicsofmater0002beer
| publisher = McGraw-Hill Professional
| year = 1992
| isbn = 0-07-112939-1 }}
* {{Cite book
| last = Brady
| first = B.H.G.
| author2=E.T. Brown
| title = Rock Mechanics For Underground Mining
| publisher = Kluwer Academic Publisher
| year = 1993
| edition = Third
| pages = 17–29
| url=https://books.google.ca/books?id=s0BaKxL11KsC&lpg=PP1&pg=PA18#v=onepage&q=&f=false
| isbn = 0-412-47550-2}}
* {{Cite book
| last = Chen
| first = Wai-Fah
| author2=Baladi, G.Y.
| title = Soil Plasticity, Theory and Implementation
| year = 1985
| isbn = 0-444-42455-5}}
* {{Cite book
| last = Chou
| first = Pei Chi
| author2=Pagano, N.J.
| title = Elasticity: tensor, dyadic, and engineering approaches
| series = Dover books on engineering
| publisher = Dover Publications
| year = 1992
| pages = 1–33
| url= https://books.google.com/books?id=9-pJ7Kg5XmAC&lpg=PP1&pg=PA1#v=onepage&q=&f=false
| isbn = 0-486-66958-0}}
* {{Cite book
| last = Davis
| first = R. O.
| title = Elasticity and geomechanics
| author2=Selvadurai. A. P. S. 
| publisher = Cambridge University Press
| year = 1996
| pages = 16–26
| url= https://books.google.ca/books?id=4Z11rZaUn1UC&lpg=PP1&pg=PA16#v=onepage&q=&f=false
| isbn =0-521-49827-9 }}
* Dieter, G. E. (3 ed.). (1989). ''Mechanical Metallurgy''. New York: McGraw-Hill. {{ISBN|0-07-100406-8}}.
* {{Cite book
| last = Holtz
| first = Robert D.
| author2=Kovacs, William D.
| title = An introduction to geotechnical engineering
| series = Prentice-Hall civil engineering and engineering mechanics series
| publisher = Prentice-Hall
| year = 1981
| url= https://books.google.ca/books?id=yYkYAQAAIAAJ&dq=inauthor:%22William+D.+Kovacs%22&cd=1
| isbn = 0-13-484394-0}}
* {{Cite book
| last = Jones
| first = Robert Millard
| title = Deformation Theory of Plasticity
| publisher = Bull Ridge Corporation
| year = 2008
| pages = 95–112
| url= https://books.google.ca/books?id=kiCVc3AJhVwC&lpg=PP1&pg=PA95#v=onepage&q=&f=false
| isbn = 0-9787223-1-0}}
* {{Cite book
| last = Jumikis
| first = Alfreds R.
| title = Theoretical soil mechanics: with practical applications to soil mechanics and foundation engineering
| publisher = Van Nostrand Reinhold Co.
| year = 1969
| url= https://books.google.ca/books?id=NPZRAAAAMAAJ
| isbn = 0-442-04199-3}}
* Landau, L.D. and E.M.Lifshitz. (1959). ''Theory of Elasticity''.
* Love, A. E. H. (4 ed.). (1944). ''Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity''. New York: Dover Publications. {{ISBN|0-486-60174-9}}.
* {{Cite book
| last = Marsden
| first = J. E.
| author2=Hughes, T. J. R. 
| title = Mathematical Foundations of Elasticity
| publisher = Dover Publications
| year = 1994
| pages = 132–142
| url = https://books.google.ca/books?id=RjzhDL5rLSoC&lpg=PR1&pg=PA133#v=onepage&q&f=false
| isbn = 0-486-67865-2 }}
* {{Cite book
| last = Parry
| first = Richard Hawley Grey
| title = Mohr circles, stress paths and geotechnics
| edition=2
| publisher = Taylor & Francis
| year = 2004
| pages = 1–30
| url= https://books.google.ca/books?id=u_rec9uQnLcC&lpg=PP1&dq=mohr%20circles%2C%20sterss%20paths%20and%20geotechnics&pg=PA1#v=onepage&q=&f=false
| isbn = 0-415-27297-1}}
* {{Cite book
| last = Rees
| first = David
| title = Basic Engineering Plasticity – An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications
| publisher = Butterworth-Heinemann
| year = 2006
| pages = 1–32
| url = https://books.google.ca/books?id=4KWbmn_1hcYC&lpg=PP1&pg=PA1#v=onepage&q=&f=false
| isbn = 0-7506-8025-3}}
* {{Cite book
| last = [[Stephen Timoshenko|Timoshenko]]
| first = Stephen P.
| author2=James Norman Goodier
| title = Theory of Elasticity
| publisher = McGraw-Hill International Editions
| year = 1970
| edition = Third
| isbn = 0-07-085805-5}}
* {{Cite book
| last = Timoshenko
| first = Stephen P.
| series= Dover Books on Physics
| title = History of strength of materials: with a brief account of the history of theory of elasticity and theory of structures
| url = https://archive.org/details/historyofstrengt0000timo_k8r2
| publisher = Dover Publications
| year = 1983
| isbn = 0-486-61187-6}}
{{Литература крај}}

== Spoljašnje veze ==
{{Commons category-lat|Stiffness}}


{{Authority control-lat}}

[[Категорија:Физичке величине]]
[[Категорија:Механика континуума]]