Изворни код странице Степеновање

[[Image:Expo02.svg|thumb|315px|Графикони {{math|1=''y'' = ''b''<sup>''x''</sup>}} за разне базе -{''b''}-:
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|green solid 2px|[[#Powers of ten|база&nbsp;10]],}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|red solid 2px|[[#The exponential function|база&nbsp;''e'']],}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|[[#Powers of two|база&nbsp;2]],}}}}
{{nobr|{{legend-line|inline=yes|cyan solid 2px|база&nbsp;{{sfrac|1|2}}.}}}}
Свака крива пролази кроз тачку {{math|(0, 1)}}, јер је сваки ненулти број подигнут у степен 0 једнак 1. При {{math|1=''x'' = 1}}, вредност ''y'' једнака је бази, јер је сваки број подигнут у степен 1 сам број.]]
{{Друго значење2|Степен}}

'''Степеновање''' је математичка [[бинарна операција]], у запису ''-{a''<sup>''b''</sup>}-. У овом запису ''-{a}-'' се назива '''основа''', а ''-{b}-'' '''експонент'''. Чита се „-{''a}-'' на ''-{b}-''-ти степен“ или краће „''-{a}-'' на ''-{b}-''“, где је ''-{a}-'' кардинални, а ''-{b}-'' редни (ординални) број.<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|access-date=2020-08-27|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=Basic rules for exponentiation|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|access-date=August 27, 2020|website=Math Insight}}</ref> На пример, ''5<sup>7</sup>'' се чита „пет на седми (степен)“.name=":1" />

Ако је ''-{n}-'' ∈ ℕ, онда степен представља основу помножену самом собом ''-{n}-'' пута:
:<math>a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n.</math>

Експонент се [[#History of the notation|обично приказује]] као [[Subscript and superscript|суперскрипт]] десно од основе. У том случају, {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} се назива „-{''b''}- подигнуто у -{''n''}--ти степен“, „-{''b''}- подигнуто на степен -{''n''}-“,<ref name=":0" /> „-{''n''}--ти степен од -{''b''}-“, „-{''b''}- на -{''n''}--том степену“,<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Power|url=https://mathworld.wolfram.com/Power.html|access-date=2020-08-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> или кратко као „-{''b''}- на -{''n''}--ти“.

За један важи {{math|1=''b''<sup>1</sup> = ''b''}}, и за било који пар позитивних целих бројева {{mvar|m}} и {{mvar|n}} важи {{math|1=''b''<sup>''n''</sup> ⋅ ''b''<sup>''m''</sup> = ''b''<sup>''n''+''m''</sup>}}. Да би се ово својство проширило на целобројне експоненте који нису позитивни, {{math|''b''<sup>0</sup>}} је дефинисано као {{math|1}}, а {{math|''b''<sup>−''n''</sup>}} (при чему је {{mvar|n}} позитивни цео број и {{mvar|b}} није нула) дефинисано је као {{math|{{sfrac|1|''b''<sup>''n''</sup>}}}}. Конкретно, {{math|''b''<sup>−1</sup>}} је једнако {{math|{{sfrac|1|''b''}}}}, ''[[multiplicative inverse|реципрочна]] вредност'' од {{mvar|b}}.

Дефиниција експоненцијације се може проширити тако да се дозволи било који реални или [[complex numbers|комплексни]] експонент. Експоненцирање целобројним експонентима такође се може дефинисати за широк спектар алгебарских структура, укључујући [[matrix (mathematics)|матрице]].

Експоненцијација се интензивно користи у многим областима, укључујући [[economics|економију]], [[biology|биологију]], [[chemistry|хемију]], [[physics|физику]] и [[computer science|рачунарство]], са апликацијама као што су [[Compound interest|сложене камате]], [[Природни прираштај|раст популације]], [[Хемијска кинетика|кинетика хемијских реакција]], понашање [[талас (физика)|талас]]а и [[асиметрична криптографија]].

== Историја записа ==

Израз степен ({{lang-la|potentia, potestas, dignitas}}) није најнесрећнији превод<ref name="Rotman">{{cite book|last=Rotman|first=Joseph J.|author-link=Joseph J. Rotman|date=2015|title=Advanced Modern Algebra, Part 1|url=http://www.ams.org/books/gsm/165/04|location=Providence, RI|publisher=[[American Mathematical Society]]|at=p. 130, fn. 4|isbn=978-1-4704-1554-9|edition=3rd|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=165}}{{Мртва веза}}</ref><ref>{{cite book|last=Szabó|first=Árpád|date=1978|title=The Beginnings of Greek Mathematics|url=https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics|location=Dordrecht|publisher=[[D. Reidel]]|page=[https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics/page/n37 37]|isbn=90-277-0819-3|series=Synthese Historical Library|volume=17|translator=A.M. Ungar}}</ref> [[ancient Greek|старогрчког]] δύναμις (''dúnamis'', овде: „појачање“<ref name="Rotman"/>) које је [[Greek mathematics|грчки]] математичар [[Euclid|Еуклид]] користио за квадрат линије,<ref name="MacTutor"/> следећи [[Хипократ са Хиоса|Хипократа са Хиоса]].<ref>{{cite book|last=Ball|first=W. W. Rouse|author-link=W. W. Rouse Ball|date=1915|title=A Short Account of the History of Mathematics|url=https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich|location=London|publisher=[[Macmillan Publishers|Macmillan]]|page=[https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich/page/38 38]|edition=6th}}</ref> [[Archimedes|Архимед]] је открио и доказао закон експонената,  {{math|1=10<sup>''a''</sup> ⋅ 10<sup>''b''</sup> = 10<sup>''a''+''b''</sup>}}, неопходан за манипулисање степенима од {{math|10}}.<ref>For further analysis see [[The Sand Reckoner]].</ref> У 9. веку персијски математичар [[Мухамед ел Хорезми]] користио је изразе مَال (-{''māl''}-, „посед“, „имање“) за [[Square (algebra)|квадрат]] - муслимани, „попут већине математичара тих и ранијих времена, сматрали су на квадрат број као приказ подручја, посебно земљишта, те отуда и својства“<ref name="worldwidewords"/> - и كَعْبَة (-{''[[Kaaba|kaʿbah]]''}-, „коцка“) за [[куб]], коју су касније [[Исламска математика|исламски]] математичари у [[Matematička notacija|математичкој нотацији]] представљали као слова ''[[Мем (слово)|mīm]]'' (m) и ''[[Kaph|kāf]]'' (k), до 15. века, као што се види у делу [[Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī|Абу ел-Хасана ибн Али ел-Каласада]].<ref>{{MacTutor|id=Al-Qalasadi|title= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}</ref>

Крајем 16. века, [[Jost Bürgi|Јост Бурги]] је за експоненте користио римске бројеве.<ref>{{cite book|last=Cajori|first=Florian|author-link=Florian Cajori|date=1928|title=A History of Mathematical Notations|url=https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp|location=London|publisher=[[Open Court Publishing Company]]|page=[https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp/page/n363 344]|volume=1}}</ref>

[[Nicolas Chuquet|Никола Шике]] је користио облик експоненцијалне нотације у 15. веку, који су касније користили [[Henricus Grammateus|Хенрикус Граматеус]] и [[Michael Stifel|Михаел Штифел]] у 16. веку. Реч ''експонент'' је сковао 1544. године Михаел Штифел.<ref>[http://jeff560.tripod.com/e.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]</ref><ref>{{cite book|last=Stifel|first=Michael|author-link=Michael Stifel|date=1544|title=Arithmetica integra|url=https://archive.org/details/bub_gb_fndPsRv08R0C/page/n491|location=Nuremberg|publisher=[[Johannes Petreius]]|page=235v}} Stifel was trying to conveniently represent the terms of geometric progressions. He devised a cumbersome notation for doing that. In ''Liber III, Caput III: De Algorithmo numerorum Cossicorum'' (Book 3, Chapter 3: On Algorithms of Algebra), on page 235 [[verso]], he presented the notation for the first eight terms of a geometric progression (using 1 as a base) and then he wrote: "''Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam.''" (However, you see how each term of the progression has its exponent in its order (as 1ze has a 1, 1ʓ has a 2, etc.), so each number is implicitly subject to the exponent of its denomination, which [in turn] is subject to it and is useful mainly in multiplication and division, as I will mention just below.) [Note: Most of Stifel's cumbersome symbols were taken from [[Christoff Rudolff]], who in turn took them from Leonardo Fibonacci's ''Liber Abaci'' (1202), where they served as shorthand symbols for the Latin words ''res''/''radix'' (x), ''census''/''zensus'' (''x''<sup>2</sup>), and ''cubus'' (''x''<sup>3</sup>).]</ref> [[Samuel Jeake|Самјуел Џик]] је увео појам ''индекси'' 1696.<ref name="MacTutor">{{MacTutor|class=Miscellaneous|id=Mathematical_notation|title=Etymology of some common mathematical terms}}</ref> У 16. веку [[Robert Recorde|Роберт Рекорд]] је користио термине квадрат, куб, зензизензик ([[fourth power|четврти степен]]), сурсолид (пети), зензикјуб (шести), други сурсолид (седми) и [[zenzizenzizenzic|зензизензизензик]] (осми).<ref name="worldwidewords">{{Cite web|url=http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm|title=Zenzizenzizenzic|publisher=World Wide Words|first=Michael|last=Quinion|author-link=Michael Quinion|access-date=2020-04-16}}</ref> ''Биквадрат'' је такође кориштен као назив за четврти степен.

Почетком 17. века, први облик модерне експоненцијалне нотације је увео [[Рене Декарт]] у свом тексту под називом ''[[La Géométrie|Геометрија]]''; у којем је нотација уведена у Књизи -{I}-.<ref>{{cite book|last=Descartes|first=René|author-link=René Descartes|date=1637|title=Discourse de la méthode [...]|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f383.image|location=Leiden|publisher=Jan Maire|page=299|chapter=''[[La Géométrie]]''|quote=''Et ''aa'', ou ''a''<sup>2</sup>, pour multiplier ''a'' par soy mesme; Et ''a''<sup>3</sup>, pour le multiplier encore une fois par ''a'', & ainsi a l'infini''}} (And ''aa'', or ''a''<sup>2</sup>, in order to multiply ''a'' by itself; and ''a''<sup>3</sup>, in order to multiply it once more by ''a'', and thus to infinity).</ref>

Неки математичари (као што је [[Рене Декарт]]) користили су експоненте само за степене веће од два, преферирајући да представљају квадрате као поновљено умножавање. Стога би написали [[полином]]е, на пример, као {{math|''ax'' + ''bxx'' + ''cx''<sup>3</sup> + ''d''}}.

Један други историјски синоним, ''инволуција'' сада се ретко среће<ref>The most recent usage in this sense cited by the OED is from 1806 ({{Cite OED|involution}}).</ref> и не треба га поистовећивати са [[Инволуција (математика)|његовим чешћим значењем]].

Године 1748, [[Леонард Ојлер]] је написао:<blockquote>„Размотрите експоненцијале или степене у којима је сам експонент променљив. Јасно је да величине ове врсте нису [[algebraic function|алгебарске функције]], јер у тим експонентима морају бити константне.”<ref name="Euler_1748" /></blockquote> Овим увођењем [[Transcendental function|трансценденталних функција]], Ојлер је поставио темељ за модерно увођење [[Природни логаритам|природног логаритма]] - као [[Инверзна функција|инверзне функције]] за [[Експоненцијална функција|природну експоненцијалну функцију]], {{math|1=''f''(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>}}.

== Особине степеновања ==
Степеновање има виши приоритет од множења. ''-{a<sup>b</sup><sup><sup>c</sup></sup>}-'' значи -{''a''<sup>(''b''</sup><sup><sup>''c''</sup></sup><sup>)</sup>}-, а не -{(''a''<sup>''b''</sup>)<sup><sup>''c''</sup></sup>}-.

За разлику од [[сабирање|сабирања]] и [[множење|множења]], степеновање није [[комутативност|комутативно]] (пример:''2<sup>3</sup>'' = 8 &ne; ''3<sup>2</sup>'' = 9), нити [[асоцијативност|асоцијативно]] <math>a^{(b^c)} \ne {(a^b)}^c</math>.
# -{''a''<sup>''c''</sup>}- &middot; -{''b''<sup>''c''</sup>}- = -{(''a &middot; b'')<sup>''c''</sup>}-
# -{''a''<sup>''b''</sup>}- &middot; -{''a''<sup>''c''</sup>}- = -{''a''<sup>''b'' + ''c''</sup>}-
# -{''a''<sup>''b''</sup>}- : -{''a''<sup>''c''</sup>}- = -{''a''<sup>''b'' &minus; ''c''</sup>}- (за -{a}- &ne; 0)
# -{(''a''<sup>''b''</sup>)<sup><sup>''c''</sup></sup>}- = -{''a''<sup>''b'' &middot; ''c''</sup>}-

Последица особине 3 су 
* -{''a''<sup>0</sup>}- = -{''a''<sup>''b'' &minus; ''b''</sup>}- = -{''a''<sup>''b''</sup>}- : -{''a''<sup>''b''</sup>}- = 1
* -{''a''<sup>&minus;''b''</sup>}- = -{''a''<sup>0 &minus; ''b''</sup>}- = 1 / -{''a''<sup>''b''</sup>}-
чиме се, полазећи од дефиниције степеновања са експонентом који је [[природан број|природан]] (односно позитиван цео) број, дефинише степеновање за сваки [[цео број|целобројни]] експонент.

== Степеновање са нецелобројним експонентима ==
=== Рационални експонент ===
По дефиницији,
:<math>a^{1/b} = \sqrt[b]{a}</math>

Нека је експонент ''-{b}-'' ∈ ℚ [[рационалан број]]. Тада се може написати ''-{b'' = ''p'' / ''q}-'', ''-{p}-'' ∈ ℤ ''-{q}-'' ∈ ℕ, при чему је
:<math>a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p} = (\sqrt[q]{a})^p</math>

Како парни [[корен (математика)|коренови]] негативних бројева нису дефинисани, то није дефинисано ни <math>a^{p/q}</math> за парно ''-{q}-'' и негативно ''-{a}-''.

=== Ирационални експонент ===
Нека је ''-{b}-'' ∈ ℝ \ ℚ [[ирационалан број]]. Тада је вредност ''-{a''<sup>''b''</sup>}- дефинисана само за -{''a}-'' ∈ ℝ<sup>+</sup>, као [[гранична вредност]]
:<math>\lim_{p/q\to b}a^{p/q}</math>
степена ''-{a}-''<sup>''-{p}-'' / ''-{q}-''</sup> са рационалним експонентима ''-{p}-'' / ''-{q}-'', који теже ка датом експоненту ''-{b}-''.

Конкретна нумеричка вредност рачуна се преко приближних вредности, са жељеном прецизношћу експонента. Нпр, ако је ''-{x}-'' = ''-{a<sup>&pi;</sup>}-'', тада је ''-{a''<sup>3,141</sup>}- &lt; -{''x}-'' &lt; -{''a''<sup>3,142</sup>}-.

== Степеновање комплексних бројева ==
{{Посебан чланак|Комплексан број}}
Како се сваки [[комплексан број]] ''-{z}-'' ∈ ℂ може записати у облику <math>z = \rho e^{i \phi}</math> (видети [[Ојлерова формула|Ојлерову формулу]]) то важи
:<math>z^x = (\rho e^{i \phi})^x = \rho ^ x e^{i x \phi}</math>.

== Степеновање матрица ==
Степеновање [[Матрица (математика)|матрица]] идентично је по дефиницији степеновању реалних бројева са природним експонентима. Дефинисано је за квадратне матрице и природан број као експонент.

== Инверзне функције ==
Из степеновања се могу извести две [[функција (математика)|функције]], у зависности од тога да ли је независна [[променљива (математика)|променљива]] основа или експонент. Први случај даје [[експоненцијална функција|степену функцију]] (<math>y = x^k</math>), а други [[експоненцијална функција|експоненцијалну функцију]] (<math>y = k^x</math>).

[[Инверзна функција]] степеној функцији је [[корена функција]] (<math>y = \sqrt[k]{x}</math>).

Инверзна функција експоненцијалне функције је [[логаритам]]ска функција (<math>y = \log_k x</math>).

== Види још ==
* [[број е|е]] – основа природног логаритма
* [[Степена функција]]
* [[Експоненцијална функција]]
* [[Корен (математика)|Корен]]
* [[Логаритам]]

== Референце ==
{{reflist|refs=
<ref name="MacTutor">{{MacTutor|class=Miscellaneous|id=Mathematical_notation|title=Etymology of some common mathematical terms}}</ref>
<ref name="worldwidewords">{{Cite web|url=http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm|title=Zenzizenzizenzic|publisher=World Wide Words|first=Michael|last=Quinion|author-link=Michael Quinion|access-date=2020-04-16}}</ref>
<ref name="Euler_1748">{{cite book |author-first=Leonhard |author-last=Euler |author-link=Leonhard Euler |title=Introductio in analysin infinitorum |language=la |location=Lausanne |publisher=Marc-Michel Bousquet |date=1748 |volume=I |pages=69, 98–99 |url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k33510/f93.image |quote=Primum ergo considerandæ sunt quantitates exponentiales, seu Potestates, quarum Exponens ipse est quantitas variabilis. Perspicuum enim est hujusmodi quantitates ad Functiones algebraicas referri non posse, cum in his Exponentes non nisi constantes locum habeant.}}</ref>
}}

== Литература ==
{{Литература|}}
* Cunnington, Susan, ''The Story of Arithmetic: A Short History of Its Origin and Development'', Swan Sonnenschein, London, 1904
* [[Leonard Eugene Dickson|Dickson, Leonard Eugene]], ''[[History of the Theory of Numbers]]'' (3 volumes), reprints: Carnegie Institute of Washington, Washington, 1932; Chelsea, New York, 1952, 1966
* [[Leonhard Euler|Euler, Leonhard]], ''[https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ Elements of Algebra]'', Tarquin Press, 2007
* [[Henry Burchard Fine|Fine, Henry Burchard]] (1858–1928), ''The Number System of Algebra Treated Theoretically and Historically'', Leach, Shewell & Sanborn, Boston, 1891
* [[Louis Charles Karpinski|Karpinski, Louis Charles]] (1878–1956), ''The History of Arithmetic'', Rand McNally, Chicago, 1925; reprint: Russell & Russell, New York, 1965
* [[Øystein Ore|Ore, Øystein]], ''Number Theory and Its History'', McGraw–Hill, New York, 1948
* [[André Weil|Weil, André]], ''Number Theory: An Approach through History'', Birkhauser, Boston, 1984; reviewed: [[Mathematical Reviews]] 85c:01004
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commons category|Exponentiation}}
* -{[http://www.mathsisfun.com/algebra/exponent-laws.html Laws of Exponents] with derivation and examples}-

{{Класе природних бројева}}
{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Експоненцијали| ]]
[[Категорија:Елементарна математика]]