Изворни код странице Фрактал

[[Датотека:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|250п|десно|мини|[[Манделбротов скуп]] је чувени пример фрактала.]]
[[Датотека:Dragon_curve_animation.gif|мини|десно|300p|[[Змајева крива]]]]
'''Фрактал''' је „[[геометријски лик]] који се може разложити на мање делове тако да је сваки од њих, макар приближно, умањена копија целине“.{{sfn|Mandelbrot|1982|pp=}} Још се каже да је такав лик сам себи сличан. Термин је извео [[Беноа Манделброт]] [[1975]].<ref>{{Cite book|title=Measure, Topology, and Fractal Geometry |last=Edgar|first=Gerald  |year=2008|publisher=Springer Science+Business Media|location= New York |isbn=978-0-387-74748-4 |pages=VII}}</ref> године из [[Латински језик|латинске]] речи ''-{fractus}-'' која има значење „сломљен“, „разломљен“.

Фрактал често има следеће особине:<ref>Falconer, ''Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications''}-, стр. -{xxv</ref>{{sfn|Falconer|1982|pp=}}
* фину структуру на произвољно малом увећању;
* превише је неправилан да би могао бити описан традиционалним [[еуклидова геометрија|еуклидским језиком]];
* сам је себи сличан (макар приближно или стохастично);
* [[Хауздорфова димензија|Хауздорфову димензију]] која је већа од његове [[Тополошка димензија|тополошке димензије]] (иако овај услов не испуњавају [[бесконачно густе криве]] као што је [[Хилбертова крива]]);<ref name="patterns">{{harvnb|Briggs|1992|p=148}}</ref><ref>The Hilbert curve map is not a homeomorhpism, so it does not preserve topological dimension. The topological dimension and Hausdorff dimension of the image of the Hilbert map in R<sup>2</sup> are both 2. Note, however, that the topological dimension of the ''graph'' of the Hilbert map (a set in '''R'''<sup>3</sup>) is 1.</ref>
* једноставну и [[Рекурзивна дефиниција|рекурзивну дефиницију]].

Пошто се чине сличним на свим нивоима увећања, фрактали се често сматрају бесконачно комплексним у неформалном смислу речи. Природни облици који апроксимирају фрактале до извесне границе су [[Облак|облаци]], планински венци, [[Муња|муње]], морске обале, и снежне пахуљице. Међутим, нису сви објекти који су сами себи слични истовремено и фрактали – пример је [[реална права]] која је формално сама себи слична, али не поседује остале особине фрактала.

== Историја ==
[[Датотека:Animated construction of Sierpinski Triangle.gif|лево|180п|мини|Анимирана конструкција [[Троугао Сјерпињског|троугла Сјерпињског]].]]
[[Математика]] која се налази у основи фрактала почела је да поприма свој облик у [[17. век]]у када је математичар и филозоф [[Готфрид Вилхелм Лајбниц|Лајбниц]] разматрао особину [[Рекурзија|рекурзивне]] сличности самом себи, иако је он, грешком, сматрао да је само права линија слична самој себи у том смислу. Тек [[1872]]. године појављује се прва функција чији бисмо график данас сматрали фракталом, када је [[Карл Вајерштрас]] дефинисао [[Вајерштрасова функција|функцију]] која је имала неинтуитивну особину да је на целој области дефинисаности била [[Непрекидна функција|непрекидна]], али да ни у једној тачки није била [[извод|диференцијабилна]]. Три деценије касније, [[1904]]. године [[Хелг Кох]], незадовољан Вајерштрасовом превише апстрактном и аналитичком дефиницијом, у свом раду ''О једној непрекидној кривој без тангенти, добијеној помоћу елементарне геометријске конструкције'' (''-{Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction geometrique elementaire}-'') објављеном у часопису -{Arkivfor Matematik}-<ref>-{Novak, ''Thinking in Patterns: Fractals and Related Phenomena in Nature''}-. стр. 177.</ref><ref>{{Cite book|title=Thinking in Patterns: Fractals and Related Phenomena in Nature |editor= Miroslav M. Novak |year=2004|publisher=World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd|location=  |isbn=978-981-238-822-3|pages=}}</ref> даје геометријски дефиницију криве која је данас позната као [[Кохова пахуља|Кохова пахуљица]]. [[1915]]. године [[Вацлав Сјерпињски]] је конструисао свој [[Троугао Сјерпињског|троугао]], а годину дана касније и [[тепих Сјерпињског]]. У оригиналу, сви ти [[геометријски фрактали]] су били описани као криве, а не као дводимензионални облици, како се третирају у модерним дефиницијама. Идеју о кривама које су сличне саме себи је даље развио [[Пол Пјер Леви]], који је [[1938]]. године у свом раду ''Раванске или просторне криве и површи које су састављене од делова сличних целини'' (''-{Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole}-'') описао нову фракталну криву, познату данас као [[Левијева Ц крива]].

И [[Георг Кантор]] је, у периоду 1879—1884, када је објављивао серију од шест чланака који су заједно били увод у његову [[Теорија скупова|теорију скупова]], разматрао примере подскупова реалне праве са неуобичајеним особинама. Ти [[Канторови скупови]] су данас сврстани у фрактале.

Пред крај [[19. век|19]]. и почетком [[20. век]]а [[Анри Поенкаре]], [[Feliks Klajn|Феликс Клајн]], [[Пјер Фату]] и [[Гастон Жулија]] су истраживали итерирајуће функције у [[Комплексна раван|комплексној равни]]. Међутим без помоћи графике савремених [[рачунар]]а, нису имали могућност визуелизације лепоте већине објеката које су открили.

[[Беноа Манделброт]] је шездесетих година 20. века почео да се бави самосличношћу у својим радовима као што је чланак ''Колико је дугачка британска обала? Статистичка самосличност и разломљене димензије'' (''-{How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension}-''), заснован на једном ранијем делу које је објавио [[Луис Фрај Ричардсон]].

Напокон, [[1975]]. године, Манделброт је употребио реч „фрактал“ да њоме означи објекат који је имао особину да му је [[Хауздорфова димензија]] већа од [[Тополошка димензија|тополошке]]. Ту математичку дефиницију је илустровао задивљујућом визуелизацијом добијеном помоћу рачунара. Већина генерисаних слика била је заснована на [[Рекурзија|рекурзији]], и тиме одредила општеприхваћено значење речи „фрактал“.

== Области појављивања и примене фрактала ==
Фрактали се често појављују као [[Атрактор|атрактори]] [[Динамички системи|динамичких система]], чак и у ситуацијама које се чине прилично једноставним (нпр. [[Жулијин скуп]]). У [[рачунарска графика|компјутерској графици]], фрактали се користе за генерисање слика које представљају природне објекте<ref>"Hunting the Hidden Dimension." ''Nova''. PBS. WPMB-Maryland. 28 October 2008.</ref>: [[облак]]е, снег, морске обале, планинске венце, хрпе отпада...

== Класификација фрактала ==
Према основној подели разликују се
* ''геометријски'',
* ''алгебарски'' и
* ''стохастични'' фрактали.

Поред тога, фрактали се, према постанку, могу поделити на ''природне'' и ''вештачке'', где се под вештачким фракталима подразумевају они до којих су дошли научници, а који, при произвољном увећању, задржавају особине фрактала. Код природних фрактала се јавља ограниченост области егзистенције - постоје максимална и минимална величина размере објекта за коју он поседује фракталне особине.

{| align="center" style="border-top: 1px solid  gray; border-right: 1px solid  gray; border-left: 1px solid  gray; border-bottom: 1px solid  gray"
|-
| [[Датотека:Mandelbrot-similar-x1.jpg|н]]
| [[Датотека:Mandelbrot-similar-x6.jpg|н]]
| [[Датотека:Mandelbrot-similar-x100.jpg|н]]
| [[Датотека:Mandelbrot-similar-x2000.jpg|н]]
|-
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Полазни Манделбротов скуп</small>
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Увећање шест пута</small>
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Увећање 100 пута</small>
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Фини детаљи подсећају<br />на полазни скуп</small>
|}

Фрактали се још деле на
* ''детерминисане'' (овде спадају геометријски и алгебарски фрактали) и
* ''недетерминисане'' (стохастичне фрактале).

У односу на степен самосличности, фрактали могу бити:
* ''потпуно самослични'' - највећи степен самосличности. Фрактал је идентичан самом себи на произвољном нивоу увећања. Ову особину имају фрактали кој се добијају помоћу [[Итеративна функција|итеративних функција]].
* ''скоро самослични'' - мање строг облик самосличности; фрактал делује приближно (али не и потпуно) идентичан самом себи на различитим нивоима увећања. Овакве фрактале чине умањене копије целог фрактала у изобличеним и дегенерисаним облицима. Обично су то фрактали који се добијају помоћу [[Рекурентна веза|рекурентних веза]].
* ''статистички самослични'' - најнижи ниво самосличности. Фрактал поседује нумеричке или [[Статистика|статистичке]] мере које се чувају кроз увећање или умањење. Најједноставније дефиниције фрактала тривијално указују на неку врсту статистичке самосличности (фрактална димензија је сама по себи нумеричка величина која се не мења са увећањем, односно умањењем). Овде спадају фрактали генерисани стохастичким процесима.

== Геометријски фрактали ==
[[Датотека:Mengersponge.gif|мини|лево|200п|[[Менгеров сунђер]]]]
[[Датотека:Cantorcubes.gif|мини|десно|200p|[[Канторов облак]]]]
'''Геометријски фрактали''' су први фрактали које су изучавали [[математичар]]и у [[19. век]]у, захваљујући њиховој очигледности, односно зато што је код њих одмах приметна особина самосличности.

[[Димензија|Дводимензионе]] геометријске фрактале је могуће добити задавањем произвољне [[крива|криве]] која ће послужити као ''генератор''. Затим се, у сваком следећем кораку, средњи део те криве замени генератором - умањеним ликом целе криве. [[Бесконачност|Бесконачним]] понављањем овог поступка добија се изломљена фрактална крива. Иако је та крива веома сложена, њен општи облик могуће је задати само генератором. На тај начин могу се генерисати [[змајева крива]], [[Кохова пахуља|Кохова крива]], [[Левијева крива]], [[крива Минковског]], [[#Пеанова крива|Пеанова крива]] и [[#Хилбертова крива|Хилбертова крива]].

Поред наведених фракталних кривих, у геометријске фрактале спадају и [[Канторов скуп]], као и његова вишедимензиона уопштења, Канторова прашина (у равни) и Канторов облак (у простору), [[троугао Сјерпињског]], [[тепих Сјерпињског]], [[Питагорино дрво]] и [[Менгеров сунђер]].

== Бесконачно густе криве ==
'''Бесконачно густе криве''' су фракталне криве које након бесконачног броја итерација потпуно прекривају део <math>n</math>-димензионог [[Простор|простора]] у којем се налазе (<math> n>1</math>). Тако ће бесконачно густа крива у [[Раван|равни]] заузимати сваку тачку нпр. [[Квадрат|квадрата]], а у тродимензионом простору сваку тачку [[Коцка|коцке]]. Први их је описао италијански математичар [[Ђузепе Пеано]], па се све оне понекад називају Пеановим кривама.

=== Својства ===
[[Фрактална димензија|Фракталне димензије]] свих бесконачно густих кривих одговарају тополошкој димензији простора у којем се налазе, баш зато што испуњавају читав тај простор, иако је њихова тополошка димензија увек <math>1</math>. Дакле, фрактална димензија бесконачно густих кривих у [[Раван|равни]] (јединичном квадрату) је <math>2</math>, у [[Простор|простору]] (јединичној коцки) је <math>3</math> итд.

== Пеанова крива ==
'''Пеанова крива''' је прва описана бесконачно густа крива. Њу је [[1890]]. године описао италијански математичар Ђузепе Пеано.<ref>{{citation|first=G.|last=Peano|authorlink=Giuseppe Peano|title=Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane|journal=Mathematische Annalen|volume=36|issue=1|year=1890|doi=10.1007/BF01199438|pages=157-160}}</ref>

=== Конструкција ===
Пеанова крива се конструише низом [[итерација]]. Прва итерација је задата каква јесте. Наредну итерацију добијамо на следећи начин: 
* Претходну итерацију посматрамо као квадрат и поделимо га на 9 нових квадрата једнаких величина.
* Сваки од тих квадрата заменимо 9 пута умањеним квадратом из претходне итерације. 
* Затим се изврши хоризонтална, односно вертикална [[рефлексија]] квадрата, како би спајање било коректно извршено. 
* На крају, криве у квадратима се споје у једну непрекидну криву.
{| align="лево" 
|-
| [[Датотека:Peanocurve.png|мини|700п]]
|-
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Прве три итерације Пеанове криве</small>
|}

Постоји велики број варијанти Пеанових кривих, у зависности изгледа прве итерације и поделе на квадрате.

== Хилбертова крива ==
[[Датотека:Hilbert curve.gif|thumb|260x260п|Анимирана конструкција Хилбертове криве у првих 8 итерација]]
При конструкцији Хилбертове криве користи се идеја базирана на подели квадрата на 4 мања, уместо на 9 мањих квадрата једнаких величина.

'''Хилбертова крива''' је бесконачно густа крива коју је описао [[Немачка|немачки]] математичар [[Давид Хилберт]] [[1891]].<ref>D. Hilbert: [http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN235181684_0038&DMDID=dmdlog40 Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück.] Mathematische Annalen 38 (1891), 459—460.</ref> године.

Хауздорфова димензија Хилбертове криве је <math>2</math>. Иако је Хилбертова крива у равни ограничена квадратом, њена дужина експоненцијално расте са бројем итерација и износи <math>H_n=2^n-\frac{1}{2^n}</math>.

=== Конструкција ===
Конструкција је слична конструкцији Пеанове криве. Прво, задају се две почетне итерације (онакве какве јесу), а затим се у свакој наредној итерацији сви сегменти слични кривој из прве итерације замене читавом кривом из друге итерације. Даља конструкција се може извршити на два начина, иако је резултат потпуно исти:
* <math>n</math>-ту итерацију добијемо ако у <math>(n-1)</math>-ој итерацији сваки сегмент сличан кривој из прве итерације заменимо читавом '''другом''' итерацијом.
* <math>n</math>-ту итерацију добијемо ако у <math>(n-1)</math>-ој итерацији сваки сегмент сличан кривој из претходне итерације заменимо '''том''' читавом итерацијом.
{| align="лево" 
|-
| [[Датотека:Hilbert_curve_1.svg|мини|220п]]
| [[Датотека:Hilbert_curve_2.svg|мини|220п]]
| [[Датотека:Hilbert_curve_3.svg|мини|220п]]
|-
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Прва итерација</small>
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Прва и друга итерација</small>
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Прве три итерације</small>
|}
Хилбертова крива у простору се прави једноставном аналогијом.
{| align="лево" 
|-
|
|
| [[Датотека:Hilbert3d-step1.png|мини|центар|200п|]]
|
|
|
|
| [[Датотека:Hilbert3d-step2.png|мини|центар|200п|]]
|
|
|
|
| [[Датотека:Hilbert3d-step3.png|мини|центар|200п|]]
|
|
|
|
| [[Датотека:Hilbert3d-step4.png|мини|центар|200п|]]
|
|
|-
|
|
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Прва итерација</small>
|
|
|
|
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Друга итерација</small>
|
|
|
|
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Трећа итерација</small>
|
|
|
|
|style="text-align: center; vertical-align: top;" | <small>Четврта итерација</small>
|
|
|}

==== Конструкција коришћењем -{L}--система ====
* Почетак:<math>L</math>
* Правила:
** <math>L</math>→ <math>+RF-LFL-FR+</math>
** <math>R</math>→ <math>-LF+RFR+FL-</math>
* Значење:
** <math>F</math><math>=</math> "цртај напред"
** <math>-</math> <math>=</math> "окрени у смеру казаљке на сату за <math>\frac{\pi}{2}</math> "
** <math>+</math> <math>=</math> "окрени у смеру супротном од смера казаљке на сату за <math>\frac{\pi}{2}</math> "

=== Примене ===
Хилбертова крива има вишеструке примене у разним областима, а највише у рачунарству и информатици. Користи се код -{IP}- адреса рачунара, како би могла да се конструише слика мреже. Код за генерисање слике ће претворити -{2D}- у -{1D}- да би нашао боју сваког пиксела, а Хилбертова крива се понекад користи јер блиске -{IP}- адресе у слици чува једну близу друге. Такође је нашла примену у мултидимензионим базама података - при тражењу записа могу помоћи у одређивању приоритета претраге. Користе се и при изради црно-белих фотографија. Хилбертове криве у већим димензијама представљају генерализацију [[Грејев код|Грејевог кода]], и користе се у сличне сврхе.

== Алгебарски фрактали ==
'''Алгебарски фрактали''' су они фрактали за чију се конструкцију користе итеративне нелинеарне [[Функција (математика)|функције које]] се задају једноставним алгебарским [[формула]]ма.

[[Датотека:Newtroot 1 0 0 m1.png|desno|thumb|250п|Нуле функције трећег степена у комплексној равни
* све тачке исте боје конвергирају ка једном решењу]]
У [[16. век]]у италијански математичари су развили егзактне формуле за решавање алгебарских [[једначина]] трећег и четвртог степена, а почетком [[19. века]] математичар [[Нилс Абел]] доказао је да не постоје универзалне методе којима би се решавале једначине петог и вишег степена. Но, такве се једначине могу решавати [[апроксимација|приближно]], до потребне тачности. Методе приближног решавања једначина развијале су се током више векова. [[Исак Њутн]] је развио специфичну итеративну методу коју је касније усавршио [[Џозеф Рафсон]].
{{multiple image
| caption_align=center
| header_align=center
| align = right
| direction = vertical
| width = 200
| header = Апроксимација функција
| image1 = Approximation of (xx)-4.png
| alt1 = <math>f(x)=\frac{x^2}{4}</math>
| caption1 = <math>f(x)=\frac{x^2}{4}</math>
| image2 = Approximation-of-sin(x).png
| alt2 = <math>f(x)=\sin x</math>
| caption2 = <math>f(x)=\sin x</math>
}}

Претпоставимо да нула непрекидне функције припада [[Интервал (математика)|интервалу]] <math>[A, B]</math>. Одаберемо једну од крајњих тачака интервала, на пример <math>A</math>, и одредимо тангенту у њој. Означимо тачку пресека <math>A'</math> тангенте и апсцисе и поступак поновимо примењен на интервал <math>[A', B]</math>. Поступак понављамо све док не постигнемо задовољавајућу тачност решења, односно док посматрани интервал не постане довољно мали. 

Треба приметити да у случајевима са слика са стране приближна решења постају све ближа стварном решењу, односно конвергирају му, иако су код леве функције "суседна" приближна решења увек са супротне стране стварног.

Ова метода може се применити и на [[комплексни бројеви|комплексну]] раван. Размотримо нуле комплексне функције <math>p(z) = z^3 - 1</math>.

Из графика са стране видимо да су границе три скупа сложене те да даљим повећавањем добијамо све већу сложеност. Осим тога, гранична подручја садрже подручја која су потпуно слична подручјима у којима се налазе. Другим речима, она поседују својство самосличности, односно то су [[фрактали]].

=== Жулијин скуп ===
[[Датотека:Julia set (ice).png|лево|thumb|250п|Жулијин скуп]]
'''Жулијин скуп (у ширем смислу)''' је граница [[скуп]]ова тачака <math>z_0=x+iy</math> у којима низ <math>\mathit{z}_{n+1} = f(z_n)</math> конвергира и скупа тачака за које тај низ дивергира. Овде <math>f(z_n)</math> може бити било која [[Функција (математика)|функција]]. 

'''Жулијин скуп (у ужем смислу)''' добијамо ако за функцију <math>f(z_n)</math> изаберемо <math>f(z_n)=z_n^2+c</math>.

Добио је име по [[Француска|француском]] математичару [[Гастон Жулија|Гастону Жулији]]<ref>Gaston Julia (1918) "Mémoire sur l'iteration des fonctions rationnelles," ''Journal de Mathématiques Pures et Appliquées'', vol. 8, pages 47—245.</ref>.

==== Конструкција ====
Ако се за сваку тачку комплексне равни <math>z_0=x+iy</math> дефинише низ <math>\mathit{z}_{n+1} = f(z_n)</math>, где је <math>f(z_n)</math> може бити било која функција, можемо дефинисати два скупа:скуп тачака<math>z_0</math> за које дефинисани низ конвергира и скуп тачака <math>z_0</math> за које тај низ дивергира, односно тежи у бесконачност<ref name="automatski generisano1">Beardon, ''Iteration of Rational Functions'', Theorem 5.6.2</ref>. Жулијин скуп (у ширем смислу) је граница тих скупова. Обично се Жулијин скуп, као и сви алгебарски фрактали, приказује тако да су тачке које конвергирају црне, а оне које дивергирају у разним нијансама исте или различитих боја . Нијанса боје зависи од брзине којом низ расте – што се више одмичемо од Жулијиног скупа, низ брже расте. Мењањем константе <math>c</math> у Жулијином скупу у ужем смислу добијамо најразличитије скупове<ref name="Peitgen1986">{{harvnb|Peitgen|Richter|1986|pp=}}</ref>.

==== Повезаност ====
Жулијин скуп је повезан ако је скуп који окружује [[компактан скуп|компактан]].<ref name="automatski generisano1" />. Ова је особина врло важна за дефиницију [[Манделбротов скуп|Манделбротовог скупа]].

<gallery>
Датотека:Julia-Menge.png|c=1-φ, φ = [[zlatni rez]]<br /> (повезан)
Датотека:Time escape Julia set from coordinate (phi-2, phi-1).jpg|c=(φ-2)+(φ-1)i = -0.4+0.6i<br /> (неповезан)
Датотека:Time escape Julia set from coordinate (0.285, 0).jpg|c=0.285+0i<br /> (неповезан)
Датотека:Julia set (highres 01).jpg|c=0.285+0.01i<br /> (неповезан)
Датотека:Julia_set_camp3.jpg|c=0.45+0.1428i<br /> (неповезан)
Датотека:Julia_set_camp1.jpg|c=-0.70176-0.3842i<br /> (повезан)
</gallery>

=== Манделбротов скуп ===
[[Датотека:Mandelset hires.png|thumb|250п|'''Манделбротов скуп''' у комплексној равни]]

Манделбротов скуп је најсавршенији од свих фрактала. Одређен је рекурентном функцијом <math>z_{n+1} = z_{n^2} + c</math>, где је <math>c</math> комплексан број такав да је Жулијин скуп повезан. 

Тачније, Манделбротов скуп је скуп свих комплексних бројева <math>c</math> таквих да је, за почетни услов <math>z_0 = 0</math>, модуо комплексног броја <math>z_{n+1} = z_{n^2} + c</math> ограничен.

Све тачке Манделбротовог скупа <math>M</math> леже унутар круга полупречника 2. Наиме:

<math>z_0 = 0,\quad z_1 = c,\quad z_2 = c^2+c, \ldots, z_{n+1} = z_{n^2} + c</math>

<math>c\in M\ \Longleftrightarrow \ \lim_{n\rightarrow\infty} |z_{n+1}|\leq 2</math>.

Разни самослични фрактали, којима припада и Манделбротов, најједноставније се конструишу уз помоћ [["escape - time"]] алгоритма.

Псеудо код за цртање Манделбротовог скупа:
<source lang="C">
ulaz: sirina i visina ekrana;
      maksimalni broj iteracija max_iter;
      niz[];

begin

for i := 0 to visina do
  for j := 0 to sirina do

    Re_c = (j - sirina / 2) * 4 / sirina;
    Im_c = (i - visina / 2) * 4 / sirina;

    x = 0; y = 0;
    iter = 0;

    while x * x + y * y <= 4 and iter < max_iter do
      tmp = x * x - y * y + Re_c;
      y = 2 * x * y + Im_c;
      x = tmp;
      iter++;

    if iter < max_iter then
      oboji_piksel(j, i, boja[iter]);
    else
      oboji_piksel(j, i, crno);

end
</source>

=== Горући брод ===

Горући брод је фрактал којег су описали Мајкл Микетлиш и Ото Рослер 1992. Конструише се на сличан начин као и Жулијин скуп: за сваку тачку комплексне равни <math>z_0 = x_0 + iy_0</math> одреди низ тачака <math>z_{n+1} = x_{n+1} + iy_{n+1}</math> tako da je <math>x_{n+1} = x_n^2 - y_n^2 - x_0</math> и <math>y_{n+1} = 2|x_n y_n|- y_0</math>. Тачке које након много итерација конвергирају ка једној вредности припадају скупу, па се обоје једном бојом. Остале тачке дивергирају и обоје се различитим нијансама, зависно од тога колико брзо дивергирају.

[[Датотека:BurningShip01.png|лево|мини|300п|Горући брод је скуп белих тачака]]
[[Датотека:BurningShip02.png|десно|мини|300п|Увећан доњи леви део слике лево који показује самосличност фрактала]]

=== Њутнов фрактал ===

[[Датотека:Colored Newton Fractal 2.png|desno|thumb|250п|'''Њутнов фрактал''' за полином седмог степена]]

[[Њутнова метода]] за налажење корена функције се базира на, такође, итеративном процесу. Њутнов фрактал је управо граница скупа у комплексној равни дефинисаног Њутновим методом примењеним на полином комплексног броја. Са Манделбротовим скупом, Њутнов метод је повезан на најневероватнији начин. Испитиван је Њутнов метод над одређеном кубном комплексном функцијом. На комплексној равни са три боје су обележаване тачке које би као почетне довеле до откривања корена једнаком <math>1</math>, тачке које би конвергирале ка неком од преостала два корена и тачке које су упадале у циклусе између бар два корена. Увеличавањем добијене слике откривен је фрактал Манделбротовог скупа, онако како га знамо за квадратну итеративну функцију, а припадао је области тачака које нису конвергирале ка само једном корену.

За неке веома једноставне физичке системе (механички, магнетни, оптички, итд.) показује се да су атракторске области коренова изразито фрактално разломљене и једноставни системи постају практично непредвидљиви. Њихово коначно стање драстично зависи од почетних услова и ово је прва назнака повезаности фрактала и хаоса.

== Види још ==
* [[Систем итериране функције]]

== Референце ==
{{reflist|30em}}

== Литература ==
{{Литература|2}}
* {{Cite book|ref=harv|last=Peitgen|first=Heinz-Otto|last2=Richter|first2=Peter|year=1986|publisher=Springer-Verlag |location=Heidelberg |title=[[The Beauty of Fractals]] |isbn=978-0-387-15851-8|pages=}}
* {{Cite book|ref=harv|title=The Fractal Geometry of Nature |url=https://archive.org/details/fractalgeometryo00beno|last=Mandelbrot|first=B.B.  |year=1982|publisher=W.H. Freeman and Company|location=  |isbn=978-0-7167-1186-5|pages=}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Measure, Topology, and Fractal Geometry |last=Edgar|first=Gerald  |year=2008|publisher=Springer Science+Business Media|location= New York |isbn=978-0-387-74748-4 |pages=VII}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications |last=Falconer|first=Kenneth|year=1982|publisher=John Wiley & Sons, Ltd|location=  |isbn=978-0-470-84862-3|pages=}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Thinking in Patterns: Fractals and Related Phenomena in Nature |editor= Miroslav M. Novak |year=2004|publisher=World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd|location=  |isbn=978-981-238-822-3|pages=}}

{{Литература крај}}
== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Fractals|Фрактали}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Fractal.html Фрактали] на -{mathworld.wolfram.com}- {{ен}}
* [https://web.archive.org/web/20130726081353/http://classes.yale.edu/Fractals/ Предавања о фракталима] са Универзитета Јејл {{ен}}
* [https://web.archive.org/web/20080611165709/http://www.pha.jhu.edu/~ldb/seminar/index.html Хаос и фрактали] {{ен}}
* [https://web.archive.org/web/20060901072024/http://math.rice.edu/~lanius/fractals/self.html Особине фрактала] {{ен}}
* [https://web.archive.org/web/20081028064943/http://eskola.hfd.hr/mini_projekt/mp7/fraktali_1.htm Фрактали - чудесне слике хаоса] {{хр}}
* [http://e.math.hr/fraknum/index.html Фрактални облици у нумеричким апроксимацијама] {{хр}}

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Фрактали| ]]
[[Категорија:Математичке структуре]]
[[Категорија:Дигитална уметност]]