Изворни код странице Теорема

[[File:Pythagorean Proof (3).PNG|thumb|200px|right|[[Питагорина теорема]] има најмање 370 познатих доказа.<ref name='Loomis'>{{cite web|url=http://www.eric.ed.gov/PDFS/ED037335.pdf|author=Elisha Scott Loomis |title=The Pythagorean proposition: its demonstrations analyzed and classified, and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs |access-date=2010-09-26 |work=[[Education Resources Information Center]] |publisher=[[Institute of Education Sciences]] (IES) of the [[U.S. Department of Education]] }}  Originally published in 1940 and reprinted in 1968 by National Council of Teachers of Mathematics.</ref>]]
[[Датотека:01 Satz des Euklid.svg|десно|безоквира]]

'''Теорема''' ([[латински језик|латински]]: ''theōrēma'', од [[Старогрчки језик|грчког]]: ''theōrein'' што у преводу значи ''посматрати'') је [[идеја]] чија се истинитост може доказати принципима [[дедукција|дедуктивног]] закључивања. Разликује се од [[аксиома]] по томе што се њена истинитост може утврдити и за то служи поступак доказивања, односно извођења доказа. [[Лема]] је теорема која је међукорак у извођењу општије теореме. [[Короларије|Короларија]] је теорема која је директна последица неке основне теореме или аксиома. 

У [[mathematics|математици]], ''теорема'' је [[statement (logic)|тврдња]] која је [[Mathematical proof|доказана]] или се може доказати.{{efn|Уопштено говорећи, разлика је слаба, пошто се стандардни начин да се докаже да је изјава доказива састоји од њеног доказивања. Међутим, у математичкој логици се често разматра скуп свих теорема неке теорије, иако се не могу доказати појединачно.}}<ref>{{Cite web|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/theorem|title=Definition of THEOREM|website=www.merriam-webster.com|language=en|access-date=2019-11-02}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.lexico.com/en/definition/theorem|title=Theorem {{!}} Definition of Theorem by Lexico|website=Lexico Dictionaries {{!}} English|language=en|access-date=2019-11-02|archive-date=02. 11. 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20191102041621/https://www.lexico.com/en/definition/theorem|url-status=}}</ref> ''Доказ'' теореме је [[logical argument|логички аргумент]] који користи правила закључивања [[deductive system|дедуктивног система]] да би утврдио да је теорема [[logical consequence|логична последица]] [[аксиом]]а и претходно доказаних теорема.

У главном току математике, аксиоми и правила закључивања се обично остављају имплицитно, и, у овом случају, они су скоро увек они из [[Zermelo–Fraenkel set theory|Зермело-Франкелове теорије скупова]] са [[axiom of choice|аксиомом избора]] или мање моћне теорије, као што је [[Peano arithmetic|Пеано аритметика]]. Значајан изузетак је [[Wiles's proof of Fermat's Last Theorem|Вајлсов доказ Фермаове последње теореме]], који укључује [[Grothendieck universe|Гротендикове универзуме]] чије постојање захтева додавање новог аксиома теорији скупова.{{efn|Чињеница да Вајлсов доказ укључује Гротендикове универзуме не значи да се доказ не може побољшати да би се ово избегло, и многи стручњаци мисле да је то могуће. Ипак, прилично је запањујуће да доказ теореме која је наведена у виду елементарне [[arithmetics|аритметике]] укључује постојање Гротендикових универзума, који су веома велики бесконачни скупови.}} Генерално, тврдња која се експлицитно назива теорема је доказан резултат који није непосредна последица других познатих теорема. Штавише, многи аутори квалификују као ''теореме'' само најважније резултате, а користе термине ''лема'', ''пропозиција'' и ''последица'' за мање важне теореме.

У [[mathematical logic|математичкој логици]], концепти теорема и доказа су [[formal system|формализовани]] како би се омогућило математичко резоновање о њима. У овом контексту, искази постају [[well-formed formula|добро обликоване формуле]] неког [[formal language|формалног језика]]. [[Theory (mathematical logic)|Теорија]] се састоји од неких основних исказа који се називају ''аксиоми'', и неких ''дедуцирајућих правила'' (понекад укључених у аксиоме). Теореме теорије су тврдње које се могу извести из аксиома коришћењем правила дедукције.{{efn|Теорија се често поистовећује са скупом њених теорема. Ово се овде избегава ради јасноће, а такође и због тога да не би завило од [[set theory|теорије скупова]].}} Ова формализација је довела до [[proof theory|теорије доказа]], која омогућава доказивање општих теорема о теоремама и доказима. Конкретно, [[Gödel's incompleteness theorems|Геделове теореме о некомплетности]] показују да свака [[consistency|конзистентна]] теорија која садржи природне бројеве има истините исказе о природним бројевима који нису теореме теорије (то јест, не могу се доказати унутар теорије).

Како су аксиоме често апстракције својстава [[physical world|физичког света]], теореме се могу сматрати изразом неке истине, али за разлику од појма [[scientific law|научног закона]], који је ''[[experimental|експерименталан]]'', оправдање истинитости теореме је чисто [[deductive|дедуктивно]].<ref name=":0">{{Citation|last=Markie|first=Peter|title=Rationalism vs. Empiricism|date=2017|url=https://plato.stanford.edu/archives/fall2017/entries/rationalism-empiricism/|encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Fall 2017|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|access-date=2019-11-02}}</ref><ref>However, both theorems and scientific law are the result of investigations. See {{harvnb|Heath|1897}} Introduction, The terminology of [[Archimedes]], p. clxxxii:"theorem (θεὼρνμα) from θεωρεἳν to investigate"</ref>

== Епистемолошка разматрања ==

Многе математичке теореме су условне изјаве, чији докази изводе закључке из услова познатих као ''хипотезе'' или [[Premisa|премисе]]. У светлу тумачења доказа као оправдања истине, закључак се често посматра као [[Necessity and sufficiency|неопходна последица]] хипотеза. Наиме, закључак је тачан у случају да су хипотезе тачне — без икаквих даљих претпоставки. Међутим, кондиционал се такође може различито тумачити у одређеним [[deductive system|дедуктивним системима]], у зависности од значења која се приписују правилима извођења и условном симболу (нпр. [[non-classical logic|некласична логика]]).

Пошто теореме леже у сржи математике, оне су такође централне за њену [[Aesthetics of mathematics|естетику]]. Теореме се често описују као „тривијалне“, или „тешке“, или „дубоке“, или чак „лепе“. Ови субјективни судови се разликују не само од особе до особе, већ и од времена и културе: на пример, како се добије доказ, поједностављен или боље схваћен, теорема која је некада била тешка може постати тривијална.<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Theorem.html|title=Theorem|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-11-02}}</ref> С друге стране, дубока теорема се може изрећи једноставно, али њен доказ може укључивати изненађујуће и суптилне везе између различитих области математике. [[Последња Фермаова теорема]] је посебно познат пример такве теореме.<ref name=":1">{{Cite web|url=http://www.math.mcgill.ca/darmon/pub/Articles/Expository/05.DDT/paper.pdf|title=Fermat's Last Theorem|last1=Darmon|first1=Henri|last2=Diamond|first2=Fred|date=2007-09-09|website=McGill University – Department of Mathematics and Statistics|access-date=2019-11-01|last3=Taylor|first3=Richard}}</ref>

== Неформални приказ теорема ==

[[Logically|Логички]], многе теореме су у облику [[indicative conditional|индикативног кондиционала]]: ''Ако је А, онда је Б''. Таква теорема не истиче ''Б'' — само да је ''Б'' неопходна последица ''А''. У овом случају, ''А'' се назива ''хипотеза'' теореме („хипотеза” овде значи нешто сасвим другачије од [[conjecture|претпоставке]]), и ''Б'' је ''закључак'' теореме. Они заједно (без доказа) се називају ''пропозицијом'' или ''исказом'' теореме (нпр. „''Ако је А, онда је Б''“ ''пропозиција''). Алтернативно, ''А'' и ''Б'' се такође могу назвати ''[[wikt:antecedent|претходним]]'' и ''[[wikt:consequent|последичним]]''.<ref>{{Cite web |url=http://intrologic.stanford.edu/glossary/implication.html |title=Implication |website=intrologic.stanford.edu |access-date=2019-11-02 |archive-date=19. 06. 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210619042320/http://intrologic.stanford.edu/glossary/implication.html |url-status=dead }}</ref> Теорема „Ако је -{''n''}- паран [[природан број]], онда је -{''n''/2}- природан број“ је типичан пример у коме је хипотеза „-{''n''}- је паран природан број“, а закључак је „-{''n''}-/2 је такође природан број број".

[[File:4CT Non-Counterexample 1.svg|frame|right|[[Plane (mathematics)|Планарна]] мапа са пет боја таквих да се не додирују два региона исте боје. Она се заправо може обојити на овај начин са само четири боје. [[four color theorem|Теорема о четири боје]] тврди да су таква бојења могућа за било коју планарну мапу, али сваки познати доказ укључује рачунарско претраживање које је предуго да би се проверило ручно.]]
Неке теореме су „[[Triviality (mathematics)|тривијалне]]“, у смислу да следе из дефиниција, аксиома и других теорема на очигледан начин и не садрже никакве изненађујуће увиде. Неки се, с друге стране, могу назвати „дубоким“, јер њихови докази могу бити дуги и тешки, укључивати области математике које се површно разликују од изјаве саме теореме, или показују изненађујуће везе између различитих области математике.<ref>{{MathWorld|title=Deep Theorem|urlname=DeepTheorem}}</ref> Теорема може бити једноставна за навођење, а ипак дубока. Одличан пример је [[последња Фермаова теорема]],<ref name=":1" /> и постоји много других примера једноставних, али дубоких теорема у теорији бројева и [[combinatorics|комбинаторици]], између осталих области.

Друге теореме имају познат доказ који се не може лако записати. Најистакнутији примери су теорема о четири боје и [[Kepler conjecture|Кеплерова претпоставка]]. Познато је да су обе ове теореме тачне само тако што се могу свести на рачунарску претрагу која се затим верификује рачунарским програмом. У почетку, многи математичари нису прихватили овај облик доказа, али је временом постао широко прихваћен. Математичар [[Doron Zeilberger|Дорон Зеилбергер]] је чак отишао толико далеко да тврди да су ово можда једини нетривијални резултати које су математичари икада доказали.<ref>{{cite web|author=Doron Zeilberger|author-link=Doron Zeilberger|title=Opinion 51|url=http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/Opinion51.html}}</ref> Многе математичке теореме се могу свести на једноставно израчунавање, укључујући полиномске идентитете, тригонометријске идентитете<ref>Such as the derivation of the formula for <math>\tan (\alpha + \beta)</math> from the [[List of trigonometric identities#Angle sum and difference identities|addition formulas of sine and cosine]].</ref> и хипергеометријске идентитете.<ref>Petkovsek et al. 1996.</ref>

== Познате математичке теореме ==
{{Главни чланак|Списак математичких теорема}}
[[Питагорина теорема]], [[Талесова теорема]], [[последња Фермаова теорема]], [[Централна гранична теорема]]...

== Теореме у техничким наукама ==
У основи су такође математичке само се изводе од основних физичких закона односно имају конкретно физичко тумачење. 

[[Никвистова теорема о одабирању]], [[Шенонова теорема]], [[Гаусова теорема]], теорема о топлоти (3. закон термодинамике)...

== Теореме у другим наукама ==
Постоје и у [[економија|економији]], [[хемија|хемији]] итд.

== Напомене ==
{{notelist}}

== Референце ==
{{reflist}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{cite book |last1=Boolos |first1=George |last2=Burgess |first2=John |last3=Jeffrey |first3=Richard |title=Computability and Logic |url=https://archive.org/details/computabilitylog0000bool |date=2007 |publisher=Cambridge University Press |edition=5th}}
* {{cite book |last1=Chiswell |first1=Ian |last2=Hodges |first2=Wilfred |title=Mathematical Logic |date=2007 |publisher=Oxford University Press}}
* {{cite book |last1=Enderton |first1=Herbert |title=A Mathematical Introduction to Logic |date=2001 |publisher=Harcourt Academic Press |edition=2nd}}
* {{Cite book|author-link=Archimedes|title=The works of Archimedes|last=Heath|first=Sir Thomas Little|publisher=Dover|year=1897|url=https://books.google.com/books?id=FIY5AAAAMAAJ&q=theorem|access-date=2009-11-15}}
* {{cite book |last1=Hedman |first1=Shawn |title=A First Course in Logic |date=2004 |publisher=Oxford University Press}}
* {{cite book |last1=Hinman |first1=Peter |title=Fundamentals of Mathematical Logic |date=2005 |publisher=A K Peters |location=Wellesley, MA}}
* {{Cite book|title = [[The Man Who Loved Only Numbers]]: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth|author = Hoffman, P.|publisher = Hyperion, New York| year = 1998|isbn=1-85702-829-5}}
* {{cite book |last1=Hodges |first1=Wilfrid |title=Model Theory |url=https://archive.org/details/modeltheory0000hodg |date=1993 |publisher=Cambridge University Press}}
* {{Cite book|last=Hunter|first=Geoffrey|author-link=Geoffrey Hunter (logician)|title=Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic |year=1996|orig-year=1973|publisher=University of California Press |isbn=0-520-02356-0}}
* {{cite book |last1=Johnstone |first1=P. T. |title=Notes on Logic and Set Theory |url=https://archive.org/details/notesonlogicsett0000john |date=1987 |publisher=Cambridge University Press}}
* {{Cite book|last=Mates|first=Benson|author-link=Benson Mates|title=Elementary Logic|publisher=Oxford University Press|year=1972|isbn=0-19-501491-X|url-access=registration|url=https://archive.org/details/elementarylogic00mate}}
* {{cite book |last1=Monk |first1=J. Donald |title=Mathematical Logic |url=https://archive.org/details/mathematicallogi00jdon |date=1976 |publisher=Springer-Verlag}}
* {{Cite book|title=A = B|url=https://dissertationeditinghelp.com/aeqb/|author1=Petkovsek, Marko|author2=Wilf, Herbert|author3=Zeilberger, Doron|publisher=A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts|year=1996|isbn=1-56881-063-6|url-status=dead|access-date=20. 12. 2021|archive-date=15. 04. 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210415032957/https://dissertationeditinghelp.com/aeqb/}}
* {{cite book |last1=Rautenberg |first1=Wolfgang |title=A Concise Introduction to Mathematical Logic |date=2010 |publisher=Springer |edition=3rd}}
* {{cite book |last1=van Dalen |first1=Dirk |title=Logic and Structure |date=1994 |publisher=Springer-Verlag|edition=3rd}}
* {{cite book|author=Mendelson, Elliot|title=Introduction to mathematical logic. |location= |publisher= |year=1987|isbn=0-534-06624-0}} Belmont, California: Wadsworth & Brooks. 
* {{cite book|author=Davidson Reynolds, Paul|title=A primer in theory construction |location= Boston|publisher= Allyn and Bacon|year=1971}}.
* Guillaume, Astrid (2015). « Intertheoricity: Plasticity, Elasticity and Hybridity of Theories. Part II: Semiotics of Transferogenesis », in ''Human and Social studies'', Vol.4, N°2 (2015), éd.Walter de Gruyter, Boston, Berlin, pp.&nbsp;59–77.
* Guillaume, Astrid (2015). « The Intertheoricity : Plasticity, Elasticity and Hybridity of Theories », in ''Human and Social studies'', Vol.4, N°1 (2015), éd.Walter de Gruyter, Boston, Berlin, pp.&nbsp;13–29.
* {{cite book|author=Hawking, Stephen|title=A Brief History of Time |location= |publisher= |year=1996}} (Updated and expanded ed.). New York: Bantam Books, p.&nbsp;15.
* {{cite book |last=James |first=Paul |author-link=Paul James (academic) |title=Globalism, Nationalism, Tribalism: Bringing Theory Back In |url= https://www.academia.edu/1642214 |year=2006 |publisher= Sage Publications |location=London, England }}
* {{Citation | url = http://science.kennesaw.edu/~rmatson/3380theory.html | title = Biology | publisher = Kennesaw State University | first = Ronald Allen | last = Matson | contribution = Comparing scientific laws and theories | accessdate = 20. 12. 2021 | archive-date = 09. 07. 2017 | archive-url = https://web.archive.org/web/20170709065046/http://science.kennesaw.edu/~rmatson/3380theory.html | url-status = dead }}.
* [[Karl Popper|Popper, Karl]] (1963), ''Conjectures and Refutations'', Routledge and Kegan Paul, London, UK, pp.&nbsp;33–39.  Reprinted in [[Theodore Schick]] (ed., 2000), ''Readings in the Philosophy of Science'', Mayfield Publishing Company, Mountain View, California, USA, pp.&nbsp;9–13.
* Zima, Peter V. (2007). "What is theory? Cultural theory as discourse and dialogue". London: Continuum (translated from: Was ist Theorie? Theoriebegriff und Dialogische Theorie in der Kultur- und Sozialwissenschaften. Tübingen: A. Franke Verlag, 2004).
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Theorems}}
* {{MathWorld |title=Theorem |urlname=Theorem}}
* [http://www.theoremoftheday.org/ Theorem of the Day]

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Теореме| ]]
[[Категорија:Природне науке]]
[[Категорија:Грцизми]]
[[Категорија:Математички концепти]]