Изворни код странице Разломак

{{друга употреба|Број (вишезначна одредница)}}
[[Датотека:Cake quarters.svg|мини|Слика која показује како је једна четвртина колача одузета.]]

У [[математика|математици]], '''разломак''' је [[број]] који описује један или више једнаких делова целине. Разломак (од латинске речи -{Fractus}- што значи сломљено, разломљено) је однос једног [[цео број|целог броја]] (бројиоца) према другом (имениоцу) који није у њему садржан као сачинитељ. ''Једноставни'' или ''обични разломак'' је количник који се добива [[дељење]]м [[цео број|целог броја]] [[природни број|природним]].  Записује се помоћу [[коса црта|косе црте]] као нпр. 7/4 или помоћу водоравне '''разломачке црте''' нпр. <math>\tfrac{2}{3}</math>.

[[Скуп]] свих бројева који се могу записати помоћу једноставног разломка зове се скуп [[рационални број|рационалних бројева]], а означава се знаком <math>\mathbb{Q}</math>. Дељеник се зове '''''бројилац разломка, а налази се лево од косе црте или изнад разломачке црте.  [[Делитељ]] се зове '''именилац'' разломка, а налази се десно од косе црте или испод разломачке црте.

== Записивање ==

'''Прави разломак''' је разломак чија је [[апсолутна вредност броја|апсолутна вредност]] мања од 1, нпр. <math>\tfrac{2}{3}</math>. Апсолутна вредност '''неправог разломка''' већа је или једнака 1, нпр. <math>\tfrac{5}{2}</math>.

* Разломак <math>\frac 2 3</math> — број 2 је [[бројилац]], а 3 [[именилац]]. „Прави“ разломак има бројилац мањи од имениоца: <math>\frac 1 5</math>, иначе је „неправи“ нпр. <math>\frac 6 5</math>; децимални разломци имају као именитељ број 10, 100, 1000... (зависно од броја децималних места): 0,5 би било <math>\frac{5}{10}</math>. 
* Разломак <math>\frac 1 4</math> се састоји из три дела: бројилац (1), именилац (4) и разломачка црта.(/) 

Прави разломак је онај коме је бројилац мањи од имениоца. Неправи разломак је онај коме је бројилац већи од имениоца, а привидан разломак је онај коме је бројилац дељив имениоцем. Сваки неправи разломак може се написати у облику мешовитог броја, односно помоћу природног броја и разломка. То радимо тако што: на пример, имамо разломак <math>\frac {25} {4}</math> - њега ћемо написати у облику мешовитог броја: 25 делимо бројем 4. Број 4 се у 25 састоји 6 пута (4*6=24) и остаје нам остатак 1. Број 6 означава 6 целих, а остатак један колико узимамо. Овај мешовит број изгледао би овако: <math>6\frac 1 4</math>.

'''Мешани број''' сума је целог броја различитог од нуле и правог разломка. Сума је приказана без знака плус „+”. На пример, ако се имају две торте и три четвртине треће торте, има се <math>2+\tfrac{3}{4}=2\tfrac{3}{4}</math> торте. Неправи разломак <math>\tfrac{d}{c}</math> се претвара у мешани број <math>a\tfrac{b}{c}</math> тако да се подели бројилац с имениоцем, тада је цели део количника -{''a''}-, остатак је -{''b''}-, а именилац -{''c''}- остаје исти као на почетку.

'''Двојни разломак''' је разломак којему су бројилац и именилац разломци. Поједностављују се у једноставан разломак тако да је новом разломку бројилац умножак спољних бројева, а именилац умножак унутрашњих бројева. Алтернативно, може се најдужа разломачка црта заменити знаком за дељење, те поделити добијене разломке:

:<math>\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{1}=\tfrac{3}{2}=1\tfrac{1}{2}</math>

Ако је бројилац или именилац двојног разломка цели број тада се пише у облику разломка с бројиоцем 1:
:<math>\frac{8}{\tfrac{1}{3}}=8\cdot\tfrac{3}{1}=24.</math>

=== Однос ===

Разломак се може писати и у облику '''[[однос]]а''' нпр. <math>\tfrac{a}{b} = a : b</math>, за који вреди:

:<math>(a,b) + (c,d) = (ad+bc,bd) \,</math>

:<math>(a,b) - (c,d) = (ad-bc,bd) \,</math>

:<math>(a,b) \cdot (c,d) = (ac,bd)</math>

:<math>(a,b) : (c,d) = (ad,bc) \text{ (za c ≠ 0)} </math>

== Аритметичке операције ==

=== Проширивање разломака ===

Разломак се проширује тако што се његов бројилац и именилац помноже неким целим бројем -{''c''}-. Проширени разломак је једнак почетном разломку.

:<math>\frac{3}{7} = \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{2} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14}</math>

=== Скраћивање разломака ===

Разломак се скраћује тако да се његов бројилац и именилац поделе неким целим бројем -{''c''}-. По правилу су бројилац и именилац дељиви бројем -{''c''}-. Скраћени разломак једнак је почетном разломку.

:<math>\frac{5}{10} = \frac{5 : 5}{10 : 5} = \frac{1}{2}</math>

==== Парност имениоца ====

Вероватноћа да је именилац неког разломак паран износи 1 : 3 јер постоје три могућности за бројилац и именилац: оба су непарна; бројилац је паран, а именилац непаран; бројилац је непаран, а именилац паран. Не разматра се случај кад су и бројилац и именилац парни, јер се тада разломак може скратити и у том случају бројилац или именилац је непаран.

=== Реципрочна вредност ===

Ако се има једноставни разломак <math>\tfrac{a}{b}</math>, његова реципрочна вредност износи <math>\tfrac{b}{a}</math>.<ref>{{cite web|url=http://www.eduvizija.hr/portal/lekcija/6-razred-matematika-reciprocni-brojevi-dijeljenje-racionalnih-brojeva |title=Recipročni brojevi|publisher=Eduvizija |accessdate= 2016-07-28 }}</ref> Реципрочна вредност целог броја -{''a''}- износи <math>\tfrac{1}{a}</math>. Реципрочна вредност броја облика једноставног разломка <math>\tfrac{1}{a}</math> износи -{''a''}-.

=== Сабирање и одузимање ===

Приликом [[сабирање|сабирања]] и [[одузимање|одузимања]], разломци се своде на ''најмањи заједнички именилац'. Он је [[најмањи заједнички садржилац]] именилаца тих разломака. Након свођења на заједнички именилац, бројиоци се саберу или одузму зависно од операције.

: <math>\frac14 + \frac13=\frac{1\cdot3}{4\cdot3} + \frac{1\cdot4}{3\cdot4}=\frac3{12} + \frac4{12}=\frac7{12}.</math>

Уколико се саберу разломак и цели број, цели број се може писати као разломак с имениоцем 1 те се нормално своди на заједнички именилац при сабирању.

: <math>\frac34 + 2 = \frac34 + \frac21 = \frac34 + \frac84 = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}</math>

=== Множење ===

==== Множење два разломка ====

Разломци се [[множење|множе]] тако да им се помноже бројиоци те имениоци. Умножак бројилаца постаје бројилац резултата, а умножак именилаца постаје именилац резултата.

:<math>\tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{3}{4} = \tfrac{6}{12}</math>

Приликом множења два или више разломака било који бројилац се може пократити с неким имениоцем.

:<math>\tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{3}{4} = \tfrac{\cancel{2} ^{~1}}{\cancel{3} ^{~1}} \cdot \tfrac{\cancel{3} ^{~1}}{\cancel{4} ^{~2}} = \tfrac{1}{1} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}</math>

==== Множење разломка целим бројем ====

Цели број се записује у облику разломка с имениоцем 1 те се нормално множе бројиоци и имениоци.

:<math>6 \cdot \tfrac{3}{4} = \tfrac{6}{1} \cdot \tfrac{3}{4} = \tfrac{18}{4}</math>

=== Дељење ===

Разломци се [[дељење|деле]] тако да се дељеник помножи реципрочним делитељем.

:<math>\tfrac{1}{2} \div \tfrac{3}{4} = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{4}{3} = \tfrac{1  \cdot  4}{2  \cdot  3} = \tfrac{2}{3}</math>

=== Упоређивање ===

Разломци се могу успоређивати тако да се сведу на заједнички именилац те им се пореде бројиоци. Уколико постоје мешовити бројеви, они се запишу у облику неправих разломака, сведу се на заједнички именилац те се упореде бројиоци. Приметно је да се морају свести на заједнички именилац, јер он не учествује у упоређивању бројилаца. Зато се разломци <math>\tfrac{a}{b}</math> и <math>\tfrac{c}{d}</math> упоређују унакрсно. Уколико је ''a'' · ''d'' < ''b'' · ''c'', други је разломак већи. Ако је ''a'' · ''d'' > ''b'' · ''c'', први је разломак већи. Иначе, разломци су једнаки.<ref>{{cite web |url=https://www.youtube.com/watch?v=6kbwyZJDW1M|title=Uspoređivanje razlomaka - 01|publisher=[[YouTube]]}}</ref>

==Интуитиван приказ својстава разломака== 
Овде је дат доказ својства сабирања, одузимања, множења и дељења разломака, након којих се, ма како сложен био, сваки разломак моћи израчунати.

''Напомена''. Ради једноставности, а без смањења генералности, све варијабле које се користе су [[Природни бројеви|природни]] [[број]]еви.

'''1. Својство сабирања'''
* <math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}</math>. Како се могу сабирати само половине с половинама, трећине с трећинама, ..., такво правило вреди и овде. Бројевима <math>b,d</math> се нађе <math>V(b,d)</math> односно најмањи заједнички садржалац, или се једноставно помноже, из чега следи правило. Овде се користи очиту једнакост <math>\frac{c}{c}\cdot\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}</math>.

'''2. Својство одузимања'''
* Ово правило директно следи из својства сабирања, тј. вреди <math>\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}</math>.

'''3. Својство множења'''
* Директно из дефиниције разломка следи <math>\frac{1}{c}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a}{bc}</math>.
* Докажимо да вреди <math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}</math>. Овде се заправо пита колико износи <math>a</math>-terostruka <math>b</math>-тина броја <math>\frac{c}{d}</math>. То је исто као да се прво израчуна <math>b</math>-тина тог броја те да се помножи са <math>a</math>. Формално, <math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}</math>, што је и требало доказати. Сада је јасно и да је <math>\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=1</math>.

'''4. Својство дељења'''
* Погледајмо одмах пример дељења два разломка. Докажимо да вреди <math>\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc}</math>. Наиме ако се има на пример разломак <math>\frac{\frac{a}{b}}{c}</math>, то би значило да се свака <math>a</math>-тострука <math>b</math>-тина дели са <math>c</math> једнаким деловима, дакле именилац постаје <math>b\cdot{c}</math>. Међутим, ако се то <math>c</math> дели још на <math>d</math>-тине то значи да разломак постаје <math>d</math> пута већи.

Тиме су на једноставан и практичан начин [[доказ]]ана сва нужна и довољна правила за рачун с разломцима.

== Рационализација имениоца ==

=== Именилац као квадратни корен ===

Рационализира се именилац тако да се разломак проширује бројем који је једнак имениоцу разломка.<ref>{{cite web |url=http://www.eduvizija.hr/portal/lekcija/8-razred-matematika-racionalizacija-nazivnika|title=Racionalizacija nazivnika|publisher=Eduvizija|accessdate= 2016-07-28 }}</ref>

: <math>\frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}</math>

=== Именилац као виши корен ===

Ако је именилац облика <math>\sqrt[n]{a}</math>, разломак се проширује са <math>\sqrt[n]{a} ^ {n-1}</math>:

: <math>\frac{10}{\sqrt[3]{b}} = \frac{10}{\sqrt[3]{b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{b}^2}{\sqrt[3]{b}^2} = \frac{{10\sqrt[3]{b}^2}}{\sqrt[\cancel{3}]{b}^\cancel{3}} = \frac{10\sqrt[3]{b}^2}{b}</math>

=== Именилац као бином ===

Ако је именилац облика ''a'' - ''b'', разломак се проширује са ''a'' + ''b''.
:<math>\frac{3}{3-2\sqrt{5}} = \frac{3}{3-2\sqrt{5}} \cdot \frac{3+2\sqrt{5}}{3+2\sqrt{5}} = \frac{3(3+2\sqrt{5})}{{3}^2 - (2\sqrt{5})^2} = \frac{ 3 (3 + 2\sqrt{5} ) }{ 9 - 20 } = - \frac{ 9+6 \sqrt{5} }{11}</math>

Ако је именилац облика ''a'' + ''b'', разломак се проширује са ''a'' - ''b''.
:<math>\frac{3}{3+2\sqrt{5}} = \frac{3}{3+2\sqrt{5}} \cdot \frac{3-2\sqrt{5}}{3-2\sqrt{5}} = \frac{3(3-2\sqrt{5})}{{3}^2 - (2\sqrt{5})^2} = \frac{ 3 (3 - 2\sqrt{5} ) }{ 9 - 20 } = - \frac{ 9-6 \sqrt{5} }{11}</math>

Ово се може применити и на [[комплексни број|комплексне бројеве]] где је ''i''&thinsp;<sup>2</sup> = -1:

:<math>\frac{7}{1+\sqrt{-5}} = \frac{7}{1+\sqrt{-5}} \cdot \frac{1-\sqrt{-5}}{1-\sqrt{-5}} = \frac{7(1-\sqrt{-5})}{1^2 - \sqrt{-5}^2} = \frac{ 7 (1 - \sqrt{-5} ) }{ 1 - (-5) } = \frac{ 7 -7\sqrt{5} i }{6}</math>

== Именовање имениоца ==
Имениоце је уобичајено именовати додавањем наставка -ина на крај броја.
{| class="wikitable"
!Именилац
!Име
!Именилац
!Име
!Именилац
!Име
|-
|1
|цело<ref>{{cite web |url=https://www.youtube.com/watch?v=_k6KUNx9TkA|title=Koliko jedno cijelo ima polovina, trećina, četvrtina, ...|publisher=[[YouTube]]}}</ref> или једнина<ref>{{cite web|url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/sem1314/mnm2_6a_Uvodjenje_racionalnih.pdf|title=str. 7|accessdate=2016-07-28|work=Uvođenje skupa racionalnih brojeva|author=Borjana Brdar, Marijana Hunjek i Nikola Lepen|publisher=Matematički odsjek, [[Prirodoslovno-matematički fakultet u Zagrebu]]}}{{Мртва веза}}</ref>
|6
|шестина
|11
|једанаестина
|-
|2
|половина
|7
|седмина
|12
|дванаестина
|-
|3
|трећина
|8
|осмина
|13
|тринаестина
|-
|4
|четвртина
|9
|деветина
|14
|четрнаестина
|-
|5
|петина
|10
|десетина
|15
|петнаестина
|}

== Историја ==

Најранији разломци били су [[multiplicative inverse|реципрочни]] бројеви [[integer|целих бројева]]: древни симболи представљали су део од два, један део од три, један део од четири и тако даље.<ref name="eves">{{cite book |last=Eves |first=Howard |title=An introduction to the history of mathematics |url=https://archive.org/details/introductiontohi0000eves |year=1990 |publisher=Saunders College Pub. |location=Philadelphia |isbn=978-0-03-029558-4 |edition=6th}}</ref> [[Египћани]] су користили [[Egyptian fraction|египатске разломке]] око 1000. пне. Пре око 4000 година, Египћани су се делили разломцима користећи нешто другачије методе. Они су користили најмање заједничке умношке са [[unit fraction|јединичним разломцима]]. Њихове методе су давале исти одговор као и савремене методе.<ref>{{cite web|url=http://egyptianmath.blogspot.com|title=Math History|author=Milo Gardner|date=December 19, 2005|access-date=2006-01-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20051219160259/http://egyptianmath.blogspot.com/|archive-date=December 19, 2005|url-status=live}} See for examples and an explanation.</ref> Египћани су такође имали различите ознаке за [[dyadic fraction|дијадичне разломке]] на [[Akhmim Wooden Tablet|Акмимовој]] дрвеној плочи, и у неколико проблема приказаних на [[Ахмесов папирус|Ахмесовом математичком папирусу]].

[[Ancient Greece|Грци]] су користили јединствене разломке и (касније) [[Верижни разломак|верижне разломке]]. [[Питагорејци|Следбеници]] грчког [[Greek philosophy|филозофа]] [[Pythagoras|Питагоре]] (око 530. пне) Открили су да [[квадратни корен из 2]] не може бити [[Ирационалан број|изражен као разломак целих бројева]]. (Ово се обично, иако вероватно погрешно приписује [[Hippasus|Хипазу]] из [[Metapontum|Метапонта]], за којег се каже да је погубљен због откривања ове чињенице.) [[Џаинизам|Џаински]] математичари у [[History of India|Индији]] су око 150. пне написали „[[Sthananga Sutra|Стананга Сутру]]”, која садржи рад о теорији бројева, аритметичке операције и операције са разломцима.

Сматра се да је модерни израз разломака познат као ''бинараси'' настао у Индији у делу [[Арјабхата|Арјабхате]] (око 500. год.), [[Брамагупта|Брамагупте]] (око 628) и [[Баскара II|Баскара -{II}-]] (око 1150).<ref name="jeff">{{cite web |last=Miller |first=Jeff |url=http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |title=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols |date=22 December 2014 |access-date=15 February 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160220073955/http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |archive-date=20 February 2016 |url-status=live }}</ref> Њихова дела формирају разломке постављањем бројилаца ([[Санскрт (језик)|санск.]] -{''сamsa''}-}}) изнад имениоца (санск. -{''cheda''}-), али без црте између њих. У [[Sanskrit literature|санскритској литератури]] разломци су се увек изражавали као додавање или одузимање од целог броја. Цео број је записан у једном реду, а разломак у његова два дела у следећем реду. Ако је разломак означен малим кругом {{angle brackets|०}} или крстићем {{angle brackets|+}}, он се одузима од целог броја; ако се такав знак не појави, подразумева се додавање. На пример, [[Баскара I|Баскара -{I}-]] пише:<ref name="filliozat-p152">{{cite book|last1=Filliozat |first1=Pierre-Sylvain |year=2004 |editor1-last=Chemla |editor1-first=Karine |editor1-link=Karine Chemla |editor2-last=Cohen |editor2-first=Robert S. |editor3-last=Renn |editor3-first=Jürgen |editor4-last=Gavroglu |editor4-first=Kostas |display-editors = 3 |title=History of Science, History of Text |chapter=Ancient Sanskrit Mathematics: An Oral Tradition and a Written Literature |series=Boston Series in the Philosophy of Science |volume=238 |page=152 |location=Dordrecht |language=en |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer Netherlands]] |doi=10.1007/1-4020-2321-9_7 |isbn=978-1-4020-2320-0}}</ref>
: ६ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  १ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  २
: १ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  १ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  १<sub>०</sub>
: ४ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  ५ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  ९
што је еквивалентно са
: 6 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  2
: 1 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  −1
: 4 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 5 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  9
и може се написати у модерној нотацији као 6{{sfrac|1|4}}, 1{{sfrac|1|5}}, и 2&nbsp;−&nbsp;{{sfrac|1|9}} (i.e., 1{{sfrac|8|9}}).

== Види још ==
* [[Рационалан број]]
* [[Сабирање разломака]]

== Референце ==
{{reflist}}

== Спољашње везе ==
{{commons category|Fractions}}
{{Wiktionary|denominator}}
{{Wiktionary|numerator}}
* {{cite encyclopedia |encyclopedia=The Online Encyclopaedia of Mathematics |title=Fraction, arithmetical |url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Fraction}}
* {{cite encyclopedia |encyclopedia=Encyclopædia Britannica |title=Fraction |url=http://www.britannica.com/EBchecked/topic/215508/fraction}}
* {{cite encyclopedia |encyclopedia=Citizendium |title=Fraction (mathematics) |url=http://en.citizendium.org/wiki/Fraction_(mathematics)}}
* {{cite encyclopedia|encyclopedia=PlanetMath |title=Fraction |url=https://planetmath.org/fraction |access-date=29 September 2019 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20191025060020/https://planetmath.org/fraction |archive-date=25 October 2019 }}

{{Нормативна контрола}}


[[Категорија:Разломци| ]]