Изворни код странице Угао

{{друго значење|село у општини Сјеница|[[Угао (Сјеница)]]}}
{{About|angles in geometry}}
[[Датотека:Two rays and one vertex.sr.png|мини|десно|250п|Угао формиран од два зрака који полазе из темена.]]
[[Датотека:Ugao00001.gif|мини|250п|Пример угла, оштар угао]]

'''Угао''' је део равни оивичен са две полуправе које имају заједнички почетак.<ref>{{harvnb|Sidorov|2001}}</ref> Угао затварају две [[полуправа|полуправе]] -{''a''}- и -{''b''}- (зраци) које исходе из једне [[Тачка (геометрија)|тачке]] -{''T''}-. Полуправе које затварају угао називају се '''крацима''' угла, а тачка из које исходе је његово '''теме'''. Када краци угла чине једну праву, угао се назива испруженим или равним. Углови формирани од два зрака који леже у равни, али та раван не мора да буде [[Two-dimensional space|Еуклидска раван]]. Углови се исто тако формирају укрштањем две равни у [[Еуклидов простор|Еуклидовом и другим просторима]]. Они се називају [[Диедар|диедарским угловима]].<ref>{{cite web |title=Angle Between Two Planes |url=https://math.tutorvista.com/geometry/angle-between-two-planes.html |website=TutorVista.com |accessdate=06. 07. 2018 |archive-date=28. 10. 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201028133313/https://math.tutorvista.com/geometry/angle-between-two-planes.html |url-status= }}</ref> Углови који се формирају пресецањем две криве у равни су дефинисани као углови одређени тангентним зрацима у тачки пресека. Сличне изјаве важе у простору, на пример, [[spherical angle|сферни угао]]<ref>{{citation|title=Spherical Astronomy|first=Robin Michael|last=Green|publisher=Cambridge University Press|year=1985|isbn=9780521317795|pages=3|url=https://books.google.com/books?id=wOpaUFQFwTwC&pg=PA3}}</ref> формиран помоћу две [[Велика кружница|велике кружнице]] на [[Сфера|сфери]] је диедарски угао између равни одређених великим кружницама.

''Угао'' се исто тако користи за означавање [[Мера (математика)|мере]] угла или [[Rotation (mathematics)|ротације]].<ref>{{cite news|last=Brannon |first=Rebecca M. |authorlink= |title=A review of useful theorems involving proper orthogonal matrices referenced to three-dimensional physical space. |publisher=[[Sandia National Laboratories]] |location=[[Albuquerque]] |url=http://www.mech.utah.edu/~brannon/public/rotation.pdf |year=2002}}</ref> Ова мера је однос дужине [[arc (geometry)|кружног лука]] и његовог [[Полупречник|радијуса]]. У случају геометријског угла, лук се центриран у тачки и ограничен на странама. У случају ротације, лук се центриран у средишту ротације и ограничен било којом тачком и њеним ротационим пресликавањем.

[[Еуклид]] дефинише равански угао као међусобни нагиб две линије у равни које се сусрећу, тј. не леже паралелно једна другој. Према [[Proclus|Проклу]] угао мора бити било квалитет или количина, или однос.<ref>{{harvnb|Rosan|1981|pp=45-49}}</ref> Први концепт је користио [[Eudemus of Rhodes|Еудем]], који је посматрао угао као одступање од [[Права (линија)|праве линије]]<ref>Leonid Zhmud, ''The Origin of the History of Science in Classical Antiquity''. Berlin, Walter de Gruyter, 2006 (Trans. from Russian by A Chernoglazov)</ref><ref>Leonid Zhmud, 'Eudemus’ History of Mathematics', In the ''Rutgers University Series in the Classical Humanities''. V. 11. Ed. by I. Bodnar, W. W. Fortenbaugh. New Brunswick 2002, 263–306</ref>; други је користио [[Carpus of Antioch|Карп из Антиохија]], који је сматрао угао интервалом или простором између линија које се пресецају<ref>Michael Taunton, (2001), ''Surveying Instruments of Greece and Rome'', pages 33–34. Cambridge University Press.</ref>; док је Еуклид прихватио трећи концепт, мада су његове дефиниције правог, оштрих и тупих углова свакако квантитативне.<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}</ref><ref>{{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref>

== Типови углова ==
=== Врсте углова ===
'''Оштар угао''' је мањи од правог угла (има мање од 90 степени)

'''Прав угао''' је једнак (конгруентан) свом суплементном углу. Прав угао износи 90° (степени), тј. <math>\frac{\pi}{2}</math> (радијана). Праве носиоци кракова правог угла називају се нормалне праве.

'''Туп угао''' већи од правог угла и мањи од опруженог угла.(има више од 90 степени и мање од 180 степени)

'''Опружен угао''' је угао чији краци образују праву. (има 180° (степени), тј. <math>\pi\,</math> (радијана)).

'''Конвексан угао''' је име којим се означавају оштар, прав, туп и испружен угао, мада у суштини је и пун и нул угао конвексан.

'''Конкаван угао''' већи од испруженог и мањи од пуног угла.

Као гранични случај уводе се и
'''Пун угао''' код којег се краци поклапају и унутрашња област са крацима покрива целу раван, има 360° (степени), тј. <math>2\pi\,</math> (радијана).
и
'''Нула угао''' код којег се краци поклапају и унутрашња област је празан скуп. Нул угао је величине 0° (степени), тј. 0 (радијана).

Имена, интервали и мерне јединице су приказане у следећој табели:

{{Multiple image
| align = right
| direction = horizontal
| image1 = Right angle.svg
| width1 = 140
| caption1 = [[Right angle|Прав угао]]
| image2 = Angle obtuse acute straight.svg
| width2 = 250
| caption2 = Оштар (<var>a</var>), туп (<var>b</var>), и опружен (<var>c</var>) угао. Оштри и тупи углови су исто тако познати као коси углови.
| image3 = Reflex angle.svg
| width3 = 100
| caption3 = Конкавни угао (неконвексни угао)
| total_width = 
| alt1 = 
| alt2 = 
}}

{|class = wikitable style="text-align:center;"
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | '''Име'''&nbsp;&nbsp;
|style = "width:3em;" | оштар
|style = "width:3em;" | прав угао
|style = "width:3em;" | туп
|style = "width:3em;" | опружени
|style = "width:3em;" | рефлекс
|style = "width:3em;" | перигон
|-
! Units !! colspan=10 | [[Интервал (математика)|Интервал]]
|-
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | '''[[Turn (geometry)|Обрта]]'''&nbsp;&nbsp;
|style = "width:3em;" | (0,&nbsp; {{sfrac|1|4}})
|style = "width:3em;" | {{sfrac|1|4}}
|style = "width:3em;" | ({{sfrac|1|4}},&nbsp; {{sfrac|1|2}})
|style = "width:3em;" | {{sfrac|1|2}}
|style = "width:3em;" | ({{sfrac|1|2}},&nbsp; 1)
|style = "width:3em;" | 1
|-
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | '''[[Радијан]]а'''
| (0, {{sfrac|1|2}}''{{pi}}'')
| {{sfrac|1|2}}''{{pi}}''
| ({{sfrac|1|2}}''{{pi}}'', ''{{pi}}'')
| ''{{pi}}''
| (''{{pi}}'', 2''{{pi}}'')
| 2''{{pi}}''
|-
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | '''[[Степен (угао)|Степени]]'''&nbsp;&nbsp;
|style = "width:3em;" | (0,&nbsp;90)°
|style = "width:3em;" | 90°
|style = "width:3em;" | (90,&nbsp;180)°
|style = "width:3em;" | 180°
|style = "width:3em;" | (180,&nbsp;360)°
|style = "width:3em;" | 360°
|-
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | '''[[Град (математика)|Гради]]'''&nbsp;&nbsp;
|style = "width:3em;" | (0,&nbsp;100)<sup>g</sup>
|style = "width:3em;" | 100<sup>g</sup>
|style = "width:3em;" | (100,&nbsp;200)<sup>g</sup>
|style = "width:3em;" | 200<sup>g</sup>
|style = "width:3em;" | (200,&nbsp;400)<sup>g</sup>
|style = "width:3em;" | 400<sup>g</sup>
|-
|}

=== Врсте парова углова ===

'''Суседна''' су два угла која имају заједнички крак, и један има унутрашњу област са једне а други са друге стране заједничког крака.

'''Напоредна или упоредна''' су два суседна угла која се допуњавају до испруженог.

'''Суплементна''' су два угла (не морају бити суседна) која се допуњавају до испруженог.

'''Комплементни''' углови су они који се допуњавају до правог угла.

'''Углови са паралелним крацима''' су два угла чији краци леже на паралелним правама. Углови са паралелним крацима су једнаки, ако су оба оштра или оба тупа или оба права угла, иначе се допуњавају до испруженог. Углови са паралелним крацима могу бити:

''' Сагласни углови''' (Паралелни краци имају исто усмерење. Ови углови су једнаки.)

''' Наизменични углови''' (Паралелни краци имају супротно усмерење. Ови углови су једнаки.)

''' Унакрсни углови''' су специјалан случај наизменичних углова, када им се врхови поклапају

''' Супротни углови''' (Један пар паралелних кракова има исто усмерење, а други пар имају супротно усмерење. Ови углови су суплементни.)

'''Углови са нормалним крацима''' су два угла чији краци леже на нормалним правама. Ови углови или су једнаки или су суплементни.

У Еуклидској геометрији, комплементни су оштри углови правоуглог [[троугао|троугла]].

Углови који настају '''пресеком две [[права (линија)|праве]]''' у истој [[раван|равни]] трећом називају се:
* '''Сагласни''': 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8;
* '''Наизменични''':1 и 7, 2 и 8, 3 и 5, 4 и 6;
* '''Супротни''': 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5;
* ''' Напоредни''': 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1.

[[Датотека:unakrsni.gif|мини|десно|250п|Пример углова у пресеку правих]]

=== Особине углова ===
'''Углови са паралелним крацима''': Нека су <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> два конвексна угла неке равни са паралелним крацима.

[[Датотека:Paralelni.gif|мини|лево|250п|У овом случају (случај 2.) углови су суплементни.]]

Тада:
# Ако су оба угла оштра, или оба тупа, они су међусобно једнаки;
# Ако је један угао оштар, а други туп, они су суплементни (тј. [[збир углова у троуглу]] је 180°)

'''Углови са нормалним крацима''': Нека су <math>pOq</math> и <math>p'Oq'</math> два конвексна угла неке равни са крацима таквим да је <math>p\perp p'</math> и <math>q\perp q'</math>.

[[Датотека:Normalni.png|мини|десно|250п|Нормални угао]]
Тада:
# Ако су оба угла оштра, или оба тупа, они су међусобно једнаки;
# Ако је један угао оштар, а други туп, они су суплементни

=== Еквивалентни парови углова ===
* За углове који имају исту меру (тј. једнаку магнитуду) се каже да су ''једнаки'' или ''[[Congruence (geometry)|конгруентни]]'' (подударни). Угао се дефинише својом мером и не зависио ог дужине страна угла (нпр. сви ''прави углови'' су једнаке величине).
* Два угла која деле терминалне стране, али се разликују по величини за целобројни умножак заокрета се зову ''котерминални углови''.
* ''Референтни угао'' је оштра верзија било ког угла одређеног поновљеним одузимањем или додавањем равног угла ({{sfrac|2}} заокрета, 180°, или {{math|π}} радијана), до резултата по потреби, све док величина резултата није оштар угао, вредност између 0 и {{sfrac|4}} заокрета, 90°, или {{sfrac|{{math|π}}|2}} радијана. На пример, угао од 30 степени има референтни угао од 30 степени, и угао од 150 степени исто тако има референтни угао од 30 степени (180–150). Угао од 750 степени има референтни угао од 30 степени (750–720).<ref>{{cite web|url=http://www.mathwords.com/r/reference_angle.htm|title=Mathwords: Reference Angle|author=|date=|website=www.mathwords.com|accessdate=26. 04. 2018|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20171023035017/http://www.mathwords.com/r/reference_angle.htm|archivedate=23. 10. 2017.}}</ref>

=== {{anchor|adjacent}} Вертикални и суседни парови углова ===
[[Датотека:Vertical Angles.svg|мини|150px|лево|Углови A и B су пар вертикалних углова; углови C и D су пар вертикалних углова.]]

Кад се две праве линије пресецају у тачки, формирају се четири угла. Парови ових углова се именују према њиховој локацији релативно једни према другима.
* Пар углова који су насупрот један другог, које формирају две пресецајуће праве линије се називају ''вертикални углови'' или ''супротни углови'' или ''вертикално супротни углови''. Они се скраћено обележавају са ''верт. суп. ∠s''.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>
: Једнакост вертикално супротних углова се назива ''теоремом вертикалних углова''. [[Eudemus of Rhodes|Евдем од Родоса]] је приписао доказ [[Талес из Милета|Талесу из Милета]].<ref>{{cite book|author=Euclid|authorlink=Euclid|title=[[Еуклидови Елементи|The Elements]], 300. п. н. е. |pages=}} Proposition I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} Предлогом је показано да пошто су оба вертикална угла суплементарна са оба суседна угла, вертикални углови су једнаке величине. Према једној историјској напомени,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} кад је Талес посетио Египат, он је уочио да кад год би Египћани нацртали пресецајуће линије, они би измерили вертикалне углове како би били сигурни да су једнаки. Талес је извео закључак да се може доказати да су сви вертикални углови једнаки, ако се прихвате неки општи појмови као што су: сви испружени углови су једнаки, једнаки додати једнаким су једнаки, и једнаки одузети од једнаких је једнаки.

:На слици, може се узети да је мера угла ''A'' = ''x''. Кад два суседна угла формирају праву линију, они су суплементарни. Стога је мера угла -{''C''}- = 180 − ''x''. Слично томе, мера угла -{''D''}- = 180 − ''x''. Оба угла -{''C''}- и -{''D''}- имају мере које су једнаке 180 − ''x'' и они су конгруентни. Пошто је угао -{''B''}- суплементаран угловима -{''C''}- и -{''D''}-, било који од тих углова се може користити за одређивање угла -{''B''}-. Користећи било меру угла -{''C''}- или угла -{''D''}- налази се да је мера угла -{''B''}- = 180 − (180 − ''x'') = 180 − 180 + ''x'' = ''x''. Стога, оба угла, -{''A''}- и -{''B''}- имају меру која је једнака са ''x'' и једнаке су мере.

[[Датотека:Adjacentangles.svg|десно|мини|250px|Углови -{''A''}- и -{''B''}- су суседни.]]
* ''Суседни углови'', који се често означавају са ''сус. ∠s'', су углови који имају заједничко теме и једну страну, али не деле било коју унутрашњу тачку. Другим речима, они су углови који су један поред другог, или суседни тако да деле једну „руку”. Суседни углови чија је сума прав угао, права линија или пун угао су специјални и респективно се називају: ''комплементарни'', ''суплементарни'' и ''експлементарни'' углови (погледајте секцију „[[#Комбиновање парова углова|Комбиновање парова углова]]” испод).

[[Transversal (geometry)|Трансверзала]] је линија која пресеца пар (обично паралелних) линија и асоцирана је са ''наизменичним унутрашњим угловима'', ''кореспондирајућим угловима'', ''унутрашњим угловима'', и ''спољашњим угловима''.{{sfn|Jacobs|1974|p=255}}

=== Комбиновање парова углова ===
{{anchor|complementary angle}}
[[Датотека:Complement angle.svg|мини|мини|лево|250px|''Комплементарни'' углови <var>a</var> и <var>b</var> (<var>b<var> је ''комплементарно'' са <var>a</var>, и <var>a</var> је комплементарно са <var>b</var>).]]

Постоје три специјална пара углова у смислу сумирања углова:
* '''Комплементарни углови''' су парови углова чија сума је прав угао ({{sfrac|4}} заокрета, 90°, или {{sfrac|{{math|π}}|2}} радијана). Ако су два комплементарна угла суседна њихове стране које нису заједничке формирају прав угао. У Еуклидској геометрији, два оштра угла у правоуглом троуглу су комплементарна, јер је сума унутрашњих углова [[троугао|троугла]] 180 степени, а сам прав угао има деведесет степени.
:Придев комплементаран потиче из латинске речи -{''complementum''}-, која је повезана са придевом -{''complere''}-, „попунити”. Један оштар угао се „попуњава” својим комплементом и формира прав угао.
:Разлика измећу угла и правог угла се назива ''комплементом'' угла.<ref name="Chisholm 1911">{{harvnb|Chisholm|1911}}</ref>
:Ако су углови ''A'' и ''B'' комплементарни, следећа релација важи:
:: <math>
\begin{align}
& \sin^2A + \sin^2B = 1 & & \cos^2A + \cos^2B = 1 \\[3pt]
& \tan A = \cot B  & & \sec A = \csc B
\end{align}
</math>
:([[Тангенс]] угла једнак је [[котангенс]]у његовог комплемента и његов [[Тригонометријске функције|секант]] једнак је [[косекант]]у његовог комплемента.)
:[[Prefiksi|Префикс]] "[[Cofunction|ко-]]" у именима дела тригонометријских односа се односи на реч „комплементарност”.

[[Датотека:Angle obtuse acute straight.svg|мини|десно|250px|Углови <var>a</var> и <var>b</var> су ''суплементарни'' углови.]]
* {{anchor|Linear pair of angles|Supplementary angle}}Два угла чији збир је испружен угао ({{sfrac|2}} заокрета, 180°, или {{math|π}} радијана) се називају '''суплементарним угловима'''.
:Ако су два суплементарна угла [[#adjacent|суседна]] (тј. имају заједничко [[vertex (geometry)|теме]] и деле једну страну), њихове стране које нису заједничке формирају [[Права (линија)|праву линију]]. Такви углови се називају '''линеарним паром углова'''.{{sfn|Jacobs|1974|p=97}} Међутим, суплементарни углови не морају да буду истој линији, и могу да буду раздвојени у простору. На пример, суседни углови [[паралелограм]]а су суплементарни, и супротни углови [[Тетивни четвороугао|тетивног четвороугла]] (таквог да сва његова темена леже на једној кружници) су суплементарни.
:Ако је тачка -{P}- изван кружнице са центром O, и ако [[tangent lines to circles|тангентне линије]] од -{P}- додирују кружницу у тачкама -{T}- и Q, онда су -{∠TPQ}- и -{∠TOQ}- суплементарни углови.
:Синуси суплементарних углова су једнаки. Њихови косинуси и тангенте (осим ако су недефинисани) имају једнаке магнитуде али су супротног знака.
:У Еуклидској геометрији, свака сума два угла у троуглу је суплементарна трећем углу, јер је сума унутрашњих углова троугла испружени угао.

{{anchor|explementary angle}}
[[Датотека:Reflex angle.svg|мини|лево|250px|Сума два ''експлементарна'' угла је ''комплетан'' угао.]]
* Два угла чија је сума комплетан угао (1 обртај, 360°, или 2{{math|π}} радијана) се називају '''експлементарним угловима''' или '''конјугованим угловима'''.
*: Разлика између угла и комплетног угла се назива ''експлементом'' угла или ''конјугатом'' угла.

=== Углови полигона ===
[[Датотека:ExternalAngles.svg|мини|250px|десно|Унутрашњи и спољашњи углови.]]
* Угао који је део [[simple polygon|једноставног полигона]] се назива ''[[Internal and external angles|унутрашњим углом]]'' ако лежи на унутрашњости једноставног полигона. Једноставни [[concave polygon|конкавни полигон]]<ref>{{citation |first=Jeffrey J. |last=McConnell |year=2006 |title=Computer Graphics: Theory Into Practice |isbn=978-0-7637-2250-0 |pages=130|publisher=Jones & Bartlett Learning }}</ref><ref>{{Citation |last=Leff |first=Lawrence |title=Let's Review: Geometry |year=2008 |publisher=Barron's Educational Series |location=Hauppauge, NY |isbn=978-0-7641-4069-3 |pages=66}}</ref><ref>{{citation |first=J.I. |last=Mason |year=1946 |title=On the angles of a polygon |journal=The Mathematical Gazette |volume=30 |issue=291 |jstor=3611229 |pages=237–238 |publisher=The Mathematical Association|doi=10.2307/3611229 |s2cid=125405303 }}</ref> има бар један унутрашњи угао који је рефлексни угао.
*: У [[Еуклидова геометрија|Еуклидовој геометрији]], збир унутрашњих углова [[троугао|троугла]] је {{math|π}} радијана, 180°, или {{sfrac|2}} заокрета; збир унутрашњих углова једноставног [[convex polygon|конвексног]] [[Четвороугао|четвороугла]] је 2{{math|π}} радијана, 360°, или 1 заокрет. Генерално, збир унутрашњих углова једноставног конвексног [[Многоугао|многоугла]] са -{''n''}- страна једнак је (-{''n''}-&nbsp;−&nbsp;2){{math|π}} радијана, или 180(-{''n''}-&nbsp;−&nbsp;2) степени, (2-{''n''}-&nbsp;−&nbsp;4) правих углова, или ({{sfrac|''n''|2}}&nbsp;−&nbsp;1) заокрета.
* Допуна унутрашњег угла се назива ''[[Internal and external angles|спољашњим углом]]'', другим речима, унутрашњи и спољашњи угао формирају [[#Linear pair of angles|линеарни пар углова]]. Постоје два спољашња угла у сваком темену многоугла, сваки од којих је одређен продужавањем једне од две стране многоугла које се састају у темену; та два угла су вертикални углови и стога су једнаки. Спољашњи угао мери количину ротације коју би требало направити у темену да се оно поравна.{{sfn|Henderson|Taimina|2005|p=104}} Ако је кореспондирајући унутрашњи угао рефлексни, спољашњи угао се треба сматрати [[Negative number|негативним]]. Чак и у многоуглу који није једноставан може да буде могуће да се дефинише спољашњи угао, али се мора одабрати [[Orientation (vector space)|оријентација]] [[Раван|равни]] (или [[Surface (mathematics)|површине]]) да би се одредио знак мере спољашњег угла.<ref name="Altshiller-Court">{{citation |first=Nathan |last=Altshiller-Court |title=College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle |year=2007 |publisher=Courier Dover |isbn=978-0-486-45805-2 |edition=2nd |origyear=1952 |oclc=78063045 }}</ref><ref>{{citation |first=Ross |last=Honsberger |title=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry |year=1995 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-88385-639-0 |series=New Mathematical Library |volume=37}}</ref>
*: У Еуклидовој геометрији, сума спољашњих углова једноставног конвексног многоугла је један пун заокрет (360°). Спољашњи угао се овде може звати ''допуњавајућим спољашњим углом''. Спољашњи углови се често користе у [[Лого (програмски језик)|Лого графици корњаче]] приликом цртања регуларних полигона.
* У [[троугао|троуглу]], [[bisection|симетрале]] два спољашња угла и симетрала наспрамног унутрашњег угла су [[concurrent lines|сагласни]] (састају се у једној тачки).<ref name="Johnson">Johnson, Roger A. ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publications, 2007.</ref>{{rp|p. 149}}
* Неки аутори користе назив ''спољашњи угао'' једноставног многоугла да једноставно значи ''експлементни (допуна до 360°) спољашњи угао'', (''не'' суплемент!) унутрашњег угла.<ref>{{citation|editor=D. Zwillinger|title=CRC Standard Mathematical Tables and Formulae|place=Boca Raton, FL|publisher=CRC Press|year=1995|pages=270}} as cited in {{MathWorld |urlname=ExteriorAngle |title=Exterior Angle}}</ref> То није у складу са горњом употребом.

== Мерење угла ==

Мера угла је величина отклона између кракова угла. Ради мерења угла се користи круг чији је центар у темену угла. С обзиром да је обим круга сразмеран полупречнику то је и мера угла независна од величине полупречника. Последица чињенице да је величина угла однос две дужине је да је јединица величине угла бездимензиона.
* Број који се добије као количник дужине лука кружнице и полупречника се назива '''радијан'''. У међународном систему мера '''радијан''' је изведена јединица. Иако је бездимензиона, ознака постоји и пише се '''rad'''.
* '''Степен''' је мера угла код кога је пун круг 360 степени, а следствено томе опружени угао је 180 степени, а прав угао је 90 степени. Ознака за степен је мали кружић надписан код величине, рецимо за пун круг 360°. За прецизнија мерења се користи део степена, назива се ''минут'' и он износи 1/60 од степена. Ознака за минут је апостроф знак, рецимо за 1 степен је 60'. Постоји још мања мера, ''секунда''. Секунда је 1/60 од минута, односно 1/3600 од степена. Ознака за секунду је двоструки апостроф, односно 1 минут је 60".

==== Однос између основних јединица мере угла ====
:<math>2 \pi\, \mbox{rad} = 360^o</math>, пун круг је два пи радијана или 360 степени
:<math>\pi\, \mbox{rad} = 180^o</math>, пи радијана је 180 степени (често се rad изоставља када је пи у изразу)
:<math>\frac{\pi}{2} \mbox{rad} = 90^o</math>, пи пола радијана је 90 степени
:<math>1\, \mbox{rad} = \frac {180^o} {\pi} \approx 57^o 17' 45'' \,</math>, један радијан је 180 кроз пи степени, или приближно 57 степени, 17 минута и 45 секунди

== Еуклидове дефиниције ==
У [[Еуклид]]овим ''Елементима'' књига I је дато неколико дефиниција:
;Дефиниција 8: ''Угао у равни'' је отклон једне линије ка другој у равни које се секу и не леже у линији.

;Дефиниција 9: Када су линије које чине угао праве и угао је ''праволинијски''.

;Дефиниција 10: Када права линија сече праву линију чинећи једнаке суседне углове, сваки од углова је ''прав угао'', а линија која сече другу се зове ''нормална'' на ону коју сече.

;Дефиниција 11: ''Туп угао'' је угао већи од правог угла.

;Дефиниција 12: ''Оштар угао'' је угао мањи од правог угла.

== Референце ==
{{reflist|30em}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{Cite book|first=Laurence| last=Rosan|year=1981|title= Neoplatonism and Indian Thought (Editor: R Baine Harris)|publisher= State University of New York Press|isbn=978-0873955461|pages=45–49}}
* {{Cite book|last1=Henderson|first1=David W. |last2=Taimina|first2=Daina |year=2005|title=Experiencing Geometry / Euclidean and Non-Euclidean with History |edition=3rd |publisher=Pearson Prentice Hall |isbn=9780131437487|pages=104}}
* {{citation |last=Heiberg|first=Johan Ludvig |year=1908|title=Euclid |editor-first=T. L. |editor-last=Heath|editor-link=T. L. Heath |series=The Thirteen Books of Euclid's Elements |volume=1 |publisher=Cambridge University Press |location=[[Cambridge, England|Cambridge]] |url=https://books.google.com/books?id=UhgPAAAAIAAJ }}.
* {{Cite book|last=Jacobs|first=Harold R. |year=1974|title=Geometry| url=https://archive.org/details/teachersguidetog0000jaco|publisher=W.H. Freeman|isbn=978-0-7167-0456-0|pages=[https://archive.org/details/teachersguidetog0000jaco/page/97 97],255}}
* {{citation|last=Slocum|first=Jonathan|year=2007|url=http://www.utexas.edu/cola/centers/lrc/ielex/X/P0089.html|title=Preliminary Indo-European lexicon — Pokorny PIE data|accessdate=02. 02. 2010|publisher=[[Linguistics Research Center at UT Austin|University of Texas research department: linguistics research center]]|archive-date=27. 06. 2010|archive-url=https://web.archive.org/web/20100627012240/http://www.utexas.edu/cola/centers/lrc/ielex/X/P0089.html|url-status=}}
* {{citation |last1=Shute|first1=William G. |last2=Shirk|first2=William W. |last3=Porter|first3=George F. |year=1960|title=Plane and Solid Geometry |publisher=American Book Company  |pages=25–27}}
* {{Cite book|last1=Wong|first1=Tak-wah |last2=Wong|first2=Ming-sim |year=2009|chapter=Angles in Intersecting and Parallel Lines |title=New Century Mathematics |location=Hong Kong |publisher=Oxford University Press |edition=1 |volume=1B |isbn=978-0-19-800177-5|pages=161–163}}
* {{EB1911 |wstitle=Angle |volume=2 |mode=cs2|pages=14}}
* {{Cite book|last=Ball | first = W.W. Rouse |authorlink= W. W. Rouse Ball | title = A Short Account of the History of Mathematics | origyear=| url =https://archive.org/details/shortaccountofhi0000ball| edition = 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] |year=1960 | publisher = Dover Publications | location = New York |isbn=978-0-486-20630-1 |pages=[https://archive.org/details/shortaccountofhi0000ball/page/50 50]–62}}
* {{Cite book|last=Coxeter | first = H.S.M. |authorlink= H.S.M. Coxeter| title = Introduction to Geometry | url=https://archive.org/details/introductiontoge0000hsmc|year=1961 | publisher = Wiley | location = New York}}
* {{Cite book|first=Howard|last=Eves|title=A Survey of Geometry (Volume One)|publisher=Allyn and Bacon|year=1963}}
* {{Cite book|last=Misner|first=Thorne, and Wheeler|title=Gravitation| url=https://archive.org/details/gravitation0000misn_o3a5|publisher = W.H. Freeman|year=1973}}
* {{Cite book|author=Mlodinow|title=Euclid's Window|publisher = The Free Press|year=2001}}
* {{Cite book|last1=Nagel|first1=E.|last2=Newman|first2=J. R.|title=Gödel's Proof| url=https://archive.org/details/gdelsproof00nage|publisher = New York University Press|year=1958}}
* {{Cite book| last = Tarski | first = Alfred | authorlink = Alfred Tarski |title=A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry|location=|publisher=University of California Press|year=1951|id=|pages=}}
* {{Cite book|last=Artmann|first=Benno (1999)|title=Euclid: The Creation of Mathematics| year=1999| url=https://archive.org/details/euclidcreationof0000artm|location=New York|publisher=Springer|isbn=978-0-387-98423-0|pages=}}.
* {{Cite book|first=Carl B.|last=Boyer|authorlink=Carl Benjamin Boyer|title=A History of Mathematics|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye|edition=2nd| publisher=John Wiley & Sons, Inc.|year=1991|isbn=978-0-471-54397-8|pages=}}
* {{cite web|url=http://www.mathopenref.com/euclid.html |title=Euclid |first=Charlene |last=Douglass | editor-last = Page | editor-first = John D. |year=2007|work=[[Math Open Reference]] }}
* {{Cite book |last=Heath |first=Thomas L. |year=1908 |chapter-url=http://perseus.mpiwg-berlin.mpg.de/cgi-bin/ptext?lookup=Euc.+1 |chapter=Euclid and the Traditions About Him |title=''Euclid, ''Elements |editor-first=Thomas L. |editor-last=Heath |volume=1 |pages=1–6 |access-date=05. 11. 2018 |archive-date=27. 01. 2010 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100127080511/http://perseus.mpiwg-berlin.mpg.de/cgi-bin/ptext?lookup=Euc.+1 |url-status=dead }}
* {{Cite book|last=Heath|first=Thomas L. (1981)|title=A History of Greek Mathematics| year=1981| url=https://archive.org/details/historyofgreekma0001heat|location=2 Vols. New York|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-24073-2|pages=}} /. {{page|year=|isbn=978-0-486-24074-9|pages=}}.
* {{Cite book|last=Kline|first=Morris|authorlink=Morris Kline (1980)|title=Mathematics: The Loss of Certainty| year=1980| url=https://archive.org/details/mathematicslosso00klin|location=Oxford|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-502754-9|pages=}}.
* {{MacTutor Biography|id=Euclid|title=Euclid of Alexandria}}
* {{MacTutor Biography|id=Euclid|title=Theon of Alexandria}}
* {{cite book|author=Proclus|translator=Glenn Raymond Morrow.|title=A Commentary on the First Book of Euclid's Elements|location=|publisher=Princeton University Press|year=1992|isbn=978-0-691-02090-7|pages=}}
* {{Cite book|first=Dirk J.|last=Struik|authorlink=Dirk Jan Struik|title=A Concise History of Mathematics| url=https://archive.org/details/concisehistoryof0000stru_m6j1|year=1967| publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-60255-4|pages=}}
* {{cite encyclopedia|title=Euclid|url= http://www.britannica.com/EBchecked/topic/194880/Euclid |accessdate=21. 11. 2014|date=30. 10. 2014
|encyclopedia=[[Encyclopædia Britannica]] |first1=Bartel Leendert |last1=Van der Waerden |authorlink=Bartel Leendert van der Waerden |first2=Christian Marinus |last2=Taisbak}}
* {{Cite book|last=DeLacy|first=Estelle Allen|title=Euclid and Geometry| url=https://archive.org/details/immortalsofscien0000este|year=1963|publisher=Franklin Watts|location=New York}}
* {{Cite book|last=Knorr|first=Wilbur Richard|title=The Evolution of the Euclidean Elements: A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and Its Significance for Early Greek Geometry|url=https://archive.org/details/evolutionofeucli0000knor|year=1975|publisher=D. Reidel|location=Dordrecht, Holland|isbn=978-90-277-0509-9|pages=}}
* {{Cite book|last=Mueller|first=Ian|title=Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid's Elements| url=https://archive.org/details/philosophyofmath0000muel|year=1981|publisher=MIT Press|location=Cambridge, MA|isbn=978-0-262-13163-6|pages=}}
* {{Cite book|last=Reid|first=Constance|title=A Long Way from Euclid|year=1963|publisher=Crowell|location=New York}}
* {{Cite book|last=Szabó|first=Árpád|title=The Beginnings of Greek Mathematics|year=1978|publisher=D. Reidel|location=Dordrecht, Holland|isbn=978-90-277-0819-9|others=A.M. Ungar, trans}}
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Angles}}
* [[commons:File:01-Strahlensatz_Anwendung_Winkel.svg| Proximity construction of an angle in decimal degrees with the third intercept theorem]]
* -{[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CyQuadri.shtml Angle Bisectors in a Quadrilateral]}-
* -{[http://www.cut-the-knot.org/triangle/TriangleFromBisectors.shtml Constructing a triangle from its angle bisectors]}-
* -{[http://www.mathopenref.com/tocs/constructionstoc.html Various angle constructions with compass and straightedge]}-
* -{[http://www.mathopenref.com/anglecomplementary.html Complementary Angles animated demonstration. ]}-
* -{[http://www.mathopenref.com/anglesupplementary.html Supplementary Angles animated demonstration. ]}-
* -{[http://www.mathopenref.com/tocs/anglestoc.html Angle definition pages]}-

{{Нормативна контрола}}
{{портал бар|Математика}}

[[Категорија:Угао| ]]
[[Категорија:Геометрија]]