Изворни код странице Реалан број

{{друга употреба|Број (вишезначна одредница)}}
[[File:Latex real numbers square.svg|right|thumb|120px|Симбол скупа реалних бројева]]

'''Реални бројеви''' су сви [[рационалан број|рационални]] и [[ирационалан број|ирационални]] [[број]]еви. [[Реалан број|Скуп реалних бројева]] се означава са '''-{R}-''' или са <math>\mathbb{R}.</math><ref>Др Димитрије Хајдуковић, ''Математика 1'', четврто издање, Наука, Београд, 1999.</ref> Скуп реалних бројева је [[бесконачност|бесконачан]] и [[непребројив]], а број елемената, тзв. [[кардинални број скупа]] реалних бројева називамо [[континуум (математика)|континуум]]. Реални бројеви образују [[Поље (математика)|поље]]. Термин реалан стоји насупрот чистим имагинарним ([[комплексан број|комплексним]] [[имагинаран број|имагинарним]]) бројевима. Придев ''реални'' у овом контексту увео је [[Рене Декарт]] у 17. веку, који је правио разлику између реалних и [[imaginary number|имагинарних]] [[Zero of a function|корена]] [[полином]]а. Реални бројеви укључују све [[rational number|рационалне бројеве]], као што су [[integer|цели број]] -5 и [[разломак]] 4/3, и све [[Ирационалан број|ирационалне бројеве]], као што су {{sqrt|2}} (1,41421356 ..., квадратни корен од 2, ирационални [[алгебарски број]]). У оквиру ирационалних су укључени [[Трансцендентан број|трансцендентни бројеви]], попут [[pi|{{pi}}]] (3,14159265 ...). Поред мерења удаљености, реални бројеви се могу користити за мерење количина као што су [[време]], [[маса]], [[енергија]], [[брзина]] и још много тога.

Реални бројеви се могу сматрати тачкама на бесконачно дугој [[line (geometry)|линији]] која се назива [[number line|бројевна линија]] или [[real line|реална линија]], где су тачке које одговарају [[integer|целим бројевима]] равномерно распоређене. Било који реални број може се одредити евентуално бесконачним [[decimal representation|децималним приказом]], попут 8,632, при чему свака узастопна цифра изражава јединице десетине величине претходне. [[real line|Реална линија]] се може замислити као део [[complex plane|комплексне равни]], а [[complex number|комплексни бројеви]] обухватају реалне бројеве.

== Децимални бројеви ==
[[Децимални број]]еви су настајали стотинама година, напорима генерација [[математичар]]а, чији је врхунац остварио [[Стевин]] у [[16. век]]у, употребом [[децимални разломак|децималних разломака]], тј. разломака чији је именилац степен броја десет: 1, 10, 100, итд. Дељењем неке јединице: 
: на ''десет једнаких делова'' добијемо ''десети део'', тј. <math>\frac{1}{10};</math>
: на ''сто једнаких делова'' добијемо ''стоти део'', тј. <math>\frac{1}{100};</math>
: на ''хиљаду једнаких делова'' добијамо ''хиљадити део'', тј. <math>\frac{1}{1000}.</math>

Даље добијамо ''десетохиљадити'', ''стохиљадити'', ''милионити'', итд. део. Да бисмо ''сабрали'' (или одузели) децималне бројеве потребно је да их поставимо тако да се њихове запете подударе. Почињемо од најмањих делова, крајња десна колона. Ако је збир у датој колони већи од десет (4+8=12), остављамо вишак (2), и додајемо 1 колони лево. 

{| border="0" cellpadding="2"
|-
! Сабирање !!  !! Одузимање !! 
|-
| 2,34 ||      || 2,34 || 
|-
|<u> 1,28 / +</u>||   ||<u> 1,28 / -</u>|| 
|-
| 3,62 ||       || 1,06 ||
|}

У случају ''одузимања'', када је доњи број (онај који одузимамо) већи од горњег у тој колони, онда позајмљујемо јединицу из прве леве колоне и додајемо десет броју (горњем) од којег одузимамо.

На слици десно, видимо специјалну посуду у коју можемо сипати течност несметано, све док ниво течности не пређе подељак девет. Након тога посуда ће се сама испразнити до нуле. Аналогно сабирању децималних бројева потписаних по колонама.

Да бисмо ''помножили'' децимални број целим бројем један за којим следи неколико нула, треба да померимо запету удесно за по једно место за сваку нулу. Ако више нема децималних места, на десној страни треба дописати потребан број нула. На пример: 23,45х1000 = 23450.

Када ''множимо два децимална броја'', множимо их као да су цели, а затим у добијеном резултату стављамо онолико децималних цифара колико их имају оба фактора заједно. На пример, множимо 2,3 са 4,5. Прво 23х45=1035; затим, имамо укупно два децимална места; резултат 2,3х4,5 = 10,35.

Да бисмо ''поделили'' децимални број целим бројем један за којим следи неколико нула, треба померити запету улево, за по једно место за сваку нулу. Ако више нема цифара тог броја, на левој страни ћемо дописати преостале нуле. На пример 23,45:1000 = 0,02345.

== Апроксимација реалних бројева ==
За прецизније [[дефиниција|дефинисање]] [[апроксимација|апроксимације]] реалних бројева [[децимални број|децималним]] бројевима и децималног записа реалног броја треба нам:
# ''Принцип најмањег целог броја'': Сваки [[скуп]] [[цео број|целих]] бројева који је ограничен одоздо има најмањи број;
# ''Архимедова аксиома'': За свака два цела броја ''-{a, b'}-' од којих је први позитиван, постоји природан [[број]] -{''n}-'', такав да је <math>n\cdot a > b.</math>

Принцип најмањег целог броја важи и када доња граница није цео број; она може бити било који реалан број. Архимедов принцип важи и у случају када су a и b реални бројеви (a&gt;0).

; Теорема 1: Ако је '''''a''''' позитиван реалан број, тада постоји јединствен број <math>n_0\in\{0,1,2,...\},</math> такав да је <math>n_0\le x <n_0+1.</math>
; Доказ: Према [[Архимед]]овој [[аксиома|аксиоми]], за -{b=x}- и -{a=1}-, постоји [[природан број]] -{n}- такав да је -{x&lt;n&middot;1=n}-. Међу свим таквим бројевима -{n}-, према аксиоми 2, постоји најмањи. Означимо га са n'. Дакле важи 0&lt;x&lt;n' (*). Због тога је -{n'-1&le;x&lt;n'}-. Наиме, ако би било -{n'-1&gt;x}-, онда -{n'}- не би био најмањи број који испуњава претходни услов (*). Означимо ли -{n'-1=n<sub>0</sub>}-, добијамо тврђење [[теорема]].

== Децимални запис реалног броја ==
; Дефиниција 1: [[Број]] који се може записати у облику
:: <math>n_0+\frac{d_1}{10}+\frac{d_2}{10^2}+...+\frac{d_n}{10^n} \quad (n_0\in \{0,1,...,9\},n\in\mathbb{N},</math>
: или њему супротан број (негативан), зове се ''децимални број''.

; Дефиниција 2: [[бесконачност|Бесконачан]] [[низ]] целих бројева <math>n_0,d_1,d_2,...</math> који одређује број <math>x</math> записује се у облику <math>x=n_0,d_1d_2...,</math> и зове се ''децимални запис'' броја <math>x.</math>

Био је то поступак којим се сваки периодични [[децимални број]] може превести у [[разломак]] са целобројним бројником и називником. Међутим, знамо да је [[скуп]] свих разломака [[бесконачност|бесконачан]], пребројив, [[алеф број|алеф нула]]. Знамо да је скуп реалних [[број]]ева бесконачан, непребројив, [[континуум (математика)|континуум]]. Према томе је скуп свих непериодичних децималних бројева континуум.

== Мерење дужи, бројевна права ==
[[Датотека:Merenje-duzi.gif]]
; Дефиниција 3:Нека је свакој дужи AB придружен ''позитиван реалан број'' -{d(A,B)}-, при чему су испуњени следећи услови:
* За неку [[дуж]] OE важи -{d(O,E)=1}-.
* Ако је -{AB=CD}-, тада је -{d(A,B)=d(C,D)}-.
* Ако је [[Тачка (геометрија)|тачка]] -{C}- између тачака -{A}- и -{B}-, онда је -{d(A,B)=d(A,C)+d(C,B)}-.
: Тада се [[број]] -{d(A,B)}- зове ''дужина'' дужи -{AB}-.

Ако се у [[дефиниција|дефиницији]] дода услов да је -{d(A,A)=0}-, за сваку тачку -{А}-, онда се број -{d(A,B)}- зове ''растојање'' између тачака -{A}- и -{B}-.

== Уређено поље реалних бројева ==
; Дефиниција 4: За [[скуп]] <math>S\subset\mathbb{R},</math> кажемо да је ''ограничен одозго'' ако постоји бар један реалан број <math>M,</math> такав да је, за сваки <math>x\in S,\; x\le M.</math> Број М се у том случају зове ''мајоранта'' скупа -{S}-, или ''горња међа'' скупа -{S}-.

На пример скуп <math>S=\left\{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},...,\frac{n}{n+1},...\right\}</math> има мајоранту број 1, али је и сваки други реалан број који је већи од 1 такође мајоранта овог скупа. Скуп <math>S=\{2,4,6,...,2n,...\}</math> нема мајоранту, јер према [[Архимед]]овој [[аксиома|аксиоми]] за било који <math>r\in\mathbb{R}</math> постоји природан број n такав да је <math>2\cdot n>r.</math>. Скуп непозитивних реалних бројева има најмању мајоранту нулу.

; Дефиниција 5: Ако постоји реалан број s, такав да је он најмања [[мајоранта]] [[скуп]]а S, тј. ако из <math>r\in \mathbb{R},\; r<s,</math> следи да постоји бар један елеменат <math>x\in S</math> такав да је <math>r<x</math>, онда се s назива [[инфимум и супремум|супремумом]] скупа S, или ''тачном доњом међом'' скупа S. Супремум скупа S означавамо sup S.

Један скуп не може имати два супремума, нпр. <math>s_1, s_2,</math> јер би тада по дефиницији (5) било <math>s_1\le s_2 \wedge s_2\le s_1,</math> што због антисиметричности релације мање-једнако повлачи <math>s_1=s_2.</math>

; Дефиниција 6: Нека су у [[скуп]]у <math>\mathbb{R} = \{ x, y, z, ...\}</math> дефинисани [[сабирање]] + и [[множење]] &middot;, [[бинарна релација]] &le; и нека за све x,y,z,... из '''R''' важе услови:
:(R1) <math>(x+y)+z=z+(y+z),\,</math>
:(R2) <math>(\exists 0 \in \mathbb{R})(\forall x \in \mathbb{R}) \, x+0=x,</math>
:(R3) <math>(\forall x \in \mathbb{R})(\exists (-x)\in \mathbb{R}) \, x+(-x)=0,</math>
:(R4) <math>x+y=y+x, \,</math>
:(R5) <math>x(yz)=(xy)z, \,</math>
:(R6) <math>x(y+z)=xy+xz,\,</math>
:(R7) <math>(\exists 1 \in \mathbb{R} \setminus \{0\})(\forall x \in \mathbb{R})\; x\cdot 1=x,</math>
:(R8) <math>(\forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0\})(\exists x^{-1} \in \mathbb{R})\; x \cdot x^{-1}=1,</math>
:(R9) <math>xy=yx,\,</math>
:(R10) <math>(x\le y)\vee (y\le x),\,</math>
:(R11) <math>(x\le y \wedge y\le x)\Rightarrow x=y,</math>
:(R12) <math>(x\le y \wedge y\le z)\Rightarrow (x\le z),</math>
:(R13) <math>(x\le y) \Rightarrow (x+z\le y+z),</math>
:(R14) <math>(x\le y \wedge z>0)\Rightarrow (xz\le yz),</math>

и најзад, најважније
:(CR) сваки одозго ограничен непразан [[скуп]] у <math>\mathbb{R}</math> има [[инфимум и супремум|супремум]] у <math>\mathbb{R}.</math> 

CR заправо ствара реалне бројеве, јер сви остали аксиоми могли би се узети и за опис рационалних бројева, док онај задњи не би.

Тада уређену четворку ('''-{R}-''', +, &middot;, &le;) зовемо ''уређено комплетно поље'' или ''поље реалних бројева''. Често га означавамо само са '''-{R}-'''. Услови -{(R1)-(R15)}- зову се ''аксиоми реалних бројева''. Из [[теорија група|теорије група]] и из претходне дефиниције, види се да у пољу '''-{R}-''' постоје јединствена нула (R2) и јединствена јединица (R7), да сваки елеменат х скупа '''R''', осим нуле, има (R3) јединствен супротни елеменат -х, и да сваки има (R8) јединствен инверзни елеменат <math>x^{-1}\equiv \frac{1}{x}.</math>

Операције сабирања и множења индукују алгебарску структуру у скупу '''-{R}-''' реалних бројева, а релација уређења индукује у '''-{R}-''' структуру [[структура тоталног уређења|талног уређења]].

Аксиоме 1-9 односе се на [[алгебарска структура|алгебарску структуру]] скупа реалних бројева, а аксиоме 10-12 на његову [[структура поретка|структуру поретка]]. Аксиоме 13-14 повезују те две структуре на скупу реалних бројева, тј. показују да је [[релација поретка]] "&le; " у сагласности са [[сабирање]]м и [[множење]]м у '''-{R}-'''. Зову се редом ''монотонија'' сабирања и множења.

[[Аксиома]] -{R15}- изражава важну особину скупа реалних бројева коју зовемо [[комплетност скупа]] '''-{R}-'''. Постоји више еквивалентних облика тог аксиома.

== Подскупови ==

Неколико важних подскупова реалних бројева имају своја посебна имена, то су:
* [[Рационалан број|Рационални бројеви]] (у које спадају [[природан број|природни]] и [[цео број|цели бројеви]])
* [[Ирационалан број]]

== Види још ==
* [[Апсолутна вредност]]
* [[Приближна вредност броја]]
* [[Заокругљивање децималних бројева]]
* [[Операције са приближним бројевима]]

== Референце ==
{{reflist}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* Др Павле Миличић, Мр Владимир Стојановић, Др [[Зоран Каделбург]], Др Бранислав Боричић: ''МАТЕМАТИКА, За I разред средње школе'', Програми са четири часа наставе математике недељно, Друго издање, Завод за издавање уџбеника, Нови Сад, 1992.
* [[Georg Cantor|Cantor, Georg]] (1874). "{{lang|de|Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen}}". ''{{lang|de|Journal für die Reine und Angewandte Mathematik}}'', volume 77, pp. 258–62.
* [[Solomon Feferman|Feferman, Solomon]] (1989). ''The Number Systems: Foundations of Algebra and Analysis'', AMS Chelsea, {{ISBN|0-8218-2915-7}}.
* Katz, Robert (1964). ''Axiomatic Analysis'', D.C. Heath and Company.
* [[Edmund Landau|Landau, Edmund]] (2001). ''Foundations of Analysis''. [[American Mathematical Society]], {{ISBN|0-8218-2693-X}}.
* Howie, John M. ''Real Analysis''. Springer, (2005) {{ISBN|1-85233-314-6}}.
* {{citation |first = Carol |last = Schumacher |title = ChapterZero / Fundamental Notions of Abstract Mathematics BV |year = 1996 |publisher = Addison-Wesley |ISBN = 978-0-201-82653-1 }}
* {{citation |title = Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics |editor1-first = Helaine |editor1-last = Selin |editor1-link = Helaine Selin |editor2-first = Ubiratan |editor2-last = D'Ambrosio |editor2-link = Ubiratan D'Ambrosio |year = 2000 |publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn = 978-1-4020-0260-1 }}
* {{citation |last = Matvievskaya |first = Galina |year = 1987 |title = The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics |journal = [[New York Academy of Sciences|Annals of the New York Academy of Sciences]] |volume = 500 |issue = 1 |pages = 253–77 [254] |doi = 10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x |bibcode = 1987NYASA.500..253M }}
* {{citation |title = Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics |first1 = Helaine |last1 = Selin |first2 = Ubiratan |last2 = D'Ambrosio |year = 2000 |publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn = 978-1-4020-0260-1 }}
* {{citation |title = A History of  Pi |series = Dorset Classic Reprints |first = Petr |last = Beckmann |publisher = Barnes & Noble Publishing |year = 1993 |isbn = 978-0-88029-418-8 |page = 170 |url = https://books.google.com/books?id=XqqUUSyz138C&pg=PA170 |access-date = 2015-11-15 |archive-url = https://web.archive.org/web/20160504215657/https://books.google.com/books?id=XqqUUSyz138C&pg=PA170 |archive-date = 2016-05-04 |url-status = live }}.
* {{citation |title = Pi Unleashed |first1 = Jörg |last1 = Arndt |first2 = Christoph |last2 = Haenel |publisher = Springer |year = 2001 |isbn = 978-3-540-66572-4 |page = 192 |url = https://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC&pg=PA192 |access-date = 2015-11-15 |archive-url = https://web.archive.org/web/20160521024544/https://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC&pg=PA192 |archive-date = 2016-05-21 |url-status = live }}
* {{citation |title = The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue |first = William |last = Dunham |publisher = Princeton University Press |year = 2015 |isbn = 978-1-4008-6679-3 |page = 127 |url = https://books.google.com/books?id=aYTYBQAAQBAJ&pg=PA127 |quote = Cantor found a remarkable shortcut to reach Liouville's conclusion with a fraction of the work |access-date = 2015-02-17 |archive-url = https://web.archive.org/web/20150514071548/https://books.google.com/books?id=aYTYBQAAQBAJ&pg=PA127 |archive-date = 2015-05-14 |url-status = live }}
* {{cite journal |title = Beweis der Transendenz der Zahl e |url = https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1893_43/page/134 |first = Adolf |last = Hurwitz |journal = Mathematische Annalen |number = 43 |pages = 134–35 |year = 1893 }}
* {{cite journal |title = Transcendenz von ''e'' und π |first = Paul |last = Gordan |journal = [[Mathematische Annalen]] |volume = 43 |number = 2–3 |pages = 222–24 |year = 1893 |doi=10.1007/bf01443647}}
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Real numbers}}
* {{SpringerEOM|title=Real number|id=p/r080060}}
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Real_numbers_1.html The real numbers: Pythagoras to Stevin] {{Wayback|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Real_numbers_1.html |date=20070212112939 }}
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Real_numbers_2.html The real numbers: Stevin to Hilbert] {{Wayback|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Real_numbers_2.html |date=20070322192926 }}
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Real_numbers_3.html The real numbers: Attempts to understand] {{Wayback|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Real_numbers_3.html |date=20070212113221 }}
* [http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/thereals/ What are the "real numbers," really?]

{{Реални бројеви}}
{{Комплексни бројеви}}
{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Број]]
[[Категорија:Елементарна математика]]
[[Категорија:Реални бројеви| ]]