Изворни код странице Штефан—Болцманов закон

[[Датотека:Stefan Boltzmann 001.svg|мини|Укупна израчена енергија апсолутно црног тела у функцији температуре]]
'''Штефан—Болцманов закон''' зрачења тврди да је укупна, то јест интегрална [[емисиона моћ]] [[апсолутно црно тело|апсолутно црног тела]] пропорционална четвртом степену његове апсолутне [[температура|температуре]]:
:<math> j^{\star} = \sigma T^{4},</math>
где се температура изражена у [[Келвин]]има, а константа пропорционалности се назива [[Јожеф Штефан|Штефан]]—[[Лудвиг Болцман|Болцманова]] [[Штефан—Болцманова константа|константа]] и износи <math>\sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}= 5.670 400 \times 10^{-8} \textrm{J\,s}^{-1}\textrm{m}^{-2}\textrm{K}^{-4}.</math>

Штефан—Болцманов закон један је од основних закона термалног зрачења, поред [[Планков закон|Планковог]] и [[Винов закон померања|Виновог закона]].<ref name="a">[http://telekomunikacije.etf.rs/predmeti/ms1ts/Osnovni_zakoni_termalnog_zracenja.pdf Основни закони термалног зрачења] {{Wayback|url=http://telekomunikacije.etf.rs/predmeti/ms1ts/Osnovni_zakoni_termalnog_zracenja.pdf |date=20150120151628 }}, Ж. Барбарић, ЕТФ; приступљено: 20. јануар 2015.</ref> Штефан—Болцманова једначина повезује густину енергијског потока са температуром тела. Закон се најчешће примењује као закон о зрачењу [[апсолутно црно тело|апсолутно црног тела]], док је једначина компликованија и мање прецизна ако се примени на друга тела.

== Историјат ==

Штефан—Болцманов закон су независно један од другог извели [[Јожеф Штефан]] и [[Лудвиг Болцман]]. Закон најпре добио Штефан, [[1879]]. године, а затим га је Болцман и извео [[1884]]. године.<ref>[http://www.znanje.org/i/i2011/11iv05/11iv051620/ludwig%20boltzmann.htm Лудвиг Болцман], znanje.org; приступљено: 20. јануар 2015.</ref>

Јожев Штефан је до формулације закона дошао на основу експерименталних резултата које је измерио Џон Тиндал и објавио га је у чланку -{Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur}- (Веза између термалног зрачења и температуре) у листу Бечке Академије Наука. Болцман је закон независно извео помоћу [[термодинамика|термодинамике]]. Он је анализирајући идеални топлотни извор који за радно тело није користио гас, већ светлост, рачунао његову укупну израчену енергију у зависности од температуре.

Закон даје врло идеалне резултате за апсолутна црна тела, а врло је прецизан и за рачун код тела која се могу апроксимирати црним телима. Код апсолутно црних тела се сва енергија ослобађа у виду зрачења. Штефан—Болцманов закон се често примењује и код такозваних [[сиво тело|сивих тела]].

== Извођење ==

Укупна снага зрачења црног тела се добија најпре диференцирањем Планкове функције по температури, а потом интеграцијом добијене спектралне густине снаге по таласној дужини, за све таласне дужине од 0 до ∞.<ref name="a" /> Законом се описује укупан интензитет зрачења апсолутно црног тела. Једначина се изводи из [[Планков закон|Планковог закона]] зрачења и добија се
:<math> j^{\star} = \sigma T^{4},</math> где је температура изражена у [[Келвин]]има, а <math>\sigma</math> је [[Јожеф Штефан|Штефан]]—[[Лудвиг Болцман|Болцманова]] константа која износи <math>\sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}= 5.670 400 \times 10^{-8} \textrm{J\,s}^{-1}\textrm{m}^{-2}\textrm{K}^{-4}.
</math><ref>Физика, Јасмина Ризвић</ref>

Посматрајмо малу танку дводимензионалну површину апсолутно црног тела. Његово зрачење можемо апроксимирати као зрачење у облику сферне полулопте са зенитним углом ''φ'' и азимутним углом ''θ'', где је у равни у којој се тело налази ''φ'' = <sup>π</sup>/<sub>2</sub>.

Интензитет емитованог зрачења црног тела описује се Планковим законом:
::<math>I(\nu,T) =\frac{2 h\nu^{3}}{c^2}\frac{1}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1},</math>
где је <math>I(\nu,T)\,</math> запреминска снага, тј. количина снаге по јединици површине у јединичном углу емитоване на фреквенцији <math>\nu \,</math> када црно тело има температуру ''T'', <math>h \,</math> је Планкова константа, <math>c \,</math> је брзина светлости, а <math>k \,</math> је Болцманова константа. Величина <math>I(\nu,T) ~A ~d\nu ~d\Omega</math> се назива израчена снага са површине -{А}- кроз угао ''dΩ'' у интервалу фреквенције између ''ν'' и ''ν''&nbsp;+&nbsp;''dν''.

Штефан—Болцманов закон се добија из емитоване снага са јединичне површине:
::<math>\frac{P}{A} = \int_0^\infty I(\nu,T) d\nu \int d\Omega \,</math>

Да бисмо добили ту емитовану снагу са јединичне површине, потребно је интегрисати угао ''Ω'' по целој полусфери, а фреквенцију ''ν'' интегрисати кроз све вредности од 0 до ∞. Како је ''dΩ'' = sin(''φ'') ''dφ dθ'', добија се:

:: <math>
\frac{P}{A} = \int_0^\infty I(\nu,T) \, d\nu \int_0^{2\pi} \, d\theta \int_0^{\pi/2} \cos \phi \sin \phi \, d\phi = \pi \int_0^\infty I(\nu,T) \, d\nu = \frac{2 \pi h}{c^2} \int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} d\nu. \,
</math>

Користећи смену <math> u = \frac{h \nu}{k T} \,</math> где је <math> du = \frac{h}{k T} \, d\nu, </math> добија се:

:: <math>\frac{P}{A} = \frac{2 \pi h }{c^2} \left(\frac{k T}{h} \right)^4 \int_0^\infty \frac{u^3}{ e^u - 1} \, du.</math>

Интеграл <math>\int_0^\infty \frac{u^3}{ e^u - 1} \, du</math> једнак је <math> \frac{\pi^4}{15} </math>, те се добија да је емитована снага са јединичне површине апсолутно црног тела: <math>j^\star = \sigma T^4 </math> где је <math> \sigma = \frac{2 \pi^5 k^4 }{15 c^2 h^3} = \frac{\pi^2 k^4}{60 \hbar^3 c^2}. </math>

=== Термодинамичко извођење ===

[[Термодинамика|Термодинамичко]] извођење Штефан—Болцмановог закона, тј. тврђења да је енергијска густина суда из ког се енергија зрачи пропорционална четвртом степену [[температура|температуре]], заснива се на класичном електродинамичком тврђењу да је притисак зрачења <math>p</math> са густином унутрашње енергије <math>u</math> повезан преко формуле: <math> p = \frac{u}{3}</math>.

Из фундаменталне термодинамичке релације <math> dU = T dS - p dV </math>, поделом са <math> dV </math> и при фиксираној температури <math> T </math>, а затим коришћењем Максвелове релације, добија се:

:<math> \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = T \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} - p = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{V} - p </math>.

Из дефиниције енергијске густине <math> \; u = \frac{U}{V} \;</math> и како је <math> \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = u </math>, добија се:

:<math> u = \frac{T}{3} \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{V} - \frac{u}{3} </math>.

Како се парцијални извод <math> \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{V} </math> може записати само у функцији од <math> u </math> и <math> T </math>, [[парцијална диференцијална једначина]] постаје обична која се своди на решавање преко раздвајања променљивих, те се добија:

<math> \frac{du}{4u} = \frac{dT}{T} </math>,

одакле се директно добија резултата <math> u = A T^4 </math>, где је <math> A </math> константа интеграције што се касније испоставља да је управо Штефан—Болцманова константа.<ref>[http://www.pha.jhu.edu/~kknizhni/StatMech/Derivation_of_Stefan_Boltzmann_Law.pdf Извођење Штефан—Болцмановог закона] {{Wayback|url=http://www.pha.jhu.edu/~kknizhni/StatMech/Derivation_of_Stefan_Boltzmann_Law.pdf |date=20150120175440 }}, Калман Књижник (Kalman Knizhnik); приступљено: 20. јануар 2015.</ref>-

== Примена и последице ==

Штефан—Болцманов закон је важан закон који описује термално зрачење и има бројне примене и последице.

=== Рејли-Џинсов и Винов закон зрачења ===

Из Планковог закона се изводи [[Рејли-Џинсов закон]] зрачења који описује зрачење на великим таласним дужинама и [[Винов закон зрачења]] који описује зрачење малих лонгитуда.<ref>[http://poincare.matf.bg.ac.rs/~rviktor/kosmologija/vezbe1_ppt.pdf Општа теорија релативности и космолошки модели] {{Wayback|url=http://poincare.matf.bg.ac.rs/~rviktor/kosmologija/vezbe1_ppt.pdf |date=20150120154009 }}, Виктор Радовић, Космологија, 2014, Математички факултет; приступљено: 20. јануар 2015.</ref>

=== Температуре тела које се могу апроксимирати као апсолутно црна ===

Штефан—Болцмановим законом може се израчунати температура Сунца, као што је по први пут урадио и сам [[Јожеф Штефан]]. Пре њега, Чарлс Сорет је проценио да је интензитет количине зрачења са Сунца 29 пута јачи од узорка врелог металног лима. Сорет је узео комад кружног металног лима и поставио га под истим углом под којим је видео Сунце. Измерио је да је температура лима између 1900 и 2000° °C. Штефан је претпоставио да једну трећину Сунчевог зрачења упије Земљина атмосфера, тако да је за интензитет Сунчевог зрачења добио да је 29 × 3/2 = 43,5 пута већи од узорка лима, што се касније испоставило као тачна процена. За средњу вредност температуре лима узео је 1950° °C, а претварањем у Келвине из закона <math> j^{\star} = \sigma T^{4}</math> добио је да је Сунчева температура 5705 -{К}-, што није пуно одступало од данашње процене на 5778 -{К}-.

Аналогно за рачунање температуре Сунца, закон се користи и за приближно рачунање температура других тела познајући њихову луминозност и под претпоставком да оне зраче као апсолутно црно тело: <math>L = 4 \pi R^2 \sigma T_{e}^4, </math> где је -{L}- луминозност или количина израчене енергије у јединици времена, σ - Штефан–Болцманова константа, Р – полупречник звезде и Т – стварна температура звезде.<ref>[http://www.atnf.csiro.au/outreach//education/senior/astrophysics/photometry_luminosity.html Луминозност звезда], АТНФ; приступљено: 20. јануар 2015.</ref>

Применом истог закона може се грубо проценити и ефективна температура Земље T<sub>Z</sub> са апроксимацијом апсолутно црног тела, под претпоставком да се Сунчеви зраци на површини Земље само упијају, без одбијања.

<math>T_Z = T_S \sqrt{r_S\over 2 a_0 } = 5780 \; {\rm K} \times \sqrt{696 \times 10^{6} \; {\rm m} \over 2 \times 149.598 \times 10^{9} \; {\rm m} } \approx 279 \; {\rm K} = 6 \; {\rm C},</math> где је ''T<sub>S</sub>'' температура Сунца, ''r<sub>S</sub>'' полупречник Сунца, а a<sub>0</sub> растојање између Земље и Сунца. Оваквом проценом добија се да је стварна температура на Земљиној површини 6°C, иако је њена стварна температура 14°C.

=== Полупречници звезда ===

Помоћу Штефан—Болцмановог закона могу се рачунати полупречници звезда, када се користи формула која повезује полупречник, температуру и луминозност у односу на исте величине за Сунце: <math>\frac{R}{R_\odot} \approx \left ( \frac{T_\odot}{T} \right )^{2} \cdot \sqrt{\frac{L}{L_\odot}}</math>

=== Хокингово зрачење ===

Штефан—Болцманов закон има примену и у [[термодинамика црних рупа|термодинамици црних рупа]] за рачунање такозваног [[Хокингова радијација|Хокинговог зрачења]].

== Види још ==
* [[Планков закон]]
* [[Винов закон померања]]
* [[Апсолутно црно тело]]

== Референце ==
{{reflist}}

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Радиоактивност]]
[[Категорија:Термодинамика]]