Изворни код странице Хилбертови проблеми

[[File:Hilbert.jpg|thumb|[[Давид Хилберт]]]]

'''Хилбертови проблеми''', то су 23 [[проблем]]а, од којих је тринаест поставио [[математичар]] Давид [[Давид Хилберт|Хилберт]] да би на Другом међународном конгресу математичара у [[Париз]]у, 8. августа 1900. године било додато још десет, овде број 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, и 22. Неки од ових проблема су заправо подручја за истраживање, а заједно са осталима били су пример нарастања читавих дисциплина, временом, из малих „проблема“. Потпуна листа од 23 проблема објављена је касније, посебно у преводу на енглески из 1902. године од стране [[Mary Frances Winston Newson|Мери Френсис Винстон Њусон]] у ''[[Bulletin of the American Mathematical Society]]''.<ref name=Hilbert_1902>{{cite journal |last=Hilbert |first=David |title=Mathematical Problems |url=https://www.ams.org/journals/bull/1902-08-10/home.html |journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] |volume=8 |issue=10 |year=1902 |pages=437–479|doi=10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 |doi-access=free }} Earlier publications (in the original German) appeared in {{cite journal |last=Hilbert |first=David |title=Mathematische Probleme | url=https://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002498863&physid=phys271#navi |journal=Göttinger Nachrichten |year=1900 |pages=253–297}} and {{cite journal |last=Hilbert |first=David |title=[no title cited] |journal=Archiv der Mathematik und Physik |series=3 |volume=1 |year=1901 |pages=44–63, 213–237}}</ref>

== Игнорабимус ==
Пратећи [[Gottlob Frege|Готлоба Фрегеа]] и [[Bertrand Russell|Бертранда Расела]], Хилберт је покушао да дефинише математику логички користећи метод [[formal system|формалних система]], тј. [[finitism|финитистичке]] [[Mathematical proof|доказе]] из договореног скупа [[Axiom|аксиома]].<ref>{{cite book |pages=464ff |editor-first=Jean |editor-last=van Heijenoort |year=1976 |orig-year=1966 |title=From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879–1931 |publisher=Harvard University Press |location=Cambridge MA |isbn=978-0-674-32449-7 |edition=(pbk.)}}<br />''A reliable source of Hilbert's axiomatic system, his comments on them and on the foundational "crisis" that was on-going at the time (translated into English), appears as Hilbert's'' 'The Foundations of Mathematics' (1927).</ref> Један од главних циљева [[Hilbert's program|Хилбертовог програма]] био је финитистички доказ конзистентности аксиома аритметике: то је његов други проблем.{{refn|group=lower-alpha|See Nagel and Newman revised by Hofstadter (2001, p.&nbsp;107),<ref name=Hofstadter_2001>{{cite book |author1=Nagel, Ernest |author2=Newman, James R. |editor=Hofstadter, Douglas R. |editor-link=Douglas Hofstadter |year=2001 |title=Gödel's Proof |url=https://archive.org/details/gdelsproofnage |publisher=New York University Press |location=New York, NY |isbn=978-0-8147-5816-8}}</ref> footnote&nbsp;37: "Moreover, although most specialists in mathematical logic do not question the cogency of [Gentzen's] proof, it is not finitistic in the sense of Hilbert's original stipulations for an absolute proof of consistency." Also see next page: "But these proofs [Gentzen's et al.] cannot be mirrored inside the systems that they concern, and, since they are not finitistic, they do not achieve the proclaimed objectives of Hilbert's original program." Hofstadter rewrote the original (1958) footnote slightly, changing the word "students" to "specialists in mathematical logic". And this point is discussed again on page&nbsp;109<ref name=Hofstadter_2001/> and was not modified there by Hofstadter (p.&nbsp;108).<ref name=Hofstadter_2001/>}}

Међутим, [[Gödel's second incompleteness theorem|Геделова друга теорема о непотпуности]] даје прецизан смисао у коме је такав финитистички доказ конзистентности аритметике доказиво немогућ. Хилберт је живео 12 година након што је [[Kurt Gödel|Курт Гедел]] објавио своју теорему, али изгледа да није написао никакав формални одговор на Геделов рад.{{refn|group=lower-alpha|Reid reports that upon hearing about "Gödel's work from Bernays, he was 'somewhat angry'. ... At first he was only angry and frustrated, but then he began to try to deal constructively with the problem. ... It was not yet clear just what influence Gödel's work would ultimately have" (p.&nbsp;198–199).<ref name=Reid_1996>{{cite book |first=Constance |last=Reid |year=1996 |title=Hilbert |publisher=Springer-Verlag |location=New York, NY |isbn=978-0387946740 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/hilbert0000reid }}</ref> Reid notes that in two papers in 1931 Hilbert proposed a different form of induction called "unendliche Induktion" (p.&nbsp;199).<ref name=Reid_1996/>}}{{refn|group=lower-alpha|Reid's biography of Hilbert, written during the 1960s from interviews and letters, reports that "Godel (who never had any correspondence with Hilbert) feels that Hilbert's scheme for the foundations of mathematics 'remains highly interesting and important in spite of my negative results' (p.&nbsp;217). Observe the use of present tense – she reports that Gödel and Bernays among others "answered my questions about Hilbert's work in logic and foundations" (p.&nbsp;vii).<ref name=Reid_1996/>}}

Хилбертов десети проблем не поставља питање да ли постоји [[алгоритам]] за одлучивање о решивости [[Diophantine equations|Диофантских једначина]], већ тражи конструкцију таквог алгоритма: „да се осмисли процес према којем се у коначном броју операција може одредити да ли је једначина решива у [[Rational integer|рационалним целим бројевима]]“. То што је овај проблем решен показивањем да не може постојати такав алгоритам противречи Хилбертовој филозофији математике.

Расправљајући о свом мишљењу да сваки математички проблем треба да има решење, Хилберт допушта могућност да би решење могло бити доказ да је оригинални проблем немогућ.<ref group=lower-alpha>This issue that finds its beginnings in the "foundational crisis" of the early 20th&nbsp;century, in particular the controversy about under what circumstances could the [[Law of Excluded Middle]] be employed in proofs. See much more at [[Brouwer–Hilbert controversy]].</ref> Он је навео да је поента знати на овај или онај начин шта је то решење, и веровао је да се то увек може знати, да у математици не постоји „[[Ignoramus et ignorabimus|игнорабимус]]“ (тврдња чија се истина никада не може сазнати).<ref group=lower-alpha>"This conviction of the solvability of every mathematical problem is a powerful incentive to the worker. We hear within us the perpetual call: There is the problem. Seek its solution. You can find it by pure reason, for in mathematics there is no ''ignorabimus.''" (Hilbert, 1902, p.&nbsp;445.)</ref> Остаје нејасно да ли би он сматрао решење десетог проблема као пример игнорабимуса: оно што је доказано да не постоји није целобројно решење, већ (у извесном смислу) способност да се на специфичан начин разазна да ли решење постоји.

С друге стране, статус првог и другог задатка је још компликованији: не постоји јасан математички консензус о томе да ли су резултати Гедела (у случају другог задатка), или Геделовог и Кохеновог (у случају првог проблема) дају дефинитивна негативна решења или не, јер се та решења односе на извесну формализацију проблема, која није нужно једина могућа.{{refn|group=lower-alpha|Nagel, Newman and Hofstadter discuss this issue: "The possibility of constructing a finitistic absolute proof of consistency for a formal system such as ''Principia Mathematica'' is not excluded by Gödel's results. ... His argument does not eliminate the possibility ... But no one today appears to have a clear idea of what a finitistic proof would be like that is ''not'' capable of being mirrored inside ''Principia Mathematica'' (footnote&nbsp;39, page&nbsp;109). The authors conclude that the prospect "is most unlikely."<ref name=Hofstadter_2001/>}}

== Двадесет четврти проблем ==
{{Main article|Хилбертов двадесет четврти проблем}}

Хилберт је првобитно укључио 24 проблема на своју листу, али је одлучио да не укључи један од њих на објављену листу. „24. проблем“ (у [[proof theory|теорији доказа]], о критеријуму [[simplicity|једноставности]] и општим методама) поново је открио немачки историчар [[Rüdiger Thiele|Ридигер Тиле]] 2000. године у Хилбертовим оригиналним белешкама у рукопису.<ref>{{cite journal |url=http://www.maa.org/news/Thiele.pdf |title=Hilbert's twenty-fourth problem |first=Rüdiger |last=Thiele |journal=American Mathematical Monthly |date=January 2003|volume=110 |pages=1–24 |doi=10.1080/00029890.2003.11919933 |s2cid=123061382 }}</ref>

== Проблеми ==
# [[Георг Кантор|Канторов]] проблем [[кардиналан број|кардиналног]] броја [[континуум (математика)|континуума]].<ref name=Cantor1878>{{Cite journal |last=Cantor |first=Georg  |author-link=Georg Cantor |year=1878 |title=Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre |journal=[[Journal für die Reine und Angewandte Mathematik]] |volume=1878  |issue=84  |pages=242–258 |doi=10.1515/crll.1878.84.242 |url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN243919689_0084&DMDID=dmdlog15 }}</ref>
# Конзистентност [[аксиома]] [[аритметика|аритметике]].
# Једнакост запремина два [[Тетраедар|тетраедра]] једнаких база и висина.
# Проблем [[права (линија)|праве]] линије као најкраћег растојања између две тачке.
# Концепт Лијевих група непрекидних [[трансформација]], без претпоставке [[извод|диференцијабилности]].
# Математички третман аксиома физике. Може ли се [[физика]] аксиоматизовати?<ref>{{cite journal |last1=Corry |first1=L. |year=1997 |title=David Hilbert and the axiomatization of physics (1894–1905) |journal=Arch. Hist. Exact Sci. |volume=51 |issue=2 |pages=83–198 |doi=10.1007/BF00375141|s2cid=122709777 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Gorban |first1=A.N. |author-link=Alexander Nikolaevich Gorban |last2=Karlin |first2=I. |year=2014 |title=Hilbert's 6th Problem: Exact and approximate hydrodynamic manifolds for kinetic equations |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=51 |issue=2 |pages=186–246 |arxiv=1310.0406 |doi=10.1090/S0273-0979-2013-01439-3| doi-access= free}}</ref>
# [[Ирационалност]] и [[трансцендентност]] извесних бројева, oblika <math>a^b</math>, нпр. <math>2^\sqrt{2}</math>,; <math>e^\pi</math>.
# Проблем [[Прост број|простих]] бројева, [[Риманова хипотеза]].
# Општи доказ [[теорема]] реципрочности [[Теорија бројева|теорије бројева]].
# Опште решење [[Диофантове једначине]].

# Квадратна форма произвољног целобројног [[поље (математика)|алгебарског поља]].<ref>{{cite book|first=Michiel|last=Hazewinkel|date= 2009|title= Handbook of Algebra|publisher=Elsevier|page=69|isbn=978-0080932811|volume=6}}</ref>
# [[Кронекерова теорема]], конструкција [[Холоморфизам|холоморфне]] функције.<ref>{{cite web|url=https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-polynomial-building-blocks-hilbert-sought-20210525/|first=Kelsey|last=Houston-Edwards|title=Mathematicians Find Long-Sought Building Blocks for Special Polynomials}}</ref>
# Немогућност решења опште једначине 7-ог степена функцијама са само два аргумента.<ref>{{cite web |url=http://www.emis.de/journals/SC/1997/2/pdf/smf_sem-cong_2_1-11.pdf |first=Shreeram S. |last=Abhyankar |title=Hilbert's Thirteenth Problem}}</ref><ref>{{cite web |url=http://www.iop.org/EJ/article/0036-0279/59/1/R03/RMS_59_1_R03.pdf?request-id=ef17fbdb-1a1c-4250-ae5f-0e1885b837fa |first=A.G. |last=Vitushkin |title=On Hilbert's thirteenth problem and related questions}}</ref><ref>{{citation |first=N.G. |last=Chebotarev |title=On certain questions of the problem of resolvents}}</ref><ref>{{cite journal |first=David |last=Hilbert |title=Über die Gleichung neunten Grades |url=https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1927_97/page/243 |journal=Math. Ann. |volume=97 |year=1927 |pages=243–250|doi=10.1007/BF01447867 |s2cid=179178089 }}</ref>
# Проблем [[коначност]]и извесних функција.
# Строго заснивање Шубертовог непребројивог рачуна (''-{Schubert}-'').
# Проблем [[Топологија|топологије]] алгебарских кривих и површи.
# Репрезентација кончане [[Форма квадрата|форме квадрата]].
# Изградња простора из конгруентног [[Полиедар|полиедра]].
# Јесу ли решења проблема варијација увек аналитичка?
# Општи проблем [[Гранична вредност|граничне вредности]].

# Доказ егзистенције решења [[Линеарна диференцијална једначина|линеарне диференцијалне једначине]] за монодромску групу.
# Униформизација аналитичких релација помоћу [[Аутоморфизам|аутоморфних]] функција.
# Даљи развој метода [[Рачун варијација|рачуна варијација]].

== Напомене ==
{{notelist|30em}}

== Референце ==
{{Reflist|}}

== Литература ==
{{Литература|colwidth=30em}}
* {{cite book |last=Gray |first=Jeremy J. |author-link=Jeremy Gray |year=2000 |title=The Hilbert Challenge |url=https://archive.org/details/hilbertchallenge0000gray |publisher=[[Oxford University Press]] |location=Oxford, UK |isbn=978-0-19-850651-5}}
* {{cite book |author=Yandell, Benjamin H. |author-link=Benjamin Yandell |year=2002 |title=The Honors Class: Hilbert's problems and their solvers |publisher=A.K. Peters |location=Wellesley, MA |isbn=978-1-56881-141-3 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/honorsclasshilbe0000yand }}
* {{cite book |last=Thiele |first=Rüdiger |chapter=On Hilbert and his twenty-four problems |title=Mathematics and the Historian's Craft: The Kenneth O. May lectures |pages=243–295 |isbn=978-0-387-25284-1 |editor-last=Van Brummelen |editor-first=Glen |year=2005 |series=[[Canadian Mathematical Society|CMS]] Books in Mathematics / Ouvrages de Mathématiques de la SMC |volume=21|title-link=Kenneth May }}
* {{cite book |author-last=Dawson |author-first=John W. Jr. |title=Logical Dilemmas: The life and work of Kurt Gödel |url=https://archive.org/details/logicaldilemmasl0000daws |publisher=A.K. Peters |year=1997}}<br />''A wealth of information relevant to Hilbert's "program" and [[Gödel]]'s impact on the Second Question, the impact of [[Arend Heyting]]'s and [[L. E. J. Brouwer|Brouwer]]'s [[Intuitionism]] on Hilbert's philosophy.''
*  {{cite book |editor-first=Felix E. |editor-last=Browder |editor-link=Felix Browder |contribution=Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems |title=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII |year=1976 |publisher=American Mathematical Society}}<br />''A collection of survey essays by experts devoted to each of the 23&nbsp;problems emphasizing current developments.''
* {{cite book |first=Yuri |last=Matiyasevich |title=Hilbert's Tenth Problem |url=https://archive.org/details/hilbertstenthpro0000mati |publisher=MIT Press |location=Cambridge, MA |year=1993 |isbn=978-0262132954}}<br />''An account at the undergraduate level by the mathematician who completed the solution of the problem.''
* {{Cite book |last=Cohen |first=Paul Joseph |author-link=Paul Cohen (mathematician) |date=2008 |title=Set theory and the continuum hypothesis |url=https://archive.org/details/settheorycontinu0000cohe |location=Mineola, New York City |publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-46921-8  }}
* {{Cite book |last1=Dales |first1=H.G. |last2=Woodin |first2=W.H. |date= 1987 |title=An Introduction to Independence for Analysts |publisher=Cambridge }}
* {{Cite book |last=Enderton |first=Herbert |date=1977 |title=Elements of Set Theory |url=https://archive.org/details/elementsofsetthe0000ende |publisher=Academic Press }}
* Gödel, K.: ''What is Cantor's Continuum Problem?'', reprinted in Benacerraf and Putnam's collection ''Philosophy of Mathematics'', 2nd ed., Cambridge University Press, 1983. An outline of Gödel's arguments against CH.
* Martin, D. (1976). "Hilbert's first problem: the continuum hypothesis," in ''Mathematical Developments Arising from Hilbert's Problems,'' Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII, F. Browder, editor. American Mathematical Society, 1976, pp.&nbsp;81–92. {{ISBN|0-8218-1428-1}}
* {{Cite web |author=McGough, Nancy |title=The Continuum Hypothesis |url=http://www.ii.com/math/ch/ }}
* {{Cite web |author=Wolchover, Natalie |title=How Many Numbers Exist? Infinity Proof Moves Math Closer to an Answer |date=15 July 2021 |url=https://www.quantamagazine.org/how-many-numbers-exist-infinity-proof-moves-math-closer-to-an-answer-20210715/ }}
{{div col end}}

== Спољашње везе ==
{{Wikisource|Mathematical Problems}}
* {{springer|title=Hilbert problems|id=p/h120080}}
* {{cite web |url=http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html |title=Original text of Hilbert's talk, in German. |access-date=2005-02-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120205025851/http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html |archive-date=2012-02-05 |url-status=dead }}
* {{cite web |url=https://www.ams.org/journals/bull/2000-37-04/S0273-0979-00-00881-8/S0273-0979-00-00881-8.pdf |title=David Hilbert's "Mathematical Problems": A lecture delivered before the International Congress of Mathematicians at Paris in 1900.}}
* {{librivox book | title=Mathematical Problems| author=Hilbert}}

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Нерешени проблеми у математици]]
[[Категорија:Хилбертови проблеми| ]]