Изворни код странице Сабирање

[[Датотека:PlusCM128.svg|десно|рам|128п|Знак плус]]
'''Сабирање''', у општом случају, је комбиновање било које две количине или величине користећи оператор [[плус]].<ref>[http://mathworld.wolfram.com/Addition.html MathWorld Wolfram, „Сабирање“] {{en}}</ref> У свакодневној употреби, међутим, сабирање се обично односи на комбиновање [[број]]ева ([[реалан број|реалних]], [[цео број|целих]], [[природан број|природних]] итд.), у циљу проналажења њихове заједничке количине или величине. Сабирање у овом смислу је један од најпростијих нумеричких задатака.

Сабирање је [[Комутативност|комутативно]], што значи да је: <math>1 + 2 = 2 + 1</math>, тј. могу се заменити места сабирака, а резултат сабирања се неће променити. Сабирање је такође [[Асоцијативност|асоцијативно]], јер вреди: <math>( 1 + 2 ) + 3 = 1 + ( 2 + 3 )</math> Код сабирања чланова неког низа користи се велико грчко слово сигма: <math> \sum_{i=1}^{n} x_{i} = x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{n-1} + x_{n}</math>, што значи да се сабира првих -{''n''}- чланова [[низ]]а, од x<sub>1</sub> do x<sub>n</sub>. 

== Ознака и терминологија ==
[[Датотека:Addition01.svg|десно|мини|120п|3 + 2 = 5 са [[јабука]]ма<ref>From Enderton (p.138): "...select two sets ''K'' and ''L'' with card ''K'' = 2 and card ''L'' = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."</ref>]]
У уобичајеној [[инфиксна нотација|инфиксној нотацији]], сабирање се представља [[знак плус|знаком плус]] смештеним између [[операнд|операнада]]. Операнди се називају ''сабирци'', а резултат сабирања се зове ''збир''. Следи пример.

:<math>2 + 2 = 4</math> (изговара се „један плус два“ или „један више један“)

Следе још неки примери.

:<math>5 + 4 + 2 = (5 + 4) + 2 = 9 + 2 = 11</math> (погледати [[асоцијативност]])
:<math>3 + 3 + 3 + 3 = 3 \times 4 = 12</math> (погледати [[множење]])

[[Датотека:AdditionVertical.svg|десно]]
Неки пут се сабирање подразумева иако не постоји знак плус:
* Ако је исписан низ вертикално потписаних бројева испод којих је подвучена црта, подразумева се да се бројеви желе сабрати а резултат се уписује испод црте. Ипак, ово није стандард и уобичајено је ставити знак плус лево од последњег сабирка у низу.
* Цео број иза кога следи разломак се обично зове мешани број (нпр. <math>3\frac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2} = 3,5</math>), али се ово ретко среће осим у нижим разредима основне школе. Оваква нотација не представља двосмисленост. Наиме, ако две конкретне величине стоје једна поред друге, онда се оне нормално гледају као један број (нпр. <math>1234</math> се не може гледати никако другачије него број хиљаду двеста тридесет и четири), али овде није тај случај јер имамо разломак који чини очигледним шта се желело написати. Такође, иако је уобичајено претпоставити [[множење]] када две величине стоје једна поред друге, то се чини само када бар један од операнада не представља конкретну вредност, него променљиву, константу, итд. (нпр <math>3a</math> се обично интерпретира као <math>3 \times a</math>, али не и када су оба операнда конкретне вредности, попут <math>1234</math> или <math>3\frac{1}{2}</math>.

== Особине ==
Иако особине операције сабирања зависе од њене дефиниције и области дефинисаности, овде ћемо говорити конкретно о особинама сабирања елемената из скупа [[реалан број|реалних бројева]], а самим тим и о особинама сабирања елемената било које [[Абелова група|Абелове групе]].

Сабирање реалних бројева задовољава четири услова:
# за свака два реална броја <math>a</math> и <math>b</math>, <math>a+b</math> је исто што и <math>b+a</math>:
:<math>\forall a,b \in R, a+b=b+a</math> ([[комутативност]])
2. за свака три реална броја који се сабирају, није битно којим редоследом их сабирамо и резултат мора бити исти; дакле, није битно да ли прво саберемо први и други, па збир са трећим, или прво други и трећи, па збир са првим итд.:
:<math>\forall a,b,c \in R, a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)</math> ([[асоцијативност]])
3. Постоји један реалан број који ако се сабере са било којим реалним бројем даје тај исти реалан број, тј. његово додавање на неки број не утиче на тај број; тај реални број се назива [[неутрал]], и код сабирања реалних бројева се обично представља симболом <math>0</math> и зове „[[0 (број)|нула]]“:
:<math>\exists 0 \in R, \forall x \in R, x+0=x</math>
4. За сваки узети реални број, постоји њему супротан, означен са знаком [[минус]], који кад се сабере са тим бројем даје нулу; такав „супротни“ број неког броја се назива његовим [[инверз (математика)|инверзом]]:
:<math>\forall x \in R, \exists {-x}, x+(-x)=0</math>

Уопштено говорећи, сабирање не мора задовољавати све наведене особине за све скупове над којим је дефинисано. На пример, сабирање над скупом целих бројева не задовољава услове 3. и 4., сабирање над скупом [[ординал]]а не задовољава услове 1. и 4., итд.

== Таблица сабирања ==
{| class="wikitable"
|-
! + !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10
|-
| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11
|-
| 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 
|-
| 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12  || 13 
|-
| 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12  || 13  || 14 
|-
|  5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12  || 13  || 14 || 15
|-
| 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12  || 13  || 14 || 15 || 16 
|-
| 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12  || 13  || 14 || 15 || 16  || 17
|-
| 8 || 9 || 10 || 11 || 12  || 13  || 14 || 15 || 16  || 17 || 18
|-
| 9 || 10 || 11 || 12  || 13  || 14 || 15 || 16  || 17 || 18 || 19
|-
| 10 || 11 || 12  || 13  || 14 || 15 || 16  || 17 || 18 || 19 || 20
|}

== Референце ==
{{reflist}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{cite conference|last1=Baroody |first1=Arthur |last2=Tiilikainen |first2=Sirpa |book-title=The Development of Arithmetic Concepts and Skills. Two perspectives on addition development |year=2003 |isbn=978-0-8058-3155-9 |publisher=Routledge|pages=75}}
* {{Cite book|last1=Davison |first1=David M. |last2=Landau |first2=Marsha S. |last3=McCracken |first3=Leah |last4=Thompson |first4=Linda |title=Mathematics: Explorations & Applications |edition=TE |publisher=Prentice Hall |year=1999 |isbn=978-0-13-435817-8|pages=}}
* {{Cite book|first1=Lucas N.H. |last1=Bunt |first2=Phillip S. |last2=Jones |first3=Jack D. |last3=Bedient |title=The Historical roots of Elementary Mathematics |url=https://archive.org/details/historicalrootso0000bunt|publisher=Prentice-Hall |year=1976 |isbn=978-0-13-389015-0|pages=}}
* {{cite journal|last=Poonen |first=Bjorn |year=2010 |title=Addition |url=http://www.girlsangle.org/page/bulletin.php |journal=Girls' Angle Bulletin  |volume=3 |issue=3–5 |issn=2151-5743}}
* {{cite conference|first=J. Fred |last=Weaver |book-title=Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction |year=1982 |isbn=978-0-89859-171-2 |publisher=Taylor & Francis|pages=60}}

'''Историја'''
* {{Cite book|first=José |last=Ferreirós |title=Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics |publisher=Birkhäuser |year=1999 |isbn=978-0-8176-5749-9|pages=}}
* {{Cite book|first=Louis |last=Karpinski |authorlink=Louis Charles Karpinski |title=The History of Arithmetic |publisher=Rand McNally |year=1925 |id={{LCC|QA21.K3}}}}
* {{Cite book|first=Steven |last=Schwartzman |title=The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English |url=https://archive.org/details/wordsofmathemati0000schw|publisher=[[Mathematical Association of America|MAA]] |year=1994 |isbn=978-0-88385-511-9|pages=}}
* {{Cite book|first=Michael |last=Williams |title=A History of Computing Technology |url=https://archive.org/details/historyofcomputi0000will|publisher=Prentice-Hall |year=1985 |isbn=978-0-13-389917-7|pages=}}

'''Елеменатарна математика'''
* {{Cite book|author=Sparks, F. |author2=Rees C. |title=A Survey of Basic Mathematics |url=https://archive.org/details/surveyofbasicmat0000spar|publisher=McGraw-Hill |year=1979 |isbn=978-0-07-059902-4|pages=}}

'''Образовање'''
* {{Cite book|first=Edward |last=Begle |title=The Mathematics of the Elementary School |url=https://archive.org/details/mathematicsofele0000begl|publisher=[[McGraw-Hill]] |year=1975 |isbn=978-0-07-004325-1|pages=}}
* [https://web.archive.org/web/20051228115904/http://www.cde.ca.gov/be/st/ss/mthmain.asp California State Board of Education mathematics content standards] Adopted December 1997, accessed December 2005.
* {{Cite book|author=Devine, D. |author2=Olson, J. |author3=Olson, M. |title=Elementary Mathematics for Teachers |url=https://archive.org/details/elementarymathem0000devi|edition=2e |publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]] |year=1991 |isbn=978-0-471-85947-5|pages=}}
* {{Cite book|last=Council|first=National Research|title=Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics|publisher=[[United States National Academies|National Academy Press]]|year=2001|isbn=978-0-309-06995-3|authorlink=United States National Research Council|url=http://www.nap.edu/books/0309069955/html/index.html|doi=10.17226/9822|access-date=06. 05. 2019|archive-date=08. 06. 2007|archive-url=https://web.archive.org/web/20070608181717/http://www.nap.edu/books/0309069955/html/index.html|url-status=dead}}
* {{Cite book|first=John |last=Van de Walle |title=Elementary and Middle School Mathematics: Teaching developmentally |url=https://archive.org/details/elementarymiddle00vand|edition=5e |publisher=Pearson |year=2004 |isbn=978-0-205-38689-5|pages=}}

'''Когнитивна наука'''
* {{Cite book|last1=Fosnot |first1=Catherine T. |last2=Dolk |first2=Maarten |title=Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction |url=https://archive.org/details/youngmathematici0000fosn |publisher=Heinemann |year=2001 |isbn=978-0-325-00353-5|pages=}}
* {{cite conference|first=Karen |last=Wynn |book-title=The Development of Mathematical Skills. |title=Numerical competence in infants |publisher=Taylor & Francis |year=1998 |isbn=978-0-86377-816-2|pages=}}

'''Математичко излагање'''
* {{cite web |last=Bogomolny |first=Alexander |year=1996 |title=Addition |work=Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org) |url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml |accessdate=3. 2. 2006 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20060426110928/http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml |archivedate=26. 04. 2006 |url-status=dead }}
* {{Cite book|first=William |last=Dunham |title=The Mathematical Universe |url=https://archive.org/details/mathematicaluniv0000dunh_b8q9 |publisher=Wiley |year=1994 |isbn=978-0-471-53656-7|pages=}}
* {{Cite book|first=Paul |last=Johnson |title=From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics |url=https://archive.org/details/fromsticksstones0000unse|publisher=Science Research Associates |year=1975 |isbn=978-0-574-19115-1|pages=}}
* {{Cite book|first=Carl |last=Linderholm |year=1971 |title=Mathematics Made Difficult |publisher=Wolfe |isbn=978-0-7234-0415-6|title-link=Mathematics Made Difficult}}
* {{Cite book|first=Frank |last=Smith |title=The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult |url=https://archive.org/details/glasswallwhymath0000smit|publisher=Teachers College Press |year=2002 |isbn=978-0-8077-4242-6|pages=}}
* {{Cite book|first=Karl |last=Smith |title=The Nature of Modern Mathematics |url=https://archive.org/details/natureofmodernma0000smit|edition=3rd |publisher=Wadsworth |year=1980 |isbn=978-0-8185-0352-8|pages=}}

'''Напредна математика'''
* {{Cite book|first=George |last=Bergman |title=An Invitation to General Algebra and Universal Constructions |edition=2.3 |publisher=General Printing |year=2005 |isbn=978-0-9655211-4-7 |url=http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html}}
* {{Cite book|first=Claude |last=Burrill |title=Foundations of Real Numbers |url=https://archive.org/details/foundationsofrea0000clau|publisher=McGraw-Hill |year=1967 |id={{LCC|QA248.B95}}}}
* {{Cite book|author=Dummit, D. |author2=Foote, R. |title=Abstract Algebra |edition=2 |publisher=Wiley |year=1999 |isbn=978-0-471-36857-1|pages=}}
* {{Cite book|first=Herbert |last=Enderton |title=Elements of Set Theory |url=https://archive.org/details/elementsofsetthe0000ende|publisher=[[Academic Press]] |year=1977 |isbn=978-0-12-238440-0|pages=}}
* {{Cite book|first=John |last=Lee |title=Introduction to Smooth Manifolds |url=https://archive.org/details/introductiontosm0000leej |publisher=Springer |year=2003 |isbn=978-0-387-95448-6|pages=}}
* {{Cite book|first=John |last=Martin |title=Introduction to Languages and the Theory of Computation |url=https://archive.org/details/introductiontola0000mart|publisher=McGraw-Hill |edition=3 |year=2003 |isbn=978-0-07-232200-2|pages=}}
* {{Cite book|first=Walter |last=Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |edition=3 |publisher=McGraw-Hill |year=1976 |isbn=978-0-07-054235-8|pages=}}
* {{Cite book|first=James |last=Stewart |title=Calculus: Early Transcendentals |url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew|edition=4 |publisher=Brooks/Cole |year=1999 |isbn=978-0-534-36298-0|pages=}}

'''Математичко истраживање'''
* {{cite journal|last=Akian|first=Marianne|author2=Bapat, Ravindra |author3=Gaubert, Stephane |title=Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem |journal=INRIA Reports |year=2005 |arxiv=math.SP/0402090|bibcode=2004math......2090A}}
* {{cite conference|author=Baez, J.|authorlink=John C. Baez|author2=Dolan, J. |book-title=Mathematics Unlimited – 2001 and Beyond. From Finite Sets to Feynman Diagrams |year=2001 |arxiv=math.QA/0004133 |isbn=978-3-540-66913-5|pages=29}}
* {{cite journal |date= 1999|title=Idempotent mathematics and interval analysis |url= |journal= |volume=|issue= |pages= |doi= |arxiv=math.SC/9911126|bibcode= 1999math.....11126L|last1= Litvinov|first1= Grigori|last2= Maslov|first2= Viktor|last3= Sobolevskii|first3= Andrei}}
* {{cite journal|first=Jean-Louis |last=Loday |title= Arithmetree |journal=Journal of Algebra |year=2002 |arxiv=math/0112034 |doi=10.1016/S0021-8693(02)00510-0 |volume=258 |pages=275–309}}
* {{Cite book|last=Mikhalkin |first=Grigory |year=2006 |arxiv=math.AG/0601041 |zbl=1103.14034 |editor1-last=Sanz-Solé |editor1-first=Marta |title=Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM), Madrid, Spain, August 22–30, 2006. Volume II: Invited lectures. Tropical Geometry and its Applications |location=Zürich |publisher=[[European Mathematical Society]] |isbn=978-3-03719-022-7 |pages=827–852}}
* {{Cite book|last=Viro |first=Oleg |year=2001 |url=http://www.math.uu.se/~oleg/dequant/dequantH1.html |title=European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper |editor1-first=Carles |editor1-last=Cascuberta |editor2-first=Rosa Maria |editor2-last=Miró-Roig |editor3-first=Joan |editor3-last=Verdera |editor4-first=Sebastià |editor4-last=Xambó-Descamps |publisher=Birkhäuser |location=Basel |isbn=978-3-7643-6417-5 |series=Progress in Mathematics |volume=201 |arxiv=math/0005163 |zbl=1024.14026 |bibcode=2000math......5163V|pages=135–146}}

'''Рачунарство'''
* {{Cite book|author=Flynn, M. |author2=Oberman, S. |title=Advanced Computer Arithmetic Design |publisher=Wiley |year=2001 |isbn=978-0-471-41209-0|pages=}}
* {{Cite book|author=Horowitz, P. |author2=Hill, W. |title=The Art of Electronics |edition=2 |publisher=Cambridge UP |year=2001 |isbn=978-0-521-37095-0|pages=}}
* {{Cite book|first=Albert |last=Jackson |title=Analog Computation |url=https://archive.org/details/analogcomputatio0000albe|publisher=McGraw-Hill |year=1960 |id={{LCC|QA76.4|J3}}}}
* {{Cite book|author=Truitt, T. |author2=Rogers, A. |title=Basics of Analog Computers |url=https://archive.org/details/basicsofanalogco0000trui|publisher=John F. Rider |year=1960 |id={{LCC|QA76.4|T7}}}}
* {{cite book|ref=MARG |language=fr |title=Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642–1942 |first=Jean |last=Marguin |year=1994 |publisher=Hermann |location= |isbn=978-2-7056-6166-3|pages=}}
* {{cite book|ref=TATON63 |language=fr |title=Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367 |first=René |last=Taton |year=1963 |publisher=Presses universitaires de France |location= |id=|pages=20–28}}
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Addition}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Addition.html MathWorld Wolfram, „Сабирање“] {{en}}

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Елементарна математика]]
[[Категорија:Бинарне операције]]
[[Категорија:Математичка нотација]]