Изворни код странице Раван

[[Датотека:Flat Surface.svg|мини|200п|Део равни у тродимензионом простору, обележен мрежом координата]]
'''Раван''' је један од основних појмова [[геометрија|геометрије]] којим се означава равна површина која се у сваком смеру шири до бесконачности. Да је равна, значи да кроз сваку њену [[Тачка (геометрија)|тачку]] може бити повучено бесконачно много различитих [[права (линија)|правих]] које она у потпуности садржи. Из овога следи и да свака раван простор у коме се налази разграничава на два једнака дела.

== Појам и дефиниције равни ==
[[Датотека:PlaneIntersection.png|мини|Пресек две равни у R<sup>3</sup>]]
У почетним упознавањима са појмом равни, представа о равни се упоређује са глатким површинама воде, углачане плоче, итд. У даљем изучавању систематског курса геометрије раван се узима као недефинисани термин чија се посредна [[дефиниција]] даје у [[аксиома]]ма геометрије.

Важне особине равни дате су, на пример, следећим аксиомама:
* Ако две тачке праве припадају равни, онда све тачке праве припадају овој равни.
* Три тачке које не леже на једној правој припадају само једној равни.

Руски математичар [[Николај Лобачевски]] је за дефиницију равни узимао следећу дефиницију: Раван је [[геометријско место тачака]] у простору које су подједнако удаљене од две дате тачке. У изградњи геометрије Лобачевски је полазио од појма [[кретање|кретања]], и према томе, и од појма [[растојање|растојања]] између две тачке.

Велики немачки математичар [[Готфрид Вилхелм Лајбниц|Лајбниц]] дефинисао је појам равни као површ која дели простор на два [[конгруентан|конгруентна]] дела (која се кретањем могу поклопити). Међутим, ову особину има, на пример, и [[цилиндарска површ]] чија је [[генератриса]] [[синусоида]] или правилна бесконачна [[изломљена линија]] облика тестере.

== Еуклидска геометрија ==
[[File:Planes parallel.svg|thumb|right|150px|Three parallel planes.]]
{{Main|Еуклидска геометрија}}

[[Еуклид]] је изложио прво велико обележје математичке мисли, аксиоматски третман геометрије.<ref>{{harvnb|Eves|1963|loc= pg. 19}}</ref> Он је одабрао је мало језгро недефинисаних појмова (названих ''уобичајени појмови'') и постулата (или [[аксиом]]а) које је затим користио за доказивање различитих геометријских исказа. Иако раван у њеном модерном смислу није директно дата у [[Euclid's Elements|Елементима]], о њој се може размишљати као једном од уобичајених појмова.<ref>{{Citation |last= Joyce |first= D.E. |title= Euclid's Elements, Book I, Definition 7 |publisher= Clark University |year= 1996 |url= http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/defI7.html |access-date= 8 August 2009}}</ref> Еуклид никада није користио бројеве за мерење дужине, угла или површине. На тај начин еуклидска раван није потпуно иста као [[Декартов координатни систем|картезијанска]] раван.

== Раван у аналитичкој геометрији ==
Раван ''-{A}-'' у простору -{R}-<sup>n</sup> се аналитички може описати једном њеном [[тачка (геометрија)|тачком]] <math>P \in A \in R^n</math> и [[вектор]]ом <math>\overrightarrow{a}</math> који је нормалан на њу, тј. сваки вектор који јој припада. Тада ће за сваку тачку <math>Q \in A</math> важити:

<math>\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{PQ} = 0</math>,<br /><br />илити<br /><br /><math>\left (a_1, \ldots ,a_n \right) \cdot \left (Q_1 - P_1, \ldots, Q_n - P_n \right) = a_1 \cdot \left (Q_1 - P_1 \right) + \cdots + a_n \cdot \left (Q_n - P_n \right) = 0</math>

Како су <math>\overrightarrow{a}</math> и -{P}- константе, израз се може другачије записати:

<math>\overrightarrow{a}\cdot \left (Q - P\right) \Rightarrow \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{Q} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{P} \Rightarrow</math><br /><math>\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{Q} = C, C \in R</math>

ово је такозвана '''векторска једначина равни''' која се након развоја скаларног производа, као што је у изразу испод приказано, назива '''општа једначина равни''':

<math>a_1 \cdot Q_1 + \cdots + a_n \cdot Q_n = C</math>

=== Облик тачке и нормале и општи облик једначине равни ===

На начин аналоган начину на који се линије у дводимензионалном простору описују користећи облик нагиба тачке за њихове једначине, равни у тродимензионалном простору имају природни опис користећи тачку у равни и вектор ортогоналан на њу ([[normal vector|нормални вектор]]) да укаже на њену „инклинацију“.

Конкретно, нека је {{math|'''''r'''''<sub>0</sub>}} вектор положаја неке тачке{{math|1=''P''<sub>0</sub> = (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>, ''z''<sub>0</sub>)}}, а нека {{math|1='''''n''''' = (''a'', ''b'', ''c'')}} ненулти вектор. Раван одређена тачком {{math|''P''<sub>0</sub>}} и вектором {{mvar|'''n'''}} састоји се од оних тачака {{math|''P''}}, са позиционим вектором {{mvar|'''r'''}}, тако да је вектор повучен од {{math|''P''<sub>0</sub>}} до {{math|''P''}} нормалан на {{mvar|'''n'''}}. Подсећајући да су два вектора нормална ако и само ако је њихов скаларни производ нула, следи да се жељена раван може описати као скуп свих тачака {{mvar|'''r'''}} таквих да
:<math>\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0.</math>
(Овде тачка означава [[скаларни производ вектора]].)
Кад се прошири ово постаје
:<math> a (x-x_0)+ b(y-y_0)+ c(z-z_0)=0,</math>
што је форма ''тачке и нормале'' једначине равни.<ref>{{harvnb|Anton|1994|loc=p. 155}}</ref> Ово је [[linear equation|линеарна једначина]]
:<math> ax + by + cz + d = 0,</math>
где је
:<math> d = -(ax_0 + by_0 + cz_0).</math>
Супротно томе, лако је показати да ако су  {{math|''a'', ''b'', ''c''}} и {{math|''d''}} константе и {{math|''a'', ''b''}} и {{math|''c''}} нису све нула, онда је график једначине
::<math> ax + by + cz + d = 0,</math>
раван која има вектор {{math|1='''''n''''' = (''a'', ''b'', ''c'')}} као нормалу.<ref>{{harvnb|Anton|1994|loc=p. 156}}</ref> Ова позната једначина за раван назива се ''општи облик'' једначине равни.<ref name="Weisstein2009">{{Citation
|title= Plane
|url= http://mathworld.wolfram.com/Plane.html
|year= 2009
|author= Weisstein, Eric W.
|journal= MathWorld--A Wolfram Web Resource
|access-date= 2009-08-08
}}</ref>

Тако на пример, [[Регресиона анализа|регресиона једначина]] облика {{math|1=''y'' = ''d'' + ''ax'' + ''cz''}} (са {{math|1=''b'' = −1}}) успоставља најбоље прилагођену раван у тродимензионалном простору када постоје две променљиве објашњења.

== Раван и други геометријски објекти ==

=== Раван и тачка ===
Раван у простору -{R}-<sup>n</sup> може садржати или не садржати неку од тачака истог. Алгебарски, ово се проверава тако што се координате тачке убаце на одговарајућа места промењивих у једначину равни. Уколико је једначина равни задовољена, тачка припада равни. У супротном тачка не припада равни.

==== Пројекција тачке на раван ====
Уколико тачка не припада равни, онда постоји тачно једна права која пролази кроз ту тачку, и нормална је на раван. Та права сече раван у тачно једној тачки која је у ствари '''пројекција''' претходне тачке на дату раван. Рецимо да се раван зове ''-{A}-'' и да је одређена тачком ''-{P}-'' и њеним нормалним вектором <math>\overrightarrow{n}</math>. Нека је ''-{Q}-'' произвољна тачка истог простора која не припада ''-{A}-''. Тада за пројекцију ''-{Q'}-'' тачке ''-{Q}-'' на раван ''-{A}-'' важи следеће:

<math>Q' \in A \wedge \overrightarrow{QQ'} \| \overrightarrow{n} \Rightarrow</math>


<math>Q' = Q + \alpha \overrightarrow{n} \in A</math>

<math>\overrightarrow{PQ'} \overrightarrow{n} = 0</math>

Овиме се добија једначина са непознатом α.


<math>\left (Q  + \alpha \overrightarrow{n} - P \right) \cdot \overrightarrow{n} = 0, \; \; \alpha = \frac{ \overrightarrow{PQ} \overrightarrow{n} }{| \overrightarrow{n} |^2}</math>

Након што се одреди вредност α, тачка ''-{Q'}-'' је одређена већ датом једначином:

<math>Q' = Q + \alpha \overrightarrow{n}</math>

==== Растојање тачке и равни ====
Растојање неке [[Тачка (геометрија)|тачке]] од равни у -{R}-<sup>n</sup> је одређено њеним растојањем од [[Раван#Пројекција тачке на раван|њене пројекције]] на исту раван. Види [[Тачка (геометрија)#Растојање између две тачке|растојање тачака]].

Ово растојање се специјално у -{R}-<sup>3</sup>, када су познате три [[колинеарност#неколинеарност|неколинеарне]] тачке равни ''-{S, W, T}-'', може изразити и преко односа [[запремина|запремине]] и [[површина|површине]] базе [[Призма (геометријска фигура)|призме]] коју граде [[паралелограм|ромбоид]] одређен са ове три тачке са тачком ''-{Q}-'': 

<math>d \left (A \left (S, W, T \right), Q \right) = \frac{\left [ \overrightarrow{SW}, \overrightarrow{ST}, \overrightarrow{SQ} \right] }{ \left | \overrightarrow{SW} \times \overrightarrow{ST} \right |}</math>

=== Раван и права ===
Раван и права у -{R}-<sup>3</sup> имају три могућа међусобна положаја: права је паралелна са равни (њен вектор је нормалан на нормалан вектор равни), права сече раван у једној тачки, права припада равни. У просторима веће димензије је могуће и да права нема заједничких тачака са равни али да такође није паралелна са њоме. Овај положај се назива мимоилажење.

==== Пресек равни и праве ====
Претпоставимо да се права ''-{p}-'' одређена са тачком <math>P</math> и вектором <math>\overrightarrow{v}</math>, и раван ''-{A}-'' одређена са тачком <math>Q</math> и нормалним вектором <math>\overrightarrow{n}</math> секу. Њихова тачка пресека ''-{L}-'' би била одређена са:

<math>L = P + \alpha \overrightarrow{v}, \; L \in A</math>

Када се овако добијени вектор координата тачке ''-{L}-'' убаци у једначину равни, добије се једначина са једном непознатом, α. Након што се α одреди, треба је вратити у горњу једначину. Резултат су координате тачке ''-{L}-''.

У -{R}-<sup>3</sup> би то изгледало овако:

<math>A: n_1 (x_1 - Q_1) + n_2 (x_2 - Q_2) + n_3 (x_3 - Q_3) = 0</math>

<math>L: (P_1+\alpha v_1,P_2 + \alpha v_2,P_3 + \alpha v_3)</math>

<math>\Rightarrow n_1 (P_1+\alpha v_1 - Q_1) + n_2 (P_2 + \alpha v_2 - Q_2) + n_3 (P_3 + \alpha v_3 - Q_3) = 0</math>

<math>\overrightarrow{n} \cdot \left (\overrightarrow{QP} + \alpha \overrightarrow{v} \right) = 0</math>

<math>\alpha = -\frac{ \overrightarrow{n} \overrightarrow{QP} }{ \overrightarrow{n} \overrightarrow{v} }, \; L = P + \alpha \overrightarrow{v}</math>

==== Пројекција праве на раван ====
Пројекција праве ''-{p}-'' на раван ''-{A}-'' је или једна права ''-{p'}-'' која припада равни ''-{A}-'', или једна тачка ''-{P'}-'' на равни ''-{A}-''. До другог случаја долази када је права ''-{p}-'' у ствари нормална на раван ''-{A}-'', а резултујућа тачка је у ствари њихов пресек.

Када права ''-{p}-'' није нормална на раван ''-{A}-'', њена пројекција, права ''-{p'}-'' се може [[права (линија)#Конструкција кроз две тачке|конструисати]] кроз [[Раван#Пројекција тачке на раван|пројекције]] две различите тачке праве ''-{p}-'' на раван ''-{A}-''.

==== Растојање праве и равни ====
Уколико права ''-{p}-'' не сече раван ''-{A}-'', растојање између њих је једнако [[Раван#Растојање тачке и равни|растојању]] између било које тачке праве и равни.

=== Раван и раван ===
Две равни у простору -{R}-<sup>n</sup> могу бити мимоилазне, паралелне, могу се сећи по једној правој или бити идентичне.

==== Пресек две равни ====
Пресек две равни ''-{A}-'' и ''-{B}-'' може бити празан скуп (уколико су равни паралелне или мимоилазне), једна тачка (уколико су равни у принципу мимоилазне али се додирују у једној тачки), једна права (уколико се равни секу) и раван, уколико су равни идентичне.

Однос две равни, као и њихов пресек се дају одредити решавањем система једначина ове две равни. Претпоставимо да су задате две равни <math>A: P, \overrightarrow{a}</math> и <math>B: Q, \overrightarrow{b}</math>

<math>A: x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_{n-1} a_{n-1} + P_n a_n = K_A, \; K_A \in R</math>

<math>B: x_1 b_1 + x_2 b_2 + \cdots + x_{n-1} b_{n-1} + Q_n b_n = K_B, \; K_B \in R</math>

Ранг решења система

<math>\begin{cases} x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_{n-1} a_{n-1} + x_n a_n = K_A \\ x_1 b_1 + x_2 b_2 + \cdots + x_{n-1} b_{n-1} + x_n b_n = K_B \end{cases}</math>

одређује шта је резултат пресека и еквивалентан је димензији резултујућег потпростора. Само решење система описује објекат добијен пресеком.

==== Растојање две паралелне равни ====
Две равни су паралелне уколико их граде парови вектора који граде базе истог потпростора у датом простору. Ови парови вектора се у међусобном односу још зову [[Копланарност|копланарни]]. Растојање две равни је константно, посматрано из било које тачке једне према другој равни. Стога се може свести на [[Раван#Растојање тачке и равни|растојање]] било које тачке једне равни од друге равни.

==== Растојање две мимолиазне равни ====
Равни могу бити мимоилазне у просторима димензије веће од три. Карактеристика овако постављених равни је да се не секу по правој и да постоји тачно један пар тачака са прве и друге равни, за које је растојање минимално. Уколико се параметри равни тако подесе, да ове две тачке имају исте координате, равни ће се додиривати само у тим тачкама а растојање ове две равни је једнако нули.

У општем случају, растојање две мимоилазне равни се израчунава постављањем једначине дужине вектора између ове две равни, и налажењем њеног минимума диференцирањем.

== Види још ==
* [[Тачка (геометрија)|Тачка]]
* [[Права (линија)|Права]]
* [[Вектор]]
* [[Полураван]]
* [[Хиперраван]]

== Референце ==
{{reflist}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{citation|last=Anton|first=Howard|title=Elementary Linear Algebra|edition=7th|publisher=John Wiley & Sons|year=1994|isbn=0-471-58742-7}}
* {{citation|last=Eves|first=Howard|title=A Survey of Geometry|publisher=Allyn and Bacon, Inc.|place=Boston|year=1963|volume= I}}
* {{cite book | last = Ball | first = W.W. Rouse | author-link = W. W. Rouse Ball | title = A Short Account of the History of Mathematics | url = https://archive.org/details/shortaccountofhi0000ball/page/50 | edition = 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] | year = 1960 | publisher = Dover Publications | location = New York | isbn = 0-486-20630-0 | pages = [https://archive.org/details/shortaccountofhi0000ball/page/50 50–62] }}
* {{cite book | last = Coxeter | first = H.S.M. | author-link = H.S.M. Coxeter| title = Introduction to Geometry | url = https://archive.org/details/introductiontoge0000hsmc | year = 1961 | publisher = Wiley | location = New York}}
* {{cite book|first=Howard|last= Eves|title=A Survey of Geometry (Volume One)|publisher=Allyn and Bacon|year=1963}}
* {{cite book | last = Heath | first = Thomas L. | author-link = T. L. Heath | title = The Thirteen Books of Euclid's Elements | url = https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl | url-access = registration | edition = 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] | year = 1956 | publisher = Dover Publications | location = New York }} In 3 vols.: vol. 1 {{ISBN|0-486-60088-2}}, vol. 2 {{ISBN|0-486-60089-0}}, vol. 3 {{ISBN|0-486-60090-4}}. Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
* {{cite book|first1=Charles W. |last1=Misner |author1-link=Charles W. Misner |first2=Kip S. |last2=Thorne |author2-link= Kip S. Thorne |first3=John Archibald |last3=Wheeler |author3-link=John Archibald Wheeler |title=[[Gravitation (book)|Gravitation]] |publisher = W.H. Freeman|year= 1973}}
* {{cite book|author=Mlodinow|title=Euclid's Window|url=https://archive.org/details/euclidswindowsto00mlod|url-access=registration|publisher = The Free Press|year= 2001}}
* {{cite book|author1=Nagel, E. |author2=Newman, J.R.|title=Gödel's Proof|url=https://archive.org/details/gdelsproof00nage |publisher = New York University Press|year= 1958}}
* {{cite book|first1=Alfred |last1=Tarski |author-link=Alfred Tarski |year=1951 |title=A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry |publisher=Univ. of California Press}}

{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commons category|Plane}}
* {{SpringerEOM|title=Plane|id=p/p072790}}
* {{MathWorld|title=Plane|urlname=Plane}}
* -{[http://www.wdl.org/en/item/2850/ "Easing the Difficulty of Arithmetic and Planar Geometry"] is an Arabic manuscript, from the 15th century, that serves as a tutorial about plane geometry and arithmetic.}-

{{Нормативна контрола}}


[[Категорија:Геометрија]]
[[Категорија:Алгебра]]
[[Категорија:Математички концепти]]