Изворни код странице Функција (математика)

[[Датотека:Function color example 3.svg|десно|250p|мини|Функција која пресликава обојене облике у њихову боју.]]
[[Датотека:Graph of example function.svg|мини|250px|График примера функције,<br /> <math>\begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,1.5] \to [-1,1.5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}</math>]]

'''Функција''' или '''пресликавање''' је правило придруживања једног елемента из [[скуп]]а <math>\,X</math> који се тада назива [[Домен (математика)|домен]] функције,<ref>{{harvnb |Halmos |1970 |p=30}}.</ref> другом елементу из скупа <math>\,Y</math> - [[домен (математика)|кодомен]] функције, који се још назива и контрадомен функције, скуп копија, скуп слика. Домен функције <math>f</math> се често означава са <math>\mathcal{D}(f)</math>, а кодомен са <math>\mathcal{K}(f).</math><ref name="MacLane">{{cite book | last = MacLane | first = Saunders | authorlink = Saunders MacLane | last2 = Birkhoff | first2 = Garrett | author2-link = Garrett Birkhoff | title = Algebra | url = https://archive.org/details/algebra00macl | publisher = Macmillan | edition = First | year = 1967 | location = New York | pages = [https://archive.org/details/algebra00macl/page/1 1]–13 }}</ref>

Елементи скупа <math>\,X</math> називају се аргументи, независно променљиве, оригинали пресликавања, ликови, или елементи домена. Скуп <math>Y</math> назива се кодомен (контрадомен) функције, скуп копија, слика, итд. Често се домен функције f означава са <math>\mathcal{D}(f)</math>, а кодомен понекад <math>\mathcal{K}(f).</math>

За записивање функција обично се користе неке од следећих ознака: <math>f:X\rightarrow Y,</math>, <math>f:x\rightarrow y,\; x\in X,\; y\in Y.</math> или <math>y=f(x),</math>. Опсег, распон, подручје дефиниције функције, односно домен функције <math>f</math> представља скуп вредности <math>x</math> за које функција достиже вредности <math>f(x)</math>.<ref>{{cite book |last=Hamilton |first=A. G. |title=Numbers, sets, and axioms: the apparatus of mathematics |pages=83 |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-24509-5 |url=https://books.google.com/books?id=OXfmTHXvRXMC&pg=PA83&dq=%22function+is+a+relation%22}}</ref>

Основна карактеристика функције је да за једну улазну вредност добија највише једна излазна вредност.

== Дефиниција ==
'''Функција''' је један од основних појмова [[математика|математике]]. Појављује се у већини области математике, у зависности од тога шта представљају [[Домен (математика)|домен]] и [[домен (математика)|кодомен]]. Функција или пресликавање је свако придруживање елемената једног скупа, елементима другог скупа при чему се сваки елемент првог скупа пресликава у тачно један елемент другог скупа.<ref>{{Cite book |url=https://ia601505.us.archive.org/20/items/HalmosP.R.FiniteDimensionalVectorSpaces.SpringerVerlag205s_201703/Halmos,%20P.%20R.%20Finite-dimensional%20vector%20spaces.%20(Springer-Verlag)(205s).pdf |title=Finite-Dimensional Vector Spaces |last=Halmos|first=Paul R.|publisher=Van Nostrand Company|year=1958|isbn=0-387-90093-4|location=New York|pages=21-25}}</ref>

=== Аналитичка дефиниција ===

Ако две променљиве <math>a</math> и <math>b</math> стоје у таквој вези да се мењањем вредности једне од њих, нпр. <math>a</math> мења и вредност друге променљиве - <math>b</math>, онда се променљива <math>b</math> назива функцијом променљиве <math>a</math>.

Функција може имати више променљивих.

=== Дефиниције из теорије скупова ===
[[Датотека:Funkcija.gif|мини|Функција, односно релација <math>f=\{(a,\alpha),(b,\beta),(c,\beta)\}.\,</math> Скуп ''А'' је скуп првих елемената уређених парова, на графу то је полазни скуп стрелице и назива се [[Домен (математика)|домен]]. Скуп B назива се [[домен (математика)|кодомен]] функције.<ref>{{cite book |title=Calculus vol 1 |url=https://archive.org/details/calculusonevaria01apos_442 |first=Tom |last=Apostol |authorlink=Tom M. Apostol |pages=[https://archive.org/details/calculusonevaria01apos_442/page/n72 53] |publisher=John Wiley |isbn=0-471-00005-1 |year=1967}}</ref><ref>{{cite book |last=Heins |first=Maurice |title=Complex function theory |publisher=Academic Press |year=1968 |pages=4 |url=https://books.google.com/books?id=OtyBXTOTwZoC&pg=PA4}}</ref> ]]
[[Скуп]] се у математици узима за основни појам. [[Декартов производ|Декартов производ скупова]] је скуп уређених парова. [[Уређени пар]] елемената чине било каква два елемента за које је важан поредак. [[Релација (математика)|Релација]] је непразан [[подскуп]] Декартовог производа скупова, а функција је једна врста релације.

; Дефиниција 1: Нека су <math>A</math> и <math>B</math> непразни скупови. Тада се бинарна релација <math>f\subseteq A\times B</math> зове функција или пресликавање из <math>A</math> у <math>B</math>, ако важи:
:<math>(\forall x\in A)(\exists!y\in B)y=f(x),</math>
односно ако за сваки елемент из скупа <math>A</math>, постоји тачно један елемент из скупа <math>B</math> тако да је елемент из <math>B</math> слика елемента из <math>A</math>.

; Дефиниција 2 (еквивалентна претходној): бинарна релација <math>f</math> из <math>A</math> у <math>B</math> је функција ако је

: <math>((x,y)\in f \wedge (x,z)\in f)\Rightarrow (y=z)),</math>

тј. ако су оригинали једнаки, и слике морају бити једнаке.

== Функција у топологији ==
{{главни чланак|Функција (топологија)}}

Функција или пресликавање у [[топологија|тополошком смислу]] је правило придруживања једног елемента из [[тополошки простор|тополошког простора]] <math>\,X</math> који се тада назива [[Домен (математика)|домен]] функције, другом елементу из тополошког простора <math>\,Y</math> - [[домен (математика)|кодомен]] функције.

[[Хомоморфизам]] је пресликавање између две [[алгебарска структура|алгебарске структуре]] истог типа, које чува њихову форму.

Врсте хомоморфизама:

* [[Изоморфизам (математика)|Изоморфизам]] је [[бијекција|бијективни]] хомоморфизам. Два објекта су изоморфна ако постоји изоморфизам између њих. Изоморфни објекти су потпуно неразазнатљиви што се тиче структуре која је у питању.
* [[Епиморфизам]] је [[сурјективно пресликавање|сурјективни]] хомоморфизам.
* [[Мономорфизам]] је [[инјективно пресликавање|инјективни]] хомоморфизам.
* [[Ендоморфизам]] је хомоморфизам са неког објекта на самог себе се зове .
* [[Аутоморфизам]] је ендоморфизам који је и изоморфизам.
* [[Хомеоморфизам]] је [[Непрекидна функција|непрекидни]] [[Изоморфизам (математика)|изоморфизам]] (непрекидни [[бијекција|бијективни]] [[хомоморфизам]]) чији је и инверз непрекидна функција.

== Непрекидност ==
{{главни чланак|Непрекидна функција}}

[[Непрекидна функција]] из једног [[тополошки простор|тополошког простора]] у други је функција чија је инверзна слика било ког [[отворени скуп|отвореног скупа]] отворена. Непрекидна пресликавања су [[морфизам|морфизми]] [[тополошки простор|тополошког простора]]. Интуитивно, непрекидна функција је она функција, која за довољно мале промене вредности аргумента има произвољно мале промене вредности функције.

== Врсте пресликавања ==

=== Сурјективно пресликавање ===
; Дефиниција: Функција <math>f:A\rightarrow B</math> зове се ''[[сурјективно пресликавање|сурјекција]]'', или ''[[сурјективно пресликавање|"на"-пресликавање'']], ако је <math>\mathcal{K}(f)=B,</math>

што се може записати и као:
:<math>(\forall y\in B)(\exists x\in A)\;y=f(x).</math>

Односно, функција је сурјекција [[ако и само ако]] су сви елементи кодомена нечије слике. Сурјекција по дефиницији дозвољава „дупле копије“, тј. да се више елемената из домена пресликавају у исти елемент кодомена.

=== Инјективно пресликавање ===
; Дефиниција: Функција <math>f:A\rightarrow B</math> зове се ''[[инјективно пресликавање|инјекција]]'', или ''[[инјективно пресликавање|"1-1"-пресликавање]]'', ако важи:
:<math>(\forall x_1,x_2\in A)(f(x_1)=f(x_2))\Rightarrow (x_1=x_2).</math>

Дакле, иста копија не може бити резултат копирања различитих оригинала. Инјекција по дефиницији дозвољава да у скупу копија постоје елементи који уопште нису резултат пресликавања.

=== Бијективно пресликавање ===
; Дефиниција: Функција која је сурјекција и инјекција зове се ''[[бијекција]]''.

Бијекцију називамо и ''обострано једнозначно'' пресликавање.

== Функција реалне променљиве ==

Како у [[математичка анализа|математичкој анализи]], тако и у још појединим областима математике, а можда и у целој [[математика|математици]], функција која се можда и најчешће користи је тзв. ''функција реалне променљиве''.

Под [[функција реалне променљиве|функцијом реалне променљиве]], мисли се на функцију <math>f:X\rightarrow Y,</math> где је <math>X \subseteq \mathbb{R}</math> и <math>Y = \mathbb{R}.</math> Другим речима, функција реалне променљиве је свака функција чији је домен подскуп скупа реалних бројева <math>\mathbb{R}</math> или цео скуп <math>\mathbb{R}</math>, а кодомен јој је <math>\mathbb{R}</math>.

Следећа табела садржи неколико посебно важних типова функција реалне вредности:
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
! style="width: 50%;"| [[Линеарна функција]] !! style="width: 50%;"| [[Квадратна функција]]
|-
| [[Датотека:Gerade.svg|мини|Линеарна функција|центар]] || [[Датотека:Polynomialdeg2.svg|мини|Квадратна функција.|центар]]
|-
| ''f''(''x'') = ''ax'' + ''b''. || ''f''(''x'') = ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''.
|-
! [[Непрекидна функција|Дисконтинуирана функција]] !! [[Тригонометријске функције]]
|-
| [[Датотека:Signum function.svg|мини|[[Сигнум функција]] није непрекидна, пошто „скаче“ у 0.|центар]] ||
[[Датотека:Sine cosine one period.svg|мини|Синусне и косинусне функције.|центар]]
|-
| Грубо речено, непрекидна функција је она чији график се може нацртати без подизања оловке. || ''f''(''x'') = sin(''x'') (црвено), ''f''(''x'') = cos(''x'') (плаво)
|}

== Парност функције ==
{{главни чланак|Парност функције}}
[[Датотека:Parabola2.svg|50p|мини|десно|Функција <math>f(x) = x^2</math> је [[парност функције|парна функција]].]]
[[Датотека:Function x3.svg|50p|десно|мини|Функција <math>f(x) = x^3</math> је [[парност функције|непарна функција]].]]
; Дефиниција: За скуп <math>X \subset \mathbb{R}</math> кажемо да је симетричан, ако за свако <math>x \in X</math> и <math>-x \in X</math>.

Функцију дефинисану на симетричном скупу називамо [[парност функције|парном]], ако за је свако <math>x \in X, f(x) = f(-x)</math>. Свака парна функција је симетрична у односу на ''y'' осу.

Функцију дефинисану на симетричном скупу називамо [[парност функције|непарном]], ако за је свако <math>x \in X, f(x) = -f(-x)</math>.
Свака непарна функција је симетрична у односу на координатни почетак.

Већина функција није ни парна, ни непарна, али се свака функција дефинисана на симетричном подскупу може представити као збир парне и непарне функције.

== Периодичност функције ==
{{главни чланак|Периодичност функције}}
[[Датотека:Periodic function illustration.svg|мини|лево|200п|Илустрација периодичне функције са периодом <math>P.</math>]]

; Дефиниција: За функцију реалне променљиве <math>f:X\rightarrow \mathbb{R}</math> кажемо да је [[периодичност функције|периодична]] са [[Период осциловања|периодом]] <math>T</math>, ако постоји <math>T> 0</math> такво да важи:

:<math>f(x+T) = f(x).</math>

Најмањи такав број <math>T</math> (ако постоји), назива се ''основним периодом'' функције <math>f</math>.

Интересантна периодична функција је, рецимо: [[Дирихлеова функција]] <math>D\colon\R\mapsto\{0,1\}</math> дефинисана као:
: <math>D(x) = \begin{cases}1, &      x\in \mathbb Q, \\
 0, & x \in \mathbb R \backslash \mathbb Q, \end{cases}</math>

која је периодична, али нема најмањи период.

== Монотоност функције ==
{{главни чланак|Монотоност функције}}
; Дефиниција: [[Монотоност функције]] означава својство оних функција које задовољавају било који од следећих услова:

* растућа функција
:<math>(\forall x_{1},x_{2} \in X) (x_{1} \le x_{2} \rightarrow f(x_{1}) \le f(x_{2}))</math>
* строго растућа функција
:<math>(\forall x_{1},x_{2} \in X) (x_{1} < x_{2} \rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2}))</math>
* опадајућа функција
:<math>(\forall x_{1},x_{2} \in X) (x_{1} \le x_{2} \rightarrow f(x_{1}) \ge f(x_{2}))</math>
* строго опадајућа функција
:<math>(\forall x_{1},x_{2} \in X) (x_{1} < x_{2} \rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2}))</math>

За функцију која задовољава ово својство (тј. било које од четири наведена својства) кажемо да је ''монотона'' на [[домен (математика)|кодомену]]. Специјално, за функцију која задовољава друго или четврто својство од четири наведена, кажемо да је ''строго монотона'' на кодомену.

== Инверзна функција ==
{{главни|Инверзна функција}}

Ако је -{ƒ}- функција од ''X'' до ''Y'', тада је '''инверзна функција''' за -{ƒ}-, означена са -{ƒ<sup>−1</sup>}-, функција у супротном смеру, од ''Y'' до ''X'', са особином да [[композиција функција|композиција]] враћа сваки елемент у самог себе. Свака функција не поседује своју инверзну функцију; оне које је имају називају се '''инверзибилним'''.

Као пример, ако је -{ƒ}- конвертује температуру из [[Степен целзијуса|Целзијуса]] у [[Фаренхајт]]е, функција која конвертује степене Фаренхајта у степене Целзијуса би била одговарајућа функција -{ƒ<sup>−1</sup>}-.
:<math>\begin{align}
 f(C) &= \tfrac95 C + 32 \\
 f^{-1}(F) &= \tfrac59 (F - 32)
\end{align}</math>

== Испитивање тока функције ==

Испитивање тока функције <math>f(x)</math> се састоји од одређивања низа својстава.

=== Подручје дефиниције ===
За одређивање подручја дефиниције функције <math>f(x)</math> потребно је познавати елементарне функције

=== Парност ===
Парност функције <math>f(x)</math> проверава се помоћу дефиниције:

Функција <math>f(x)</math> је парна ако је <math>f(-x)=f(x)</math> за сваки <math>x\in \mathcal{D}</math>, а непарна ако је <math>f(-x)=-f(x</math>) за сваки <math>x\in \mathcal{D}</math>. Код парне и непарне функције подручје дефиниције мора бити симетрично у односу на координатни почетак <math>O(0,0)</math>.

;Primer

<math>\displaystyle x^n, \qquad n\in\mathbb{N}</math>

је парна за <math>n=2k</math> паран, а непарна за <math>n=2k+1</math> непаран, па је:

<math>\displaystyle f(-x)=(-x)^n=(-1)^n x^n=(-1)^n f(x)</math>.

Функција <math>\vert x\vert</math> је парна: ако је <math>x>0</math>, тада је <math>-x<0</math> па вреди

<math>\displaystyle \vert-x\vert=-(-x)=x=\vert x\vert</math>

За <math>x<0</math> je <math>-x>0</math> па вреди

<math>\displaystyle \vert-x\vert=-x=\vert x\vert</math>

=== Периодичност ===
Периодичност функције проверава се помоћу дефиниције

;Функција <math>f(x)</math> је периодична ако постоји број <math>P\neq 0</math> такав да за сваки <math>x\in \mathcal{D}</math> вреди
;<math>\displaystyle f(x+P)=f(x)</math>

Тада мора вредети <math>x+P\in\mathcal{D}</math>. Најмањи такав позитивни број <math>P</math> основни период или период функције <math>f(x)</math>.

Примери периодичних функција су [[тригонометријске функције]].

Елементарна функција не може бити периодична ако не садржи неку од тригонометријских функција.

=== Нула функције ===
Нула функције одређују се решавањем једначине <math>f(x)=0</math>

=== Асимптоте функције ===
Асимптоте могу бити вертикалне, хоризонталне и косе. Одређују се налажењем лимеса и [[Лопиталово правило|Лопиталовим правилом]], ако је потребно.

Асимптота функције је права са особином да удаљеност између тачке на графику функције и те праве тежи ка нули <math>(0</math>) када тачка на графику одмиче у [[бесконачност]].

Права <math>x=x_0</math> је вертикална асимптота функције <math>f(x)</math> у тачки
<math>x_0</math> с леве стране ако је <math>\lim_{x\to x_0-0}f(x)=+\infty</math> или
<math>\lim_{x\to x_0-0}f(x)=-\infty</math>.

Права <math>x=x_0</math> је вертикална асимптота функције <math>f(x)</math> у тачки <math>x_0</math> с десне стране ако је

<math>\lim_{x\to x_0+0}f(x)=+\infty</math> или

<math>\lim_{x\to x_0+0}f(x)=-\infty</math>.

Вертикалне асимптоте се могу налазити у тачкама прекида функције или у отвореним рубовима подручја дефиниције.

;Пример
[[Датотека:Bekesib.JPG|мини|260п|Координатне осе као асимптоте функције <math>\frac{1}{x}</math>]]

Права <math>x=0</math> је вертикална асимптота функције <math>\frac{1}{x}</math> с обе стране.

Права <math>x=0</math> је вертикална асимптота функције <math>\ln x</math>, <math>\log x</math> i <math>\log_2 x</math> с десне стране. У овом случају вертикална асимптота се налази у рубу подручја дефиниције.

Права <math>y=y_0</math> је хоризонтална асимптота функције <math>f(x)</math> на левој страни ако је <math>\lim_{x\to -\infty}f(x)=y_0</math>.
Права <math>y=y_0</math> је хоризонтална асимптота функције <math>f(x)</math> на десној страни ако је <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=y_0</math>.

;Пример
Права <math>y=0</math> је хоризонтална асимптота функције <math>\frac{1}{x}</math> на обе стране, као и <math>y=0</math> хоризонтална асимптота функција <math>2^x</math> и <math>e^x</math> на левој страни.

Ако је

<math>\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=k, \qquad \lim_{x\to -\infty} (f(x)-kx)=l,</math>

при чему је

<math>\displaystyle k\neq 0,-\infty,+\infty, \qquad l\neq -\infty,+\infty</math> тада је права <math>y=kx+l</math> коса асимптота функције <math>f(x)</math> са леве стране.

Косу асимптоту функције <math>f(x)</math> са десне стране дефинишемо аналогно.

Удаљеност од тачке на кривој до асимптоте је <math>d(M,L)</math>. Према дефиницији асимптоте <math>d(M,L)\to 0</math> када <math>x\to +\infty</math>. Kako je <math>\cos \alpha\neq 0</math> константа, закључујемо да
<math>\displaystyle d(M,L)\to 0 \quad \Leftrightarrow \quad d(M,N)\to 0 \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x\to +\infty} \vert f(x)-(kx+l)\vert=0</math>.

Задњи услов, који је еквивалентан са

<math>\displaystyle \lim_{x\to +\infty} (f(x)-kx-l)=0</math> је нужан и довољан услов за постојање косе асимптоте.

Горња једнакост је еквивалентна са

<math>\lim_{x\to +\infty} (f(x)-kx)=l</math>.

<math>\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)-kx-l}{x}=0</math>
па је

<math> \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=k</math>.

При томе треба водити рачуна о следећем:
# тражење хоризонталних и косих асимптота лимеса када <math>x\to -\infty</math>
# асимптоте је најбоље тражити у описаном редоследу, <math>x\to +\infty</math> увек треба рачунати посебно
# треба обратити пажњу на случајеве парних корена када <math>x\to -\infty</math>,
;Пример

<math>\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^2}}{x}= -\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x^2}}{x}=-1</math>.

=== Екстреми функције ===
Код одређивања екстрема функције потребно је проверити нужне и довољне услове екстрема.

Провера нужних услова врши се по теорему

Нека је функција <math>f(x)</math> непрекидна у тачки <math>c</math>. Ако функција <math>f(x)</math> има локални екстрем у тачки <math>c</math>, тада је <math>c</math> критична тачка функције <math>f(x)</math>.

Потребно је наћи стационарне и критичне тачке по дефиницији

Нека је функција <math>f(x)</math> непрекидна у тачки <math>c</math>. Тачка <math>c</math> је стационарна тачка функције <math>f(x)</math> ако је <math>f'(c)=0</math>. Тачка <math>c</math> је критична тачка функције <math>f(x)</math>, ако је <math>c</math> стационарна тачка или ако <math>f(x)</math> није диференцијабилна у тачки <math>c</math>.

Потребно је одредити подручје дефиниције првог извода <math>f'(x)</math> и решити једначину <math>f'(x)=0</math>.

Провера довољних услова може се вршити на три начина:
* помоћу промене предзнака првог извода на основу теореме: Ако први извод <math>f'(x)</math> мења предзнак у критичној тачки <math>c</math>, тада функција <math>f(x)</math> има локални екстрем у тачки <math>c</math>. При томе вреди следеће: ако <math>f'(x)</math> мења предзнак са <math>-</math> на <math>+</math>, тада је <math>f(c)</math> локални минимум, а ако <math>f'(x)</math> мења предзнак са <math>+</math> на <math>-</math>, тада је <math>f(c)</math> локални максимум.

* помоћу другог извода на основу теореме: Нека је у стационарној тачки <math>c</math> функција <math>f(x)</math> два пута диференцијабилна. Ако је <math>f''(c)\neq 0</math>, тада функција <math>fx)</math> има локални екстрем у тачки <math>c</math>. При томе вреди сљедеће: ако је <math>f''(c)>0</math>, тада је <math>f(c)</math> локални минимум, а ако је <math>f''(c)<0</math>, тада је <math>f(c)</math> локални максимум.

* помоћу виших извода на основу теореме: Нека функција <math>f(x)</math> има у некој <math>\varepsilon</math> - околини тачке <nowiki>c</nowiki> непрекидног извода до укључиво реда <math>n</math>, при чему је <math>n\geq 3</math>. Нека је <math>\displaystyle f''(c)=f'''(c)=\cdots=f^{(n-1)}(c)=0, \qquad f^{(n)}(c)\neq 0.</math> Ако је <math>n</math> neparan, тада функција <math>f(x)</math> има инфлексију у тачки <math>c</math>. Ако је <math>n</math> паран и ако је уз то још и <math>f'(c)=0</math>, тада функција <math>f(x)</math> има локални екстрем у тачки <math>c</math> и то минимум за <math>f^{(n)}(c)>0</math> и максимум за <math>f^{(n)}(c)<0</math>.

=== Интервали монотоности ===
Након налажења првог извода <math>f'(x)</math> функције <math>f(x)</math> интервали монотоности се одређују по предзнаку од <math>f'(x)</math> на основу теореме: Нека је функција <math>f(x)</math> диференцијабилна на интервалу <math>(a,b)</math>. Тада вреди
* функција <math>f(x)</math> је растућа на интервалу <math>(a,b)</math> ако и само ако је <math>f'(x)\geq 0</math> за сваки <math>x\in(a,b)</math>
* Функција <math>f(x)</math> је опадајућа на интервалу <math>(a,b)</math> ако и само ако је <math>f'(x)\leq 0</math> за сваки <math>x\in(a,b)</math>
* Ако је <math>f'(x)>0</math> за сваки <math>x\in(a,b)</math>, тада је функција <math>f(x)</math> строго растућа на интервалу <math>(a,b</math>
* Ако је <math>f'(x)<0</math> за сваки <math>x\in(a,b)</math>, тада је функција <math>f(x)</math> строго опадајућа на интервалу <math>(a,b)</math>.

=== Конкавност и конвексност функције ===
Потребно је одредити други извод <math>f''(x)</math>, а затим интервале конвексности и конкавности помоћу теореме
: Нека је функција <math>f(x)</math> два пута диференцијабилна на интервалу <math>(a,b)</math>. Ако је <math>f''(x)>0</math> за сваки <math>x\in(a,b)</math>, тада је функција <math>f(x)</math> строго конвексна на интервалу <math>(a,b)</math>. Ако је <math>f''(x)<0</math> за сваки <math>x\in(a,b)</math>, тада је функција <math>f(x)</math> строго конкавна на интервалу <math>(a,b)</math>.

=== Тачке инфлексије ===
Потребно је наћи тачке у којима други извод <math>f''(x)</math> мења предзнак, односно тачке које испуњавају довољне услове инфлексије по теореми
: Нека је функција два пута диференцијабилна на некој <math>\varepsilon</math> околини тачке <math>c</math>, осим можда у тачки <math>c</math>. Ако <math>f''(x)</math> мења предзнак у тачки <math>c</math>, тада функција <math>f(x)</math> има инфлексију у тачки <math>c</math>.

За провјеру довољних услова инфлексије можемо користити и више изводе на основу теореме
: Нека функција <math>f(x)</math> има у некој <math>\varepsilon</math> околини тачке <math>c</math> непрекидне изводе до укључиво реда <math>n</math>, при чему је <math>n\geq 3</math>. Нека је
: <math>\displaystyle f''(c)=f'''(c)=\cdots=f^{(n-1)}(c)=0, \qquad f^{(n)}(c)\neq 0.</math>
Ако је <math>n</math> непаран, тада функција <math>f(x)</math> iма инфлексију у тачки <math>c</math>. Ако је <math>n</math> паран и ако је уз то још и <math>f'(c)=0</math>, тада функција <math>f(x)</math> има локални екстрем у тачки <math>c</math> и то минимум за <math>f^{(n)}(c)>0</math> и максимум за <math>f^{(n)}(c)<0</math>.

У том случају потребно је прво наћи тачке у којима је други извод <math>f''(x)</math> једнак нули, односно тачке које задовољавају нужан услов инфлексије по теореми
: Ако функција <math>f(x)</math> има инфлексију у тачки <math>c</math> и ако <math>f''(c)</math> постоји, тада је <math>f''(c)=0</math>.

=== Граф функције ===
График функције се црта на основу добијених информација.<ref>{{cite book |title=Theory of Recursive Functions and Effective Computation |url=https://archive.org/details/theoryrecursivef00roge |author=Hartley Rogers, Jr |authorlink=Hartley Rogers, Jr |publisher=MIT Press |pages=[https://archive.org/details/theoryrecursivef00roge/page/1 1]–2 |year=1987 |isbn=0-262-68052-1}}</ref>

== Остале особине ==

Постоји много посебних класа функција које су важне за појединачне гране математике, или за појединачне примене.
 
Ово је делимичан списак таквих функција:
{{columns-list|3|
* бијекција, инјекција и сурјекција, или појединачно:
** [[инјективна функција|инјективна]], [[сурјективна функција|сурјективна]] и [[бијекција|бијективна функција]]
* [[непрекидна функција|непрекидна]]
* [[диференцијабилна функција]], [[интеграбилна функција|интеграбилна]]
* [[линеарна функција|линеарна]], [[полином]]и, [[рационална функција|рационална]]
* [[алгебарска функција|алгебарска]], [[трансцендентална функција|трансцендентална]]
* [[тригонометријска функција|тригонометријска]]
* [[фрактал]]
* [[Парност функције|парна или непарна]]
* [[конвексна функција|конвексна]], [[монотона функција|монотона]], [[једномодална функција|једномодална]]
* [[холоморфска функција|холоморфска]], [[Мероморфска функција|мероморфска]], [[цела функција|цела]]
* [[векторкса функција|векторска]]
* [[израчунљиве функције|израчунљиве]]
* [[функција целог дела]]
* [[функција реалне променљиве]]
}}

== Види још ==
{{Литература|15em}}
* [[Функција (топологија)]]
* [[Бијекција]]
* [[Инјективно пресликавање|Инјекција]]
* [[Сурјективно пресликавање|Сурјекција]]
* [[Линеарна функција]]
* [[Непрекидна функција]]
* [[Елементарне функције]]
* [[Експоненцијална функција]]
* [[Логаритам|Логаритамска функција]]
* [[Степена функција]]
* [[Тригонометријске функције]]
* [[Инверзна функција]]
* [[Хиперболичне функције|Хиперболичке функције]]
* [[Функција реалне променљиве]]
* [[Парност функције]]
* [[Периодичност функције]]
* [[Монотоност функције]]
{{Литература крај}}

== Референце ==
{{reflist|30em}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.
* {{cite book |ref=harv |last=Bartle |first=Robert |authorlink=Robert G. Bartle |title=The Elements of Real Analysis |year=1967|publisher=John Wiley & Sons}}
* {{cite book |ref=harv |last=Bloch |first=Ethan D. |title=Proofs and Fundamentals: A First Course in Abstract Mathematics |publisher=Springer |year=2011|isbn=978-1-4419-7126-5 |url=https://books.google.com/books?id=QJ_537n8zKYC}}
* {{cite book |ref=harv |last=Halmos |first=Paul R. |authorlink=Paul Halmos |year=1970 |title=Naive Set Theory |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-90092-6 |url=https://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC}}
* {{cite book |ref=harv |title=Calculus |first=Michael |last=Spivak |authorlink=Michael Spivak |edition=4th |year=2008 |publisher=Publish or Perish |isbn=978-0-914098-91-1 |url=https://books.google.com/books?id=7JKVu_9InRUC}}
* {{Cite book |last=Anton |first=Howard |title=Calculus with Analytical Geometry |url=https://archive.org/details/studentssolution00anto |year=1980 |publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]] |isbn=978-0-471-03248-9|pages=}}
* {{Cite book |last=Bartle |first=Robert G. |title=The Elements of Real Analysis |url=https://archive.org/details/elementsofrealan0000bart_s1b5 |edition=2nd |year=1976 |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-05464-1|pages=}}
* {{Cite book |title=The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy|publisher=Mathematical Association of America |year=1992 |first1=Ed |last1=Dubinsky |first2=Guershon |last2=Harel |isbn=0-88385-081-8}}
* {{Cite book |last=Hammack |first=Richard |title=Book of Proof |year=2009 |publisher=[[Virginia Commonwealth University]] |url=http://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/ |chapter=12. Functions |chapter-url=http://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/Functions.pdf |accessdate = 01. 08. 2012.}}
* {{Cite book |last=Husch |first=Lawrence S. |title=Visual Calculus |year=2001 |publisher=[[University of Tennessee]] |url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/ |accessdate=27. 09. 2007. |archive-date=24. 09. 2011 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110924071226/http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/ |url-status= }}
* {{Cite book |last=Katz |first=Robert |title=Axiomatic Analysis |year=1964 |publisher=[[D. C. Heath and Company]]}}
* {{Cite book |title=Evolution of the Function Concept: A Brief Survey |first=Israel |last=Kleiner |journal=The College Mathematics Journal |volume=20 |issue=4 |year=1989 |pages=282–300 |doi=10.2307/2686848|jstor=2686848 |publisher=Mathematical Association of America}}
* {{Cite book |title=The Cambridge History of Science: The modern physical and mathematical sciences |chapter=Between rigor and applications: Developments in the concept of function in mathematical analysis |first=Jesper |last=Lützen |url=https://books.google.com/books?id=B3WvWhJTTX8C&pg=PA468 |editor=Roy Porter |publisher=Cambridge University Press |year=2003 |isbn=0521571995}} An approachable and diverting historical presentation.
* {{Cite book |title=Historical and pedagogical aspects of the definition of function |last=Malik |first=M. A. |journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology |volume=11 |issue=4 |year=1980 |pages=489–492 |doi=10.1080/0020739800110404}}
* {{cite book|author=Reichenbach, Hans|title=Elements of Symbolic Logic |location= |publisher= |year=1947|isbn=978-0-486-24004-6}}, Dover Publishing Inc., New York NY, .
* {{Cite book |last=Ruthing |first=D. |title=Some definitions of the concept of function from Bernoulli, Joh. to Bourbaki, N. |journal=Mathematical Intelligencer |volume=6 |issue=4 |pages=72–77 |year=1984}}
* {{Cite book |last1=Thomas |first1=George B. |last2=Finney |first2=Ross L. |title=Calculus and Analytic Geometry |edition=9th |year=1995 |publisher=[[Addison-Wesley]] |isbn=978-0-201-53174-9|pages=}}

{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Functions}}
* [http://functions.wolfram.com/functions.html списак категорија математичких функција]
* -{[https://www.khanacademy.org/math/algebra/algebra-functions Khan Academy: Functions, free online micro lectures] {{Wayback|url=https://www.khanacademy.org/math/algebra/algebra-functions |date=20130123200650 }}}-
* {{springer|title=Function|id=p/f041940}}
* {{MathWorld| title=Function| id=Function}}
* -{[http://functions.wolfram.com/ The Wolfram Functions Site] }-
* -{[http://www.shodor.org/interactivate/activities/FunctionFlyer/ Shodor: Function Flyer]}-
* -{[http://math.hws.edu/xFunctions/ xFunctions]}-
* -{[http://rechneronline.de/function-graphs/ Draw Function Graphs]}-
* -{[http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/FunctionMain.shtml Functions]}-
* -{[http://www.apronus.com/provenmath/cartesian.htm Function at ProvenMath]}-
* -{[https://web.archive.org/web/20101130023249/http://sporkforge.com/math/fcn_graph_eval.php Comprehensive web-based function graphing & evaluation tool]}-
* -{[https://web.archive.org/web/20130730061738/http://www.abstractmath.org/MM/MMFunctions.htm Abstractmath.org articles on functions]}-

{{Математичка анализа}}
{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Математика]]
[[Категорија:Функције и пресликавања| ]]
[[Категорија:Теорија скупова]]
[[Категорија:Математичке релације]]
[[Категорија:Елементарна математика]]
[[Категорија:Математичка анализа]]