Изворни код странице Fundamentalna grupa

U [[mathematics|matematičkom]] polju [[algebraic topology|algebarske topologije]], '''fundamentalna grupa''' [[topological space|topološkog prostora]] je [[Group (mathematics)|grupa]] [[equivalence class|klasa ekvivalencije]] pod [[Хомотопија|homotopijom]] [[Loop (topology)|petlji]] sadržanih u prostoru.<ref>{{cite book|location= |isbn=9780387943275|title= Algebraic Topology: A First Course|last1= Fulton|first1= William|author1-link= William Fulton (mathematician)|date= 1995|publisher= Springer|url-access= registration|url= https://archive.org/details/algebraictopolog00fult}}</ref><ref>{{cite book|location= |isbn=0-521-79540-0|title=Algebraic Topology|last1=Hatcher|first1=Allen|authorlink1=Allen Hatcher|year=2002|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html|publisher=Cambridge University Press}}</ref> Ona beleži podatke o osnovnom obliku ili rupama [[topological space|topološkog prostora]]. Fundamentalna grupa je prva i najjednostavnija [[homotopy group|homotopska grupa]]. Ona je [[Хомотопија|homotopski invarijantna]]. Topološki prostori koji su homotopski ekvivalentni (ili u jačem slučaju [[Хомеоморфизам|homeomorfni]]) imaju [[Group isomorphism|izomorfne]] fundamentalne grupe.

[[Commutator subgroup|Abelianizacija]] fundamentalne grupe se može identifikovati sa prvom [[Homologija (matematika)|homolognom grupom]] prostora. Kada je topološki prostor homeomorfan do [[Simplicial complex|simplicijalnog kompleksa]], njegova fundamentalna grupa može se eksplicitno opisati u smislu [[Presentation of a group|generatora i relacija]].<ref>{{cite book |title=Generators and Relations for Discrete Groups | last1=Coxeter | first1=H. S. M. | author-link1=Harold Scott Macdonald Coxeter | last2=Moser | first2=W. O. J. | author-link2=William Oscar Jules  Moser | location=New York | publisher=Springer-Verlag | year=1980 |isbn=978-0-387-09212-6}}</ref><ref>{{cite book |title=Presentations of Groups | last=Johnson | first=D. L. | authorlink1=D. L. Johnson | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1997 | edition=2nd |isbn=978-0-521-58542-2}}</ref>

[[Anri Poenkare]] je definisao fundamentalnu grupu 1895. godine u svojoj publikaciji „[[Analysis Situs (paper)|Analiza situsa]]”.<ref>{{cite journal |last1=Poincaré |first1=Henri |authorlink1=Henri Poincaré |year=1895 |title=Analysis situs |journal=Journal de l'École Polytechnique |volume=1 |series=(2) |issue= |pages=1–123 |ref=Poincaré 1895 |url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4337198/f7.image |language=French}} Translated in {{cite book |last1=Poincaré |first1=Henri |chapter=Analysis situs |title=Papers on Topology: Analysis Situs and Its Five Supplements |year=2009 |others=Translated by [[John Stillwell]] |pages=18–99 |chapter-url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/poincare2009.pdf}}</ref> Koncept se pojavio u teoriji [[Riemann surface|Rimanovih površina]], u delu [[Bernhard Riman|Bernharda Rimana]], Poenkara i [[Feliks Klajn|Feliksa Klajna]]. Opisana su [[monodromy|monodromska]] svojstva [[Комплексна анализа|kompleksno vrednosnih funkcija]], kao i potpuna topološka klasifikacija zatvorenih [[površ]]ina.

== Intuicija ==

Može se započeti sa [[prostor]]om (na primer, [[površina|površinom]]) i nekom tačkom u njemu, i svim petljama koje počinju i završavaju u toj tački - stazama koje počinju u toj tački, lutaju okolo i na kraju se vraćaju u početnu tačku. Dve petlje se mogu kombinovati na očigledan način: može se putovati duž prve petlje, a zatim duž druge. Dve petlje smatraju se ekvivalentnim, ako se jedna može deformisati u drugu bez raskidanja. Skup svih takvih petlji sa ovom metodom kombinovanja i stoga ekvivalencijom između njih je fundamentalna grupa za taj dati prostor.

== Istorija ==

[[Henri Poincaré|Anri Poenkare]] je definisao fundamentalnu grupu 1895. godine u svom radu „[[Analysis Situs (paper)|Analysis situs]]“.<ref>{{cite journal|last1=Poincaré|first1=Henri|authorlink1=Henri Poincaré|year=1895|title=Analysis situs|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4337198/f7.image|journal=Journal de l'École Polytechnique|series=(2)|language=fr|volume=1|pages=1–123|ref=Poincaré 1895}}</ref> Koncept se pojavio u teoriji [[Riemann surface|Rimanovih površina]], u radu [[Bernhard Riemann|Bernharda Rimana]], Poenkarea i [[Felix Klein|Feliksa Klajna]]. On opisuje svojstva [[monodromy|monodromije]] [[complex number|kompleksnih]] funkcija, i pruža potpunu topološku [[classification of surfaces|klasifikaciju zatvorenih površina]].

== Definicija ==
[[Датотека:Double_torus_illustration.png|мини|Ilustracija dvostrukog torusa.<ref>{{MathWorld |title=Double Torus |urlname=DoubleTorus}}</ref><ref>{{citation|last1=Bolza|first1= Oskar|title=On Binary Sextics with Linear Transformations into Themselves|journal= American Journal of Mathematics|volume= 10|issue= 1|year= 1887|pages= 47–70|jstor=2369402|doi=10.2307/2369402}}</ref>]]

U ovom članku ''X'' je topološki prostor. Tipičan primer je površina poput one koja je prikazana desno. Štaviše, <math>x_0</math> je tačka u ''X'' koja se zove ''osnovna tačka''. (Kao što je objašnjeno u daljem tekstu, njena uloga je uglavnom pomoćna.) Ideja definicije homotope grupe je da se odredi koliko (široko gledano) krive na ''X'' mogu biti deformisane jedna u drugu. Precizna definicija zavisi od pojma homotopije petlji, koji je objašnjen ispod.

=== Homotopija petlji ===

Za dati topološki prostor ''X'', ''[[Path (topology)|petlja]] bazirana u <math>x_0</math>'' se definiše da je [[continuous function (topology)|kontinuirana funkcija]] (takođe poznata kao [[Непрекидна функција|kontinuirana mapa]]<ref>{{Citation|last1=Harper|first1=J.F.|title=Defining continuity of real functions of real variables|journal=BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics|year=2016|volume=31 |issue=3 |doi=10.1080/17498430.2015.1116053|pages=1–16}}</ref>)
:<math>\gamma : [0, 1] \to X</math>
takva da su početna tačka <math>\gamma(0)</math> i završna tačka <math>\gamma(1)</math> obe jednake sa <math>x_0.</math>

[[Датотека:Homotopy_of_pointed_circle_maps.png|Homotopija petlji|мини]]
''[[Homotopija]]'' je kontinuirana interpolacija između dve petlje. Preciznije, homotopija između dve petlje <math>\gamma, \gamma' : [0,1] \to X</math> (bazirane u istoj tački <math>x_0</math>) je kontinuirana mapa
:<math>h : [0, 1] \times [0, 1] \to X,</math>
tako da je
:<math>h(0, t) = x_0</math> za svako <math>t \in [0,1],</math> to jest, početna tačka homotopije je <math>x_0</math> za svako -{''t''}- (što se često smatra vremenskim parametrom).
:<math>h(1, t) = x_0</math> za svako <math>t \in [0,1],</math> to jest, slično krajnja tačka ostaje u <math>x_0</math> za svako -{''t''}-.
:<math>h(r, 0) = \gamma(r), h(r, 1) = \gamma'(r)</math> za svako <math>r \in [0,1].</math>

Ako postoji takva homotopija -{''h''}-, <math>\gamma</math> i <math>\gamma'</math> se smatraju ''homotopnim''. Odnos „<math>\gamma</math> je homotopan sa <math>\gamma'</math>” je [[relacija ekvivalencije]], tako da se skup [[Equivalence class|klasa ekvivalencije]] može smatrati:
:<math>\pi_1(X, x_0) := \{ \text{all loops }\gamma \text{ based at }x_0 \} / \text{homotopy}</math>
To se naziva ''fundamentalnom grupom'' topološkog prostora ''X'' i baznom tačkom <math>x_0.</math> Svrha razmatranja klasa ekvivalencije petlji do homotopije, za razliku od skupa svih petlji (tzv. [[Loop space|prostora petlji]] od ''X'') je da ovaj kasniji, iako je koristan za razne svrhe, prilično je veliki i glomazan objekat. Suprotno tome, gornji kvocijent ima u mnogim slučajevima upravljivu i izračunljivu veličinu.

=== Struktura grupe ===
[[Датотека:Homotopy_group_addition.svg|Sabiranje petlji|мини]]

Prema gornjoj definiciji, <math>\pi_1(X, x_0)</math> je samo skup. On postaje grupa (i stoga zaslužuje naziv fundamentalna ''grupa'') koristeći spajanje petlji. Preciznije, za date dve petlje <math>\gamma_0, \gamma_1,</math> njihov proizvod je definisan kao petlja
:<math>\begin{align}
   \gamma_0 \cdot \gamma_1 : [0, 1] &\to X \\
   (\gamma_0 \cdot \gamma_1)(t) &= \begin{cases}
     \gamma_0(2t) & 0 \leq t \leq \tfrac{1}{2} \\
     \gamma_1(2t-1) & \tfrac{1}{2} \leq t \leq 1.
   \end{cases}
 \end{align}</math>
Stoga petlja <math>\gamma_0 \cdot \gamma_1</math> prvo sledi petlju <math>\gamma_0</math> sa „dvostrukom brzinom”, a zatim sledi <math>\gamma_1</math> sa „dvostrukom brzinom”.

Proizvod dve homotopne klase petlji <math>[\gamma_0]</math> i <math>[\gamma_1]</math> je definisan kao <math>[\gamma_0 \cdot \gamma_1].</math> Može se pokazati da ovaj proizvod ne zavisi od izbora predstavnika i stoga daje dobro definisanu operaciju na setu <math>\pi_1(X, x_0).</math> Ova operacija pretvara <math>\pi_1(X, x_0)</math> u grupu. Njen [[Неутрал|neutralni element]] je konstantna petlja, koja ostaje u <math>x_0</math> za svo vreme -{''t''}-. Inverzna petlja (homotop klase) je ista petlja, ali se prelazi u suprotnom smeru. Formalno,
:<math>\gamma^{-1} (t) := \gamma(1-t).</math>
Za tri bazične petlje <math>\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2,</math> proizvod
:<math>(\gamma_0 \cdot \gamma_1) \cdot \gamma_2</math>
je spajanje tih petlji, prelazeći <math>\gamma_0</math> zatim <math>\gamma_1</math> sa četvorostrukom brzinom, i zatim <math>\gamma_2</math> sa dvostrukom brzinom. U poređenju s tim,
:<math>\gamma_0 \cdot (\gamma_1 \cdot \gamma_2)</math>
prelazi iste putanje (u istom redosledu), ali <math>\gamma_0</math> sa dvostrukom brzinom, i <math>\gamma_1, \gamma_2</math> sa četvorostrukom brzinom. Stoga, zbog različitih brzina, dve staze nisu identične. Aksiom [[asocijativnost]]i
:<math>[\gamma_0] \cdot \left ([\gamma_1] \cdot [\gamma_2] \right ) = \left ( [\gamma_0] \cdot [\gamma_1]\right) \cdot [\gamma_2]</math>
konsekventno presudno zavisi od činjenice da se staze razmatraju do homotopije. Oba gornja kompozita su homotopna, na primer, petlja koja prelazi sve tri petlje <math>\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2</math> sa trostrukom brzinom. Skup baziran na petljama do homotopije, podržan gore navedenom operacijom pretvara <math>\pi_1(X, x_0)</math> u grupu.

=== Zavisnost od bazne tačke ===

Fundamentalna grupa generalno zavisi od izbora bazne tačke, međutim može se pokazati da, sve do [[isomorphism|izomorfizama]] (zapravo, čak i do ''unutrašnjeg'' izomorfizma), ovaj izbor ne pravi razliku dokle god je prostor ''X'' [[Path connected|povezan sa putanjom]]. Stoga za prostore povezane sa stazama mnogi autori pišu: <math>\pi_1(X)</math> umesto <math>\pi_1(X,x_0).</math>

== Konkretni primeri ==
[[File:Star_domain.svg|thumb|left|Domen zvezda je jednostavno povezan pošto se svaka petlja može sklopiti u centar domena, označen <math>x_0</math>.]]

Ovaj odeljak navodi neke osnovne primere fundamentalnih grupa. Za početak, u [[Euclidean space|Euklidskom prostoru]] (<math>\R^n</math>) ili bilo koji [[convex set|konveksni podskup]] od <math>\R^n,</math> postoji samo jedna homotopijska klasa petlji, a fundamentalna grupa je stoga [[trivial group|trivijalna grupa]] sa jednim elementom. Uopšteno govoreći, bilo koji [[star domain|zvezdani domen]] – a opet uopšteno, svaki [[contractible space|kontrahirni prostor]] – ima trivijalnu fundamentalnu grupu. Dakle, osnovna grupa ne pravi razliku između takvih prostora.

=== 2-sfera ===
[[File:P1S2all.jpg|upright=1.8|thumb|Petlja na [[2-sphere|2-sferi]] (površina lopte) koja se skuplja do tačke]]

Putem povezan prostor čija je osnovna grupa trivijalna naziva se [[simply connected space|jednostavno povezan]]. Na primer, [[2-sphere|2-sfera]] <math>S^2 = \left\{(x, y, z) \in \R^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = 1\right\}</math> prikazana na desnoj strani, a takođe i sve [[n-sphere|višedimenzionalne sfere]], jednostavno su povezane. Slika ilustruje homotopiju koja sažima jednu određenu petlju u konstantnu petlju. Ova ideja se može prilagoditi svim petljama tako da postoji tačka <math>(x, y, z) \in S^2</math> ''nije'' na slici <math>\gamma.</math> Međutim, pošto postoje petlje takve da je <math>\gamma([0, 1]) = S^2</math> (konstruisano od [[Peano curve|Pino krive]], na primer), potpuni [[mathematical proof|dokaz]] zahteva pažljiviju analizu pomoću alata iz algebarske topologije, kao što je [[Seifert–van Kampen theorem|Sajfert–van Kampenova teorema]] ili [[cellular approximation theorem|teorema o ćelijskoj aproksimaciji]].

=== Krug ===
[[File:Fundamental_group_of_the_circle.svg|Elementi homotopske grupe kruga|thumb]]

[[Krug]] (takođe poznat kao 1-sfera)
:<math>S^1 = \left\{(x, y) \in \R^2 \mid x^2 + y^2 = 1\right\}</math>

nije jednostavno povezan. Umesto toga, svaka homotopska klasa se sastoji od svih petlji koje obavijaju krug određeni broj puta (što može biti pozitivno ili negativno, u zavisnosti od smera namotavanja). Proizvod petlje koja se obavija ''m'' puta i druge koja se obavija ''n'' puta je petlja koja je obavijena ''m'' + ''n'' puta. Prema tome, osnovna grupa kruga je [[group isomorphism|izomorfna]] <math>(\Z, +),</math> aditivnoj grupi [[Integer#Algebraic properties|celih brojeva]]. Ova činjenica se može koristiti da se daju dokazi [[Brouwer fixed point theorem|Brauerove teoreme o fiksnoj tački]]<ref>{{harvtxt|May|1999|loc=Ch. 1, §6}}</ref> i [[Borsuk–Ulam theorem|Borsuk–Ulamove teoreme]] u dimenziji 2.<ref>{{harvtxt|Massey|1991|loc=Ch. V, §9}}</ref>

=== Osmica ===

[[File:Wedge_of_Two_Circles.png|thumb|Fundamentalna grupa osmice je [[free group|slobodna grupa]] na dva generatora ''a'' i ''b''.]]

Osnovna grupa [[Rose (topology)|osmice]] je [[free group|slobodna grupa]] na dva slova. Ideja da se ovo dokaže je sledeća: odabirom bazne tačke kao tačke gde se dva kruga sastaju (označeno crnim tačkama na slici desno), bilo koja petlja <math>\gamma</math> se može razložiti kao
:<math>\gamma = a^{n_1} b^{m_1} \cdots a^{n_k} b^{m_k}</math>

gde su ''a'' i ''b'' dve petlje koje se obavijaju oko svake polovine figure kao što je prikazano, i eksponenti <math>n_1, \dots, n_k, m_1, \dots, m_k</math> su celi brojevi. Za razliku od <math>\pi_1(S^1),</math> fundamentalna grupa osmice ''nije'' [[abelian group|abelova]]: dva načina sastavljanja ''a'' i ''b'' nisu homotopna jedan drugom:
:<math>[a] \cdot [b] \ne [b] \cdot [a].</math>

Uopštenije, fundamentalna grupa [[Rose (topology)|buketa od ''r'' krugova]] je slobodna grupa na ''r'' slova.

Fundamentalna grupa [[wedge sum|klinaste sume]] dva [[path connected space|putom povezana prostora]] ''X'' i ''Y'' može se izračunati kao [[free product|slobodan proizvod]] pojedinačnih fundamentalnih grupa:
:<math>\pi_1(X \vee Y) \cong \pi_1(X) * \pi_1(Y).</math>

Ovo generalizuje gornja zapažanja pošto je osmica zbir dva kruga.

Fundamentalna grupa ravni probušene u ''n'' tačaka je takođe slobodna grupa sa ''n'' generatora. Stoga je 'i''-ti generator klasa petlje koja obilazi ''i''-ti otvor bez zaobilaženja bilo kog drugog otvora.

=== Grafovi ===

Fundamentalna grupa se može definisati i za diskretne strukture. Konkretno, razmotrimo [[Connectivity (graph theory)|povezani]] [[graph (discrete mathematics)|graf]] {{nowrap|''G'' {{=}} (''V'', ''E'')}}, sa naznačenim vrhom ''v''<sub>0</sub> u ''V''. Petlje u ''G'' su [[cycle (graph theory)|krugovi]] koji počinju i završavaju na ''v''<sub>0</sub>.<ref>{{Cite web|title=Meaning of Fundamental group of a graph|url=https://math.stackexchange.com/questions/515896/meaning-of-fundamental-group-of-a-graph|access-date=2020-07-28|website=Mathematics Stack Exchange}}</ref> Neka je ''T'' [[spanning tree|rasponsko stablo]] od ''G''. Svaka prosta petlja u ''G'' sadrži tačno jednu ivicu u ''E'' \ ''T''; svaka petlja u ''G'' je konkatinacija takvih jednostavnih petlji. Dakle, fundamentalna grupa [[graph (discrete mathematics)|grafa]] je [[free group|slobodna grupa]], u kojoj je broj generatora tačno broj ivica u ''E'' \ ''T''. Ovaj broj je jednak {{nowrap|{{!}}''E''{{!}} − {{!}}''V''{{!}} + 1}}.<ref>{{Cite web|last1=Simon|first1=J|date=2008|title=Example of calculating the fundamental group of a graph G|url=http://homepage.divms.uiowa.edu/~jsimon/COURSES/M201Fall08/HandoutsAndHomework/Graph1.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20200728164140/http://homepage.divms.uiowa.edu/~jsimon/COURSES/M201Fall08/HandoutsAndHomework/Graph1.pdf |archive-date=2020-07-28 |url-status=live}}</ref>

Na primer, pretpostavimo da ''G'' ima 16 vrhova raspoređenih u 4 reda od po 4 temena, sa ivicama koje povezuju vrhove koji su susedni horizontalno ili vertikalno. Tada ''G'' ima ukupno 24 ivice, a broj ivica u svakom rasponskom stablu je {{nowrap|16 − 1 {{=}} 15}}, tako da je osnovna grupa ''G'' slobodna grupa sa 9 generatora.<ref>{{Cite web|title=The Fundamental Groups of Connected Graphs - Mathonline|url=http://mathonline.wikidot.com/the-fundamental-groups-of-connected-graphs|access-date=2020-07-28|website=mathonline.wikidot.com}}</ref> Primetno je da ''G'' ima 9 „otvora”, slično kao buket od 9 krugova, koji ima istu fundamentalnu grupu.

=== Grupe čvorova ===
[[File:Trefoil_knot_left.svg|thumb|[[trefoil knot|Trolisni čvor]].]]

'''[[Knot group|Grupe čvorova]]''' su po definiciji fundamentalna grupa [[complement (set theory)|komplementa]] [[knot (mathematics)|čvora]] ''K'' ugrađenog u <math>\R^3.</math> Na primer, grupa čvorova [[trefoil knot|trolistnog čvora]] je poznata kao [[braid group|grupa pletenica]] <math>B_3,</math> što daje još jedan primer neabelove fundamentalne grupe. [[Wirtinger presentation|Virtingerova prezentacija]] eksplicitno opisuje grupe čvorova u smislu [[generators and relations|generatora i odnosa]] na osnovu dijagrama čvora. Prema tome, grupe čvorova imaju izvesnu upotrebu u [[knot theory|teoriji čvorova]] pri razlikovanju čvorova: ako <math>\pi_1(\R^3 \setminus K)</math> nije izomorfna nekoj drugoj grupi čvorova <math>\pi_1(\R^3 \setminus K')</math> drugog čvora ''K′'', onda ''K'' ne može biti transformisan u ''K′''. Tako se trolistni čvor ne može kontinuirano transformisati u krug (takođe poznat kao [[unknot|nečvor]]), pošto ovaj drugi ima grupu čvorova <math>\Z</math>. Postoje, međutim, čvorovi koji se ne mogu deformisati jedan u drugi, ali imaju izomorfne grupe čvorova.

=== Orijentisane površine ===

Fundamentalna grupa [[genus (mathematics)#Orientable surface|roda ''n'' orijentibilne površine]] može se izračunati u smislu [[generators and relations|generatora i odnosa]] kao
:<math>\left\langle A_1, B_1, \ldots, A_n, B_n \left| A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1} \cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1} \right. \right\rangle.</math>

Ovo uključuje [[torus (mathematics)|torus]], što je slučaj roda 1, čija je fundamentalna grupa
:<math>\left\langle A_1, B_1 \left| A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1} \right. \right\rangle \cong \Z^2.</math>

== Reference ==
{{reflist}}

== Literatura ==
{{Литература|30em}}
* {{Citation | last=Adams | first=John Frank | authorlink1=Frank Adams | title=Infinite loop spaces | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Annals of Mathematics Studies | isbn=978-0-691-08207-3 | mr=505692 | year=1978 | volume=90 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/infiniteloopspac0000adam }}
* {{cite book|location= |isbn=1-4196-2722-8|title=Topology and Groupoids|last1=Brown|first1=Ronald|year=2006|url=http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/topgpds.html|publisher=Booksurge|authorlink1=Ronald Brown (mathematician)}}
* {{cite book|last1= Bump|first1= Daniel|title=Lie Groups|location= |publisher= Springer|isbn=978-1-4614-8023-5|date= October 2013}}. |doi=10.1007/978-1-4614-8024-2|title=Lie Groups|volume=225|last1=Bump|first1=Daniel|author1-link=Daniel Bump|publisher=Springer|year=2013|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics}}
* {{Citation|last1=Crowell|first1=R.H.|last2=Fox|first2=Ralph|author2-link=Ralph Fox|title=Introduction to Knot Theory|publisher=Springer|year=1963}}
* {{cite book|location= |publisher= Birkhäuser Basel|isbn=978-3-0346-0208-2|title = Arrangements, Local Systems and Singularities: CIMPA Summer School, Galatasaray University, Istanbul, 2007|last1 = El Zein|first1 = Fouad|last2 = Suciu|first2 = Alexander I.|last3 = Tosun|first3 = Meral|last4 = Uludağ|first4 = Muhammed|last5 = Yuzvinsky|first5 = Sergey|year=2010}}
* {{cite book|location= |publisher= Springer|isbn=0-387-90617-7|title=Lectures on Riemann Surfaces|last1=Forster|first1=Otto|date=1981}}
* {{Citation | last1=Goerss | first1=Paul G. | author1-link=Paul Goerss|last2=Jardine | first2=John F. | authorlink2=Rick Jardine | title=Simplicial Homotopy Theory | publisher=Birkhäuser | location=Basel, Boston, Berlin | series=Progress in Mathematics | isbn=978-3-7643-6064-1 | year=1999 | volume=174 | postscript=<!--None-->}}
* {{Citation | last1=Grothendieck | first1=Alexandre | author1-link=Alexandre Grothendieck | last2=Raynaud | first2=Michèle | title=Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques '''3''') | orig-date=1971 | arxiv=math.AG/0206203 | publisher= Société Mathématique de France | location=Paris | isbn=978-2-85629-141-2 | year=2003 | pages=xviii+327, see Exp. V, IX, X}}
* {{Citation| last=Hall|first1=Brian C.|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222|publisher=Springer|year=2015|isbn=978-3319134666}}
* [[Peter Hilton]] and [[Shaun Wylie]], ''Homology Theory'', Cambridge University Press (1967) [warning: these authors use ''contrahomology'' for [[cohomology]]]
* {{cite book|location= |isbn=9780387901084|title=Linear Algebraic Groups|last1=Humphreys|first1=James E.|date=2004|publisher=Springer|series=Graduate Texts in Mathematics|issue=21|author1-link=James E. Humphreys}}
* {{cite book|location= |publisher= Springer|isbn=0-387-90052-7|title=Introduction to Lie Algebras and Representation Theory|last1=Humphreys|first1=James E.|year=1972}}
* {{cite book|location= |isbn=0-486-69131-4|title=Algebraic Topology|last1=Maunder|first1=C. R. F.|date=januar 1996|publisher=[[Dover Publications]]}}
* {{Citation|last1=Massey|first1=William S.|authorlink1=William S. Massey|title=A Basic Course in Algebraic Topology|year=1991|publisher=Springer|isbn=038797430X}}
* {{cite book|location= |publisher= |isbn=9780226511832|title=A Concise Course in Algebraic Topology|last1=May|first1=J. Peter|author1-link=J. Peter May|date=1999}}
* [[Deane Montgomery]] and Leo Zippin, ''Topological Transformation Groups'', Interscience Publishers (1955)
* {{cite book|location= |isbn=0-13-181629-2|title=Topology|last1=Munkres|first1=James R.|authorlink1= James R. Munkres|year=2000|publisher=[[Prentice Hall]]}}
* {{cite book|location= |isbn=0-387-96678-1|title=An Introduction to Algebraic Topology|last1=Rotman|first1=Joseph|date=22. 7. 1998|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoal0000rotm}}
* {{Citation | last=Rubei | first=Elena |  title=Algebraic Geometry, a concise dictionary | publisher=Walter De Gruyter | location=Berlin/Boston | isbn=978-3-11-031622-3 | year=2014}}
* {{Citation|last1=Seifert|first1=Herbert|author1-link=Herbert Seifert|first2=William|last2=Threlfall|title=A Textbook of Topology|translator-last=Heil|translator-first=Wolfgang|publisher=[[Academic Press]]|year=1980|isbn=0-12-634850-2|url-access=registration|url=https://archive.org/details/seifertthrelfall0000seif}}
* {{cite book|location= |publisher= |isbn=0-387-90202-3|first1=Isadore. M.|title=Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry|last1=Singer|author1-link=Isadore Singer|last2=Thorpe|first2=J. A.|date=10. 12. 1976}}
* {{cite book|location= |isbn=0-387-94426-5|title=Algebraic Topology|last1=Spanier|first1=Edwin H.|author1-link=Edwin Spanier|publisher=Springer|year=1989}}
* {{Citation|title=Modern Classical Homotopy Theory| last=Strom|first1=Jeffrey|isbn=9780821852866|publisher=AMS|year=2011}}
* {{Citation | last=Lang | first=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Undergraduate analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series= Undergraduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94841-6 | year=1997}}
* {{Citation | last=Searcóid | first=Mícheál Ó | title=Metric spaces | url=https://books.google.com/books?id=aP37I4QWFRcC | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Springer undergraduate mathematics series | isbn=978-1-84628-369-7 | year=2006}}
{{Литература крај}}

== Spoljašnje veze ==
{{Commonscat-lat|Fundamental group}}
* {{planetmath reference|id=849|title=Fundamental group}}
* {{planetmath reference|id=3941|title=Fundamental groupoid}}
* {{Mathworld | urlname=FundamentalGroup  | title=Fundamental group  }}
* -{Dylan G.L. Allegretti, [http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGREREU2008.html ''Simplicial Sets and van Kampen's Theorem'']: A discussion of the fundamental groupoid of a topological space and the fundamental groupoid of a simplicial set}-
* -{[https://web.archive.org/web/20111002003232/http://www.istia.univ-angers.fr/~delanoue/topo_alg/ Animations to introduce fundamental group by Nicolas Delanoue]}-
* -{[https://mathoverflow.net/q/40945 Sets of base points and fundamental groupoids: mathoverflow discussion]}-
* -{[http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/gpdsweb.html Groupoids in Mathematics]}-

{{L|Топологија}}

{{Authority control-lat}}

{{СОРТИРАЊЕ:Фундаментална група}}
[[Категорија:Алгебарска топологија]]