Изворни код странице Kantorova teorema

[[File:Hasse diagram of powerset of 3.svg|thumb|Kardinalnost skupa {''x'', ''y'', -{''z''}-} je tri, dok postoji osam elemenata u njegovom partitivnom skupu (3 < 2<sup title="Order theory">3</sup> = 8), ovde [[order theory|uređenih]] u odnosu na [[Подскуп|inkluziju]].]]

U elementarnog [[set theory|teoriji skupova]], '''Kantorova teorema''' je fundamentalni rezultat koji tvrdi da je za bilo koji [[skup]] <math>A</math>, skup svih [[podskup]]ova od <math>A</math> ([[partitivni skup]] od <math>A</math>, označen sa <math>\mathcal{P}(A)</math>) ima strogo veću [[kardinalnost]] od samog <math>A</math>. Za [[Konačni i beskonačni skupovi|konačne skupove]], može se videti da je Kantorova teorema tačna putem jednostavnog [[enumeration|nabrajanja]] broja podskupova. Računajući prazan skup kao podskup, skup sa <math>n</math> članova ima ukupno <math>2^n</math> podskupova, tako da ako je <math>{\rm card}(A) = n,</math> onda je <math>{\rm card}(\mathcal{P}(A)) = 2^n</math>, i teorema važi jer je <math>2^n > n</math> istinito za sve [[Природан број|nenegativne brojeve]].

Mnogo je značajnije Kantorovo otkriće argumenta koji je primenljiv na bilo koji skup, čime je pokazano da teorema važi za [[infinite set|beskonačne]] skupove, brojive ili nebrojive, kao i za konačne. Kao posebno važna posledica, partitivni skup skupa [[Природан број|prirodnih brojeva]], [[Пребројив скуп|prebrojivo beskonačnog]] skupa s kardinalnošću -{ℵ<sub>0</sub> = card(ℕ)}-, [[Uncountable set|neprebrojivo]] je beskonačan i ima istu veličinu kao i skup realnih brojeva, kardinalnost veća od one za skup prirodnih brojeva koja se često naziva [[Континуум (математика)|kardinalnost kontinuuma]]: -{𝔠 = card(ℝ) = card(𝒫(ℕ))}-. Odnos između ovih kardinalnih brojeva često se simbolično izražava jednakošću i nejednakošću <math>\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}>\aleph_0</math>.

Ova teorema je nazvana po [[Germany|nemačkom]] [[matematičar]]u [[Георг Кантор|Georgu Kantoru]], koji ju je prvi objavio i dokazao krajem 19. veka. Kantorova teorema je imala neposredne i važne posledice za filozofiju matematike. Na primer, iterativnim uzimanjem partitivnog skupa beskonačnog skupa i primenom Kantorove teoreme, dobija se beskrajna hijerarhija beskonačnih kardinala, svaki strogo veći od onog pre njega. Shodno tome, teorema implicira da ne postoji najveći kardinalni broj (kolokvijalno, „nema najveće beskonačnosti”).

== Dokaz ==

Kantorov argument je elegantan i izuzetno jednostavan. Kompletan dokaz predstavljen je u nastavku, sa detaljnim objašnjenjima koja slede.

{{quote box|quote=<p>'''Teorema (Kantor). '''Neka je <math>f</math> mapa iz skupa <math>A</math> na njegov partitivni skup <math>\mathcal{P}(A)</math>.  Onda <math>f:A\to\mathcal{P}(A)</math> nije [[Сурјективно пресликавање|surjektivno]]. Konsekventno, <math>\mathrm{card}(A)<\mathrm{card}(\mathcal{P}(A))</math> važi za svaki skup <math>A</math>.</p>
<p>'''Dokaz:''' Razmotrimo skup <math> B=\{x \in A \, | \, x \notin f(x)\}</math>. Pretpostavimo suprotno da <math>f</math> je [[Сурјективно пресликавање|surjektivno]]. Onda postoji <math>\xi\in A</math> takvo da je <math>f(\xi)=B</math>. Međutim po konstrukciji, <math>\xi\in B \iff \xi\notin f(\xi)= B </math>. Ovo je kontradikcija. Stoga, <math>f</math> ne može da bude surjektivno. S druge strane, <math>g:A\to\mathcal{P}(A)</math> definisano sa <math>x\mapsto\{x\}</math> jeste injektivna mapa. Konsekventno, mora biti <math>\mathrm{card}(A)<\mathrm{card}(\mathcal{P}(A))</math>.<math>\ \blacksquare</math></p>|qalign=left}}

Po definiciji kardinalnosti važi da je card(''X'') < card(''Y'') za svaka dva seta ''X'' i ''Y'' ako i samo ako postoji [[Injektivno preslikavanje|injektivna funkcija]] ali ne i [[Bijekcija|bijektivna funkcija]] od ''X'' do ''Y''. Dovoljno je da se pokaže da nema surjekcije od ''X'' do ''Y''. Ovo je suština Kantorove teoreme: ne postoji surjektivna funkcija od bilo kog skupa ''A'' do njegovog partitivnog skupa. Da bi se to uspostavilo, dovoljno je da se pokaže da nijedna funkcija -{''f''}- koja preslikava elemente iz ''A'' u podskupove od ''A'' ne može da dosegne svaki mogući podskup, tj. samo se mora dokazati postojanje podskupa ''A'' koji nije jednak -{''f''}-(''x'') za bilo koje ''x'' ∈ ''A''. (Treba imati u vidu da je svako -{''f''}-(''x'') podskup ''A''.) Takav podskup daje sledeća konstrukcija, koja se ponekad naziva i ''Kantorov dijagonalni skup'' -{''f''}-:<ref name="Dasgupta2013">{{cite book|author=Abhijit Dasgupta|title=Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets|year=2013|publisher=[[Springer Science & Business Media]]|isbn=978-1-4614-8854-5|pages=362–363}}</ref><ref name="Paulson1992">{{cite book|author=Lawrence Paulson|title=Set Theory as a Computational Logic |url=https://www.cl.cam.ac.uk/techreports/UCAM-CL-TR-271.pdf|year=1992|publisher=University of Cambridge Computer Laboratory|page=14}}</ref>

:<math>B=\{x\in A\,|\,x\not\in f(x)\}.</math>

To znači, po definiciji, da za svako ''x'' u ''A'', ''x''&nbsp;∈&nbsp;''B'' ako i samo ako ''x''&nbsp;∉&nbsp;''f''(''x''). Za svako ''x'' skupovi -{''B''}- i -{''f''}-(''x'') ne mogu da budu isti jer je -{''B''}- konstruisano iz elemenata -{''A''}- čije preslikavanje (pod -{''f''}-) nije obuhvatalo njih same. Specifičnije ako se razmotri svako ''x''&nbsp;∈&nbsp;''A'', onda bilo ''x''&nbsp;∈&nbsp;-{''f''}-(''x'') ili ''x''&nbsp;∉&nbsp;-{''f''}-(''x''). U prvom slučaju, -{''f''}-(''x'') ne može da bude jednako -{''B''}-, jer ''x''&nbsp;∈&nbsp;-{''f''}-(''x'') po pretpostavci, a ''x''&nbsp;∉&nbsp;-{''B''}- po konstrukciji -{''B''}-. U potonjem slučaju, -{''f''}-(''x'') ne može biti jednako ''B'', jer ''x''&nbsp;∉&nbsp;''f''(''x'') po pretpostavci i ''x''&nbsp;∈&nbsp;-{''B''}- konstrukcijom -{''B''}-.

Ekvivalentno, i donekle formalnije, dokazuje se da postojanje ξ ∈ ''A'' takvo da -{''f''(ξ) = ''B''}- podrazumeva sledeću [[protivrečnost]]:

:<math>\begin{aligned}\xi \in f(\xi) &\iff \xi \in B && \text{(po pretpostavci da }f(\xi)=B\text{)}; \\
\xi\in B &\iff \xi\notin f(\xi) && \text{(po definiciji }B\text{)}.\end{aligned}</math>

Stoga, prema -{''[[reductio ad absurdum]]''}-, pretpostavka mora biti pogrešna.<ref name="Priest2002"/> Proizilazi da ne postoji ξ ∈ ''A'' takvo da je -{''f''(ξ) = ''B''}-; drugim rečima, -{''B''}- nije u preslikavanju ''f'' i ''f'' se ne mapira u svaki element partitivnog skupa od ''A'', i.e., -{''f''}- nije surjektivno.

Konačno, da se kompletira dokaz neophodno je da se pokaže injektivna funkcija iz -{''A''}- u njegov partitivni skup. Nalaženje takve funkcije je trivijalno: samo se mapira ''x'' u singltonski skup {''x''}. Argument je sada potpun i utvrđena je stroga nejednakost za bilo koji skup -{''A''}- da je -{card(''A'') < card(𝒫(''A''))}-.

Drugačiji način da se razmišlja o dokazu je da je -{''B''}-, prazan ili neprazan, uvek u partitivnom skupu od -{''A''}-. Da bi -{''f''}- bila [[Сурјективно пресликавање|uključena]], neki element -{''A''}- se mora preslikati u -{''B''}-. Ali to dovodi do kontradikcije: ni jedan element -{''B''}- se ne može preslikati na -{''B''}-, jer bi to bilo u suprotnosti sa kriterijumom članstva u -{''B''}-, te stoga element koji se preslikava u -{''B''}- ne može da bude element -{''B''}-, što znači da zadovoljava kriterijum za članstvo u -{''B''}-, još jedna kontradikcija. Dakle, pretpostavka da se element -{''A''}- preslikava u -{''B''}- mora biti lažna; i -{''f''}- ne može biti uključeno.

Zbog dvostruke pojave ''x'' u izrazu „''x'' ∉ -{''f''}-(''x'')”, ovo je [[Cantor's diagonal argument|dijagonalni argument]]. Za brojiv (ili konačan) skup, argument gore navedenog dokaza može se ilustrovati konstrukcijom tabele u kojoj je svaki red označen jedinstvenim ''x'' iz ''A'' = {''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ...}, u tom redosledu. Pretpostavlja se da -{''A''}- prihvata [[Total order|linearni redosled]], tako da se takva tabela može konstruisati. Svaka kolona tabele je označena jedinstvenim ''y'' iz [[Партитивни скуп|partitivnog skupa]] -{''A''}-; kolone su poređane argumentom za -{''f''}-, tj. oznake kolona su -{''f''}-(''x''<sub>1</sub>), -{''f''}-(''x''<sub>2</sub>), ..., u tom redosledu. Presek svakog reda ''x'' i kolone ''y'' beleži istinski/lažni bit da li ''x'' ∈ ''y''. S obzirom na redoslijed izabran za oznake redova i kolona, glavna dijagonala -{''D''}- ove tabele beleži da li je ''x'' ∈ -{''f''}-(''x'') za svako ''x'' in -{''A''}-. Skup -{''B''}- izgrađen u prethodnim paragrafima se podudara sa oznakama redova za podskup unosa na toj glavnoj dijagonali -{''D''}-, gde tabela beleži da je ''x'' ∈ -{''f''}-(''x'') lažno.<ref name="Priest2002">{{cite book|author=Graham Priest|title=Beyond the Limits of Thought|year=2002|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-925405-7|pages=118–119}}</ref> Svaka kolona beleži vrednosti [[Функција индикатор|indikatorske funkcije]] skupa koja odgovara koloni. Indikatorska funkcija za -{''B''}- podudara se sa [[Логичка негација|logički negiranim]] (istinito ↔ lažno) zapisima glavne dijagonale. Stoga se indikatorska funkcija za -{''B''}- ne slaže ni sa jednom kolonom u bar jednom unosu. Prema tome, nijedna kolona ne predstavlja -{''B''}-.

Za konačni skup, dokaz isto tako može da bude ilustrovan koristeći prozaičniju prezentaciju poznatu kao [[paradoks berberina]].<ref name="Howson1990">{{cite book|author=Albert Geoffrey Howson|title=The Popularization of Mathematics|url=https://archive.org/details/popularizationof0000unse_n1z8|year=1990|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-40319-1|page=[https://archive.org/details/popularizationof0000unse_n1z8/page/197 197]}}</ref>

Uprkos jednostavnosti gornjeg dokaza, prilično je teško da se proizvede [[Automated theorem proving|automatizovanim dokazivačem teorema]]. Glavna poteškoća leži u automatizovanom otkrivanju Kantorovog dijagonalnog skupa. [[Lawrence Paulson|Lorens Polson]] je napomenuo 1992. godine da [[Otter (theorem prover)|-{''Otter''}-]] to nije mogao učiniti, dok je [[Isabelle (proof assistant)|-{''Isabelle''}-]] mogla, iako s određenim brojem uputstava u smislu taktike, što se možda može smatrati varanjem.<ref name="Paulson1992"/>

== Reference ==
{{reflist}}

== Literatura ==
{{Литература|30em}}
* [[Paul Halmos|Halmos, Paul]], ''[[Naive Set Theory (book)|Naive Set Theory]]''. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by [[Springer-Verlag]], New York, 1974. {{ISBN|0-387-90092-6}} (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. {{ISBN|978-1-61427-131-4}} (Paperback edition).
* {{Citation|last=Jech|first=Thomas|authorlink=Thomas Jech|year=2002|title=Set Theory|edition=3rd millennium|series=Springer Monographs in Mathematics|publisher=Springer|isbn=3-540-44085-2}}
* {{Citation | ref=harv
  | last1 = Arkhangel'skii
  | first1 = A. V.
  | last2 = Fedorchuk
  | first2 = V. V.
  | contribution=The basic concepts and constructions of general topology
  | editor-last1 = Arkhangel'skii
  | editor-first1=  A. V.
  | editor-last2 = Pontryagin
  | editor-first2 = L. S.
  | title = General Topology I
  | pages = 1–90
  | publisher = Springer-Verlag
  | location = New York, Berlin
  | year = 1990
  | isbn = 978-0-387-18178-3}}.
* {{Citation | ref=harv
  | first = Michèle
  | last = Audin
  | title = Remembering Sofya Kovalevskaya
  | publisher = Springer
  | location = London 
  | year = 2011
  | isbn = 978-0-85729-928-4}}.
* {{Citation | ref=harv
  | first = Eric Temple
  | last = Bell
  | title = Men of Mathematics
  | publisher = Simon & Schuster
  | location = New York
  | year = 1937
  | isbn = 978-0-671-62818-5}}.
* {{Citation | ref=harv
  | first1 = Garrett 
  | last1 = Birkhoff
  | first2 = Saunders
  | last2 = Mac Lane
  | title = A Survey of Modern Algebra
  | publisher = Macmillan
  | location = New York
  | year = 1941
  | isbn = 978-1-56881-068-3}}.
* {{Citation | ref=harv
  | last = Burton
  | first = David M.
  | title = Burton's History of Mathematics
  | publisher = William C. Brown
  | location = Dubuque, Iowa
  | year = 1995
  | edition = 3rd 
  | isbn = 978-0-697-16089-8}}.
* {{Citation | ref=harv
  | first = Georg
  | last = Cantor
  | title = Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen
  | language = German
  | url = http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583
  | volume = 1874
  | issue = 77
  | pages = 258–262
  | journal = [[Journal für die Reine und Angewandte Mathematik]]
  | year = 1874
  | doi=10.1515/crll.1874.77.258}}.
* {{Citation | ref=harv
  | first = Georg
  | last = Cantor
  | title = Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre
  | language = German
  | url = http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002156806
  | volume = 1878
  | issue = 84
  | pages = 242–258
  | journal = Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
  | year = 1878| doi = 10.1515/crll.1878.84.242
 }}.
* {{Citation | ref=harv 
  | first = Georg
  | last = Cantor
  | title = Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. 1.
  | language = German
  | url = http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002244853
  | volume = 15
  | pages = 1–7 
  | journal = [[Mathematische Annalen]]
  | year = 1879
  | doi=10.1007/bf01444101}}.
* {{Citation | ref=harv
  | last = Chowdhary
  | first = K. R.
  | title = Fundamentals of Discrete Mathematical Structures
  | publisher = PHI Learning
  | location = Dehli, India
  | year = 2015
  | edition = 3rd 
  | isbn = 978-81-203-5074-8}}.
* {{Citation | ref=harv
  | first = Paul J.
  | last = Cohen 
  | year = 1963
  | title = The Independence of the Continuum Hypothesis
  | journal = [[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]
  | volume = 50
  | issue = 6
  | pages = 1143–1148
  | doi = 10.1073/pnas.50.6.1143
  | pmid=16578557
  | pmc=221287| bibcode = 1963PNAS...50.1143C
 }}.
* {{Citation | ref=harv
  | last = Dasgupta
  | first = Abhijit
  | title = Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets
  | publisher = Springer
  | location = New York
  | year = 2014 
  | isbn = 978-1-4614-8853-8}}.
* {{Citation | ref=harv
  | last = Dauben
  | first = Joseph
  | title = Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite
  | publisher = Harvard University Press
  | location = Cambridge, Mass.
  | year = 1979
  | isbn = 978-0-674-34871-4}}.
* {{Citation | ref=harv
  | last = Dauben
  | first = Joseph
  | title = Georg Cantor and the Battle for Transfinite Set Theory
  | url = http://acmsonline.org/home2/wp-content/uploads/2016/05/Dauben-Cantor.pdf
  | journal = 9th ACMS Conference Proceedings
  | year = 1993}}.
* {{Citation |ref               = harv
 |last              = Edwards
 |first             = Harold M.
 |authorlink        = Harold Edwards (mathematician)
 |chapter           = Kronecker's Views on the Foundations of Mathematics
 |editor-last1      = Rowe
 |editor-first1     = David E.
 |editor-last2      = McCleary
 |editor-first2     = John
 |title             = The History of Modern Mathematics, Volume 1
 |pages             = [https://archive.org/details/historyofmodernm0000symp/page/67 67–77]
 |publisher         = Academic Press
 |location = New York
 |year              = 1989
 |isbn              = 978-0-12-599662-4
 |chapter-url               = https://archive.org/details/historyofmodernm0000symp/page/67
}}. 
* {{Citation | ref=harv
  | editor-last = Ewald
  | editor-first = William B.
  | title = From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Volume 2
  | publisher = Oxford University Press
  | location = New York
  | year = 1996
  | isbn = 978-0-19-850536-5}}.
* {{Citation | ref=harv
  | last = Ferreirós
  | first = José 
  | title = On the relations between Georg Cantor and Richard Dedekind
  | journal = [[Historia Mathematica]]
  | volume = 20
  | issue = 4
  | pages = 343–363
  | year = 1993
  | doi = 10.1006/hmat.1993.1030}}.
* {{Citation | ref=harv
  | last = Ferreirós
  | first = José 
  | title = Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought
  | publisher = Birkhäuser
  | location = Basel
  | year = 2007
  | edition = 2nd revised
  | isbn = 978-3-7643-8349-7}}.
* {{Citation | ref=harv
  | first = Abraham 
  | last = Fraenkel
  | title = Georg Cantor
  | url = http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=PPN37721857X_0039&DMDID=dmdlog27
  | journal = Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung
  | language = German
  | volume = 39
  | pages = 189–266
  | year = 1930}}.
* {{Citation | ref=harv
  | first = Ivor
  | last = Grattan-Guinness
  | authorlink = Ivor Grattan-Guinness
  | title = The Correspondence between Georg Cantor and Philip Jourdain
  | url = http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002136651
  | journal = Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung
  | volume = 73
  | pages = 111–130
  | year = 1971}}.
* {{Citation
 |ref          = harv
 |first        = Robert
 |last         = Gray
 |title        = Georg Cantor and Transcendental Numbers
 |url          = http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Gray819-832.pdf
 |journal      = [[American Mathematical Monthly]]
 |volume       = 101
 |issue        = 9
 |pages        = 819–832
 |year         = 1994
 |doi          = 10.2307/2975129
 |mr           = 1300488
 |zbl          = 0827.01004
 |jstor        = 2975129
 |accessdate   = 23. 05. 2020
 |archive-date = 21. 01. 2022
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20220121155859/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Gray819-832.pdf
 |url-status   = 
}}.
* {{Citation | ref=harv
  | last1 = Hardy 
  | first1 = Godfrey 
  | last2 = Wright 
  | first2 = E. M. 
  | title = An Introduction to the Theory of Numbers
  | publisher = Clarendon Press
  | location = Oxford 
  | year = 1938
  | isbn = 978-0-19-921985-8}}.
* {{Citation | ref=harv
  | last = Havil
  | first = Julian
  | title = The Irrationals
  | publisher = Princeton University Press
  | location = Princeton, Oxford 
  | year = 2012
  | isbn = 978-0-691-16353-6}}.
* {{Citation
  | ref = harv
  | last = Hawkins
  | first = Thomas
  | authorlink = Thomas W. Hawkins, Jr.
  | title = Lebesgue's Theory of Integration
  | publisher = University of Wisconsin Press
  | location = Madison, Wisconsin
  | year = 1970
  | isbn = 978-0-299-05550-9
  | url-access = registration
  | url = https://archive.org/details/lebesguestheoryo0000hawk_p7z9
  }}.
* {{Citation | ref=harv
  | last = Jarvis
  | first = Frazer 
  | title = Algebraic Number Theory
  | publisher = Springer
  | location = New York
  | year = 2014
  | isbn = 978-3-319-07544-0}}.
* {{Citation| ref=harv
  | authorlink=Akihiro Kanamori 
  | last=Kanamori 
  | first=Akihiro  
  | chapter=Set Theory from Cantor to Cohen  
  | chapter-url=http://math.bu.edu/people/aki/16.pdf 
  | editor-first=Dov M. 
  | editor-last=Gabbay 
  | editor2-first=Akihiro 
  | editor2-last=Kanamori 
  | editor3-first=John H. 
  | editor3-last=Woods 
  | title=Sets and Extensions in the Twentieth Century
  | publisher=Cambridge University Press 
  | location = Amsterdam, Boston
  | year=2012 
  | pages=1–71 
  | isbn=978-0-444-51621-3}}.
* {{Citation | ref=harv
  | last = Kaplansky
  | first = Irving
  | title = Set Theory and Metric Spaces
  | publisher = Allyn and Bacon
  | location = Boston
  | year = 1972
  | isbn = 978-0-8284-0298-9}}.
* {{Citation | ref=harv
  | last = Kelley
  | first = John L.
  | authorlink = John L. Kelley
  | title = General Topology
  | publisher=Springer
  | location = New York
  | year = 1991 
  | isbn = 978-3-540-90125-9}}. 
* {{Citation |ref               = harv
 |last              = LeVeque
 |first             = William J.
 |authorlink        = William J. LeVeque
 |title             = Topics in Number Theory
 |volume            = I
 |publisher         = Addison-Wesley
 |location = Reading, Mass.
 |year              = 1956
 |isbn              = 978-0-486-42539-9
 |url-access        = registration
 |url               = https://archive.org/details/topicsinnumberth0000leve
}}. (Reprinted by Dover Publications, 2002.)
* {{Citation | ref=harv
  | editor-last = Noether
  | editor-first = Emmy 
  | editorlink = Emmy Noether
  | editor-last2 = Cavaillès
  | editor-first2 = Jean
  | editorlink2 = Jean Cavaillès
  | title = Briefwechsel Cantor-Dedekind
  | language = German
  | publisher = Hermann
  | location = Paris
  | year = 1937}}.
* {{Citation | ref=harv
  | last = Perron
  | first = Oskar
  | title = Irrationalzahlen
  | language = German
  | url = https://archive.org/stream/irrationalzahlen00perruoft#page/n5/mode/2up
  | publisher = W. de Gruyter
  | location = Leipzig, Berlin
  | oclc = 4636376 
  | year = 1921}}.
* {{Citation | ref=harv
  | last = Sheppard 
  | first = Barnaby 
  | title = The Logic of Infinity
  | publisher = Cambridge University Press
  | location = Cambridge 
  | year = 2014
  | isbn = 978-1-107-67866-8}}.
* {{Citation | ref=harv
  | last = Spivak
  | first = Michael 
  | title = Calculus
  | url = https://archive.org/details/Calculus_643
  | publisher = W. A. Benjamin 
  | location = London 
  | year = 1967
  | isbn = 978-0914098911}}.
* {{Citation | ref=harv
  | last = Stewart 
  | first = Ian 
  | title = Galois Theory
  | authorlink = Ian Stewart (mathematician)
  | publisher = CRC Press
  | location = Boca Raton, Florida
  | year = 2015
  | edition = 4th
  | isbn = 978-1-4822-4582-0}}.
* {{Citation | ref=harv
  | last1 = Stewart
  | first1 = Ian 
  | last2 = Tall 
  | first2 = David 
  | authorlink2 = David Tall
  | title = The Foundations of Mathematics
  | publisher = Oxford University Press
  | location = New York
  | year = 2015
  | edition = 2nd
  | isbn = 978-0-19-870644-1}}.
* {{Citation | ref=harv
  | contribution = Continued Fraction
  | title = CRC Concise Encyclopedia of Mathematics
  | editor-last = Weisstein
  | editor-first = Eric W.
  | editor-link = Eric W. Weisstein
  | publisher = Chapman & Hall/CRC
  | location = Boca Raton, Florida
  | year = 2003
  | isbn = 978-1-58488-347-0
}}
{{Литература крај}}

== Spoljašnje veze ==
{{Commons category-lat|Cantor's theorem}}
* {{springer|title=Cantor theorem|id=p/c020260}}
* {{MathWorld |title=Cantor's Theorem |id=CantorsTheorem }}

{{Authority control-lat}}

{{СОРТИРАЊЕ:Канторова теорема}}
[[Категорија:Теорија скупова]]
[[Категорија:Кардинални бројеви]]